专题06 锐角三角函数与解直角三角形（题型专练）（山东专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题06 锐角三角函数与解直角三角形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 网格中求角的三角函数值 题型02 几何图形中求角的三角函数值 题型03 利用三角函数值求线段的长 题型04 特殊角的三角函数值的计算 题型05 解直角三角形应用之仰角俯角 题型06 解直角三角形应用之方位角 题型07 解直角三角形应用之坡度坡比 题型08 解直角三角形应用之抽象几何图形 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 网格中求某角的三角函数值 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由网格可知：，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， 故选C 【典例02】（2025·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 方法透视 考向解读 主要考查方向：网格特征应用，利用格点间的水平距离和竖直距离构造直角三角形求三角函数值。 另外常与相似、旋转、勾股定理配合，结合网格边长、坐标系等求三角形边长，再用三角函数定义（正弦、余弦、正切）计算。综合考查学生数形结合与转化能力。 方法技能 1. 构造直角三角形：过角的一边上格点向另一边作垂线，或连接格点构造包含所求角的直角三角形。 2. 网格边长计数：利用小正方形边长为1，数出直角三角形的两条直角边长度（水平或竖直方向）。 3. 勾股求斜边：已知两直角边用勾股定理求斜边，再按定义sin = 、cos = 、tan = 计算。 4. 等角转化：若所求角位置不便，可找与之相等的角（平移或相似）转化到容易构造直角三角形的位置。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）问题提出 已知，都是锐角，，，求的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知，都是锐角，，，则___________； （3）已知，，都是锐角，，，，求的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 【详解】解：（1）如图1中，连接， ，， ， ∴是等腰直角三角形， ，， ； （2）如图中，连接， 由题意，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故答案为：； （3）如图中， 由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ． 【变式02】（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了解直角三角形，灵活运用网格特点和证明是解决问题的关键． 连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ，则利用正方形的性质得到，则，再根据正切的定义，在中可计算出，在中可计算出，所以，然后利用三角形外角性质和角的代换可证明，所以． 【详解】解：连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ， 则， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式03】（2025·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理逆定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 连接，由勾股定理的逆定理判断为直角三角形，即，然后根据余弦的定义求解． 【详解】解：连接， 由网格可知：，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 题型02 几何图形中求角的三角函数值 典例引领 【典例01】（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例02】（2025·山东青岛·二模）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ． 【答案】/0.6 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．由折叠可得：，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理得：，即，推出，得到，证明，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，，， 设正方形的边长为，，则，， 在中，由勾股定理得：，即， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 方法透视 考向解读 主要考查方向：在三角形、四边形或圆中，通过作垂线构造直角三角形，将所求角置于其中求值。 或利用平行线、等腰三角形、相似三角形或圆的性质，将所求角转化为已知角或可求角进行等角转化，多与折叠、旋转、动点问题、勾股定理结合，考查转化与化归思想。 方法技能 1. 构造直角三角形：过所求角顶点作对边垂线，或连接直径构造直角，将角置于Rt△中。 2. 等角转化：利用同位角、内错角、圆周角定理等，将所求角转化到已知边长的三角形中。 3. 特殊角优先：观察图形中是否有30°、45°、60°等特殊角，利用其三角函数值简化计算。 4. 设参列方程：未知边长较多时，设参数利用相似或勾股定理列方程求解，再求三角函数值。 变式演练 【变式01】（2025·山东潍坊·二模）如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则 ． 【答案】/ 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出EH的长是本题的关键．过E作于H，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】过E作于H， 由折叠的性质得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 【变式02】（2025·山东东营·二模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究的值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】如图作AH⊥CB交CB的延长线于H ，由，推出∠ACD=∠CAH，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，作AH⊥CB交CB的延长线于H， ∠ABD=90°，∠DBC=45°， ∠ABH=45°， ∠AHB=90°， 是等腰直角三角形， AH=BH， 设AH=BH=a，则AB=a， BD=a， BC=CD=a， CH=a+a， ∠AHB+∠DCB=90°+90°=180°， AH// DC， ∠ACD=∠CAH， tan∠ACD=tan∠CAH= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，难度适中. 【变式03】（2025·山东日照·一模）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题、求角的正切值 【分析】根据折叠后所形成的图形全等，利用三角函数的定义解答即可． 【详解】由题意可知：， 设，则， 在中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻． 题型03利用三角函数值求线段的长 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 【答案】AC 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，，故A正确； 当点在上时， ∵，，， ∴，， ∴；故B错误； 当点在上时，如图， 则：， ∴；故C正确； 当时，随着的增大而减小，故D错误； 故选AC． 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长及的半径． 