第30期 平面向量及其应用综合-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版）

高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 发评柄 答案详解 2025~2026学年高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期(2026年1月)》 第27期2版 9-16 -1487 √/37×13 481 专项小练一 1.D;2.B;3.AD:4.F2,BC,C 第27期3,4版 5.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点 平面向量的概念及运算同步核心素养测评 连成的有向线段，共有20个， 一、单项选择题 即AB,AC,AD,Ad:BA,B元，BD,BO:C,C元，C元，Cd:D 1~4 CBDB 5 ~8 DBCB DB,DC,Dd:0A,0B,0元，0i 提示： 1.7(a+2b-3c)-3(a-2b-c)=-3a+7b+3c 5 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等， 即AB=D元，AD=-BC,D=cE,BA=cD,Ad=OC,OA- 2.向量b在向量a方向上的投影向量的模为 CO,DO OB,OD BO. 1a…b1 2万×3×c0s 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个 3 3 专项小练二 I al 23 1.C;2.B;3.ABD: 3.-70+2b=2(b-a)=2(d- 1 4.2a+7b;5.C 6.解：在矩形ABCD中，1AD1=1BC=45,IAB1=8, =方励=励 则1B1=√AB12+1AD2=√82+(43)2=4万， 4.a∥b(b≠0)台存在唯一入∈R,使a=Ab,故①错误； ④中当入1=入2=0时等式成立，故④错，故选(B). 因为BC=b,AB=a,BD=c, a-b-c AB-BC BD=AB-AD BD 5.根据已知可得元=成+武=成+之花 DB+DB 2 DB. =0i+2(0成-0动 因此，1a-b-c1=21DB1=2×4万=8万 专项小练三 =是成-2=0-a 1.D;2.C;3.BD;4.e1+2e2;5.2. 6.由a1(2a+b)得a·(2a+b)=21a12+a·b= 6.解：因为M元=子+子， 21a13-71a1b1=0,21a2=1a11b1, 所以4M元=MA+3MB, 所以M元-MA=3(MB-MC), 则子 所以AC=3CB 7.连接0A因为B元=AC-A正=3AN-3A=3(0 所以A,B,G三点共线且：4 0A-3(0M-0A=3(0N-0i). I BCI 所以BC.0i=3(0N-0)·0 专项小练四 =3(0N.0M-1012) 1.C;2.A;3.BD;4.万；5.3g =3×(2×1×c0s120°-12) =3×(-2)=-6. 6.解：(1)因为1a+b12=a2+b2+2a·b=9+16+2 8.因为a+b与c共线，b-c与a共线， ×3×4×c0s60°=37， 所以存在实数m,n使a+b=mc,b-c=na, 所以1a+b1=√/37. 即b=-a+mc,b=na+c, (2)因为1a-b12=a2+b2-2a·b=9+16-2×3× 所以-a+mc=na+c, 4×c0s60°=13， 因为a,c不共线，所以m=1,n=-1, 所以1a-b1=√13. 所以b-c=-a,(b-c)2=(-a)2,所以2-2b·c=1, 所以cos0=(a+b)·(a-b bc=2 1 l a+bl l a-bl 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 设向量b,c的夹角为0， 故选(A)(C)(D. 则1×1×cos0=7,60s0=7,0=60 三、填空题 二、多项选择题 9.BD;10.AB;11.ACD. 提示： 提示： 12.由题知2x-0- 2 9分励=网≠故()错误： 2 b 2℃+ 2x+b=0, 所以子 2 1 号-分币（店-动分成=m放） 4a-b+7 所以=20-78 .1 正确； A-A不=N成≠M,故(C)错误； 1 13.因为a+b+2c=0, M元+BD+DN=MD+D=MN,故(D)正确. 故选(B)(D). 所以宁c=-(a+b), 10.因为1a1=1b1=1且|b-2al=√5， 所以(b-2a)2=b2-4a·b+42=1-4a·b+4=3, 两边平方得二=[-a+b)]=。6+2ab, 所以a:b=之， 因为a,b,c均是单位向量， 所以1a+b1=√(a+b)7=√a+2a·b+b= 所以4=1+1+2ab,所以ab=-日，所以1a-b1- 7 √个+1+1=5，故(A)正确； d+8-2ab=1+1-2×(-名）=界， a在a+b上的投影向量的模长为a,(a+b)_。+a·b l a+bl 所以1a-b1=⑤ 2 京厚k四隐 14.1a+b12=a2+2aa·b+X2b2 =1+4Acos0+4A2 因为1a-Ab12=a2-2a·b+A2b2=X2-A+1 =4+A6+2.9）+1 4 =(a-)广+子=子 33 =4A+cos0)2 2）+1-cos20 所1。-41=号>9 即不布在AeR使得1a-A61=竖故(C)错误： 4a+学)+ma 当入=-eos9时，1a+b1n=1sin01, 2 当入=-1时，a-Ab=a+b, 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误 A=-c059c0s0<0, 2 故选(A)(B). 11.如图1,20+3(0A+AB)+4(0A+AC=90A+3AB 因为1a+Ab1=宁所以1sm91=宁 +4花=0，则0=宁+号d.()正确： 因为0e0,],所以sm0=分， 若0i=20,0i=30B,0=40元， 所以0晋或9=装， 则0D+0尼+0示=0， 所以O是△DEF的重心，直线AO过 因为cos0<0,所以0=5知 6 EF的中点， 四、解答题 而EF与BC不平行，所以直线AO不 15.解：因为ka+3b与2a+kb共线， 过BC边的中点，(B)错误； 图1 所以存在实数入，使ka+3b=A(2a+b), 又SAOE=S△EoF=S△D0F, 即(k-2A)a=(k-3)b. SADOE 6S AAOB,SAEOF 12SABOE, 所以S△oB:S△Boc=2:1,(C)正确； 由于a,b不共线，所以-2】=0=k=±6 xk-3=0 若1041=10B1=10C1=1, 即实数k的值为6或-√6. 且160C=(20+30B2=40求+120A.0B+90, 16.(1)证明：如图2,0B+0元= 所以0·0成=子 20D,0A+0元=20正 而0心.4店=-子(20+30成(0成-0=4(20M 因为0+20B+30元=(0A+ 0C)+2(0B+0C)=2(0正+20i) B< +0.成-30应）=-6，(D)正确 图2 =0,即20D+02=0, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 所以0D与0正共线。 解得t=3,所以△ABC的边长为3. 又0D与0正有公共点0，所以D,E,0三点共线。 