第十一讲 四边形与多边形-【数理报】2026年中考数学高效复习

36 参考答案 数理招 设D(m,m2+2m-3),E(n,n2+2n-3),经过 AC BD. 又因为∠AHC=∠FHG,所以△AHC≌△FHG,所 T(-1,-1)的直线DE的解析式为y=k(x+1)-1,联 在△AEC和△BFD中，AE=BF,所以△AEC≌：以AH=HF. n2鉴现得24-0加2- CE DF 《四边形与多边形》跟踪训练 △BFD(SSS),所以∠A=∠B,所以AE∥BF 0,所以m+n=k-2,mn=-k-2. AE BF, 1.B;2.(1)14 因为V为抛物线的顶点，所以N(-1,-4),易求得 (ⅱ)在△ADE和△BCF中， ∠A=∠B,所以 (2)证明：(i)因为点D,E分别为AB,AC的中点， 直线ND的解析式为y=(m+1)(x+1)-4,因为直线 LAD BC, 所以AE=CE,又因为∠AED=∠CEF,EF=DE,所以 ND交x轴于点P,所以令y=0,得(m+1)(x+1)-4= △ADE≌△BCF(SAS),所以DE=CE △CEF≌△AED. 4 0,解得n=m十-1，所以MP=+11=1 4 又因为EC=DF,所以四边形DECF是平行四边形， (iⅱ)由(1)证得△CEF≌△AED,所以∠A= m+】 因为DF=FC,所以四边形DECF是菱形. ∠FCE,所以BD∥CF,因为DF∥BC,所以四边形DBCE 1+1=m十，同理可得，M0=n十 4 4 是平行四边形 《三角形》抢分演练 3.(1)5. 所以MP·MQ=I 4 (2)四边形ABFC是矩形 n+1 题号12345678 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 16 1(m+1)(n+1 =1 16 答案BCBABBDD 所以AB∥CD,AD=BC,∠D=∠ABC mn m +n +1 所以∠ABE=∠FCE,∠BAE=∠CFE. -2-6-2+1=华故wP,M0的值为9 16 二、9.65：10.12：11.10：12.1+5 13.24:14.5. 因为E为BC的中点，所以BE=CE, 三、15.证明：因为∠ACF+∠AED=180°，∠ACF+ 所以△ABE≌△FCE,所以AB=CF 备考风向标（二） 因为AB∥CF,所以四边形ABFC是平行四边形 ∠ACB=180°，所以∠ACB=∠AED. 1.()反比例函数的表达式为y=是 因为BC=DE,∠ACB=∠AED,AC=AE,所以 因为AD=AF,AD=BC,所以AF=BC △ABC兰△ADE(SAS),所以AB=AD. 所以四边形ABFC是矩形. (2)过点A作AE⊥x轴于点E,因为∠AB0= 16.(1)证明：因为D为AC的中点，F为CE的中点， 4.(1)D, ∠BOE=∠AE0=90°，所以四边形ABOE是矩形，所以所以DF∥AE,所以∠AED=∠FDE, (2)(1)正明：因为点O为对角线BD的中点，所以 OE AB 2.0B AE =4. B0=D0, 因为AE=AD,所以∠AED=∠ADE,所以∠ADE= 因为∠AD0=45°，所以△AED是等腰直角三角形， 因为AD∥BC,所以∠ODE=∠OBF,∠OED= ∠EDF 所以DE=AE=4,所以OD=OE+DE=6,所以D(6 ∠OFB, (2)BD的长为4. 所以△DOE≌△BOF. 0), 17.(1)证明：因为∠C4B=75°，∠B=60°，所以 设直线AD的表达式为y=x+b,所以 ∠ACB=180°-∠CAB-∠B=45°，因为AE⊥BC,所 (ⅱ)四边形EBFD为菱形，理由如下： 连接EB,FD, 2k+b=4,解得。所以直线AD的表达式为y :以∠CEF=∠AEB=90°，△ACE为等腰三角形，所以AE L6k+b=0. =CE. 由(i)可知△DOE≌△BOF,所以ED=BF 因为ED∥BF,所以四边形EBFD为平行四边形. =-x+6, 因为CD⊥AB,所以∠FCE+∠B=90°，又因为∠B +∠BAE=90°，所以∠BAE=∠FCE,所以△CEF≌ 因为I⊥BD,即EF⊥BD,所以四边形EBFD为菱 因为点A,C是反比例函数y= 8和一次函数y= 形 △AEB(ASA),所以EF=EB. 5.