【答案】(1)见解析 (2)；的半径为 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）连接并延长交于点，连接，根据已知得出，根据圆周角定理得出，进而等量代换可得即，即可得证； （2）证明，即可得出，过点作于点，得出，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是直径 ∴ ∴即 ∴是的切线； （2）∵ ∴ ∴ ∵ ∴， 又∵， ∴ 解得： 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴的半径为 方法透视 考向解读 主要考查方向：利用三角函数定义， 构造直角三角形并与相似、勾股定理、圆、实际应用（仰角俯角）结合，考查建模能力。 方法技能 1. 定义式列比例：在直角三角形中，根据sin = 、cos = 、tan = 直接列比例式。 2. 构造直角优先：若无直角三角形，主动作垂线构造，将已知三角函数值转化为边长比。 3. 设参求值：设未知数表示相关边长，利用三角函数值列方程，结合勾股定理求解。 4. 实际情境建模：仰角俯角问题中，画出示意图，标出已知角和边长，用三角函数列式求解。 变式演练 【变式01】（2025·山东聊城·二模）如图，在中，是边中线．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【知识点】根据三线合一证明、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、已知余弦求边长 【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一得出，平分，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据矩形的判定即可得证； （2）如图（见解析），连接DF，先根据矩形的性质得出，再在中，利用余弦值、勾股定理可求出OA的长，从而可得OC的长，由此即可得出答案． 【详解】（1）∵在中，，是边中线 ∴，平分（等腰三角形的三线合一） ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴四边形是矩形； （2）如图，连接DF 由（1）知，四边形是矩形 ，即 是直角三角形 在中， 设，则 由勾股定理得： 解得 又 ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、余弦三角函数值等知识点，较难的是题（2），利用余弦三角函数值和勾股定理求出OA的长是解题关键． 【变式02】（2025·山东威海·二模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解直角三角形． （1）证明是的中位线，得，，再由得，即可得，即可得出结论； （2）根据角平分线定义求出，由平行四边形的性质得，即可得，，，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵延长至点E，使， 为中点， 为中点， ∴是的中位线， ，， ∵延长至点F，使， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，． 【变式03】（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，解直角三角形，多边形的内角和问题，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据思路一：构造与全等，从而得出是等腰直角三角形，即可与的数量关系； （2）在射线上截取，连接，过点作于点，同（1）得，则，，可得，根据，即可求解； （3）同（2）的方法，即可求解． 【详解】（1） 如图2，在射线上截取，连接， ∵， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 故答案为：． （2）解：正五边形的一个内角为 如图4，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （3）如图，在射线上截取，连接，过点作于点 同理可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴即 故答案为：． 题型04 特殊角的三角函数值的计算 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【详解】解：原式 ． 【典例02】（2025·山东淄博·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)3 【知识点】同底数幂的除法运算、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，整式的运算． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法，最后计算加减法即可得； （2）先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 方法透视 考向解读 主要考查30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，要求准确记忆并熟练应用。 在混合运算中常考将特殊角三角函数值代入代数式进行计算，与实数运算、二次根式结合考查。 方法技能 1. 口诀巧记值：30°、45°、60角函数值可口诀记忆：“一二三、三二一、三九二十七”对应正弦、余弦、正切。 2. 代入计算准：将特殊角函数值代入算式时，注意二次根式的化简和分母有理化，避免计算失误。 3. 图形结合快：遇到含特殊角的几何题，直接在图中标出边长比例（如1:√3:2或1:1:√2）快速解题。 4. 逆用求角度：已知三角函数值求角度时，直接对应特殊角取值，注意角度范围。 变式演练 【变式01】（2024·山东青岛·中考真题）计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式02】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 【变式03】（2025·山东淄博·一模）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)3 【知识点】同底数幂的除法运算、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，整式的运算． （1）先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘除法，最后计算加减法即可得； （2）先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的加减法即可得． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型05解直角三角形应用之仰角俯角 典例引领 【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 【答案】 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】考查解直角三角形的应用，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N，根据在和中利用三角形的正切得到，求出的值，同理求出的值，然后根据计算解答即可． 【详解】解：如图，延长交地面于点G，过点B作于点M，过点D作于点N， 则四边形，是矩形， ∴，， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 同理：，即， 解得：， ∴． 【典例02】（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 方法透视 考向解读 主要考查方向：①概念理解：主要考查仰角（视线在水平线上方）和俯角（视线在水平线下方）的定义，正确理解仰角和俯角是在观察点形成的角。 ②通常需要给这些角构造直角三角形，再解这些直角三角形，特别需要关注双直角三角形的运用，将实际问题转化为数学模型的能力。 方法技能 1. 画图定角：根据题意画出示意图，在图中标出水平线、视线，准确标出仰角或俯角的位置。 2. 构造直角三角形：过观测点作垂线，将仰角俯角转化为直角三角形中的内角。 3. 设公共边：若两个直角三角形共用一边（如高），设该公共边为未知数，分别列方程求解。 4. 方程联立：遇到多个三角形时，分别列出三角函数关系式，联立方程解出所求量。