《数理报》高考数学信息优化卷(三)平面向量-【数理报】2026年高考数学专项提分

《数理报》高考数学 信息优化卷（三） 考试范围·平面向量 ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则1a-b1= (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB= 报 ( 高 ()子店-44C (B)-子C 数学 (c)子正+4C (D)4+子记 高考 3.已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+入b)⊥(a+b), 则 全 (A)入+4=1 (B)入+4=-1 (C)4=1 (D)w=-1 各省 4.已知向量a,b,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a= -b”的 信 (A)充分不必要条件 息 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 5.正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则E元.ED= (A)V5 (B)3 (C)25 (D)5 6.函数f(x）=sin(wx+p)(w> 0,0<”<π)的部分图象如图1所示， 其中A,B两点为图象与x轴的交点，C 为图象的最高点，且△ABC是等腰直角 三角形，若0正=-30，则向量A0在向 图1 量AC上的投影向量的坐标为 (A)(-子，-4) (B)(任，4) (c(--) D)() 7.已知向量a,b,c满足1a1=lb1=1,c1=2,且a+b+ c=0,则cos〈a-c,b-c〉)= ( (a)- (®)-号 (c)号 8.在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平 面内的动点，且PC=1,则P·PB的取值范围是 (A)[-5,3] (B)[-3,5] (C)[-6,4] (D)[-4,6] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.已知a,b是单位向量，且a+b=(1,-1),则 ( (A)1a+b1=2 (B)a与b垂直 (C)a与a-b的夹角为买 (D)1a-b1=1 10.已知点0是平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(1,2)，点 B的坐标为(4,5)，作AD⊥OB,垂足为D,则下列结论正确的是 ( (A)1AB1=3 (B)设OP=mOA+AB,四边形OABP有可能是平行四边形 (C)将OB绕0逆时针旋转90°得到向量0B,则B,的坐标为 (-5,4) (D)1AD1=34④ 41 11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的 个重要定理，它包含三个结论，其中一个是 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成 0. 的两条线段长的积相等.如图2，已知圆0的 半径为2，P是圆0内的定点，且0P=√2，弦 AC,BD均过点P,则下列说法正确的是 图2 (A)PA.PC为定值 (B)0M.0C的取值范围是[-2,0] (C)当AC1BD时，AB.CD为定值 (D)1AC1BD1的最大值为12 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,A).若c∥(2a +b),则入= 13.已知两个单位向量a,b的夹角为120°，c=ta+(t-1)b.若 a·c=1,则实数t的值为 14.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种 特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图3 所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以 边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边 三角形即为莱洛三角形，已知A,B两点间的距 离为2，点P为AB上的一点，则P·(PB+PC 图3 的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)已知e,e2是平面内两个不共线的向量，若4B= e,-e2,Bp=2e,+e2,P元=e,+e2,且A,P,C三点共线， (1)求实数入的值； (2)若e1=(1,0),e2=(0,1). (i)求BC: (ⅱ)若D(-2,4),A,B,C,D恰好构成平行四边形ABCD,求点 A的坐标， 数理报·高中数学新高考》全国各省市信息优化卷（一二） 16.（15分)在等腰梯形ABCD中，CD的中点为0，以0为坐标原 点，DC所在直线为x轴，建立如图4所示的平面直角坐标系，已知 A(-2,4),D(-3,0),BC=4BE (1)求C尼.DE; (2)若点F在线段CD上，FE.C正=6，求cos(F元，cE》, D F O 图4 《数理报·高中数学新高考》全国 17.(15分)在直角梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，AB= 2AD=2DC=4,点F是BC的中点. 