《数理报》高考数学信息优化卷(二)三角函数-【数理报】2026年高考数学专项提分

《数理报》高考数学 信息优化卷（二） 考试范围：三角函数 ◎数理报社试题研究中心 第I卷选择题（共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),则 ∠C= 数 (A)君 (B) 3 (D) 5π 2.若tana= ,则cos2a+2sin2a= ( 数学 (A)64 (B) 48 16 5 25 (C)1 (D) 25 著 3.为了得到函数y=cosx- 3) 的图象，只需将正弦函数 y=sinx图象上各点 ( (A)横坐标向右平移牙-了个单位长度，纵坐标不变 各省 (®)横坐标向左平移受-号个单位长度，纵坐标不变 信 (C)横坐标向左平移严个单位长度，纵坐标不变 6 (D)横坐标向右平移π个单位长度，纵坐标不变 6 4.已知a∈ (0,7）,2sin2a=cos2a+1,则sina= (A)5 (B) (C) 5.已知函数f(x)=sin2x+acos2x,将f(x)的图象向左平移 个单位长度，所得图象关于原点对称，则∫(x)的图象的对称轴可以 为 ( (A)x=晋 (B)x=石 (C)x=哥 (Dx= 6.已知函数f(x)=2cos(πx+P)(0<P<T)的图象关于点 M(石，0）对称，若1f()-∫()1=4(0<名<)，则+ 的最小值为 (A)5 (B) 3 (c) 6 (D) 6 7、在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B= 3, =9ac,则sinA+sinC3 (4)2四 13 (B)39 13 (D)33 13 8.关于函数f(x)=sin|x1+|sinx有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②x)在区间（受，m)单调递增 ③f(x)在[-π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 () (A)①②④ (B)②④ (C)①④ (D)①③ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确 的是 () (A)cos(A +B)=cos C (B)若A:B:C=1:2:3,则a:b:c=1:2:3 (C)若sinA>sinB,则A>B (D)若sin2A+sin2B-sinC<0,则△ABC是钝角三角形 10.已知函数f(x)=sin(2x+p)(0<p<π)的图象关于点 (,0）中心对称则 (4))在区间(0，没）上单调递减 (B)在区间(-受，）上有两个极值点 (C)直线x=7严是曲线y=(x)的对称轴 6 (D)直线)--x是曲线y=)的切线 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.其面积为S, 周长为L.若asin4扌B=csin A,且c=2,则 2 (A)C= 6 (B)S的最大值为3 (C△ABC的外接圆半径为 (D)L的最小值为6 第Ⅱ卷非选择题（共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12函数y=sin(号-2)，x∈[0,2m]的单调递增区间是 13.设函数(x)=sin(ox+牙） 在区间(0，π)恰有三个极值 点、两个零点，则ω的取值范围是 14.人脸识别就是利用计算机分析人脸视频或者图象，并从中提 取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了 检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方 式有曼哈顿距离和余弦距离.已知二维空间两个点A(x,y),B(x2, 数 y2),则其曼哈顿距离为d(A,B)=1x1-x2|+|y1-y21,余弦相似度 y2 报 为c0s(A,B)= 三，余弦距 √民+开√居+层+7√居+ 高 离为1-cs(A,B).已知0<a<B<7,M(13cosa,13sina), N(8cos B,8sin B),P(13cos(a B),13sin(a B)),Q(5cos 2B, 新 5in29,若ms(M,P)=号，o(M,N)=号则4(，Q)= 全国 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 省 sinC=√2cosB,a2+b2-c2=√2ab. 