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：大楼的高度约为． 【变式02】（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米．（参考数据：，，，） 【答案】74 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用—仰角、俯角问题等知识点，熟练掌握解直角三角形是解题关键． 根据题意可得，则，再通过解直角三角形求得和，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：由题知, ∴, 在， ∴, ∴, 在中，, ∴, ∴． 故答案为：74． 【变式03】（2025·山东临沂·一模）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 【答案】m 【知识点】解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．延长交于，延长交于，设，在中，，可得，，在中，通过，列出方程，解方程求得，最后通过，求得的值． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， 由题易知，四边形为矩形， 则， 设，则， 在中，， ， 则， ， 在中，， ， ，即， 解得：， 则， 答：书圣阁的高度约为m． 题型06解直角三角形应用之方位角 典例引领 【典例01】（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里 (2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解； （2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 设， 依题意，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里； （2）解：在中，，， ∴， ∴， 小时分钟， 从14：30，经过分钟是，在之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头． 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 【答案】任务一：冬至，；任务二：乙楼中2层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意是解答的关键． 任务一：根据题意直接求解即可； 任务二：过E作于F，利用正切定义求得 【详解】解：任务一：根据题意，要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需为冬至日时的最大角度，即， 故答案为：冬至，； 任务二：过E作于F，则，米，， 在中，， ∴（米）， ∵（米）， ∴（米）， （层）， 答：乙楼中2层（含2层）以下不能安装该品牌太阳能热水器． 方法透视 考向解读 考查方向①概念理解：主要考查方位角（如北偏东30°、南偏西45°）的定义，方向遵循“上北下南，左西右东”的规则，通常需要给方向角构造直角三角形，再解这些直角三角形 ②将实际问题转化为直角三角形模型的能力，常考两个观测点同时观测同一目标，通过两个方位角构造双直角三角形求解。 方法技能 1. 画方位图：以观测点为中心画十字方向标（上北下南左西右东），准确标出方位角。 2. 转化内角：将方位角转化为直角三角形中的内角，常用余角或补角关系简化计算。 3. 双三角形法：两个观测点时，分别构造直角三角形，利用公共边（如距离）列方程联立求解。 4. 勾股配合：求出两条直角边后，用勾股定理求斜边距离，注意单位换算和结果取舍。 变式演练 【变式01】（2025·山东德州·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸互相平行．求河岸之间的距离（结果取整数）参考数据：，，． 【答案】河岸之间的距离 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，如图，过点P作于点H．设，根据构建方程求解． 【详解】解：如图，过点P作于点H．设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：河岸之间的距离． 【变式02】（2025·山东烟台·一模）某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 【答案】观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 【知识点】等边三角形的判定和性质、方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意，结合图形，得到是等边三角形，得到的长，即观景台到雕塑的距离；在中，求出，的长，在中，利用勾股定理，求出的长，即可得到结果． 【详解】解：∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向 ∴ ∴是等边三角形， ∴； 如图，过点作于点 ∵点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ∴ 在中，， ∵ ∴ 在中， 答：观景台到雕塑的距离为米，观景台到雕塑的距离为米． 【变式03】（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 【答案】(1)40米 (2)60米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据在中，，得出，即可求出； （2）过点A作于点E，先求出的长度，在中，得到，在中，，得到，再根据即可求出． 【详解】（1）解：依题意， ，， ， ∴B，C两点间的距离为40米． （2）解：作于点，则． 由题意知： ，，． 则． 所以在中，． 即． 所以． 在中，． 即． 所以． 所以． ∴的长为60米． 题型07 解直角三角形应用之坡度坡比 典例引领 【典例01】（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… （1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． （2）根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． （3）假设，，，根据（）中推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【答案】（1），，，； （2），推导见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）根据题意选择需要的数据即可； （）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； 本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：需要的数据为：，，，； 【小问2详解】 解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 即 ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴按键顺序为， 故答案为：． 【典例02】（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 【答案】调整后的滑梯会多占的一段地面 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点E作于H，则四边形是矩形，可得，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：调整后的滑梯会多占的一段地面． 方法透视 考向解读 主要考查方向：①概念理解：坡度就是坡比，也就是竖直高度与水平距离的比值，即坡角的正切值，通常需要在斜坡上构建直角三角形，再解这些直角三角形。 ② 常与勾股定理配合：一些值与勾股数相关联，如1：2,4=5：12，与勾股数5，12，13关联。 方法技能 1. 坡比即正切：坡比i = =tan（为坡角），直接用于列比例式。 2. 构造直角三角形：过坡顶作垂线，将坡比转化为直角三角形的两直角边之比。 3. 设参求解：设垂直高度为h，水平距离为kl，利用勾股定理 (kl)2 + h2 = 斜坡长2列方程。 4. 