19.(1)证明：因为e1,e2分别为Ox,0y正方向上的单位向 量，且夹角为60°， (2)解：由(1)知210元1=10呢1， 所以5e=2SE=2×号5E 所以e·g=1e,16,1cos60=之 所以花1}·2,2} =(xe1+y1e2)·（xe1+y2e2) 所3 =x1x2ei+x1ye1·e2+x2y1e1·e2+yiy2e2 =162+7%+分+y16 17.解：(1)由题意知1a+b12=a2+2a·b+b2=12, 1 又1a1=2,1b1=4, =x名+2+2（为+）小. 所以a·b=-4, (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为sinx,1}, 由(2a-b)⊥(ha+b)得(2a-b)·(ha+b)=0, cos x,1, 即2ha2+2a·b-k2a·b-b2=0. 所以f(x)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe1+e2) 所以8k-8+42-16k=0, =sin xcos xe+sin xe1·e2+cos xe1·e2+ei 解得k=1±5. (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8, =imos+1+分(m+eas动， 13a+b1=√9a2+60·b+b=27, 设a与3a+b的夹角为0， 令t=sinx+cos=万sin(x+牙） 则0=022万9 8 27 则sin xeos=分(-10. 所以a与3a+b的夹角的氽弦值为识 因为xeR,所以-2≤2simx+年）≤2， 即-√2≤t≤2， 18.解：(1)因为MN∥BC, 所以示=-d=b-子， 1 令0=(f+1+1)(-万≤1≤. 正=子布-g(硒+西=文+名8 因为对称轴为1=一方，函数图象开口向上， (2)(i)设AN=xAC,因为M,E,N三点共线， 所以当t=- 时80)取得最小值(-分)=宁× 所以存在唯一的实数入，使得M正=入M示， 所以A正-AM=A(AN-A), (4=8 即A正=(1-A)AM+AA, 当1=万时，g(e)取得最大值g(2)=号×(2+万+1) 所以A正=，AA店+xAC 2 =3+2 2 即正=2a+Ab ()可得花=日a+女， 所以)的最小值为号，最大值为告三 第28期2版 时g且=令 2 专项小练一 解得入= 3 1 4x=6, LC:2.BeD:3.D:43:5号0- 所以不=石花， 专项小练二 示=-d=。d-分证=名b-2a 1.C:2B:3A0D:454:5-治 专项小练三 (i)h丽=b-之=名(-3a+b,花=女+ 1B,2A:3BD,4格：反- 1 gb=ga+),丽证=名得， 第28期3,4版 石(-如+b)·ga+b)=6 平面向量的基本定理及坐标表示同步核心素养测评 即0(-+6-2a)=-6 一、单项选择题 1~4 DBBB 5 ~8 BBDB 即6(-3+f-2rcos号）=-6 提示： 1.根据题意，b=2a=2(1,1)=(2,2). 一3 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.由题意得x2=2(x+4), 当+6=8时，则次数为8+2=10： 解得x=4或x=-2. lc+d=2 3.由题意得b=Ad-应c=花-A花=店-2， 当+6=3时，则次数为3+9=12 lc+d=9 故2h+e=-号。 综上，次数最小值为10， 二、多项选择题 9.AB:10.BC:11.BD 提示： 4.设正方形边长为2，以A为原点，AB,AD为x轴，y轴的正 9.对于(A),假设存在实数入使得e1=Ae2, 方向建立平面直角坐标系， 即(1,0)=A(0,1),即=A×0无解， 则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2,2),BD=(-2,2), L0=λ 依题意AC=AAi+uB配， 则e1=(1,0),e2=(0,1)不共线， 所以可以作为一组基底； =3 即2A-24=,2解得 对于(B),假设存在实数A使得e1=Ae2, 1λ+2μ=2， 1 4=3, 明1,2)A-2.62无解。 所以A+红=多 则e1=(1,2),e2=(-2,1)不共线， 所以可以作为一组基底； 5.由题意可得，设点P(0,y), 对于(C),e1=-5e2, 则Pi=(2,2-y),P=(5,-2-y), 所以e1=(-3,4),e2= 3 4 共线，所以不可以作 又因为∠MPW为直角， 所以P.P示=0， 为一组基底： 即2×5+(2-y)(-2-y)=0, 对于(D),e1=-2e2, 化简可得6+y2=0,方程无实根， 所以e1=(2,6),e2=(-1,-3)共线，所以不可以作为 一组基底 所以满足要求的点P不存在. 6.a=(2,x),b=(0,2), 故选(A)(B) 故4=2·(02 2x 2 10.a与b的夹角为钝角，故a·b<0,且a,b不反向共线， 1a12 22+x2 x2+4x+ 4 则a·b=(3,k)·(2,-1)=6-k<0且-3-2k≠0， 3 解得k>6且k≠- 因为>0所以+兰≥2√，=4， 综上，k>6,(A)正确： 当且仅当x兰即x=2时，等号成立， 1a1=√9+2≥3，当且仅当k=0时，等号成立， 故IaI的最小值为3，(B)错误； 。1 4≤2 1b1=4+I=5,与b共线的单位向量有2个， x+- 为±（后）=±(-)(c)铅误 7.因为AB与a=(1,-2)的夹角为π， 所以A正=ka=(k,-2k)(k<0). 若1al=31b1,则√9+=35， 解得k=±6，(D)正确。 因为1AB1=25, 故选(B)(C). 所以√2+(-2k)2=25 11.如右图，作0E⊥0C,分别以 解得k=-2(舍正)，即AB=（-2,4). OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系， 设点B(x,y）,因为A(2,1), 则10.c4.o)(-9） 所以AB=(x-2,y-1)=(-2,4), 所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5) D(-2,25), 8.由题可得，每次跳跃的路径对应的向量为 a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0),d1=(0,5), 设0(cos0,sm0),0e[0,号]. 设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,d∈N, 则P(4cos0,4sin0), 可得00=aa1+bb1+cc1+dd 由00=x0元+y0D可得， =(3a+4b+5c,4a+3b+5d)=(33,33), cos 0 =4x -2y,sin 0 =23y,>0y >0, 则3a+46+5c=3, 若y=x,则cos20+sim20=(4x-2y)2+(25y)2=1, L4a+3b+5d=33. 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66, 解得=y=子（负值合去），放x+y=分()错误： 因为a+b,c+deN, 则a+b=8,或a+6=3, 若y=2,则c0s0=4k-2y=0,0=受 lc+d=2 lc+d=9. 