市 (1)求B; (2)若△ABC的面积为3+√3，求c. 九化卷 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b=√5，c=√2，D是边BC上的点 (1)若BD=2DC,AD=2,求BC的长； (2)若cms∠ADC=-号，B=45°，求e0s∠DAC的值， 数理报·高中数学新高考》全国各省 17.(15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 sin Asin B cos2 A cos2 B sin2 C 2. (1)求角C; 信息优化卷 (2)若△ABC为锐角三角形，且b=2,求△ABC面积的取值范 围 图 18.（17分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 △ABC的面积为3，D为BC的中点，且AD=1. (I)若LADC=牙，求anB: (2)若b2+c2=8,求b,c. 19.(17分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2a(2eosc-1)）=c(4sim2号-1月 (1)证明：√2a,b,c成等差数列； (2)若c=4,求BC边上的高的取值范围. 数理报·高中数学新高考》全国各省市信息优化卷（二） (参考答案与解题提示见27版)数理极 )={2+5x,<3: -x,x≥3， 结合函数f代x)的图象可得其单调递增区间为 (-,3)和(3，+∞) (2)由题意对任意的实数x∈[1,2]， f(x)<g(x)恒成立， 即x1x-a|<1,当xe[1,2]恒成立， 即1x-al<名，-士<a<x+士 故只要x-↓<a且a<x+1在xe[1,2】上恒 成立即可，即当x∈[1,2]时，只要x-上的最大值小于 1 a且x+1日 的最小值大于a即可. 而当xe1,2]时，(x-)=1+>0, -士为增函致(x-士)=多： 当e1,2]时，(x+)=1-≥0， x+为增函数，(x+）=2, 所以ae(3,2）】片 (3)当a∈[-2,2]时f(x)在R上是增函数， 则关于x的方程f(x)=f(a)不可能有三个不相等 的实数根； 当ae2时)。0，。 则当x≥a时，fx)=x2+(2-a)x,对称轴x= 22<a,则)在e[a,+0)为增函数， 此时f(x)的值域为[f(a),+o)=[2a,+o); 当x<a时，f(x)=-x2+(2+a)x,对称轴x= 2<a,则f)在x∈(-，]为增函数， 2 此时f)的信城为(-，a2], )在x∈[2.a为减函数， 此时)的值城为(2，a42]。 则由题意，存在a∈(2,4]， 使得1e(,“2》)即可， 令eo)-a点2-g(+÷+4 只要使t<g(a)m即可， 而g(a)在a∈(2,4]上是增函数， 所以g@)=g4)=令， 故实数：的取值范围为(1，令)： 同理可得当ae[-4,-2)时， 4的取值范围为(1，名)， 参考答案 综上所述，实数：的取值范围为(1，？】 19.解：(1)函数y=sinx-m的导函数为y'=cosx, 因为函数y=simx-m(x∈R)是“牙跃点”函数， 则方程m(。+受）-m=(受+1），有解， 即-m=受c0s有解， 又c0E[-1,山，则-me[-受，受]， 解得me【-受，受]， 所以实数m的取值范围是[-受，号] (2)函数y=x2-ax+1,x∈(-1,3)的导函数为 y'=2x-a, 根据题意，方程(x0+1)2-a(x。+1)+1=2(2x。 a)在(-1,3)上有两个不等实根， 即x后-(a+2)x+a+2=0在(-1,3)上有两个 不等实根， 令h(x)=x2-(a+2)x+a+2,xe(-1,3), 则函数h(x)在(-1,3)上有两个不同零点， 4=(a+2)2-4(a+2)>0, h(-1)=2a+5>0, 所以 h(3)=-2a+5>0, -1<+2<3, 解得-吾<a<-2或2<a<多， 所以实数a的取值范是(-多，-2U(2,) (3)函数y=e+bx,x∈R的导函数为y'=e+b, 因为函数y=e+bx(x∈R)是“1跃点”函数， 且在定义域内恰存在一个“1跃点”， 则方程e0+1+b(x。