梯形分割：遇到梯形坡面，分割为矩形和直角三角形，分别计算各部分尺寸再求和。 变式演练 【变式01】（2025·山东聊城·一模）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)求坡高； (2)本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)教学楼的高度为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡比可设设，，在中，根据勾股定理构造方程即可求解； （2）设，则，由得到，证明四边形为矩形，得到，，，进而，，根据，即可求出方程，求解即可． 【详解】（1）解：斜坡的坡比为，，， ， 设，， ∵在中，， ∴，解得， ， （2）解： 设，则， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， 即， 解得：， 经检验，是该分式方程的解． （米）， 故教学楼的高度为米． 【变式02】（2025·山东济南·一模）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可． 【详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E， 根据题意可得：、垂直于水平面，，，， ∴， ∵米， ∴（米）， 设米，则米， ∵，， ∴米， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：该风力发电机塔杆的高度为米． 【变式03】（2025·山东淄博·一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． (1)求C到地面DE距离； (2)该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 【答案】(1)； (2)①，② 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（1）过C作CN⊥DE于G，由坡度坡角的关系求出∠CDN=30°，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）①延长NC交AB于M，则CM⊥AB，求出h=MN=1.44（m），由（1）得CN=0.8m，然后求出CM的长即可； ②由锐角三角函数定义求出∠ACM≈37°，再由（1）得∠DCN=90°-∠CDN=60°，然后求出∠ACD的度数即可． 【详解】（1）解：过点C作CN⊥DE，垂足为N， 在Rt△CND中，， ∴∠CDN＝30°， CN＝0.5×1.6＝0.8， （2）①延长NC，交AB的延长线于点M ∵AB∥DE， ∴CM⊥AB， ∴h＝MN＝1.8×0.8＝1.44， ∴CM＝1.44－0.8＝0.64， ②在Rt△ACM中，， ∵cos37°≈0.8， ∴∠MCA＝37°， ∴， 由（1）得：∠DCG=90°-∠CDG=60°， ∴∠ACD=180°-∠ACF-∠DCG≈180°-37°-60°=83°． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 题型08 解直角三角形应用之抽象几何图形 典例引领 【典例01】（2025·山东菏泽·一模）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） (1)求的长； (2)如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 【答案】(1)4m (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用和旋转的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数的相关知识是解题的关键． （1）过点B作于点E，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在直角三角形中，∵， ∴， 在直角三角形中，∵m，， ∴； （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，m，m， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 【典例02】（2025·山东济南·一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． （2）解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 方法透视 考向解读 主要考查方向将实际情境（如测量旗杆高度、船航行、梯子滑动）抽象为几何图形，特别是直角三角形模型。常常需在复杂情境中多次构造直角三角形，通过三角函数关系逐步求解未知量。 方法技能 1. 画图建模：根据情境描述画出几何图形，标出已知量和所求量，将文字转化为图形语言。 2. 拆分为直角三角形：将复杂图形拆分为多个直角三角形，分别分析每个三角形中的边角关系。 3. 设未知数搭桥：多个三角形时，设公共边或中间量为未知数，利用三角函数列方程求解。 4. 检验合理性：求出结果后结合实际情境检验（如高度应为正数、距离是否合理）。 变式演练 【变式01】（2025·山东中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式02】（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)在规定范围内，理由见解析 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 【变式03】（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 【详解】（1）解：连接，，作，垂足为， 根据题意可知，（米）， 在中，米，， 所以（米）， 因为， 所以， 因为与相切， 所以， 所以， 因为米， 所以， 所以，（米）， 所以， 在中，（米）， 所以，点处的座舱到地面的距离约为米； （2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接，不妨设米， 因为， 所以， 所以（米）， 因为米， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以最佳观赏风景的时间为（分钟）， 所以的长（米）， ∴座舱经过的的长约为米． 题●型●训●练 1．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 延长交于点C，根据题意得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】如图，延长交于点C． 由题意得． 在中，， ， ． 在中，， ， ． 故选B． 2．（2025·山东德州·二模）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工 (2)能，理由见解析 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据坡度的概念，由，即可解答； （2）过点作于点，由，求出，再与货车高度比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ． 在中，， ． 答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工； （2）能，理由如下： 如图，过点作于点， 则， 在中，， ， ， ∴能保证货车顺利进入地下停车场． 3．（2025·山东威海·二模）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距米，在建筑物的顶部观测塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则铁塔的高度为 米（用含、、的式子表示）． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可知，利用锐角三角函数可得：，，从而可求出，即为铁塔的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 则有， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为： ． 4．