(1)C, +6的交点，联立=8 解得=2或 (2)S△cr=18-65. (2)(i)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所 ly=4 18.(1)正明：由旋转的性质得DM=DE,∠MDE= y=-龙+6， 以AD=BC,AD∥BC 2a,因为∠C=a,所以∠DEC=∠MDE-∠C=a,所 [x=4因为4(2,4)，所以C(4,2) 以∠C=∠DEC,所以DE=DC,所以DM=DC,即D是 因为点E,F是BC,AD的中点，所以AF=AD,EC ly 2. MC的中点. 2.（1)a的值为号，直线4B的表达式为y (2)∠AEF=90. 2BC,所以AF=EC,又因为AF∥EC,所以四边形 41 正明：延长FE到点H,使FE=EH,连接CH,AH, AECF是平行四边形，所以AE=CF 6 因为DF=DC,所以DE是△FCH的中位线，所以 (iⅱ)四边形AECF是正方形.理由如下： (2)①由题意得点M的坐标为(m,- m+6),点NDE∥CH,CH=2DE,由旋转的性质得DM=DE,∠MDE 因为AC=CD,F是AD的中点，所以CF⊥AD,CF平 3 =2a,所以∠FCH=2am. 的坐标为(m,2m-2),所以MN=-子m+6-2m 3 因为∠B=∠C=a,所以∠ACH=a,△ABC是等 分∠ACD,所以∠AFC=90°，∠ACF=2∠ACD=45, 155 腰三角形，所以∠B=∠ACH,AB=AC, 所以AF=CF,所以口AECF是正方形 设DM=DE=m,CD=n,则CH=2m,CM=m+ 《四边形与多边形》抢分演练 因为点C(6,2),线段E0的长度为1，所以c0=1+ n,所以DF=CD=n,所以FM=DF-DM=n-m, 因为AM⊥BC,所以BM=CM=m+n, 所以BF=BM-FM=m+n-(n-m)=2m,所 题号12345678 以CH=BF 答案CBCAABBD 因为MN=c0,所以9-子m=1+号即1=6 .155 rAB AC, 二、9.6：10.AD∥BC(答案不惟一)： 在△ABF和△ACH中， ∠B=∠ACH,所以△ABH 11.25:12.正方形：13.2；14.3 BF CH, 三、15.证明：因为EF∥AC, 兰△ACH(SAS),所以AF=AH,因为FE=EH,所以AE 所以∠EDC+∠BCD=180° ②因为S。00= 010=3.即×8×B0 ⊥FH,即∠AEF=90 又因为∠EDC=∠CBE, 3,解得EQ=4 3 19.(1)(2-1)AB=BD. 所以∠CBE+∠BCD=18O°，所以BE∥CD, (2)证明：因为CE=BC,∠BCD=∠ECF,CF= 因为ED∥BC, 由①知，EQ=6- 子，所以16-子m1= 3 4,解 DC,所以△CBD≌△CEF,所以∠E=∠DBC,所以EH 所以四边形BCDE是平行四边形. ∥BD,因为BD⊥AB,所以AB⊥EF 16.(1)证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC, 得m或m=号，即m的值为号或号 (3)证明：如图5所 因为AC⊥BC,所以∠ACE=∠ACB=90°， 5 示，延长BA,EF交于点M 所以∠DAC=∠ACE=90°， 《三角形》跟踪训练 延长CH交ME于点G,因为 因为DE∥AC,所以∠ACE=∠E=90°， EF⊥AB,AC⊥AB,所以 所以∠DAC=∠ACE=∠E=90°， 1.C:2.(1)D,(2)25°或115°；3.8：4.D: ME∥AC,所以∠CGE= 所以四边形ADEC是矩形. 5.(1)8,(2)120;6.(1)3或6，(2)25；7.C. ∠ACG. (2)四边形ADEB的面积为90. 5 8.()(i)证明：在△ACE和△BDF中， 因为CH是∠ACE的 17.(1)证明：因为CD平分∠ACB ∠ACE=∠BDF, 角平分线，所以∠ACG=∠ECG,所以∠CGE=∠ECG 所以∠ACD=∠DCG, ∠A=∠B, 所以△ACE≌△BDF(AAS). 所以EG=EC,因为△CBD≌△CEF,所以EF=BD,CE 因为EG垂直平分CD,所以DG=CG,DE=EC AE BF, =CB,所以EG=CB. 所以∠DCG=∠GDC,∠ACD=∠EDC. (iⅱ)CD的长为4. 又因为BC=AB+BD,所以EG=AB+BD=AC+ 所以∠EDC=∠DCG=∠ACD=∠GDC, (2)证明：(i)因为AD=BC,所以AD+DC=BC:EF,即FG+EF=AC+EF,所以AC=FG, 所以CE∥DG,DE∥GC, +DC,即AC=BD. 又因为AC∥FG,则∠HAC=∠HFG. 所以四边形DECG是平行四边形， 数理极 参考答案 37 因为DE=EC,所以四边形DGCE是菱形 四、19.(1)如图6，点E 即为所作 因为点E是BC的中点，所以BE=CE=)BC, (2)BG的长为3+35. 18.证明：(1)过点E分别作EM⊥BC于点M,EN⊥ (2)如图6，连接DE 设EC=a,CG=b,则BE=a,BC=2a,DG=CD CD于点N, 因为△BCD为等边三角形 CG 2a-b, 因为四边形ABCD是正方形 AB=4,AD=2,所以 所以EG=BE+DG=a+2a-b=3a-b, 所以∠BCD=90°，∠ECN=45 ∠BCD=60°，BC=DC,又 由勾股定理可得EC2+CG=EcG,即a2+b2=(3a 所以∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，所以NE=因为∠DCE=∠BCA,CE b)2 VC,所以四边形EMCN为正方形， =CA,所以△DCE兰△BCA. 整理，得。2+6=92-60b+6,所以名=子，所 所以EM=EN,∠MEN=90°， 所以DE=AB=4,∠CDE=∠CBA. 因为四边形DEFG是矩形，所以∠DEF=90°， 因为∠ABC+LBCD+∠CDA+LBAD=(LABC以tanLCGE= 所以∠DEN+∠NEF=∠FEM+∠NEF=90°，所+∠BCA+LCAB)+(LACD+LDAC+∠CDA)= (3)由(2)可知BE+DG=FE+FG=EG 以∠DEN=∠FEM. 360°，∠BAD=120°， 因为∠DNE=∠FME=90°，所以△DEN≌ 所以∠ABC+∠CDA=180°，所以∠CDE+∠CDA 因为能=子 △FEM,所以ED=EF, =180°，所以点A,D,E三点在同一条直线上. iBE EF 2x,DG GF =3x,BC CD y, 所以矩形DEFG为正方形 所以AE=AD+DE=2+4=6,所以AE的长为6， 所以EG=5x,EC=y-2x,CG=y-3x, (2)因为矩形DEFG为正方形，所以DE=DG, 20.(1)CF=BD,且CF⊥BD. 由勾股定理可得EC2+CG=ECG, ∠EDC+∠CDG=∠EDG=90°， 证明：因为∠FAD=∠CAB=90°， 即(y-2x)2+(y-3x)2=(5x)2,解得y=6x或y 因为四边形ABCD是正方形，所以AD=CD,∠ADE 所以∠FAC=∠DAB -x(舍去)，所以BC=CD=6x,EC=4x, +∠EDC=∠ADC=90°，∠DAE=45°，所以∠ADE= 又因为AC=AB,AF=AD, 过点F作FM⊥BC,则FM∥AB∥CD, 所以△ACF≌△ABD, ∠CDG, 所以△EFM∽△EGC,△CFM∽△CHB 所以CF=BD,∠FCA=∠B. 所以△ADE≌△CDG,所以∠DCG=∠DAE=45° 因为∠DCF=90°，所以CG平分∠DCF 因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90 -兴-器即哈兴 所以∠FCB=∠FCA+∠ACD=∠B+∠ACB= 19.(1)正明：因为AE⊥BC,所以∠AEB=90 90°，所以FC⊥CB. 