各省 (1)若点E满足DE=2E元，且EF=入AB+uAD,求入+u的值； (2)若点P是线段AF上的动点（含端，点），求AP·DP的取值范 信息优化卷 围 11) 18.(17分)如图5，在平面四边形ABCD中，已知CD=2BA, 1BC1=ICD1=2,B·BC=1,0是线段BC上一点. (1)求∠ABC的值； (2)若0为线段BC的中点，求OA·0D的值； (3)试确定点0的位置，使得0A·0D最小 0 图5 19.(17分)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，对任意两个向 量m=(x1,y1),n=(x2,2),作0=m,0N=n.当m,n不共线 时，记以OM,ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=1x1y2- x2y1I;当m,n共线时，规定S(m,n)=0. (1)分别根据下列已知条件求S(m,n): ①m=(2,1),n=（-1,2);②m=(1,2),n=(2,4); (2)若向量p=入m+un(入，h∈R,A2+u2≠0)， 证明：S(p,m)+S(p,n)=(1入1+I)S(m,n); (3)若A,B,C是以0为圆心的单位圆上不同的点，记04=a, 0B=b,0C=c. (i)当a⊥b时，求S(c,a)+S(c,b)的最大值； (iⅱ)写出S(a,b)+S(b,c)+S(c,a)的最大值.（只需写出结 果) 数理报·高中数学新高考》全国各省市信息优化卷() (参考答案与解题提示见30版)】30 所以2sinA(2cosC-1)=sinC(1-2cosA), 即2 sin Acos C-√2sinA=sinC-2 sin Ccos A, 所以2(sin Acos C+sin Ccos A)=sinC+√2sinA 即2sin(A+C)=simC+√2simA. 因为sin(A+C)=sin(T-B)=sinB, 所以2sinB=sinC+W2sinA, 根据正弦定理可得2b=c+√2a, 即2a,b,c成等差数列. (2)解：由(1)可知，6=2a+c 在△ABC中，由余弦定理得 cos B=a+e2 2ac 2ac 2a2+3c2-22ac Sac ≥26ac-22ac Sac =6-2 4 当且仅当2a2=3c2时，等号成立， 所以sinB=√1-cos2B ≤-(；2) -6+2, 则BC边上的高h=c·sinB s4x6+2 4 =6+2, 所以BC边上的高的取值范围是(0,6+√2]. 高考数学信息优化卷（三） 平面向量参考答案 一、单项选择题 1~4 DADB 5~8 BBDD 提示： 1.因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3), 所以1a-b1=√42+(-3)2=5. 2.如图1所示， E D 图1 E成=ED+DB =子而+成 =子×宁（丽+d+之（破-花 =子丽-4配 参考答案 3.根据题意，a+Ab=(1+入，1-入)， a+ub=(1+u,1-u). 由(a+b)⊥(a+b)得(a+Ab)·(a+b)=0, 即(1+入)(1+)+(1-A)(1-)=0, 整理得拟=-1. 4.由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0, 即1a12-1b12=0,所以Ial=1b1, 当a=(1,1),b=(-1,1)时，1a1=1b1, 但a≠b且a≠-b,故充分性不成立； 当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0, 故必要性成立， 所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b” 的必要不充分条件 5.以点A为坐标原点，AB,AD的方向分别为x,y轴 的正方向建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), 则E元=(1,2)，E元=(-1,2)， E元.ED=-1+4=3. 6由题得1=宁×怎：日则1：品 过点C作CD⊥AB于点D, 因为△ABC是等腰直角三角形， 所以IAD1=IBD1=1CDI,∠CMD=牙 因为0=-30A, 所以A(-0）,B(0, D(品，c(品恶） 因为f(x)的最大值为1， 所以无=1，解得w=受。 所以(-20）.(30).c(分1) 则6=（分0）花=1，）. 所以Ad在AC上的投影向量的坐标为 100器宁号 =(4) 7.由a+b+c=0得a+b=-c, 所以a2+b2+2a·b=c2, 即1+1+2a·b=2,解得a·b=0. 如图2，令向量a,b的起点均为0，终点分别为A,B, 以0A,0B分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系， B 图2 则a=(1,0),b=(0,1), c=-a-b=(-1,-1), 所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 数理招 则cos(a-c,b-c〉=（a-c)·(b-c I a-c ll b-c l 2+2=4 5×5 5 8.