（2025·山东青岛中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 【答案】①④ 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵正方形， ∴，即， ∴， ∵正方形， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 设正方形的边长为， ∴，， ∴，故③错误； ∵正方形， ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④． 5．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，垂直平分线的作法和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）由角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求解即可； （2）由作图知是线段的垂直平分线，求得，求得，，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：由作图知是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 6．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分． （1）求证：是菱形； （2）若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形． （1）根据平行四边形性质得出，再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出，，根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论； （2）连接，由菱形性质可知，，，在利用余弦求出长即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 连接，交于点O， ∵四边形是菱形．，， ∴，，， ∴， 即菱形的边长为5． 7．（2024·山东济南·中考真题）19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）点到地面的距离为； （2）顶部线段的长为． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，由得，在中解直角三角形即可得解； （2）过点作，垂足为由平行线的性质得，进而得，根据平行线间的距离处处相等得，从而得，最后在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 在中 答：点到地面的距离为 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为 ， ， 平行线间的距离处处相等 ， ∵， 在中 答：顶部线段的长为 8（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：C选项，在中，，， ∴， ∵是由翻折得到， ∴，故C选项错误； A选项，∵是由翻折得到，， ∴， ∴， ∴， ∵是由翻折得到， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，故A选项正确； B选项，∵， 即， ∴与不垂直，故B错误； D选项，过点G作交于点M，如图， 假设， ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 又∵，与已知不符，故D选项错误． 故选：A． 9.（2025·山东临沂·二模）如表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（   ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米， A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先表示出，，再根据即可列等式，问题随之得解． 【详解】解：在中，， 即， 在中，， 即， ∵米，，， ∴， 即：， 则有：， 故选：B． 10.（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当时，点A在线段的垂直平分线上 （2） （3）存在使 【解析】 【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可； （2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可； （3）过点P作于G，解，得到，，则，进而得到；再解得到，由对称性可得，解得到，由平行线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图①所示，∵ ， ∴， 如图②所示，由题意得，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点A在线段的垂直平分线上； 【小问2详解】 解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点P作于G， 由（2）可知， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∵， ∴符合题意； 综上所述，存在使． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 11．（2025·山东德州·二模）项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 【答案】（1）点D到墙的距离约为米；（2）铁树能被太阳光照射到；（3）l的最大值为米，此时的度数． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作于点，证明，利用勾股定理求解即可； （2）作于点，证明四边形为矩形，求得，，再根据正切函数的定义求得，据此求解即可； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，利用四边形内角和定理求得，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即点D到墙的距离约为米； （2）作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， ∴米， ∵， ∴铁树能被太阳光照射到； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， 在四边形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米， ∴l的最大值为米，此时的度数． 12．（2025·山东泰安·二模）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． (1)求立管的长； (2)当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）设，则，根据勾股定理列式求解即可； （2）过点作于，在中，，，可得，，由即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴； （2）解：过点作于， 在中，，， ，， ，， ，， ， ， ∴． 13．（2024·山东青岛·中考真题）14. 如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关键在于证明，根据等边对等角推出，则可证明得到，再由切线的性质得到，则解求出的长即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴， ∴半径的长为6， 故答案为：． 14（2024·山东济南·中考真题）20. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）连接，先计算，再计算，后得到解答即可． 本题考查了切线的证明，圆周角定理，三角形函数的应用，熟练掌握切线的判定定理，三角函数的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：所对的弧是同弧 ， ， ， 即， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切． 【小问2详解】 解： 连接 所对的弧是同弧， ， 为直径， ， 在中，， ， ， ． 