+1)=2(e0+b)在R上恰有 一个实数根，显然≠1， 所以-6=01-2e0 x。-1 在R上恰有一个实数根 令8)--c2 x-1 则g'(w)=e-2)e(x-2 (x-1)2 由g'(x)>0,得x>2; 由g'(x)<0,得x<2且x≠1， 且g(2)=e2(e-2), 所以函数g(x)在(-∞，1)和(1,2]上单调递减， 在[2，+∞)上单调递增， 画出函数y=g(x)的大致图象（如图4）. y=g(x) e2(e-2) 2 y=-b x=1 图4 27 当-be(-o,0)U{e2(e-2)}时， 直线y=-b与函数y=g(x)的图象有一个交点， 所以b∈(0，+o)U{e2(2-e)}, 即实数b的取值范围是(0，+o)U{e(2-e)}. 高考数学信息优化卷（二） 三角函数参考答案 一、单项选择题 1 ~4 BABB 5~8 DBCC 提示： 1.根据题意结合正弦定理可得 (a+c)(a-c)=b(a-b), 即a2-c2=ab-b2,即a2+b2-c2=ab, 所以由余弦定理得 2ab 2ab 又0<C<π，所以C= 3 2由ama=子，得na=csa=号 或 sin a =-3 ,C0s as、4 所以cos2a+2sin2a= 25+4× 6 25 3.把y=si血=co0(x-受）上的所有点向左平移 号-子个单位长度，得到函数y=0(x-号)的图 4.由2sin2a=cos2ax+1, 4sin acos a 1 -2sin'a +1, 即2 sin acos a=1-sina. 因为ae(0,受），所以eosa=个-sima, 所以2sina√1-sin'a=1-sin2a, 2 第得s如a=有 5.由题可得f(x)的图象关于点（石，0）对称， 即对任意xeR,有f()+f(晋-=0， 取x=0,可得/0)+（号）=9+号=0， 解得a=-5. 所以f()=sim2x-5cos2x=2sim(2x-号） 令2x-号=+km,keZ, 可得f(x)的图象的对称轴为x= 5g+-,keZ 122 当=0时，x=哥 6根据题意f(6）=2o(石+P）=0, 则e(君+）=0 由0<9<，得石<石+9 6 28 所以石+=受，解得p=号， 故f()=2or+号）】 所以f(x)的最大值为2，最小值为-2. 由1f(x1)-f(x2)1=4(0<x1<x2)可得， 当+起最小时，m+号=π，+号=2m, 解得=子= 所以+名的最小值为子+子=子 3 7.由正弦定理得}-sin Asin C=sim2B, 因为B=子，所以sin Asin C=号imB=分 由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cosB = 2+c2-ac=9 ac, 4 所以u+e=早c, 所以sin2A+sin2C=13si 4 sin Asin C, 所以(simA+sinC)2=sin2A+sim2C+2 sin Asin C 4 sin n Asin C 又sinA>0,sinC>0, 所以inA+smC=乞 8.f(x)=sinl-xI +l sin(x)I sinl xl +l sin xI =f(x),所以f(x)为偶函数，故①正确； 当号<x<π时x)=sinx+sin龙=2sinx,所 以x)在（受） 单调递减，故②不正确： f(x)在[-π，T]的图象如下图所示， 由图可知函数f(x)在[-T,π]只有3个零点，故③ 不正确； T 因为f=sinlxI与y=I sinxI的最大值都为1且 可以同时取到，所以(x)可以取得最大值2，故④正确 综上，正确结论的序号是①④. 二、多项选择题 9.CD;10.AD: 11.BC. 提示： 9.在△ABC中，cos(A+B)=cos(T-C)=-cosC, (A)不正确； 因为A:B:C=1:2:3,又A+B+C=π，所以A =石，B=号，C=受，由正弦定理得a:6:c=simA: imB:imC=号：5：1=1：万：2，(B)不正确 2·2 由sinA>sinB及正弦定理可得a>b,又大边对大 角，所以A>B,(C)正确； 由sin2A+sin2B-sin2C<0及正弦定理可得a2+ 参考答案 6-c<0,所以cosC=+2-C<0,因为Ce(0, 2ab π)，所以C为钝角，即△ABC是钝角三角形，(D)正确 故选(C)(D) 10由题意得（罗）=im(写+p）=0, 所以好+p=km,keZ, 解得e=-智+mke乙 又0<9<m,当k=2时，9=罗 所以)=m(2x+） 对F(),当xe(o,)时，2x+罗e( ）所以函数)在区间(o.晋） 上单调递减，(A) 正确； 对于(B.当xe(晋晋）时，2x+号e(受 ）,所以函数)在区间(-）上只有1个极 值点，(B)错误； 对于(0).当x=7爱时，2x+罗=3m() m3n=0,所以直线x=7石不是曲线y=)的对称 轴，(C)错误； 对于(D,由=2o(2x+号）=-1， 得as(（2x+号）=-子， 所以2x+2红=2 33 +2m或2x+否 4红+2km,k eZ,解得x=km或x=牙+km,k∈Z, 当x=km时代)=， 则由=夸-如，解得=0： 当x=号+m时x)=马， 2 方程-号：夸-子-如无解 综上所述，直线)=-是曲线)=八)的切线。 (D)正确 故选(A)(D). 1l.因为asin2 A+B csin A, 所以由正弦定理得sin Asin :A +B sin Csin A, 2 又simA≠0，所以simT,C=simC, 2 2 因为0<号<是，所以cos号≠0， 所以号=所以号=君 数理招 即C=子，(A)错误： 设△ABC的外接圆半径为R, 则由正弦定理得，C=2R, 即2 =2R解得R=25.(0)正确 sin3 由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos C, 所以4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab, 当且仅当a=b时等号成立， 所以s=方binc≤方x4×5=5, (B)正确； 由正弦定理得 b 2 45 sinA =sin B sin C 3 sin a+b=45(sinA+sinB)） -45[m4+m-4)] ino) =4(停A+w4 =4si(4+君） 因为0<A<,所以晋<A+君 6 所以对<sim(4+君）≤1， 所以2<4sim(A+晋）≤4， 即2<a+b≤4， 所以4<a+b+c≤6， 即周长L的最大值为6，无最小值，(D)错误 故选(B)(C). 三、填空题 2[,2m小：（岩]：4号 提示 12因为y=sm(号-之)=m(分-号）， 所以由2km+受≤子-号≤2km+要4eZ 得4m+罗≤x≤4m+号，keZ, 当=0时，单调递增区间为[，号]， 当k取其他值时与区间[0,2π]无交集， 故在[0,2m]内的单调递增区间是[，2m小 13.根据题意w>0, 由xe0,),得ar+号e(号a+号) 根据函数f代x)在区间(0，π)恰有三个极值点， 数理极 受<w+号≤要得号<≤名 根据函数f代x)在区间(0，π)恰有两个零点， 知2m<0+号<3m,得号<u≤号 综上的取值范围是(。，号] 14.因为√(13sina)+(13cosa)7=13, √13sim(a+B)]+[13cos(a+B)]=13, 所以cos(M,P) 13eosc×13cos(a+B+l3sine×13sin(a+B) 13 13 13 13 cosocos(a +B)+sin asin(a +B) cos(a+B-a) =cosB =3 , 因为0<B<， 所以sinB=√个-cos2B= 5 因为√(8sinB)2+(8cosβ)2=8， 以os(M,0-34×8asE+15sne×8snE 13 8 13 P cos acos B sin asin B =cos(u-B)=是， 因为0<a<B<受，则-受<a-B<0, 所以in(a-B)=--cos(a-A=-高 因为cosa=cos(a-B+B) =cos(a -B)cos B-sin(a -B)sin B 56 sima=V个-cos2&=3 5 所以v(9学) 又因为c0s28=2cos2B-1=-3 -25 sm2g=2sin8cosB=2若 所以（子）， 所以4.Q)=|尝-（子）+學-4 四、解答题 15.解：(1)由余弦定理得 2ab 2N 又0<C<,所以C=平 所以2cosB=simC=2 所以osB=方又0<B<m, 所以B=号 …参考答案 (2)由(1)得A=T-B-C=5π， 12 由正弦定理品A品 a 2+6 4 2 所以a=1+3 2 所以△ABC的面积 ×3+, 得c=22 16.解：(1)由题可设CD=x(x>0), 则BD=2x,BC=3x. 在△ABD中，由余弦定理得 AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD, 即2=2+4x2-42xCos∠ABD, 整理得4x2-42xcos∠ABD=0, ① 在△ABC中，由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos,∠ABD, 即5=2+9x2-62xcos∠ABD, 整理得9x2-6√2xcos∠ABD-3=0, ② 由①②解得x=1或x=-1(舍去)， 所以BC=3. (2②)由正弦定理得C b sin B' sin C 5 又b>c,所以B>C, 所以cosC=√个-inc=25 因为6oLA0c-子， 所以sinLADC=V个-cos LADC=】 所以cos∠DAC=cos[T-(∠ADC+C)] =-c0s(∠ADC+C) =-cos∠ADCcos C+sin∠ADCsin C （号)2源+合×5- 25 17.解：(1)因为sin Asin B+cos2A+cos2B+sim2C =2, 所以2-sim2C=sin Asin B+(1-sim2A)+(1- sin2 B), 整理得sin2A+sin2B-sim2C=sin Asin B, 由正弦定理得a2+b2-c2=ab. 由余弦定理得cosC=心+6-c2 ab 1 2ab 2ab 2， 因为Ce(0,m),所以C=于 (2)由(1)得A+B=要 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<号， 且0<4-号-B<受，解得君<B<号 29 由正弦定理得6 sin B sin C' 则c=:sC-E sin B sin B' 所以Sac=子-besin A =2品×停- 5×sim E-B sin B 3 2tan B'2 由若<B<受得mB>怎， u9<+<26 故△4C面积的取值范用是（气，25） 18.解：(1)因为D为BC的中点， 所以Sc=方AD:DCin∠AC=号 9=m解得4 在△ABD中，∠ADB=号，由余弦定理得 c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB, 即=4+1-2×2×1×(-)=7， 解得c=万，则cosB=7+4-1-5万 2万×2 14 sinB=√/1-cos'B =-() 14 所以tanB=simB= cos B 5 (2)在△ABD和△ACD中，由余弦定理得 「C=子2+1-2×7a×1×c0s(m-∠AD0), 8=4 :+1-2×2X1 x coLADC, 整理得7+2=公+2，结合公+2=8， 解得a=25. 又Sax=3x,月x1×sim∠ADC =5w9 解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<T, 所以∠A0c=受， b=c=√AD+CD=2. 19.(1)证明：由正弦定理及 a(2cosc-1)=e(dsin), 得万snA(5cosG-)=mc(4sin2号-1） 30 所以2sinA(2cosC-1)=sinC(1-2cosA), 即2 sin Acos C-√2sinA=sinC-2 sin Ccos A, 所以2(sin Acos C+sin Ccos A)=sinC+√2sinA 即2sin(A+C)=simC+√2simA. 因为sin(A+C)=sin(T-B)=sinB, 所以2sinB=sinC+W2sinA, 根据正弦定理可得2b=c+√2a, 即2a,b,c成等差数列. (2)解：由(1)可知，6=2a+c 在△ABC中，由余弦定理得 cos B=a+e2 2ac 2ac 2a2+3c2-22ac Sac ≥26ac-22ac Sac =6-2 4 当且仅当2a2=3c2时，等号成立， 所以sinB=√1-cos2B ≤-(；2) -6+2, 则BC边上的高h=c·sinB s4x6+2 4 =6+2, 所以BC边上的高的取值范围是(0,6+√2]. 高考数学信息优化卷（三） 平面向量参考答案 一、单项选择题 1~4 DADB 5~8 BBDD 提示： 1.因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3), 所以1a-b1=√42+(-3)2=5. 2.如图1所示， E D 图1 E成=ED+DB =子而+成 =子×宁（丽+d+之（破-花 =子丽-4配 参考答案 3.根据题意，a+Ab=(1+入，1-入)， a+ub=(1+u,1-u). 由(a+b)⊥(a+b)得(a+Ab)·(a+b)=0, 即(1+入)(1+)+(1-A)(1-)=0, 整理得拟=-1. 4.由(a+b)·(a-b)=0,得a2-b2=0, 即1a12-1b12=0,所以Ial=1b1, 当a=(1,1),b=(-1,1)时，1a1=1b1, 但a≠b且a≠-b,故充分性不成立； 当a=-b或a=b时，(a+b)·(a-b)=0, 故必要性成立， 所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b” 的必要不充分条件 5.以点A为坐标原点，AB,AD的方向分别为x,y轴 的正方向建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2), 则E元=(1,2)，E元=(-1,2)， E元.ED=-1+4=3. 6由题得1=宁×怎：日则1：品 过点C作CD⊥AB于点D, 因为△ABC是等腰直角三角形， 所以IAD1=IBD1=1CDI,∠CMD=牙 因为0=-30A, 所以A(-0）,B(0, D(品，c(品恶） 因为f(x)的最大值为1， 所以无=1，解得w=受。 所以(-20）.(30).c(分1) 则6=（分0）花=1，）. 所以Ad在AC上的投影向量的坐标为 100器宁号 =(4) 7.由a+b+c=0得a+b=-c, 所以a2+b2+2a·b=c2, 即1+1+2a·b=2,解得a·b=0. 如图2，令向量a,b的起点均为0，终点分别为A,B, 以0A,0B分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系， B 图2 则a=(1,0),b=(0,1), c=-a-b=(-1,-1), 所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 数理招 则cos(a-c,b-c〉=（a-c)·(b-c I a-c ll b-c l 2+2=4 5×5 5 8.根据题意，建立如图3所示的平面直角坐标系， 5 2⊙2345x -2 图3 则C(0,0),A(3,0),B(0,4) 因为PC=1, 所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动： 设P(cos0,sin0),0∈[0,2m], 所以PA=(3-cos6,-sin0), PB =(-cos 0,4 -sin 0), PA.PB =(-cos0)×(3-cos0)+(4-sin0)×(-sin0) cos20-3cos 0-4sin 0 sin20 =1-3c0s0-4sin0 =1-5sinm(0+p), 其中smp=子os9=子 因为-1≤sin(0+p)≤1， 所以-4≤1-5sin(0+p)≤6， 即P.P8e[-4,6]. 二、多项选择题 9.BC;10.BCD;11.AC. 提示： 9.由a+b=(1,-1)两边平方， 得1a12+1b12+2a·b=12+（-1)2=2, 则1a+b1=2,所以(A)选项错误； 因为a,b是单位向量，所以1+1+2a·b=2, 得a·b=0,所以(B)选项正确； 1a-b12=a2+b2-2a·b=2, 所以Ia-b1=√2，所以(D)选项错误； aa-=0-发-号 所以a与a-b的夹角为牙.所以(C)选项正确， 故选(B)(C). 10.由题得0=(1,2)，02=(4,5)，AB=(3,3). 1AB1=3√2，(A)错误； 因为0示=m0+A店=(m+3,2m+3), 若四边形OABP是平行四边形，则OP=AB】 即m+3=3, 解得m=0, 2m+3=3, 所以四边形OABP有可能是平行四边形，(B)正确： 设∠BOx=a, B(I OB I cos a,I OBI sin a), 即0B1osa=4, LI OBI sin a =5,