所以O·O=0,故(B)正确： 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 .0亦=(-号号)(4os0,4sin) 解得x=3,所以b=(3,-1), 所以Q与b的夹角的余弦值为b a·b =-6cos0+25im0=45sim0-号）， 2×3+2×(-1) 由于0e[0,号]，放9-号e[-号号]， 2+2×V3+-厅分 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 故-6≤45sim(0-号）≤6，(C)错误； 则B=(x-1,y-4),P元=(3-x,3-y), 由于p=(1-4cos0,-4sin0), 因为成：宁风， 成=（方-4m6,吾-4m), 「x= 解得 3 则.P元=(1-4eos0)×(-号-4cos0+ -4=3-0, b 1 3 (-4m0)x(停-4n0）=}-2s0-28in0=头 所以点P的华标为（号号 4sin(a+g）, (2)设向量0D的坐标为(a,b),即D(a,b), 面0+ge[] 则Ad=(a-2,b-1),0i=(1,4),0元=(3,3)， 因为d/o成，0元10而，则4(a-2)=6-1, 所以m(0+君)e[分小， l3a+3b=0, 所以.i=}-4m(a+君）≥}-4受放(D) 解得 a=5 正确.故选(B)(D). b=-5 三、填空题 12；13g+是：142 所以向量0励的坐标为（子，一子）片 17.解：(1)设D(x,y)(x,y>0), 提示： 依题意可得正=C, 12.由已知得AB=(2,1),CD=(5,5),因此AB在CD上的 又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1), 投影向量为或。15.3E -e= 2e=2e 所以AB=(4,4),C⑦=(x+1,y-1), 1c152 所以+1=4解得=3即D(35). 13.因为B正=3E, y-1=4, ly=5, 所以成=子酥，亦=-=-子花。 (2)设A正=AAC,A∈[0,1]， 4 则(m+2,n+4)=入(1,5)， 所以脉=a+序=a-子花， ① 所以m+2=人则m=A-2, ln+4=5λ，Ln=5λ-4， 成-子酥=b+花， ② 所以(m-2)2+2=(X-4)2+(5A-4)2=26A2-48入 由①+子x2相院成=a+子b, +24号+ 即脉=总+是 因为AE0,1】,所以当A=号时，(m-2户+取最小值 14.设a=(1,0),b=(1,s),c=(1-st,t),8,t∈R, 答当A=0时.(m-2°+广取最大值32 由已知可得：la-b+c1=√(1-st)2+(t-s) =√/1+(st)2-4t+s2+7 所以(m-2+的取值花围为[2]， ≥√/(st)2-4st+21st1+1, 18.(1)解：不妨设0M=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 当且仅当2=子时，取等号， 当st≥0时，有(st)2-2st+1≤8，得0≤st≤2万+1， 则存在a(a≠-1)使得AM=aMD, 当st<0时，有(st)2-6st+1≤8，得-1≤st<0, 即Ad+0成=（元+0币，于是Om=+a0西 1+a 所以当-1≤st≤22+1时，-22≤a·c=1-t≤ 2.所以a·c的最大值为2. 又0成=分0成， 四、解答题 15.解：由题可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0, 耐+受丽 1 即(22+22)-2×(2x-2)=0, 所以O= 1+ +a+2 5 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 [m=1+a 1 所以cosa=a·(a-b) a2-a·b 则 即m+2n=1. ① lall a-bl=lall a-bl 16 1 n=2(1+a)' 由于B,C,M三点共线， 则存在B(B≠-1)使得C=BMB,即C⑦+O=B(Md +0B), 放向量a与。-b的夹角的余弦值为5 于是0成=0元+B0正 (3)设向量a与b的夹角为0， 1+B 又0成=4oi 由题意可知0<0<号，则0<c0s0<1, O+B0 因为1a1=31b1,所以0<合≤宁 所以O成= 4 1+B =+0+中， 1 即0<2部s0<分 1 所以 [m=41+B'即4m+n=1 ② 因为b⑧a-b行2=招=， =1+B n B 所以0<b⑧a<号，即0<4(b⑧a)<号 由①2可得m=7a=号 1 因为4(b☒a)是整数，所以4(b⑧a)=1, 所以成-+ 所以b©a=子时a=0 1 (2)证明：由于E,M,F三点共线， 1 所以存在实数n()≠-1)使得E=nM下产 即Ed+0成=n(Md+0,于是O成=0正+m0应 所以3 ≤c0s0<1, 1+7 又0正=A0,0=40店， 因为a@6=6=8s0=4ma 所0成：A牛成+骨 又96≤cos6<1,所以9 1+” 4 -≤4cos20<4, 所以+马=十 3 at un b. 1+m1+7 即}≤a8b<4, 1 故a☒b的取值范围为 +m门消去n得+三7 1+m 第29期2版 19.解：(1)因为a+2b=(5,3)+2(-3,2)=(-1,7), 专项小练一 所以a⑧(a+2b)=a·(a+2b) (a+2b)2 1.C2D:3.BcD:4.-5;5- -5x2=g 专项小练二 (-1)2+72 1.C;2.C;3.ACD;4.等腰； 放a②(a+2)的值为袋 5端 (2)设向量a与a-b的夹角为a, 专项小练三 因为向量a,b是单位向量， 1.C;2.A;3.BD;4.125;5.3. 所以1a1=1,1b1=1, 由(a+b)⑧(2a-b)=i6 5 第29期3,4版 可得a+b):(2a-b)=2a+a·b- 平面向量的应用同步核心素养测评 (2a-b)2 4a2-4a·b+b 一、单项选择题 a·b+1-5 1 ~4 CDCA 5 ~8 CADD 5-4a·b=i6 提示： 解得ab=子 1.由正弦定理得a sin A=sin B' 由(a-b)2=a2-2ab+b=2 3 2 =√6. 可得1a-b1=√(a-b)2= 6 则a=6sin42×尽 sin B 2 sin 4 一6 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.F做的功为Fs=1F1s1es0°=0×14×分 =70. 因为△ABC是锐角三角形， 3.由余弦定理得 所以0<A<号，0<B<受 BC=√/1+(5)2-2×1×5×cosI 6 =1, 所以-受<A-B<受 设BC边上的高为h, 又ym在(-受受) 上单调递增， 则5am=了×1×in君=子×1·么，解得h= 1 1 2 所以B=A-B,则A=2B. 4.设△ABC的内角C为最大角， 又0<B<受0<A=2B<受.0<C=T-36<受 则cosC=+(t+)2:t+2)<0, 2t(t+1) b 2 所以若<B<于，由正弦定理得2R=B=品B 再由三角形三边关系可得+t+1>1+2, 所以2 <2R< 2 lt>0, 解得t>1, sin 4 sin 6 ”-38 所以2<R<2, 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 解得1<t<3. 二、多项选择题 5.因为3AB+2BC+CA=3(0B-0)+2(0元-0+ 9.BC;10.AD;11.AC. (0A-0C=-204+0B+0元 提示： 所以0A+20+30C=-20i+0B+0元， 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 即304+0店+20C=0, 所漂凉 1 1 选项(B:因为mC=血B=85<1,且c>6, b 15 所以角C有两解； 6.在△OAB中，因为∠OAB=45°，∠0BA=105°， 所以∠A0B=180°-45°-105°=30°， 选项（C:因为mB=n4=42<1,且6>a, a 7 由正弦定理可知。4B。一 OB sin∠A0B=sin∠OAB' 所以角B有两解； 所以186-05，则0B=365m, 选项(D):因为imB=sinA<1,且b<a, 1 所以角B仅有一解 2 故选(B)(C). 在直角三角形OTB中， 10.根据题意，得1G1=1F,+F21, m∠0=0即9：7 3 所以IGI2=IF112+IF22+21F1I×1F2I×cos0= 365 21F1I2(1+cos0), 解得0T=36m 1G12 7.由题及余弦定理得 a-cxato-b2 解得1F,12=21+cos0)' 因为0∈(0，π)时，y=cos0单调递减， 2ac =b-cxbto-a 2bc 化简得+公-c-。2+-c2 所以0越大越费力，0越小越省力，故(A)正确； 由题意知6的取值范围是(0，π)，故(B)错误； a b 当a2+62-c2=0时，即a2+b2=c2, 则△ABC为直角三角形； 因为1F,2=21+00) 1G12 当a2+b2-c2≠0时，得a=b, 所以当0=受时，1R12=1G 2 则△ABC为等腰三角形. 综上，△ABC为等腰或直角三角形 所以1P,1=号G1,放(C)错误： 8.由正弦定理可得a2-2=bc, 1G12 所以a2=62+bc 因为1F,12=21+c0s' 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 所以2+bc=b2+c2-2 bccos A, 所以当0=要时.F,12=1G13, 即b=c-2 bcos A, 所以IFI=IG1,故(D)正确 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Bcos A, 故选(A)(D). 因为C=π-(A+B), 1l.由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 得5·(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB·sinB, sin B sin Acos B-cos Asin B, 即sinB=sin(A-B). 所以5=2sinB,所以sinB=5, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 因为a=b,B是等腰△ABC的底角， 由于0<A<T,0<B<T,0<C<T,sin A≠0，sinB 所以Be(o,受），所以B=号 ≠0，所以esC=分，则C=号 所以△ABC是等边三角形，(A)正确： 所以16=c2=a2+b2-2 abeos C=a2+b2-ab≥2ab- 若A,B,C,D四点共圆， ab,得ab≤16，当且仅当a=b=4时，等号成立， 则四边形对角互补， 因为cD上AB,所以Sm=dimC=子·CD, 由(A)正确知∠D=,osD=-子 故CD=absin 但由于DC=1,DA=3,AC=23时， 学n号26， cos D DC D4-AC 1+3-2 所以CD的最大值为25. 2·DA·DC 2×1×3 四、解答题 ≠-子，所以(B)不正确： 15.解：15km/h=250m/min,250×5=1250m. 设∠D=0, 10kmh-9mmi,9×8-4g0m 则AC2=DC2+DA2-2DC·DA·cos0=10-6Cos0, 整个过程为A店，B元，C心，如图1所示， 所以Sac=车(10-6s)=5,5_35eo 4 2 2 -c0s0, 种1=0m,成1=1230m,可1=490m Saein A G60e→D 所以S四边形ABCD 200s0+5 =5amc+5aw-多in8-35。 图1 2 16.解：(1)在△ABD中AD=5,AB=7,∠BDA=60°， =3(m0-s0)+55 所以由余弦定理AB=AD2+BD-2AD·BD·cOS∠BDA 2 可得49=25+BD2-2×5·BD·c0s60°， =3n(0-号）+5 则BD-5BD-24=0, 解得BD=8(BD=-3舍去) 因为0e(0,m),所以sim(g-于）e（-,1小， (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60° =15°，又∠BCD=135°， 沉5<u≤誓+3，以C正疏，(D)不征确 则∠CBD=180°-135°-15°=30°. 由(1)得BD=8, 故选(A)(C) BD 三、填空题 由正弦定理得。CD 得im∠CBD=sin ZBCD, 12.1;13.2m;14.25. 即.CD 提示： 0=n35解得cD=4万 12.sin 24=2sin Acos A 2a 17.解：(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 sin C sin C c 2bc 2cos2 A 3cos A -2 =0, -2×4.25+36-16=1 (2cos A -1)(cos A +2)=0, 62×5×6 13.由题意得OP=OB+BP=OA+AP-x=5cm, 解得c0sA=分或c0sA=-2(含去)， 在△A0P中，cs&=0A+0P2-AP 2·0A·0P 因为0<1<，所以4=骨 9+25-49 2×3×5 2分 2②)由s=之einA=经e-5g. 4 因为∈(0，π)， 得bc=20,又b=5,所以c=4. 所以&=2年，B=a·0A=2mcm 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=25+16-20=21, 3 14.因为ccos Ccos(A-B)+c=csin2C+bsin Asin C, 解得a=√2T, 所以由正弦定理得sin Ccos Ccos(A-B)+sinC 又由正孩定理得mnG-.4-告A a a sin Csin2 C+sin Bsin Asin C, 由于0<C<m,sinC≠0， × 所以cos Ccos(A-B)+1=sinm2C+sin Bsin A, 所以sin Bsin A=cos Ccos(A-B)+1-sim2C 18解：)由正孩边角关系得(：)°-（台厂 cos Ccos(A -B)cos2 C cos C[cos(A -B)+cos C] 2sin Acos C+2cos B=2acos C+2cos B. sin B b cos C[cos(A -B)-cos(A B) 所以a2-c2=2 abeos C+2 bcos B, 2cos Csin Asin B, 由余弦定理得a2-c2-a2+b2-c2+2 cos B, -8 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 即b2(1+2cosB)=0, I ABI2 m'd2 n2d2 -2mnd cos 120 所以csB=-子又B∈(0，)，则B=受 =(m2+n2+mn)d, 由IACI2+IBCI2=1ABI2得 (2)由(1)及题设知，b=√a+c2-2 accos B= (n2+n+1)+(m2+m+1)=(m2+n2+mn)d, V3+5-2x3x5×(7)=7 整理得m+n+2=mn,而m>0,n>0, 如图2所示，此时W==子 则m++2:m≤(“兰)广 当且仅当m=n,即m=n=1+√5时取等号， 设BM=x,BV=y, 又m+n=t,即有t-4t-8≥0， 而t>0,解得t≥2+25， 所以实数t的最小值为2+25. 第30期3,4版 图2 平面向量及其应用核心素养综合测评 由余弦定理得2+>2-2c02=MW心=49 3 41 一、单项选择题 1~4 CBAB 5~8 BCBB 即2+y2+y=49 4 提示： 因为++≤+少+生兰=多+. 3 1.由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A, 2 拟+≥号×9-。 即1=3+2-2cx. 整理得2-3c+2=0, _75时取等号， 当且仅当x=y=6 解得c=1或c=2. 2.由题意知1el=1, 所以BM+BN2的最小值为 所以向量a在向量e上的投影向量为： 6 19.解：(1)在△ABC中，cos2A+cos2B-cos2C=1, (a1me）=(2s）e=-e 1 2sin2 A +1 -2sin2 B -1 +2sin2 C 1, 3.设c=(x,y), 则sin2C=sin2A+sin2B, 由正弦定理得c2=a2+b2, 则·c=2x+y=0, b·c=x+2y=32, 所以△ABC是直角三角形，即C=受 解得x=2, (2)(1)知c=受， y=22, 所以1c1=√R+y=2+8=0. 则△ABC的三个角都小于120°，如图3， 4.因为在△ABC中，A,B∈(0，m), 由费马点的定义知∠APB=∠BPC= ∠APC=120°， 所以cosB=7 I PAl =x,I PBI =y,I PCI =2, 由SAAPB+S△BPc+SAAPC=SAAB得 即sinB=V个-cosB-43 7 图3 1 2 ×4 由正弦定理可知smA=0B=。 2 b 83 整理得xy+yz+xz= 即4：号或号又a<么.则A<B, 3 所以P.P+P.P元+P元.P 所以A=罗不成立，故4=号 =2y-如 1 5.设线段BC的中点为M,则0B+0元=2O, 因为2A0=0正+0元，所以4d=0, =-分×89- 31 期0=分成-（花+⊙=4（花+十而） (3)由点P为△ABC的费马点， 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 子应+ IPBI ml PCI,I PAI nl PCI,I PCI d,m 0,n>0,d>0, 由B,00三点共线得子+=1，解得6=} 则由IPAI+PBI=I PCI得m+n=t, 6.如图1，过点P作PM⊥AC,垂足为 由余弦定理得1AC12=dP+n2P-2 nd cos120° M,由题意可知∠PAM=∠PBM= =(n2+n+1)d, 45°， BC12 =d2 m'd -2md cos 120 (m2 +m +1)d, 则△PAM,△PBM均为等腰直角 A D M E B 1 -9 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 三角形，可得AM=BM=PM, 提示： 且∠PCM=30°，可得MC=√5PM, 9.BC=AC-AB=(3,0),(A)正确： 因为BC=200(5-1)米， 因为2BC-4A元=(4，-1)， 则5PM-BM=(5-1)BM=200(35-1), 所以AB.(2BC-AC)=-5,(B)错误； 解得BM=200米， 因为AB.AC=-1,1AB1=2,「A元1=5， 所以DE=AB-AD-EB=2BM-AD-EB=350(米)， 即隧道DE的长度为350米. 所以cos0=万×5 -1 =(0)正确： 7.正八边形的每个内角为5×！80°=135°， 8 入AB+uAC=(2μ-A,4+A)=(3μ，A+1), 延长GH交直线AB于点M,延长DC交直线AB于点N, 所以2业-入=3业，解得入=-1,4=1， 则∠HAM=∠AHM=45°， u+A=入+1， 则△AHM为等腰直角三角形， 则4-入=2，(D)正确。 且AM=BN=AHcos45°=2√2， 故选(A)(C)(D). 以点A为坐标原点，AB,AF所 y 10.因为a=√7，b=3,c=2,所以simA:sinB:sinC= 在直线分别为x,y轴建立如图2所 a:b:c=√7：3：2，(A)正确； 示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(4,0),M(-22, 由余弦定理得cosA=c+6-a-22+32-(万 2cb 2×2×3 0),N(4+22,0), H ,因为Ae(0,),所以A=号，(B)错误； 设点P(x,y),则-2万≤x≤ 4+22,A=(x,y）,A店=(4,0)， M A B 5am=宁in4=宁×2×3×号-39.(C)正确： 所以AB·AP=4x∈[-82， 图2 16+82] 因为∠DMB的平分线交直线CB于点E,A=号， 8.因为(b+c)2-a2=45S, 所以∠BAE=T 3 所以+6-d2+2c=46:合sinA 所以S AACE=S△ABc+S△ABE, 即+c-心+1=万imA, 即24报x3n号=宁×3×2n号+分4×2sn号， 2bc 解得AE=6,(D)正确。 由余弦定理得3sinA-cosA=1, 故选(A)(C)(D) 则2n(4-君）=1， 11.对于(A),由奔驰定理可得S4:SB:Sc=2:3:4,故 (A)错误； 即sin(4-无)=2 1 对于(B),由=号店+子配 在△ABC中A∈(0，T), 即A-君e(晋爱) 即-0=与(0成-0M+号(d-0i. 整理得20+0+20C=0, 则4-吾=石故4=于 由奔驰定理可得S4:Sg:Sc=2:1:2,故(B)正确； 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=4+9-2×2×3 对于(C),由50A+120B+130C=0, ×2=7,所以a=万， 1 可得S4:Sg:Sc=5:12:13, 设△ABC的内切圆半径为T, 由正弦定理得2R=a, 5-2 sin A B ,则R= 1 √F 则S:S:S=之·Bc:之Ac:之·AB, 3 所以BC:AC:AB=5：12:13, 因为(a+b+cr= Ibesin A, 即BC2+AC2=AB2,所以BC⊥AC, 即∠ACB=,故(C)正确； bcsin A 2x3×5 所以r= 2 35 a+b +c 5+万5+万 对于(D)S=1应10元1sm∠B0c, 万 。=子01成1sn∠A0c, 所以R」 7+5万 35 9 及。=1a110i1sim∠A0B, 5+7 因为O为△ABC的垂心， 二、多项选择题 所以sin∠BOC=sin∠BAC,sin∠AOC=sin∠ABC, 9.ACD;10.ACD;11.BCD. sinm∠AOB=sin∠ACB, -1016.(15分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 18.(17分)已知△A0B的顶点坐标为0(0,0)，A(2,9),B(6, 19.(17分)在平面直角坐标系中，0为坐标原点，对任意两个向 (1)a+c=6,e =(a,cosA)e,=(cos B,b),3b=a+e -3),点P的横坐标为14，且0P=入PB,点Q是边4B上一点，且0可 量m=(x1,y),n=(x2,y2).作0M=m,0N=n.当m,n不共线 e,求△ABC的周长； .AP=0. 时，记以OM,ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=1x1y2- (2)若B=30°，b=2,c=2,求a (1)求实数入的值及点P,Q的坐标； xy1I;当m,n共线时，规定S(m,n)=0: (2)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点，试求R0·(+ (1)分别根据下列已知条件求S(m,n): ①m=(2,1),n=(-1,2); RB)的取值范围. ②m=(1,2),n=(2,4); (2)若向量p=入m+n(入，∈R,入2+2≠0)，证明：S(p,m) +S(p,n)=(I+ul)S(m,n); (3)记0A=a,0B=b,0C=c,且满足c=Aa+b,a1b,la =|b1=|cl=1,求S(c,a)+S(c,b)的最大值 高中数学·必修第二册（人教 17.(15分)如图7，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由 A版 城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处测得公路上距B处 31km的C处有一人正沿公路向4城走去，走了20km之后到达D处，此 核心素养综合测评 时B,D间的距离为21km.这个人还要走多少路才能到达A城？ 高中数学·必修第二册（人教A版）棱心素养综合测评 图 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 报纸发行质量反馈电话： 数评橘 2026年1月23日：星期五 高中数学 第 30期总第1174期 人教A 0351-5271248 必修（第二册 名人名言 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F)邮发代号：21-201 点睛：本题是向量加法的几何意义与平面 (D)a·(a-b) 关键词：热爱生 向量基本定理的综合问题，其中平面向量基本 I a-bl 命，感恩，爱心，热情 1.当我们真正热 平面向量 二重唱 定理的应月体现在：旅据而-号丽+兮，确 分析：把AD和AB分别用向量a,b表示出 来，再根据0D1AB,列方程求入的值 爱这世界时，我们才 定入和山的值时，由平面向量基本定理可知CD 真正生活在这世上 ○湖南向利平 解：因为AD=入AB, =uCB+入C中的入和u是唯一的，所以入= 一泰戈尔 平面向量自成体系，其中的知识点十分丰 所以0币-0A=A(0B-0, 2.生命是永恒不 富，故两个知识点的综合问题也屡见不鲜.解答 所以0D=(1-)0i+入0B 断的创造，因为在它 这类问题，需两个知识点配合默契，各司其职， 二、向量的关系与向量运算的二重唱 =(1-入)a+λb: 内部蕴含着过剩的 就象二重唱.下面就请同学们欣赏几段 例2已知平面向量a=(1,2),b=(-2, 又OD是AB边上的高，所以OD·AB=0, 精力，它不断流溢， 一、向量的线性运算与平面向量基本定理的 m),且a∥b,则2a+3b= () 所以0币.(0B-0A)=0, 越出时间和空间的 二重唱 (A)(-5,-10) (B)(-4,-8) 界限，它不断地追 例1如图1，在△ABC中， 所以[(1-A)a+b]·(b-a)=0, (C)(-3,-6) (D)(-2,-4) 整理得入(b-a)2=a·(a-b), 求，以形形色色的自 已知D是AB边上一点，若AD 分析：根据a∥b,求出m的值，即可求2a+3b. 我形式表现出来 =2DB,CD=ACA+uCB,则 解：因为a∥b,所以m-2×(-2)=0, 所以X=a·(a-b) 1a-b12 一泰戈尔 入+从= 图 解得m=-4,所以b=(-2,-4) 故选(B). 3.人生不是一支 分析：在△CBD和△CAD中分别把CD表 所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4) 点睛：在运算过程中，一定要清楚哪些量是 短短的蜡烛，而是一 示出来，再通过解方程组消去无关向量，即可求 =(-4,-8). 实数，哪些量是向量，确保合理、正确地进行相 支暂时由我们拿着 出入和山的值，进而求它们的和 故选(B). 关运算 的火炬.我们一定要 CD CA+AD. 点睛：本题虽简单，但知识覆盖面较广 四、向量坐标运算与数量积的二重唱 把它燃得十分光明 解：因为 且AD=2DB CD CB+BD 三、向量的线性运算与向量数量积的二重唱 例4设向量a与b的夹角为0,4=(2,1)， 灿烂，然后交给下一 例3如图2，在△OAB 3b+a=(5,4),则c0s0= 代的人们. [CD CA +2DB, 所以 中，0i=a,0B=b,0D是 分析：先依据向量坐标的线性运算法则求 一萧伯纳 CD CB BD, 出b,再用向量夹角余弦的坐标表示求c0s0的值 CD =CA +2 DB AB边上的高，若AD=入AB 4.我不去想未 解：因为a=(2,1),3b+a=(5,4), 来是平坦还是泥泞 所以 则实数入= ( 2CD =2 CB+2BD. 只要热爱生命，一 (A)a·(b-a) 所以b=(5-2,4-1)=(1,1), 二式相加得3CD=2CB+C, 1a-b12 切，都在意料之中。 一汪国真 即而=子成+， (B)a·(a-b) 所以cos0=(2.1)·(1,业=30 10 1a-b12 5·√2 6.人间如果没 所以A=行业=号故A+以=1 (C)a·(b-a) 点睛：在进行向量坐标运算时，因涉及数据 有爱，太阳也会灭 1a-b1 较多，一定要依据运算法则小心从事 一雨果 数学中三角形面积公式很多，若能根据已 公式3：S=s(s-a)(s-b)(s-c) 7.君子莫大于 知条件灵活选用会起到事半功倍的解题效果， 形面和公式 与人为善.一孟子 下面归纳常用的三角形面积公式，以便同学们 公式4：S=6c 4R 8.我期望理解， 求解相关问题时能够有的放矢的加以应用： C 归纳与应用 但是也慢慢地感受 推导：在△ABC中，由正弦定理，得 在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为 sin C ◎山东陈小飞 到了一种责任，给予 a,b,ca,b,c边上的高分别为h,h,h:r为内切2R,sinC=R故S= ab· 三边之积abc=16V2,所以SAc= 比接受伟大，去爱比 2R 4R 圆半径，R为外接圆半径，S为△ABC的面积，s 被爱伟大」 =√2 一海明威 为半周长，即s=2(a+b+c), 4R 故填 9.岁月悠悠，衰 例2在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边 微只及肌肤；热忱抛 公式1：8=b,=0,=分d 公式5：s=号a+b+cr 却，颓废必致灵魂 推导：设△ABC内切圆的圆心为O,过O分 分别为a,b,c若c2=(a-b)2+6,∠C=牙，求 一塞缪尔厄尔曼 公式2：s=nkin C=2 -besin A= 别作边AC,AB,BC的垂线OD,0E,OF,垂足分△ABC的面积 10.灵魂里的一 1 别为D,E,F,则S=SA0HB+SA0ac+S△0ac=2C 解：因为c2=(a-b)2+6,C=牙， 滴仇恨，会扩散开来 毁掉所有色彩，就像 推导：在△ABC中，根据直角三角形边角关 ·0B+20F+20D=r+ 又由余弦定理得 白牛奶里的一滴黑 系可知：当∠C为锐角或直角时，h。=bsin C;当 a+b-2abcos+b-ab, 墨水 ∠C为能角时，A.=6si(m-C)=6sinC.代入+之br= 2(a+b+c)r. 所以a2+b2-ab=(a-b)2+6, -艾丽丝门罗《爱 S:2h.得S:ain C.同理可得s= 例1已知圆的半径为4，a,b,c为该圆内接 解得ab=6, 的进程》 1 csmA=了0sinR这个公式是解三角彩问 三角形的三边，若abc=162,则三角形的面积 故Sac=2 absin C=7×6×sin3 为 33 题中应用最多的面积公式 解：因为三角形外接圆半径R=4,三角形 2 素养·专练 A 数理极 月空题库 解：由已知得sin Acos B+sin Acos C=sinB +sinC,结合正、余弦定理得 a心+-公+a,a2t6-c 莉用向量态 会角形形状的判定 2ac 2ab =b+c, 整理得(a2-2-c2)(b+c)=0. 求解速度问题酸 ©河南李芝 所以a2=2+2,即△ABC为直角三角形. ⊙福建李爱英 例题在△ABC中，若acos A=bcos B,试判断 点评：已知三角形中的边角关系式，判断三角 例1一艘船从A点出发以23km/h的速度 △ABC的形状 向垂直于对岸的方向行驶，同时河水流速为 形的形状，有两条思路：①化边为角，再进行三角 解析：因为ac0sA=beos B,且a=2 Rsin A,b恒等变换求出三个角之间的关系式；②化角为边， 2km/h,求船实际航行的速度的大小与方向. =2 Rsin B,所以2 Rsin Acos A=2 Rsin Bcos B,所 解：如图1所示，由v水I=2km/h,1v船1= 再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。 以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A=180°- 变式3：在△ABC中，三内角A,B,C满足 25km/h,得1'船实际|=√4+12=4km/h,方 2B,即A=B或A+B=90°. 向为与水流成60°夹角. sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC,试判断 所以△ABC是等腰三角形或直角三角形 △ABC是何种三角形？ 点评：判断三角形的形状，一般是从题设条件 出发，根据正弦定理、余弦定理等进行代换、转化， 解：由sinA≠0得cosB+cosC=sinB sin A 寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出 正确判断 出导由正、余弦定理得： 2ac 图1 图2 变式1：在△ABC中，若a=2 bcos C,试判断这 a2+b2-c2 b +g,所以a2b+bc2-B+a2c+ 例2一艘船距对岸45km,船从A点出发以 个三角形的形状 2ab 2√5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对 解：由0sC=。+,2-c及已知条件得 b2c-c3 2bc(b+c),a2(b+c)bc(b +c)- 岸时，船的实际航程为8km,求水流速度的大小 2ab (b+c)(b2+c2-bc)=2bc(b+c).所以a2+bc a=26.4+-c整理得=c 解：因为船距对岸43km,到达对岸时，船的 2-c2+bc=2bc,所以a2=b2+c2.故△ABC是 2ab 实际航程为8km, 故△ABC为等腰三角形. 直角三角形 所以船向下游行驶了√82-(43)2=4km 点评：选择解题思路时，要从根据已知条件的 点评：根据题目条件进行相应转化时，一般从 以下角度来考虑：如果是以内角的三角函数形式 又船垂直于岸的速度为lv船|=25km/h, 结构特征入手来分析 sinB+sinC,试判断 给出的等式，则一般考虑思路①；如果是以边给出 船距对岸4,5km,所以船行驶了45=2h, 变式2：已知sinA= 23 cos B cos C' 的等式，则一般考虑思路②；如果是以边与角的三角 △ABC的形状， 函数混合给出等式，则一般考虑思路①或②均可 故水1=4 =2km/h. 第29期2版参考答案 2c0s2A+3c0sA-2=0, 2sin2 A +1 2sin2 B -1 +2sin2 C 1, (2cos A-1)(cos A+2)=0, 则sin2C=sin2A+sin2B,由正弦定理得c2=a2+b2 专项小练一 解得c0sA=子或c0s4=-2(合去) 所以△ABC是直角三角形，即C=子. 1.C:2.D;3.BCD:4.-5;5.- 4 专项小练二 因为0<A<,所以A=号 (2)由(1)知C=T,则△4BC的三个角都 1.C;2.C;3.ACD;4.等腰； 2)由s=-lcin A=夏e=55, 于120°，如图3， 5日或 由费马点的定义知∠APB=∠BPC 得bc=20,又b=5,所以c=4. ∠APC=120°， 专项小练三 由余弦定理得a2=2+2-2 bccos A=25+16-20=21, 1.C;2.A:3.BD:4.125;5.3. 解得a=2T 设1p厨1=x,1P呢1=y,1P元1=，由 第29期3版参考答案 又由正弦定理得nBnC-4.4=午m2A= S△g+S△BPc+S△Pc=S△Bc得 a 1 一、单项选择题 5 1~4 CDCA 5 ~8 CADD 二、多项选择题 9.BC;10.AD:11.AC. 18解：①)由正弦边角关系得(÷)广-(÷)） 整理得xy++世=8E 三、填空题 2sin Acos C+2c0 B=2aco CcB. 所以可m+成.元+元同y 12.1;13.2m;14.25. sin B 四、解答题 所以a2-2=2 abcos C+2b2cosB, 15.解：l5km/h=250m/min,250×5=1250m 由余弦定理得a2-c2=a2+b2-c2+2b2cosB, (3)由点P为△ABC的费马点， 10kmA=m/mn,5×8-40 即2(1+2cosB)=0, 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， m. 所以c0sB=-,又B∈(0，m),则B=2 I PB I ml PCI I PAI nI PCI,I PCI d,m O,n 整个过程为A店，B配，C⑦，如图1所示， >0,d>0, 其中121=50m,1BC1=1250m,1C1=400m (2)由(1)及题设知，b=√a+c2-2 accos B 则由IPAI+PB1=LI PCI得m+n=t, 3 V3+-2x3x5×(-)=7. 