15（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由角平分线可得，又由可得，即得，由得，进而可得，即得，即可求证； （）是的直径可得，又由（）知，由，，进而可得，再根据，，，可得，得到，，解得到，再解即可求解； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，三角函数，掌握圆的有关定理是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即的直径为． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 锐角三角函数与解直角三角形 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 网格中求角的三角函数值 题型02 几何图形中求角的三角函数值 题型03 利用三角函数值求线段的长 题型04 特殊角的三角函数值的计算 题型05 解直角三角形应用之仰角俯角 题型06 解直角三角形应用之方位角 题型07 解直角三角形应用之坡度坡比 题型08 解直角三角形应用之抽象几何图形 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 网格中求某角的三角函数值 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格点上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例02】（2025·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 主要考查方向：网格特征应用，利用格点间的水平距离和竖直距离构造直角三角形求三角函数值。 另外常与相似、旋转、勾股定理配合，结合网格边长、坐标系等求三角形边长，再用三角函数定义（正弦、余弦、正切）计算。综合考查学生数形结合与转化能力。 方法技能 1. 构造直角三角形：过角的一边上格点向另一边作垂线，或连接格点构造包含所求角的直角三角形。 2. 网格边长计数：利用小正方形边长为1，数出直角三角形的两条直角边长度（水平或竖直方向）。 3. 勾股求斜边：已知两直角边用勾股定理求斜边，再按定义sin = 、cos = 、tan = 计算。 4. 等角转化：若所求角位置不便，可找与之相等的角（平移或相似）转化到容易构造直角三角形的位置。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）问题提出 已知，都是锐角，，，求的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知，都是锐角，，，则___________； （3）已知，，都是锐角，，，，求的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 【变式02】（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式03】（2025·山东烟台·一模）如图，在边长为的正方形网格中，点，，均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型02 几何图形中求角的三角函数值 典例引领 【典例01】（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【典例02】（2025·山东青岛·二模）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ． 方法透视 考向解读 主要考查方向：在三角形、四边形或圆中，通过作垂线构造直角三角形，将所求角置于其中求值。 或利用平行线、等腰三角形、相似三角形或圆的性质，将所求角转化为已知角或可求角进行等角转化，多与折叠、旋转、动点问题、勾股定理结合，考查转化与化归思想。 方法技能 1. 构造直角三角形：过所求角顶点作对边垂线，或连接直径构造直角，将角置于Rt△中。 2. 等角转化：利用同位角、内错角、圆周角定理等，将所求角转化到已知边长的三角形中。 3. 特殊角优先：观察图形中是否有30°、45°、60°等特殊角，利用其三角函数值简化计算。 4. 设参列方程：未知边长较多时，设参数利用相似或勾股定理列方程求解，再求三角函数值。 变式演练 【变式01】（2025·山东潍坊·二模）如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则 ． 【变式02】（2025·山东东营·二模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究的值为 ． 【变式03】（2025·山东日照·一模）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型03利用三角函数值求线段的长 典例引领 【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在四边形中，，点在边上运动（不含），过点作，垂足为点．设的长度为的面积为，则下列结论正确的是（    ） A．边的长为6 B．在上时， C．在上时， D．随的增大而增大 【典例02】（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求的长及的半径． 方法透视 考向解读 主要考查方向：利用三角函数定义， 构造直角三角形并与相似、勾股定理、圆、实际应用（仰角俯角）结合，考查建模能力。 方法技能 1. 定义式列比例：在直角三角形中，根据sin = 、cos = 、tan = 直接列比例式。 2. 构造直角优先：若无直角三角形，主动作垂线构造，将已知三角函数值转化为边长比。 3. 设参求值：设未知数表示相关边长，利用三角函数值列方程，结合勾股定理求解。 4. 实际情境建模：仰角俯角问题中，画出示意图，标出已知角和边长，用三角函数列式求解。 变式演练 【变式01】（2025·山东聊城·二模）如图，在中，是边中线．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【变式02】（2025·山东威海·二模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 【变式03】（2025·山东烟台·中考真题）【问题呈现】 如图1，已知是正方形外一点，且满足，探究，，三条线段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造与全等，从而得出与的数量关系； 思路二：如图3，构造与全等，从而得出与的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出与的数量关系______________； 【类比探究】 （2）如图4，若是正五边形外一点，且满足，，，求的长度（结果精确到，参考数据：，，，）； 【拓展延伸】 （3）如图5，若是正十边形外一点，且满足，则，，三条线段的数量关系为_________（结果用含有锐角三角函数的式子表示）． 题型04 特殊角的三角函数值的计算 典例引领 【典例01】（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【典例02】（2025·山东淄博·一模）计算： (1) (2) 方法透视 考向解读 主要考查30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值，要求准确记忆并熟练应用。 在混合运算中常考将特殊角三角函数值代入代数式进行计算，与实数运算、二次根式结合考查。 方法技能 1. 口诀巧记值：30°、45°、60角函数值可口诀记忆：“一二三、三二一、三九二十七”对应正弦、余弦、正切。 2. 代入计算准：将特殊角函数值代入算式时，注意二次根式的化简和分母有理化，避免计算失误。 3. 图形结合快：遇到含特殊角的几何题，直接在图中标出边长比例（如1:√3:2或1:1:√2）快速解题。 4. 逆用求角度：已知三角函数值求角度时，直接对应特殊角取值，注意角度范围。 变式演练 【变式01】（2024·山东青岛·中考真题）计算：______． 【变式02】（2024·山东济南·中考真题）计算：． 【变式03】（2025·山东淄博·一模）计算： (1) (2) 题型05解直角三角形应用之仰角俯角 典例引领 【典例01】（2025·山东淄博·中考真题）如图，某学校教学楼和市创业大厦之间矗立着一座小山．为了测得大厦的高度，小伟首先登至小山的最高处，测得，处的俯角分别为，；然后操控无人机铅直起飞至比处高的处．