则EW=号，CM=EC-BW=号， 由旋转的性质得∠FED=90°，所以∠AEB 故CF=BD,且CF⊥BD. ∠FED, (2)作图如图7，(1)中的结论仍然成立.理由如下： 所以∠AEB=∠AEF+∠BEF,∠FED=∠AEF+ 因为∠CAB=∠DAF=90° ∠AED,所以∠BEF=∠AED. 所以∠CAB+∠CAD 23.(1)DM=EM. 因为∠ABC=45°，所以∠BAE=45°，所以AE= ∠DAF+∠CAD,即∠BAD (2)DM=EM仍然成立，理由如下： BE. 连接BD,DF, ∠CAF. 因为EF=ED,所以△BEF≌△AED,所以BF= 在△ACF和△ABD中， 因为△ABC和△ADE是等边三角形， AD. rAC AB. 所以∠ABC=∠BAC=∠DAE=∠ACB=60°，AB 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC= ∠CAF=LBAD,所以 AC,AD AE BF,所以AE+CE=BE+CE=BC=BF AF AD. 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, (2)如题图15-②，当点E在线段BC延长线上， △ACF≌△ABD. 所以∠BAD=∠CAE, ∠ABC=45°时，同(1)可得AD=BF,AE=BE, 所以CF=BD,∠ACF=∠B. 所以△BAD≌△CAE(SAS), 因为四边形ABCD是平行四边形， 由(1)得∠B+∠ACB=90, 所以∠ABD=∠ACE=18O°-∠ACB=120°，BD=CE 所以AD=BC=BF. 所以∠BCF=∠ACF+∠ACB=∠B+∠ACB= 所以∠DBE=∠ABD-∠ABC=6O°， 所以AE-EC=BE-EC=BC=BF, 90°.所以CF⊥BD. 所以∠DBE+∠BEF=60°+120°=180°， 即AE-EC=BF: 故CF=BD,且CF⊥BD 所以BD∥EF,因为CE=EF,所以BD=EF, 如题图15-③，当点E在线段CB延长线上，∠ABC 所以四边形BDFE是平行四边形，所以DM=EM. 21.(1)AC=43. =135°时，∠ABE=180°-∠ABC=45° (3)如图8，当点E在BC的延长 (2)作CH⊥AF于点H,CG⊥AB交AB的延长线于 因为AE⊥BC,所以∠AEB=90 线上时，作AG⊥BC于点G, 点G,所以∠CHF=∠CGB=90°， 所以∠BAE=180°-∠AEB-∠ABE=45°， 因为∠ACB=60°，所以CG=3 由题意，得△ADC≌△ABC, 所以∠BAE=∠ABE,所以AE=BE, 所以AB=BC=4,∠BAC=30° AG=35, 同(1)可得BF=AD, 因为∠DAC=∠BAC=30°， 所以EG=CG+CE=5, 因为四边形ABCD是平行四边形 所以CH=CG,∠DAB=60°， 所以AE=ACG+EG 所以AD=BC=BF 所以∠AEC+∠AFC=360°-∠DAB-∠ECF=2I3. 所以EC-AE=EC-EB=BC=BF 180°，∠AEC+∠CEG=180°，所以∠CFH=∠CEG,所 连接AM,由(2)知DM=EM,所以AM⊥DE, 即EC-AE=BF 以△CFH≌△CEG,所以CF=CE. 所以∠AME=90°， (3)1或7. 在Rt△CBG中，∠CBG=2∠CAB=60°，CB=4, 因为∠AED=60°，所以AM=39 重点模块测评（三） 所以BG=2,CG=25. 当点E在BC上时，作AG⊥BC于点G,同上可得AM 在R△CEG中，EG=EB+BG=2AB+BG=4, =√21 题号12345678910 所以CE=√EG+CG=2万， 综上所述，AM=39或2I. 答業BBDCADCDAC 所以CF的长为2万. 备考风向标（三） 二、11.40：12.3：13.310：14.(5,35)； (3)AE+AF=√3AC.证明如下： 15.6. 1.(1)证明：由折叠的性质可得AF⊥BD,所以 由(2)得△CFH≌△CEG, 三、16.证明略. ∠AGB=90°， 所以FH=EG,CH=CG, 17.(1)证正明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以Rt△ACH兰≌Rt△ACG,所以AH=AG, 因为AD=EAB, 所以DF∥EB,AB=CD, 在Rt△ACG中，∠CAG=30°， 所以设AB=a,则AD=2a,BD=5a 又因为CF=AE,所以DF=BE 因为四边形ABCD是矩形， 所以四边形BFDE是平行四边形 所以AG=5AC, 2 所以∠BAD=∠ABC=90°， 因为DE⊥AB,所以四边形BFDE是矩形 所以AE+AF=AG-EG+AH+FH=2AG=3AC 所以∠BAG=∠ADB=∠GBF (2)矩形BFDE的面积为20. 五、22.(1)证明：因为四边形ABCD是正方形， 所以sin∠BAG=sin∠ADB, 18.证明：(1)因为四边形ABCD是平行四边形. 所以∠B=∠D=90°，AB=AD, 所以AB∥CD,AB=CD,所以∠ABE=∠CDF, 由折叠的性质可知，AB=AF,∠B=∠AFE=90 即胎-品所以g层解得G， a 3a 又因为BE=DF,所以△ABE兰△CDF BE=FE,所以AF=AD,∠AFG=∠D=90°， (2)因为△ABE≌△CDF, 又因为AG=AG,所以Rt△ADG≌Rt△AFG,所以 根据约段定理得4G=系。 所以AE=CF,∠AEB=∠CFD, DG FG. 所以∠AEF=∠CFE, (2)由(1)可知，DG=FG,BE=FE, 所以AE∥CF,所以四边形AECF是平行四边形 所以BE+DG=FE+FG=EG, 肉为2P2G脚0-华防230 专项提分。 第十一讲 四边形与多边形 ⊙重庆田方源 第一部分 抢分前言 一般凸四边形 有4条边，4个角，其内角和为 性质：(1)对边 ;(2)对角 ,邻角 ;(3)对 角线 ;(4)平行四边形是 图形 判定：(1)两组对边 的四边形是平行四边形； 平行四边形 (2)两组对边 的四边形是平行四边形； (3)一组对边 的四边形是平行四边形； (4)两组对角 的四边形是平形四边形； (5)对角线 的四边形是平行四边形. 十四边形 矩形：①性质：具有平行四边形的所有性质；四个角是；两条对 四边形与多边形 角线 ②判定：有一个角是的平行四边形；三个角是的四边形；对 角线的平行四边形 菱形：①性质：具有平行四边形的所有性质；四条边都一；对角线 矩形、菱形 互相 ,并且每一条对角线一组对角 正方形 ②判定：有一组邻边的平行四边形；对角线的平行四边形： 四条边都的四边形 正方形：①性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 ②判定：有一组邻边且有一个角是的平行四边形；有一组 邻边相等的；有一个角是直角的一：对角线的四边形. 正多边形的概念：各边」 ,各角也 的多边形叫做正多边形. 多边形的性质：(1)多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段，边形 多边形 的对角线的条数为」 (2)n边形的内角和为 ,n边形的外角和为 第二部分 >> 抢分培训 考点1：多边形的内角和 ∠BAE=∠DAE=∠BCF=∠DCF, 例1 若七边形的内角中有一个角为100° r∠B=∠D, 在△BAE和△DCF中， 则其余六个内角之和为 AB CD, 所 解：因为七边形的内角中有一个角为100°， I∠BAE=∠DCF 所以其余六个内角之和为180°×(7-2)-100° 以△BAE≌△DCF(ASA),所以AE=CF. =800°.故填800° 例4如图3，在四 例2十二边形的外角和为 边形ABCD中，AB∥ A.30° B.150°C.360 D.1800% CD,若添加一个条件，使 四边形ABCD为平行四 图3 解：因为任意一个多边形的外角和均为 360°，所以十二边形的外角和是360°.故选C, 边形，则下列正确的是 跟踪训练1：如图1， A.AD BC B.∠ABD=∠BDC C.AB AD 束太阳光线平行照射在 D.∠A=∠C 解：A.根据AB∥CD,AD=BC,不能判断四 放置于地面的正六边形 边形ABCD为平行四边形，故该选项不符合题 上，若∠1=44°，则∠2的 ( 图1 意； 度数为 A.140 B.因为AB∥CD,所以∠ABD=∠BDC,不 B.16 能判断四边形ABCD为平行四边形，故该选项不 C.249 D.269 符合题意； 考点2：平行四边形的性质与判定 C.根据AB∥CD,AB=AD,不能判断四边 例3 如图2，在 形ABCD为平行四边形，故该选项不符合题意； 口ABCD中，AE平分 D.因为AB∥CD,所以∠ABC+∠C= ∠BAD,交BC于点E,CF 180°，因为∠A=∠C,所以∠ABC+∠A= 平分∠BCD,交AD于点F. 图2 180°，所以AD∥BC, 求证：AE=CF 所以四边形ABCD为平行四边形，故该选项 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所符合题意.故选D. 以∠B=∠D,AB=CD,∠BAD=∠DCB,AD∥ 跟踪训练2：(1)如图4，三角形纸片ABC BC. 中，AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方 因为AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,所以：向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得 数理极 到的平行四边形纸片的周长是 s E B C B 图4 图5 (2)如图5，△ABC中，点D,E分别为AB,AC 的中点，延长DE到点F,使得EF=DE,连接 CF.求证： (i)△CEF≌△AED; (ⅱ)四边形DBCF是平行四边形. 考点3：矩形的性质与判定 例5 如图6，矩形 A ABCD中，AB=3,BC=4, 连接AC,按下列方法作图： 以点C为圆心，适当长为半 E B 径画弧，分别交CA,CD于点 图6 E,F:分别以点E,F为圆心，大于？EF的长为半 径画弧，两弧交于点G:作射线CG交AD于点H, 则DH的长度为 解：因为矩形ABCD中，AB=3,BC=4,所 以AB=CD=3,AD=BC=4,∠D=90° 过点H作HM⊥AC于点M,由作图得CH平 分∠ACD,因为HM⊥AC,HD⊥CD,所以HM= 2CD x DH 1 D,所以 ZACXMH 一，所 AH× DH AH' 因为AB=3,BC=4,所以由勾股定理，得 AC=VAB+BC=5,所以册-子因为DH +H=4,所以D明=是故填子 例6 如图7，线段 DE与AF分别为△ABC的 中位线与中线.在下列条 件中，能够判定四边形 B F C ADFE为矩形的是() 图7 A.AB AC B.AF⊥BC C.∠BAF=∠CAF D.BC =2AF 解：因为线段DE与AF分别为△ABC的中 位线与中线，所以点D,E,F分别是线段AB,AC, BC的中点， 所以AD=2AB,DF=AC,AE=24C. (下转第43版) 数理极 专项提分。 （(上接第30版) 所以BD⊥AC,AB∥CD 所以DF∥AC,即DF∥AE,DF=2AC 所以∠1=∠ACD,∠ACD+∠2=90°， 因为∠1=20°，所以∠ACD=20°，所以 AE, ∠2=90°-∠ACD=70°.故选C. 所以四边形ADFE为平行四边形. 例8如图11， A因为B=AC,所以AD=方B=方AC口ABCD的对角线4C,D =AE,所以四边形ADFE为菱形，但不能判定四 相交于点0，请添加一个条 件： 使口ABCD 图11 边形ADFE为矩形，故此选项不符合题意； B.因为点D,E分别是线段AB,AC的中点， 是菱形 解：因为有一组邻边相等的平行四边形是菱 所以DE∥BC,因为AF⊥BC,所以DE⊥AF,所 形， 以四边形ADFE为菱形，但不能判定四边形 所以当AD=DC时，口ABCD为菱形 ADFE为矩形，故此选项不符合题意； 故填AD=DC(答案不惟一). C.因为点F是线段BC的中点，所以SA4BF= 跟踪训练4：(1)如图12，在菱形ABCD中， SAAG,因为∠BAF=∠CAF,所以点F到边AB AB=1,∠DAB=60°，则AC的长为() 与点F到边AC的距离相等，所以AB=AC,由选 项A可知四边形ADFE为菱形，但不能判定四边 A. 2 B.1 形ADFE为矩形，故此选项不符合题意； D.因为点D,E分别是线段AB,AC的中点， c D.√3 所以BC=2DE,因为BC=2AF,所以DE=AF, 根据对角线相等的平行四边形是矩形可知四边 形ADFE为矩形，故此选项符合题意.故选D. 跟踪训练3：(1)如图8，点E在矩形ABCD 的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在 图12 图13 边BC上的点F处，若BC=10,sin∠AFB=4, (2)如图13，四边形ABCD中，AD∥BC,点 5 :0为对角线BD的中点，过点O的直线1分别与 则DE= AD,BC所在的直线相交于点E,F(点E不与，点D 重合). (i)求证：△DOE≌△BOF; (ⅱ)当直线l⊥BD时，连接BE,DF,试判 断四边形EBFD的形状，并说明理由. 图8 (2)如图9，在平行四边形ABCD中，E为BC 的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F, 连接BF,AC,且AD=AF,判断四边形ABFC的 形状并证明。 考点4：菱形的性质与判定 例7 如图10，菱形 ABCD中，连接AC,BD,若 考点5：正方形的性质与判定 ∠1=20°，则∠2的度数 例9如图14，点E是正方形 为 () ABCD内的一点，将△ABE绕点B A A.20°B.60° 图10 按顺时针方向旋转90°得到 C.70°D.80° △CBF.若∠ABE=55°，则LEGC 解：因为四边形ABCD是菱形， 图14 43 解：因为四边形ABCD是正方形，所以 ∠ABC=90°，因为∠ABE=55°，所以∠CBE= 35°， 由旋转性质得∠EBF=90°，BE=BF, 所以∠BEF=45°，所以∠EGC=∠CBE+ ∠BEF=80°.故填80°. 例10 如图15，在矩 A 形ABCD中对角线AC,BD 交于点0，请添加一个条件 ,使矩形ABCD是 B 图15 正方形（填一个即可） 解：因为邻边相等的矩形是正方形，所以可 添加条件AB=BC; 或者因为对角线互相垂直的矩形是正方形， 所以还可以添加条件AC⊥BD.故填AB=BC或 AC⊥BD(填其中一个即可) 跟踪训练5：(1)如图16，在正方形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,E,F分别为AO, DO上的一点，且EF∥AD,连接AF,DE.若 ∠FAC=15°，则∠AED的度数为 A.80° B.90° C.105° D.115o D B E B 图16 图17 (2)如图17，四边形ABCD是平行四边形， 点E,F分别是BC,AD的中点 (i）求证：AE=CF; (iⅱ)连接AC,若AC=CD且∠ACD=90°， 判断四边形AECF的形状并说明理由. 44 专项提分。 第三部分 《四边形与多边形》 抢分演练 ◎数理报社试题研究中心 8.如图6，在菱形ABCD中，BC=4,∠ABC (满分：120分 时间：90分钟） =60°，在BC边上有一线段EF由B向C运动，点 一、精心选一选（每小题5分，共40分） F到达点C后停止运动，点E在点F的左侧，E 题号1 2 3 4 5 6 7 8 =1,连接AE,AF,则△AEF周长的最小值为 答案 ( 1.正五边形的内角和为 A.45+1B.43+2C.7 D.8 A.180°B.360°C.540° D.720° 二、细心填一填（每小题5分，共30分） 2.如图1，在平行四边形ABCD中，AB=4, 9.如果一个正多边形的一个外角是60°，那 BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度么这个正多边形的边数是 得到线段EF,当四边形ECDF为菱形时，则a的 10.如图7，在四边形ABCD中，AD=BC,AC 值为 )⊥BD于点O.请添加一个条件：」 ,使四 A.1 B.2 0.3 D.4 边形ABCD成为菱形 11.如图8，矩形ABCD中，AB=4,AD=6. 3.如图2，在矩形ABCD中，点E为BA延长在边AD上取一点E,使BE=BC,过点C作CF 线上一点，F为CE的中点，以点B为圆心，BF长 ⊥BE,垂足为点F,则BF的长为 为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连接BG.若 12.一个四边形的对角线相等且互相垂直， 4B=4,CE=10,则AG= ( ）则它的中点四边形是 A.2 B.2.5C.3 D.3.5 13.如图9，在边长为2的正方形ABCD中 4.下列命题正确的是 ( ）E,F分别是BC,CD上的动点，M,N分别是EF A.正方形的对角线相等且互相平分 :AF的中点，则MN的最大值为 B.对角互补的四边形是平行四边形 C.矩形的对角线互相垂直 D.一组邻边相等的四边形是菱形 5.如图4，四边形 ABCD是平行四边形，下 列结论中错误的是 10 ( 14.如图10，在矩形ABCD中，点E,F分别是 A.当AB=BC时， 较长边AD,BC上的点，且EF∥AB,ED=AB,连 它是正方形 接OB交EF于点M,连接AM,若CF=2BF,AD B.当AC⊥BD时，它是菱形 =6,则AM= C.当AC=BD时，它是矩形 三、耐心解一解（共50分） D.当∠ABC=90°时，它是矩形 15.(8分)如图11，已知EF∥AC,B,D分别 6.如图4，点E在正 是AC和EF上的点，∠EDC=∠CBE.求证：四边 方形ABCD的对角线AC 形BCDE是平行四边形， 上，EF⊥AB于点F,连 接DE并延长，交边BC 于点M,交边AB的延长 图4 线于点G.若AF=2,FB=1,则MG=( A.25 B.3⑤ 2 C.5+1D.√o 7.如图5，矩形ABCD中，AB=6,AD=3,点 E在AB上，点H在CD上，将矩形ABCD沿EH折 叠，使得点A的对应点F落在DC的延长线上，EF 交BC于点P,若BP:PC=1:3,则折痕EH的 长为 A.2√2 B.10 C.3 D.3√2 16.(10分)如图12，平行四边形ABCD中， AC⊥BC,过点D作DE∥AC交BC的延长线于 点E,点M为AB的中点，连接CM. 图6 (1)求证：四边形ADEC是矩形； 数理极 (2)若CM=6.5,且AC=12,求四边形 ADEB的面积 E M B 图12 17.(10分)如图13，在△ABC中，CD平分 ∠ACB,CD的垂直平分线分别交AC,DC,BC于 点E,F,G,连接DE,DG (1)求证：四边形DGCE是菱形； (2)若∠ACB=30°，∠B=45°，ED=6,求 BG的长 D E B G 图13 18.（10分)如图14，已知四边形ABCD为正 方形，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作 EF⊥DE,交BC延长线于点F,以DE,EF为邻边 作矩形DEFG,连接CG.求证： (1)矩形DEFG是正方形； (2)CG平分∠DCF. D E C 图14 19.(12分)在□ABCD中，AE⊥BC,垂足为 E,连接DE,将ED绕点E逆时针旋转90°，得到 EF,连接BF. (1)当点E在线段BC上，∠ABC=45°时， 如图15-①，求证：AE+EC=BF; (2)当点E在线段BC延长线上，∠ABC= 45°时，如图15-②，当点E在线段CB延长线 上，∠ABC=135°时，如图15-③，请猜想并直 接写出线段AE,EC,BF的数量关系； (3)在(1)，(2)的条件下，若BE=3,DE= 5,则CE= B B ① ② ③ 图15