由余弦定理得1AC12=P+n22-2 ndcos120 A上 Sa60e→D =(n2+n+1)dP, 东 如图2所示，此时MN= |BC12=d2+m22-2 nd cos120°=(m2+m+1)2 图1 名b=子，设BV=,BN= I AB12 m2d2 n2d2 -2mnd cos 120 由余弦定理得x2+y2- =(m2+n2+mn)2, 16.解：(1)在△ABD中，AD=5,AB=7,∠BDA=60°， 由IAC12+1BC12=1AB12得(n2+n+1)d2+(m2+m+ 所以由余弦定理AB2=AD2+BD2-2AD·BD·COS∠BDA可 得49=25+BD2-2×5·BD·c0s60°， 2m=e=9. 图2 1)2=(m2+n2+mn)dP, 则BD2-5BD-24=0,解得BD=8(BD=-3舍去) 即2++对=碧 整理得m+n+2=mn,而m>0,n>0, (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60°=15， 又∠BCD=135°，则∠CBD=180°-135°-15°=30 由(1)得BD=8, 因为++≤2++-(2+) 则a+a+2=m≤(）， 2 当且仅当m=n,即m=n=1+√3时 CD 由正弦定理得in∠CBD-sin ZBCD' BD 以+≥子×望- 取等号， 当且仅当x=y-2时取等号所以B+BN的最小值为号 又m+n=t,即有2-4t-8≥0， 即=mi5解得cD=4E 8 而t>0,解得t≥2+23， 17.解：(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 19.解：(1)在△ABC中，cos2A+cos2B-cos2C=1,即1- 所以实数1的最小值为2+25. 统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝.如图2，这是一个正八 平面向量及其应用 边形的剪纸作品.如图3，这是一个正八边形，其中AB=4,P是这个八 核心素养综合测评 边形上的任意一点，则A店·AP的取值范围是 图4 ©数理报社试题研究中心 (A)若20M+302+40C=0,则S4:Sm:Se=4:3:2 第I卷选择题（共58分) (®)若0=写+号C,则S,:S:8。=2:1:2 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 图2 图3 (C)若0为△4BC的内心，且50A+120B+130C=0,则∠ACB 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c已知a=1,b= (A)[-16-82,16+82](B)[-82,16+82] B,A=石则c= (C)[-16-82,82] (D)[-82,82] 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,记△ABC的面 (D)若O为△ABC的垂心，则an∠BAC.Oi+tan∠ABC.OB (A)1 (B)2 (C)1或2 积为S,已知(b+c)2-a2=45S,b=2,c=3,则△ABC外接圆半径 tan ∠ACB·0C=0 高中数学 (D)3 4 R与内切圆半径r之比为 ( 2已知1a=2,e为单位向量，向景a与向量e的夹角为平，则向 (A)6+万 (B)7+5万 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 高中数学 8 9 必修第一 量a在向量e上的投影向量为 ( 必 (A)2e (B)-√2e (C)2 (D)-2 (C)6-万 (D)14+10万 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 8 9 12.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°，B 册 3.已知平面向量a,b,c满足a=(2,1),b=(1,2),且a1c.若 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 修第二册 =45,则号= b·c=32,则1c1= 9.已知4B=(-1,1),AC=(2,1),则下列结论正确的是 教 (A)√10 (B)25 (C)52 (D)35 13.如图5为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根 ) 绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均 A 版 4.△ABC中，若a=7,b=8,c0sB=7,则∠A= (A)BC=(3,0) 版 为30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相 核 (B)AB.(2BC-AC)=5 同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小 素养综 () (B)于 (C)5π 6 (D晋或 (C)店与AC的夹角0的余弦值为-0 为 ,(注：重力加速度g取9.8m/s2,精确到 10 图5 合测评 5.已知0为△ABC内-点，且20i+0B+0C=0,AD=tAC 0.01N) 若B,0,D三点共线，则t= (D)若入AB+uAC=(3μ，入+1)，则u-入=2 14.设点P在单位圆的内接正八边形A42…Ag的边A42上，则 10.在△ABC中，设A,B,C的对边分别为a,b,c,D为CA延长线上PA+PA++PA的取值范围是 (A)年 (B) (c) (D) 点，∠DAB的平分线交直线CB于点E,若a=万，b=3,c=2,则 四、解答题：本题共5小题，共77分 6.盘兴铁路全长98.309公里，是贵 15.(13分)如图6，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起， 州省“市市通高铁”的最后一个项目，盘 (A)sin A:sin B:sin C=7:3:2 ∠ACB=45°，∠BED=30°，若设AB=a,AC=b,用向量a,b表示向 兴铁路全线桥隧长为89.13公里，是目前 (B)A=T 量AD. 6 贵州高铁中桥隧比最高的线路.如图1所 A 示，施工队为了估计盘兴铁路某隧道DE (C)AMBC的面积为3 的长度，在山顶P点处测得三点A,B,C的俯角依次为a=45°，B= (D)AE =6 45°，y=30°，其中A,B,C,D,E为山脚两侧共线的五点.现预沿直线 11.平面向量中有一个优美的结论，有趣的是，这个结论对应的图 AC挖掘一条隧道，测得AD=30米，BC=200(5-1)米，EB=20 形与“奔驰”轿车的1og0非常相似，该结论如下：如图4，已知0是 米，估计隧道DE= △ABC内部一点，将△B0C,△A0C,△A0B的面积分别记为SA,SB, (A)2002米(B)300米 (C)350米(D)400米 Sc,则S4·0A+Sa·0B+Sc·0C=0.根据上述结论，下列命题中正 7.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传确的有