再次测得这两处的俯角分别为，．已知点，，，，，均在同一平面内，为水平地面，．请求出大厦的高度（结果精确到，参考数据见下表）． 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） 0.94 2.87 0.37 2.54 0.66 0.53 【典例02】（2025·山东青岛·中考真题）学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 方法透视 考向解读 主要考查方向：①概念理解：主要考查仰角（视线在水平线上方）和俯角（视线在水平线下方）的定义，正确理解仰角和俯角是在观察点形成的角。 ②通常需要给这些角构造直角三角形，再解这些直角三角形，特别需要关注双直角三角形的运用，将实际问题转化为数学模型的能力。 方法技能 1. 画图定角：根据题意画出示意图，在图中标出水平线、视线，准确标出仰角或俯角的位置。 2. 构造直角三角形：过观测点作垂线，将仰角俯角转化为直角三角形中的内角。 3. 设公共边：若两个直角三角形共用一边（如高），设该公共边为未知数，分别列方程求解。 4. 方程联立：遇到多个三角形时，分别列出三角函数关系式，联立方程解出所求量。 变式演练 【变式01】（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，） 【变式02】（2024·山东泰安·中考真题）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机，如图，无人机在河上方距水面高60米的点处测得瞭望台正对岸A处的俯角为，测得瞭望台顶端处的俯角为，已知瞭望台高12米（图中点，，，在同一平面内），那么大汶河此河段的宽为__________米．（参考数据：，，，） 【变式03】（2025·山东临沂·一模）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 书圣阁 测量目的 学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）： 先将无人机从地面的点C处垂直上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角为； 再将无人机从点处向右沿水平方向飞行m至点，然后沿垂直方向上升m至点，此时测得书圣阁的顶端A的俯角．| 测量示意图 请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据： 题型06解直角三角形应用之方位角 典例引领 【典例01】（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向 14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处 15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）． 【典例02】（2024·山东烟台·中考真题）根据收集的素材，探索完成任务． 探究太阳能热水器的安装 素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，；夏至日时，． ，， ，， ，， ，， 素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼共11层，乙楼共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米，为某时刻的太阳光线． 问题解决 任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择________日（填冬至或夏至）时，α为________（填，，，中的一个）进行计算． 任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器． 方法透视 考向解读 考查方向①概念理解：主要考查方位角（如北偏东30°、南偏西45°）的定义，方向遵循“上北下南，左西右东”的规则，通常需要给方向角构造直角三角形，再解这些直角三角形 ②将实际问题转化为直角三角形模型的能力，常考两个观测点同时观测同一目标，通过两个方位角构造双直角三角形求解。 方法技能 1. 画方位图：以观测点为中心画十字方向标（上北下南左西右东），准确标出方位角。 2. 转化内角：将方位角转化为直角三角形中的内角，常用余角或补角关系简化计算。 3. 双三角形法：两个观测点时，分别构造直角三角形，利用公共边（如距离）列方程联立求解。 4. 勾股配合：求出两条直角边后，用勾股定理求斜边距离，注意单位换算和结果取舍。 变式演练 【变式01】（2025·山东德州·一模）综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸互相平行．求河岸之间的距离（结果取整数）参考数据：，，． 【变式02】（2025·山东烟台·一模）某校数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算校园内人工湖内的雕塑与观景台之间的距离 测量工具 米尺、测角仪、指南针、计算器等 活动过程 模型抽象 学校的人工湖中有一个雕塑，湖边有两条直路，路边有两处观景平台，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①用米尺测得的距离为米； ②用米尺测得的距离为米； ③在点处用指南针和测角仪测得观景台在正西方向，雕塑在北偏西方向，观景台在北偏东方向； ④在点处用指南针和测角仪测得雕塑在北偏东方向； ⑤用计算器计算得：，；． 请根据表格中提供的信息，求每个观景台到雕塑的距离（结果保留整数）． 【变式03】（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 题型07 解直角三角形应用之坡度坡比 典例引领 【典例01】（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… （1）设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． （2）根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． （3）假设，，，根据（）中推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【典例02】（2024·山东青岛·中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题． 方案名称 滑梯安全改造 测量工具 测角仪、皮尺等 方案设计 如图，将滑梯顶端拓宽为，使，并将原来的滑梯改为，（图中所有点均在同一平面内，点在同一直线上，点在同一直线上） 测量数据 【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求的长） （参考数据：） 方法透视 考向解读 主要考查方向：①概念理解：坡度就是坡比，也就是竖直高度与水平距离的比值，即坡角的正切值，通常需要在斜坡上构建直角三角形，再解这些直角三角形。 ② 常与勾股定理配合：一些值与勾股数相关联，如1：2,4=5：12，与勾股数5，12，13关联。 方法技能 1. 坡比即正切：坡比i = =tan（为坡角），直接用于列比例式。 2. 构造直角三角形：过坡顶作垂线，将坡比转化为直角三角形的两直角边之比。 3. 设参求解：设垂直高度为h，水平距离为kl，利用勾股定理 (kl)2 + h2 = 斜坡长2列方程。 4. 梯形分割：遇到梯形坡面，分割为矩形和直角三角形，分别计算各部分尺寸再求和。 变式演练 【变式01】（2025·山东聊城·一模）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，山坡面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为． (1)求坡高； (2)本学期初三学生开展数学学科“综合与实践”活动，主题：测量高度A小组选择测量教学楼高度，他们的做法是：在教学楼F处安置测倾器，测得此时B的仰角和A的俯角，然后借助已知中的数据计算得到教学楼的高度，请借助A小组提供的数据计算教学楼的高度（精确到0.1）（参考数据：，，，，，） 【变式02】（2025·山东济南·一模）国家为了节约碳资源，开发了风电项目．莱芜某电力部门在一处坡角为的坡地安装了几架风力发电机，如图1，在风力发电机组中，“风电塔筒”的高度是一个重要的设计参数．