根据题意，建立如图3所示的平面直角坐标系， 5 2⊙2345x -2 图3 则C(0,0),A(3,0),B(0,4) 因为PC=1, 所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动： 设P(cos0,sin0),0∈[0,2m], 所以PA=(3-cos6,-sin0), PB =(-cos 0,4 -sin 0), PA.PB =(-cos0)×(3-cos0)+(4-sin0)×(-sin0) cos20-3cos 0-4sin 0 sin20 =1-3c0s0-4sin0 =1-5sinm(0+p), 其中smp=子os9=子 因为-1≤sin(0+p)≤1， 所以-4≤1-5sin(0+p)≤6， 即P.P8e[-4,6]. 二、多项选择题 9.BC;10.BCD;11.AC. 提示： 9.由a+b=(1,-1)两边平方， 得1a12+1b12+2a·b=12+（-1)2=2, 则1a+b1=2,所以(A)选项错误； 因为a,b是单位向量，所以1+1+2a·b=2, 得a·b=0,所以(B)选项正确； 1a-b12=a2+b2-2a·b=2, 所以Ia-b1=√2，所以(D)选项错误； aa-=0-发-号 所以a与a-b的夹角为牙.所以(C)选项正确， 故选(B)(C). 10.由题得0=(1,2)，02=(4,5)，AB=(3,3). 1AB1=3√2，(A)错误； 因为0示=m0+A店=(m+3,2m+3), 若四边形OABP是平行四边形，则OP=AB】 即m+3=3, 解得m=0, 2m+3=3, 所以四边形OABP有可能是平行四边形，(B)正确： 设∠BOx=a, B(I OB I cos a,I OBI sin a), 即0B1osa=4, LI OBI sin a =5, 数理极 又∠B,Ox=a+T, 2 则10B1cas∠B,0x=10B1cos(a+受）】 =-1 0B I sina =-5. I0B1sin∠B,0x=l0B1sim(a+号) =I 0BI cos a =4, 所以B,的坐标为(-5,4)，(C)正确； 由题可得0A在0上的投影向量的模为 片 拟1-（片）-3 (D)正确. 故选(B)(C)(D). 11.如图4，设PO所在直线与圆0交于点E,F. M B 图4 则PA.P元=-IP11PI =-E11P1 =-(10正1-1P61)(10正1+1P01) =1P012-10正12 =-2, 故(A)正确； 取AC的中点M,连接OM, 则oA.o元=(o成+M本)·(o成+MC) =10i2-1M元12 =10i12-(4-10i12) =21012-4, 而0≤10成12≤10p12=2, 故0.0元的取值范围是[-4,0]，故(B)错误： 当AC⊥BD时， A正.C而=(A+P·(CP+Pi) AB.CP+PB.PD =-1A1C示1-1PB11P1 =-21Ep11P1=-4, 故(C)正确； 因为1AC1≤4,1BD1≤4，故1AC1BD1≤16， 故(D)错误 故选(A)(C). 三、填空题 122；13.1514.10-4万. 提示： 12.由题可得2a+b=（4,2), 因为c∥(2a+b),c=(1,A), 所以4入-2=0，解得入= 2 …参考答案 13.因为两个单位向量a,b的夹角为120°， 所以ab=-子。=1， 又c=ta+(t-1)b,a·c=1, 所以a·[ta+(t-1)b]=ta2+(t-1)a·b =6-2-1)=1, 解得t=1. 14.设D为BC的中点，E为AD的中点，如图5所示 B D 图5 在正三角形ABC中， AD=√AB2-BD=22-1下=5， 则AE=DE= 2 E=D+E=√P+(冷)= 所以P.(P店+P=2P.P =2(P2+E·(P2+ED =2(P+E·(P呢-E) =2(P2-E) =2陀-号， 因为1庄1=2-1成1=2-牙， 所以P.(PB+P)的最小值为 2(2-9)-多=10-47 四、解答题 15.解：(1)A=AB+BP =e1-e2+2e1+Ae2 =3e1+(入-1)e2, 由A,P,C三点共线可设 AB =t PC =i(e +e2)=te +tez, 解得入=4. 入-1=t, (2)(i)由(1)得B=2e1+4e2, 所以BC=B+P元 =2e1+4e2+e1+e =3e1+5e2 =3(1,0)+5(0,1) =(3,5) (ⅱ)设点A的坐标为(x,y), 由题得AD=BC, 又AD=(-2-x,4-y）, 即点A的坐标为(-5，-1) 31 16.解：(1)由题可得B(2,4),C(3,0). 又BC=4B配， 则定=子成=子(-1,4=(-子，3 D正=成+成=(6,0)+(-子，3）=(43 所以正呢=子×斗+3×3-船 (2)设(t,0)(-3≤t≤3)， 则F尼=F元+C =(3-1,0)+(子，3 =(-3） 所以成.成=-子(？-t+3×3=6, 解得t=-子即应=(4,3)， 1龙1=5,1c正1=3 .4 所以cos(F2,c= F应.c正 I FEII CEI 6 5x3 4 =8 85 17.解：(1)由D成=2EC可得E试=号D元， 所以E求=E元+C =子元+函 =6花+2（分花 =是硒-分心， 又床=A店+以d,可得A=音从=分 所以A+A=司 (2)以A为坐标原点，分别以AB为x轴，AD为y轴 建立平面直角坐标系，如图6所示， A B 图6 则A(0,0),D(0,2),B(4,0),C(2,2),F(3,1) 设4=tA,t∈[0,1]， 则4=(3t,t), D=A序-AD=(3t,t-2), 所以4.币=102-2e【-08] 18.解：(1)由题得1BA1=1, 、 BA.BC 所以cos∠ABC= I BCI 2 因为LABC∈(0，m),所以∠ABC=号 (2)0A.0i=(0i+B·(0元+CD 32 =Oi.O元+OB.C⑦+BA.O元+BA.C -1-1+ +2 (3)设Bd=tBC(0≤t≤1)， 则o元=(1-t)BC, 所以O=B-BO=BA-tBC, OD=0C+CD=2BA+(1-)BC, 所以Oi.O=(B-tBC·[2B+(1-)BC =2B+(1-3t)B.BC-t(1-t)BC =2×12+(1-3t)×1-t(1-t)×4 =4t2-7t+3, 当=冬，即Bd=冬BC时，0.励最小 19.(1)解：①因为m=(2,1),n=（-1,2), 且S(m,n)=|x1y2-x2y11, 所以S(m,n)=12×2-1×(-1)1=5. ②因为m=(1,2),n=(2,4),则m与n共线， 所以S(m,n)=0. (2)证明：因为向量m=（x1,y1),n=(x2,y2), 且向量p=m+un(入，h∈R,A2+u2≠0)， 则p=(Ax1+2,y1+2), 所以S(p,m)=1(A1+ux2)y1-(入y1+2)x =1u1|2-x2y11, S(p,n）=|（A1+ux2)y2-（y1+2)x2 =|入1川x1y2-x2y11, 所以S(p,m)+S(p,n)=(I入I+luI)S(m,n). (3)解：(i)设c,a〉=a,(c,b〉=0，a,0∈[0， l,由a1b得0=号-a或0=受-a 当0=号-a时，s(c,a)+5(c,b)=2·71c11al a+2宁1elb1n(受-a=ma+sn(号 sin o x+cosa=万in(a+妥） 因为ue[0,m],所以&+牙e[牙，]， 所以当a+平=受，即a=平时， S(c,a)+S(c,b)取得最大值2； 当0=受-u时，5c,a)+5cb)=2 1a1sma+2分1e1a1sin(受-a=n a n(经-a）=sina-cosa=万sn(a-平）： 因为ae[0,l,所以a-平e[-牙，3]， 所以当a-子=受即“=平时， S(c,a)+S(c,b)取得最大值2， 所以S(c,a)+S(c,b)的最大值为2. (i)s(a,b)+sb,e)+sc,a)的最大值为5」 参考答案、 高考数学信息优化卷（四） 立体几何与空间向量参考答案 一、单项选择题 1~4 DCCC 5 ~8 DBBC 提示： 1.若a∥b,bC,则a∥或aC,①错误； 若a⊥b,a⊥a,则b∥a或bCax,②错误； 若a∥b,a⊥，则由线面垂直的性质定理得b⊥a, ③正确； 若a⊥a,b∥a,则由线面垂直的判定定理得a⊥b, ④正确.故选(D)· 2.由题得1AB1=√个+4+4=3， .C=1×(-)+2x0+(-2)x1=-3 (成，：信花5 I ABII ACI 3 则AB在AC上的投影向量的模为 I AB II Cos(AB,AC)I=5, 所以点B到直线AC的距离为√AB12-(√5)2=2. 3.如图1，建立空间直角坐标系0-xyz. 不妨设OB=1. 图1 因为PA⊥PB, 所以OP=OB=OA,OP⊥底面AMB. 则B(0,1,0),M(1,0,0),P(0,0,1),A(0,-1,0), A=(1,1,0),PB=(0,1,-1), eos(Ai,PE=。1 所以异面直线AM与PB所成角的大小为于 4.如图2，由已知得该棱台的高 h=MW=157.5-148.5=9(m), 所以增加的水量即为棱台的体积. 棱台的上底面积S=140.0km2=140×106m2, 下底面积S'=180.0km2=180×10°m2, 所以V=h(S+S +5s) =号x9×(40x10+180×10°+V40×180×10) =3×(320+60万)×10 ≈(96+18×2.65)×10 =1.437×109 ≈1.4×10(m3). 数理极 H M B 图2 5.如图3所示， D C B E B 图3 设AB=a,AD=b,AA1=c, 易知B,D与平面ABCD所成角为∠B,DB, BD与平面AA1B,B所成角为∠DB1A, 所以sim30°=BD=BD 即b=c,BD=2c=√a+b2+c, 解得a=√2c 对于(A),由b=c及a=√2c得a=√2b,即AB= √2AD,(A)错误； 对于(B),过点B作BE⊥AB,于E,易得BE⊥平面 AB,C,D,所以AB与平面AB,C,D所成角为∠BAE,且 am∠B4能=台-号.所以∠E≠30，（错误： 对于(C),AC=√a+b=5c,CB1=+c =√2c,AC≠CB,(C)错误； 对于(D),易知B,D与平面BB1CC所成角为 ∠DB,cm∠Dac=号会-号，而0<∠服C <90°，所以∠DBC=45°，(D)正确 故选(D). 6.如图4所示，在三棱锥P-ABC中，过E分别作EF ∥AB,EH∥PC,再分别过点F,H作FG∥PC,HG∥AB, 可得E,F,G,H四点共面， E C G B 图4 因为AB￠平面EFGH,EFC平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH, 同理可证PC∥平面EFGH, 所以截面即为平行四边形EFGH, 又E为线段AP上更靠近P的三等分点， 且AB+2PC=9, 所以EF=号AB,EH=子PC, 所以平行四边形EFGH的周长为 2(EF+E)(AB+2PC)-6. 7.延长AE交CD于H,连接FH, 则△DEH△BEA,所以光-器=分 因为平面AEF∥平面BD1G,平面AEF∩平面