于是某数学兴趣小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动，图2为测量示意图．已知斜坡长20米，在地面点处测得风力发电机塔筒顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方62米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔筒的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【变式03】（2025·山东淄博·一模）为提倡健康生活，某人买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知踏板CD长为1.6m，踏板CD与地面DE的坡比，支架AC长为0.8m，跑步机手柄为AB，且，A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（∠ACD）可以根据用户的舒适度需求在0°~90°调节． (1)求C到地面DE距离； (2)该人身高为1.8米，通过尝试h是身高0.8倍运动起来更加舒服． ①求此时点C到手柄AB的距离； ②求此时支架与踏板之间夹角的度数（参考数据：，，） 题型08 解直角三角形应用之抽象几何图形 典例引领 【典例01】（2025·山东菏泽·一模）图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，．（参考数据：，，，，，） (1)求的长； (2)如图3，消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度到，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯的旋转角的度数． 【典例02】（2025·山东济南·一模）如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． (1)求下折臂的长； (2)求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 方法透视 考向解读 主要考查方向将实际情境（如测量旗杆高度、船航行、梯子滑动）抽象为几何图形，特别是直角三角形模型。常常需在复杂情境中多次构造直角三角形，通过三角函数关系逐步求解未知量。 方法技能 1. 画图建模：根据情境描述画出几何图形，标出已知量和所求量，将文字转化为图形语言。 2. 拆分为直角三角形：将复杂图形拆分为多个直角三角形，分别分析每个三角形中的边角关系。 3. 设未知数搭桥：多个三角形时，设公共边或中间量为未知数，利用三角函数列方程求解。 4. 检验合理性：求出结果后结合实际情境检验（如高度应为正数、距离是否合理）。 变式演练 【变式01】（2025·山东中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【变式02】（2025·山东威海·一模）年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． (1)求的度数； (2)机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内?并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【变式03】（2025·山东潍坊·中考真题）图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为米，地面上的观察点到点的距离为米，平面示意图如图所示． (1)当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离； (2)已知摩天轮匀速转动一周需要分钟，当座舱距离地面不低于米时，在座舱中观赏风景的体验最佳，点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长． （以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，，，，） 题●型●训●练 1．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（ ） （结果精确到．参考数据：） A. B. C. D. 2．（2025·山东德州·二模）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 3．（2025·山东威海·二模）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距米，在建筑物的顶部观测塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则铁塔的高度为 米（用含、、的式子表示）． 4．（2025·山东青岛中考真题）如图，在正方形中，，分别为，的中点．连接并延长交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，，．下列结论：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 5．（2025·山东·中考真题）在中，，，的平分线交于点．如图1． (1)求的度数； (2)已知，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，交的延长线于点F．如图2，求的长． 6．（2024·山东德州·中考真题）如图，中，对角线平分． （1）求证：是菱形； （2）若，，求菱形的边长．（参考数据：，，） 7．（2024·山东济南·中考真题）19. 城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表： 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器，红外测距仪等 过程资料 相关数据及说明：图中点，在同平面内，房顶，吊顶和地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，，． 成果梳理 …… 请根据记录表提供的信息完成下列问题： （1）求点到地面的距离； （2）求顶部线段的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 8（2025·山东青岛·中考真题）如图，在三角形纸片中，，，将纸片沿着过点A的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点；再将纸片沿着过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 9.（2025·山东临沂·二模）如表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（   ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米， A． B． C． D． 10.（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： （1）当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ （2）设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 11．（2025·山东德州·二模）项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 12．（2025·山东泰安·二模）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． (1)求立管的长； (2)当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 13．（2024·山东青岛·中考真题）14. 如图，中，，以为直径的半圆O分别交于点D，E，过点E作半圆O的切线，交于点M，交的延长线于点N．若，，则半径的长为______． 14（2024·山东济南·中考真题）20. 如图，为的直径，点在上，连接，点在的延长线上，． （1）求证：与相切； （2）若，求的长． 15（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的直径． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $