第28期 平面向量基本定理及坐标表示-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版）

17.(15分)已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1). 18.(17分)如图4所示，在△AB0中，0C=0i,0币=}0成 19.(17分)对任意两个非零向量m,n,定义：m⑧n= m·n (1)若A,B,C,D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求 点D的坐标； AD与BC相交于点M,设0i=a,OB=b: (1)若向量a=(5,3),b=(-3,2),求a☒(a+2b)的值； (2)若E(m,n)是线段AC上一动点，求(m-2)2+n2的取值范围. (1)试用向量a,b表示0M; (2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点 2)若单位向量a,b满足(a+b)国(2a-b)=名，求向量a与 ,设0=A0,亦=40成，证明片+2=7。 a-b的夹角的余弦值： (3)若非零向量a,b满足Ia|≥31b1,向量a与b的夹角是锐 角，且4(b⑧a)是整数，求a☒b的取值范围. 高中数学·必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 高中数学·必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2026年1月9日·星期五 高中数学 报纸发行质量反馈电话： 第 28期总第1172期 人教A 0351-5271248 兹理橘 必修（第二册）】 名人名言 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F)邮发代号：21-201 关键词：坚持， 疑难解榀2 所以点P的坐标为台。一》 积累，行动，务实 点评：由向量模的关系确定向量的关系时， 解读● 1.只要不丧失远 大的使命感，或者说 分点坐标轻松求 定要注意向量的方向，必要时，可借助图形来 确定.一条线段内分，点的坐标一定介于线段端 平面向量基本定理 还保持着较为清醒 点的两个相应坐标之间，如：本题求出的点P的 ⊙湖南李灿 的头脑，就决然不能 ◎山东马继峰 横坐标一定在2~4之间，这可作为检查求解结 如果e,和e,是一个平面内的两个不共线向 线段分点的概念：对于一条线段，其上的任 把人生之船长期停 果是否正确的一个依据. 量，那么对于这一平面内的任意一个向量a,有 意一点，叫做这条线段的内分点，其延长线或反 泊在某个温暖的港 向延长线上的任意一点，叫做这条线段的外分 例2已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段 且只有一对实数入1,2，使a=Ae1+入2e2 湾，应该重新扬起风 点.求线段外分点坐标的方法是：先把向量模之 推论：如果e1,e2是一个平面内的两个不共 帆，驶向生活的惊涛 间的关系转化为向量之间的关系，然后根据“若 AB的反向延长线上，且1丽=子P,求点 线向量，且ae1+be2=ce1+de2,则a=c,b 骇浪中，以领略其间 两个向量相等则对应坐标相等”列方程组求解。P的坐标 例1已知A(2,3),B(4,-3),点P在线段 d. 的无限风光.人，不仅 解：设P(x,y), 例1如下图，平行四边形ABCD中，AB=a: 要战胜失败，而且还 AB上，且1矿=子1丽1，求点P的坐标 则BP=(x-4,y+3),P=(2-x,3-y). AD=b,H,M分别是AD,DC的中点，点F使BF 要超越胜利. 分析：设出点P的坐标，用点的坐标表示AP 因为点P在线段AB的反向延长线上， 路遥《早晨从中 与丽，然后振据1矿=2耐1骑定护与网 且1m=多风1，所以m=-风 }BC,用基底a,b分解向量A与 午开始》 之间的关系，最后根据向量相等的定义，列方程 3 2.天地之功不 组求，点P的坐标 所以(x-4,y+3)=- 2(2-x,3-y). 可仓卒，艰难之业当 解：设P(x,y), 「x-4=- 累日月.—司马光 则Ad=(x-2,y-3),PB=(4-x,-3-y). (2-x) 2 所以 解得2 分析：以a,b为基底分解向量AM与H下，实 3.有些人之所 因为点P存线段B上，且1=之⑧， 3 +3=-2(3- ly=15. 为用a与b表示向量AM与H正 以不断成长，就绝对 所以=子成 所以点P的坐标为(-2,15). 解：由点H,M,F所在位置， 是有一种坚持下去 的力量 —杨绛 3 点评：把向量模的关系式转化为向量关系 所以(x-2,y-3)=2(4-x,-3-y) 有成=A+D成=Ad+DC=A花+ 式，只需先把模符号去掉，然后看两个向量方向 4.即使慢，弛而 x-2= 24- 16 x= 是相同还是相反，若相同，则所得关系式即为向 5 )A店=b+a,证=A正-A=A店+B㎡ 不息，纵会落后，纵 所以 解得 量关系式；若相反，则在系数前面加上负号，即 会失败，但一定可以 -3=- y 5 为向量关系式 =+BC-而=a+ 达到他所向的目标 3 b-2 =a /241 一鲁迅 5.只有知道了书 炯量生标 所以币.c正=(-2,1)·（3,3) =(-2)×号+专=0， 例2在同一平面内，点A在直线BC(点 的结尾，才会明白书 的开头 速解平面心何 因此AD⊥CE. B,C不重合)上，证明：对于平面内任意一点0， 二、求线段长度或求角的度数 ⊙海南胡立军 都存在实数x,y,使0A=x0B+y0元且x+y=1. 一叔本华 例2已知正方形0ABC的边长为1，点D,E 6.不要把一个阶 一、证明直线平行或直线垂直 分别为AB,BC的中点，试求∠DOE的余弦值 证明：若点A在直线BC上，则AB∥AC 例1如图1，在等腰直角B 段幻想得很好，而又 【思路点拨】首先考虑建立坐标系，求出D, ①若点A与点C重合，则对于平面内任意 △ABC中，角C是直角，CA= 去幻想等待后的结 E两，点坐标，进而求得0D,0正的坐标，再利用两 点0,0A=0.0店+0C,即存在x=0,y=1, CB,D是CB的中点，E是AB 果，那样18.的生活只 个非零向量的夹角公式，即可求出∠D0E的余 上的一点，且AE=2EB,证 使0A=x0B+y0C,且x+y=1; 弦值 会充满依赖. 明：AD⊥CE. ②若点A与点C不重合，则存在实数入，使 图1 解：以OA,OC为坐标 德莱尔《恶之花》 【思路点拨】欲证垂直关系，可以建立直角轴建立直角坐标系（如图3 AB=入AC,因为点B,C不重合，所以入≠1. 7.欲当大事，须 坐标系. 所示) 因此，对于平面内任意一点0,0-0= 是笃实.—魏裔介 证明：建立如图2所示的 则由已知条件，可得 A(0C-0,得(1-)04=0B-入0元， 8.幸福没有明 直角坐标系， 0币=(1,2)，0 不妨设AC=BC=2,则 所以0= 天，也没有昨天，它不 C(0,0),A(2,0),B(0,2), (31) 1-λ 怀念过去，也不向往 因为D是CB的中点，则 图2 未来，它只有现在 0D.0E x=1-入 D(0,1).所以AD=(-2,1),AB=(-2,2), 故cos∠DOE= 故存在 屠格涅夫 10D1.10E1 入 又c正-C+正-C+子A店 1 1 y=-1-x 1×2+2x1 = 使04=x0B+y0C,且x+y=1. =2.0)+(-22)=（号） 2×2 综上所述，结论成立 2 素养专练 数理极 专项小练一、平面向量基本定理、正交分 专项小练二、平面向量线性运算的 专项小练三、平面向量数量积的 解及坐标表示 坐标表示 坐标表示 1.如果与b是一组基底，则下列不能作为 1.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上 1.已知点A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则AB 基底的是 () 的单位向量，且A(2,3),B(4,2),则4B= .A元= (A)a+b与a-b(B)a+2b与2a+b () ( (C)a+b与-a-b(D)a与-b (A)-1(B)0 (C)1 (D)2 (A)2i+3i (B)4i+2i 2.(多选)下列各组向量中，可以用来表示 2.已知向量a=(-1,3),a·b=-6,c= (C)2i-j (D)-2i+j 向量a=(1,2)的是 ( 2b-a,则向量c在a上的投影向量的模等于 2.已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b ( (A)e1=(0,0),e2=(3,5) =(-3,0),Aa+ub=(-1,1),则+k= (B)e1=(1,1),e2=(1,2) (A)8 (B)7(C)6(D)5 (C)e=(1,1),e2=(1,3) 3.（多选)若向量a=(0,1),b=(2,-1), (A)-1 (B)0 (C)1 (D)25 (D)e=(1,2),e2=(-2,-4) c=(1,1),则 () 3.(多选)已知一平行四边形的三个顶点坐 (A)(a-b)∥c 3.设D是△ABC所在平面内一点，BC= 标分别为(0,3)，(-1,0)，(3,0)，则第四个顶点 (B)(a-b)⊥c 3CD,设AB=e1,AC=e2,则AD在基{e1,e2}下 坐标可以是 (C)(a-b)·c>0 的坐标为 () (A)(-4,3) (B)(-5,3) (D)Ia-b1=21cI (a(告) (B)(手-号) (C)(4,3) (D)(2,-3) 4.已知a,b为平面向量，且a=(4,3),2a+ 4.已知点A(-1,-5)和向量a=(2,3),若 b=(3,18),则a,b夹角的余弦值为 (c)(3,-子) (D(号) AB=3a,则点B的坐标为 5.已知向量a=(2,1),b=(2,x)不平行， 5.已知平面内三个向量4=(3,2)，b= 4.已知向量e1,e2不共线，实数x,y满足(3x 且满足(a+2b)⊥(a-b),则x= (-1,2),c=(4,1),若(a+c)∥2b-a,则k= -4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y= 数理报社试题研究中心 参考答案见下期 5.设向量{e1,e2是平面内一个基底，且a =e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以用 第27期3版参考答案 解得A=子=名，所以示：石配 另一个基底a,b}表示，即e1+e2= 一、单项选择题 1-4 CBDB 5~8 DBCB m=-成=石花-分访=b-之a 二、多项选择题9.BD;10.AB;11.ACD 三、填空题 (i)由=名b-a=合(-3a+b),正-名+g0 第27期2版参考答案 =名(a+bm.a证=-8得石(-如+b)ga+b)=-6 专项小练一 2+：,14 2 1.D;2.B;3.AD;4.F2,BC,C 四、解答题 15.解：因为ka+3b与2a+b共线， 即g(-302+6-2ab)=-各 5.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成 所以存在实数A,使ka+3b=A(2a+b) 的有向线段，共有20个， 即(k-2A)a=(Ak-3)b. 即8（-3驴+f-2rm号）=-6 aB.AC.AB.a0:BA.BC.BD.Bo:CA.CB.CB.CO:DA.DE. 由于ab不共线所以你286=6 解得t=3,所以△ABC的边长为3. D元，Dd:0,0i,0元，0i 19.(1)证明：因为e1,e2分别为0x,0y正方向上的单位向量， 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等， 即实数k的值为6或-6. 且夹角为60，所以e1·e2=1e1e21cos60°=， 即A=D元，Ai=BC,DA=ci,BA=ci,Ad=0元，oA=Cd, 16.(1)证明：如右图，0店+0元= 所以{x1y·{22 Dd=0i,0市=Bd. 20i,0A+0元=20尼， 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个 因为0+20丽+30=(o+0CB2 =(x1e1+y1e2）·(x2e1+2e2) 专项小练二 +2(0B+0C=2(02+20i=0.即20币+02=0，所以0币与 =x1x2ei+x1y2e1·e2+x2h1e1·e2+y12e吃 1.C:2.B;3.ABD 0尼共线.又0i与0正有公共点0，所以D,E,0三点共线 =1e12+21+2y+21el2 4.2a+7b;5.C (2)解：由(1)知210i1=1021, =x1+n归+（归+n). 6.解：在矩形ABCD中，1A心1=1B元1=45,1A1=8,则 所以Sac=25aE=2x子am=2×子x子5Ae (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为sinx,1, 1B市1=AB12+AD12=√82+(45)2=4万， 方5所-3 cosx,1, 因为BC=b,A=a,Bi=c, 所以fx)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe1+e2) 17.解：(1)由题意知la+b12=2+2a·b+b2=12, 则a-b-c=A序-BC-B市=A成-Ai-B或 =sin xcos xe+sin xe1·e2+cos xe1·e2+e 又1a1=2,1b1=4,所以a·b=-4, =D席+D=2D成】 由(2a-b)⊥(a+b)得(2a-b)·(ka+b)=0, =sin sco+1+宁（血+s, 因此，Ia-b-c1=21Di1=2×4万=8万. 即2ka2+2a·b-k2a·b-b2=0. 专项小练三 所以8k-8+42-16k=0,解得k=1±5. 令1=sinx+cosx=2in（x+平)， 1.D;2.C;3.BD;4.e1+2e2;5.2. (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8,13a+b1= /9a2+6a·b+b=2万， 则sin xcosx=2(2-1), 6.解：因为M元=士+子M应， 设a与3a+b的夹角为0， a·(3a+b) 所以4M元=M+3MB,所以M元-M=3(M店-M心 8_2万 因为x∈R,所以-E≤2simx+牙）≤E, 而t-成所以AB,c三点=4 则es6=a3a+b2x2斤=7 即-2≤t≤5， I BCI 所以。与3a+b的夹角的余装值为2识 令g()=之(2+1+1)(-万≤1≤2)， 专项小练四 18.解：(1)因为MN∥BC, 1.C:2A:3BD:4.E:5. 所以示--成=b-a 因为对称轴为1=-，函数图象开口向上， 6.解：(1)因为1a+b12=a2+b2+2a·b=9+16+2×3 花=动=名（成+商=名+名b 所以当1=-分时，80取得最小值 ×4×c0s60°=37，所以1a+b1=/37. (2)(i)设AN=xA元，因为M,E,N三点共线， (2)因为1a-b12=a2+b-2a·b=9+16-2×3×4× (分）=3×(43+)= c0s60°=13，所以1a-b1=√3 所以存在唯一的实数入，使得M配=入M成， 所以w6-0品 所以A2-AM=A(A-A),即A正=(1-A)A+AA, 当t=2时，g()取得最大值g(2) 所以配=12之丽+花即证=12产，+Ad =之×2++)=32，所以) 9-16 .7487 37× 481 的最小值为号，最大值为3+巨 8.在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点.点P从原点 13.《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股 平面向量的基本定理及坐标表示 出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处 定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四 同步核心素养测评 则点P到达点Q(33,33)所跳跃次数的最小值是 个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 个大正方形.如图3，在“赵爽弦图”中，若B配= 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 a,BA=b,BE=3E,则BF= .(用a ⊙数理报社试题研究中心 9.下列各组向量中，可以作为基底的是 )b表示) 图3 14.已知平面向量a,b,c满足1a1=1,a·b=b·c=1,1a- 第I卷选择题（共58分) (A)e1=(1,0),e2=(0,1) (B)e1=(1,2),e2=(-2,1) +cl≤22，则a·c的最大值为」 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.平面向量a,b满足b=2a,如果a=(1,1),那么b= (c)e,=(-34)e=(3-号) 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)已知平面向量4=(2,2)，b=(x,-1).若4⊥ ( (D)e1=(2,6),e2=(-1,-3) (a-2b),求a与b的夹角的余弦值 (A)(-2,2) (B)(-2,-2) 10.设向量a=(3,k),b=(2,-1),则下列说法错误的是 (C)(2,-2) (D)(2,2) 高中数学 2.设向量a=(x,x+4),b=(2,x),若a∥b,则x=( (A)若4与b的夹角为钝角，则k>6 (A)0或-6 (B)4或-2 (B)1a1的最小值为9 必 (C)2或-4 (D)0或-2 修第 3.已知在△ABC中，D,E分别为AC,AB的中点，BD=b,CE=c, (C)与6共线的单位向量只有一个，为（停，-） 册 则AB可以用含b,c的式子表示为 ( (D)若1a1=31b1,则k=±6 2 教 11.重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一， 其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人 高中数学·必修第二册（人教A版）同 版 (c)+ (D)+ 民喜爱.古人曾有诗赞日：“开合清风纸半张， 同 4.如图1，正方形ABCD中，M是BC的中点， 随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编 16.(15分)在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A(2,1), 核 若A=入AM+uBD,则入+u= ( 凤翅长”.荣昌折扇平面图为图2的扇形COD, B(1,4),C(3,3) 心素养测评 5 (B)3 其中∠C0D=2m,0C=40A=4,动点P在CD上（含端，点），连接0P 3 (I)若点P满足B亦=2P元，求点P的坐标： 步核心素养测评 (D)2 交扇形OAB的弧AB于点Q,且00=xOC+yOD,则下列说法正确的 (2)若点D满足AD∥0B,0C10D,求向量0D的坐标 5.已知点M(2,2)和N(5,-2),点P在y轴上，则使∠MPN为直 是 角的点P有 ) (A)若y=x,则x+y=1 (A)1个 (B)0个 (C)3个 (D)2个 (B)若y=2x,则0A.0P=0 6.已知向量a=(2,),其中x>0,b=(0,2),则ab的最大值 (C)AB.0P≥-2 1a1 为 ( (D).丽≥9 (A)2 (B) (D)1 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 7.已知向量AB与向量a=(1,-2)的夹角为m,若1AB1=25 A(2,1),则点B的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (A)(4,-3) (B)(5,0) 12.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),CD方向上 (C)(-4,3) (D)(0,5) 的单位向量为e,则向量AB在CD上的投影向量为高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 发评柄 答案详解 2025~2026学年高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期(2026年1月)》 第27期2版 9-16 -1487 √/37×13 481 专项小练一 1.D;2.B;3.AD:4.F2,BC,C 第27期3,4版 5.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点 平面向量的概念及运算同步核心素养测评 连成的有向线段，共有20个， 一、单项选择题 即AB,AC,AD,Ad:BA,B元，BD,BO:C,C元，C元，Cd:D 1~4 CBDB 5 ~8 DBCB DB,DC,Dd:0A,0B,0元，0i 提示： 1.7(a+2b-3c)-3(a-2b-c)=-3a+7b+3c 5 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等， 即AB=D元，AD=-BC,D=cE,BA=cD,Ad=OC,OA- 2.向量b在向量a方向上的投影向量的模为 CO,DO OB,OD BO. 1a…b1 2万×3×c0s 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个 3 3 专项小练二 I al 23 1.C;2.B;3.ABD: 3.-70+2b=2(b-a)=2(d- 1 4.2a+7b;5.C 6.解：在矩形ABCD中，1AD1=1BC=45,IAB1=8, =方励=励 则1B1=√AB12+1AD2=√82+(43)2=4万， 4.a∥b(b≠0)台存在唯一入∈R,使a=Ab,故①错误； ④中当入1=入2=0时等式成立，故④错，故选(B). 因为BC=b,AB=a,BD=c, a-b-c AB-BC BD=AB-AD BD 5.根据已知可得元=成+武=成+之花 DB+DB 2 DB. =0i+2(0成-0动 因此，1a-b-c1=21DB1=2×4万=8万 专项小练三 =是成-2=0-a 1.D;2.C;3.BD;4.e1+2e2;5.2. 6.由a1(2a+b)得a·(2a+b)=21a12+a·b= 6.解：因为M元=子+子， 21a13-71a1b1=0,21a2=1a11b1, 所以4M元=MA+3MB, 所以M元-MA=3(MB-MC), 则子 所以AC=3CB 7.连接0A因为B元=AC-A正=3AN-3A=3(0 所以A,B,G三点共线且：4 0A-3(0M-0A=3(0N-0i). I BCI 所以BC.0i=3(0N-0)·0 专项小练四 =3(0N.0M-1012) 1.C;2.A;3.BD;4.万；5.3g =3×(2×1×c0s120°-12) =3×(-2)=-6. 6.解：(1)因为1a+b12=a2+b2+2a·b=9+16+2 8.因为a+b与c共线，b-c与a共线， ×3×4×c0s60°=37， 所以存在实数m,n使a+b=mc,b-c=na, 所以1a+b1=√/37. 即b=-a+mc,b=na+c, (2)因为1a-b12=a2+b2-2a·b=9+16-2×3× 所以-a+mc=na+c, 4×c0s60°=13， 因为a,c不共线，所以m=1,n=-1, 所以1a-b1=√13. 所以b-c=-a,(b-c)2=(-a)2,所以2-2b·c=1, 所以cos0=(a+b)·(a-b bc=2 1 l a+bl l a-bl 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 设向量b,c的夹角为0， 故选(A)(C)(D. 则1×1×cos0=7,60s0=7,0=60 三、填空题 二、多项选择题 9.BD;10.AB;11.ACD. 提示： 提示： 12.由题知2x-0- 2 9分励=网≠故()错误： 2 b 2℃+ 2x+b=0, 所以子 2 1 号-分币（店-动分成=m放） 4a-b+7 所以=20-78 .1 正确； A-A不=N成≠M,故(C)错误； 1 13.因为a+b+2c=0, M元+BD+DN=MD+D=MN,故(D)正确. 故选(B)(D). 所以宁c=-(a+b), 10.因为1a1=1b1=1且|b-2al=√5， 所以(b-2a)2=b2-4a·b+42=1-4a·b+4=3, 两边平方得二=[-a+b)]=。6+2ab, 所以a:b=之， 因为a,b,c均是单位向量， 所以1a+b1=√(a+b)7=√a+2a·b+b= 所以4=1+1+2ab,所以ab=-日，所以1a-b1- 7 √个+1+1=5，故(A)正确； d+8-2ab=1+1-2×(-名）=界， a在a+b上的投影向量的模长为a,(a+b)_。+a·b l a+bl 所以1a-b1=⑤ 2 京厚k四隐 14.1a+b12=a2+2aa·b+X2b2 =1+4Acos0+4A2 因为1a-Ab12=a2-2a·b+A2b2=X2-A+1 =4+A6+2.9）+1 4 =(a-)广+子=子 33 =4A+cos0)2 2）+1-cos20 所1。-41=号>9 即不布在AeR使得1a-A61=竖故(C)错误： 4a+学)+ma 当入=-eos9时，1a+b1n=1sin01, 2 当入=-1时，a-Ab=a+b, 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误 A=-c059c0s0<0, 2 故选(A)(B). 11.如图1,20+3(0A+AB)+4(0A+AC=90A+3AB 因为1a+Ab1=宁所以1sm91=宁 +4花=0，则0=宁+号d.()正确： 因为0e0,],所以sm0=分， 若0i=20,0i=30B,0=40元， 所以0晋或9=装， 则0D+0尼+0示=0， 所以O是△DEF的重心，直线AO过 因为cos0<0,所以0=5知 6 EF的中点， 四、解答题 而EF与BC不平行，所以直线AO不 15.解：因为ka+3b与2a+kb共线， 过BC边的中点，(B)错误； 图1 所以存在实数入，使ka+3b=A(2a+b), 又SAOE=S△EoF=S△D0F, 即(k-2A)a=(k-3)b. SADOE 6S AAOB,SAEOF 12SABOE, 所以S△oB:S△Boc=2:1,(C)正确； 由于a,b不共线，所以-2】=0=k=±6 xk-3=0 若1041=10B1=10C1=1, 即实数k的值为6或-√6. 且160C=(20+30B2=40求+120A.0B+90, 16.(1)证明：如图2,0B+0元= 所以0·0成=子 20D,0A+0元=20正 而0心.4店=-子(20+30成(0成-0=4(20M 因为0+20B+30元=(0A+ 0C)+2(0B+0C)=2(0正+20i) B< +0.成-30应）=-6，(D)正确 图2 =0,即20D+02=0, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 所以0D与0正共线。 解得t=3,所以△ABC的边长为3. 又0D与0正有公共点0，所以D,E,0三点共线。 19.(1)证明：因为e1,e2分别为Ox,0y正方向上的单位向 量，且夹角为60°， (2)解：由(1)知210元1=10呢1， 所以5e=2SE=2×号5E 所以e·g=1e,16,1cos60=之 所以花1}·2,2} =(xe1+y1e2)·（xe1+y2e2) 所3 =x1x2ei+x1ye1·e2+x2y1e1·e2+yiy2e2 =162+7%+分+y16 17.解：(1)由题意知1a+b12=a2+2a·b+b2=12, 1 又1a1=2,1b1=4, =x名+2+2（为+）小. 所以a·b=-4, (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为sinx,1}, 由(2a-b)⊥(ha+b)得(2a-b)·(ha+b)=0, cos x,1, 即2ha2+2a·b-k2a·b-b2=0. 所以f(x)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe1+e2) 所以8k-8+42-16k=0, =sin xcos xe+sin xe1·e2+cos xe1·e2+ei 解得k=1±5. (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8, =imos+1+分(m+eas动， 13a+b1=√9a2+60·b+b=27, 设a与3a+b的夹角为0， 令t=sinx+cos=万sin(x+牙） 则0=022万9 8 27 则sin xeos=分(-10. 所以a与3a+b的夹角的氽弦值为识 因为xeR,所以-2≤2simx+年）≤2， 即-√2≤t≤2， 18.解：(1)因为MN∥BC, 所以示=-d=b-子， 1 令0=(f+1+1)(-万≤1≤. 正=子布-g(硒+西=文+名8 因为对称轴为1=一方，函数图象开口向上， (2)(i)设AN=xAC,因为M,E,N三点共线， 所以当t=- 时80)取得最小值(-分)=宁× 所以存在唯一的实数入，使得M正=入M示， 所以A正-AM=A(AN-A), (4=8 即A正=(1-A)AM+AA, 当1=万时，g(e)取得最大值g(2)=号×(2+万+1) 所以A正=，AA店+xAC 2 =3+2 2 即正=2a+Ab ()可得花=日a+女， 所以)的最小值为号，最大值为告三 第28期2版 时g且=令 2 专项小练一 解得入= 3 1 4x=6, LC:2.BeD:3.D:43:5号0- 所以不=石花， 专项小练二 示=-d=。d-分证=名b-2a 1.C:2B:3A0D:454:5-治 专项小练三 (i)h丽=b-之=名(-3a+b,花=女+ 1B,2A:3BD,4格：反- 1 gb=ga+),丽证=名得， 第28期3,4版 石(-如+b)·ga+b)=6 平面向量的基本定理及坐标表示同步核心素养测评 即0(-+6-2a)=-6 一、单项选择题 1~4 DBBB 5 ~8 BBDB 即6(-3+f-2rcos号）=-6 提示： 1.根据题意，b=2a=2(1,1)=(2,2). 一3 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.由题意得x2=2(x+4), 当+6=8时，则次数为8+2=10： 解得x=4或x=-2. lc+d=2 3.由题意得b=Ad-应c=花-A花=店-2， 当+6=3时，则次数为3+9=12 lc+d=9 故2h+e=-号。 综上，次数最小值为10， 二、多项选择题 9.AB:10.BC:11.BD 提示： 4.设正方形边长为2，以A为原点，AB,AD为x轴，y轴的正 9.对于(A),假设存在实数入使得e1=Ae2, 方向建立平面直角坐标系， 即(1,0)=A(0,1),即=A×0无解， 则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2,2),BD=(-2,2), L0=λ 依题意AC=AAi+uB配， 则e1=(1,0),e2=(0,1)不共线， 所以可以作为一组基底； =3 即2A-24=,2解得 对于(B),假设存在实数A使得e1=Ae2, 1λ+2μ=2， 1 4=3, 明1,2)A-2.62无解。 所以A+红=多 则e1=(1,2),e2=(-2,1)不共线， 所以可以作为一组基底； 5.由题意可得，设点P(0,y), 对于(C),e1=-5e2, 则Pi=(2,2-y),P=(5,-2-y), 所以e1=(-3,4),e2= 3 4 共线，所以不可以作 又因为∠MPW为直角， 所以P.P示=0， 为一组基底： 即2×5+(2-y)(-2-y)=0, 对于(D),e1=-2e2, 化简可得6+y2=0,方程无实根， 所以e1=(2,6),e2=(-1,-3)共线，所以不可以作为 一组基底 所以满足要求的点P不存在. 6.a=(2,x),b=(0,2), 故选(A)(B) 故4=2·(02 2x 2 10.a与b的夹角为钝角，故a·b<0,且a,b不反向共线， 1a12 22+x2 x2+4x+ 4 则a·b=(3,k)·(2,-1)=6-k<0且-3-2k≠0， 3 解得k>6且k≠- 因为>0所以+兰≥2√，=4， 综上，k>6,(A)正确： 当且仅当x兰即x=2时，等号成立， 1a1=√9+2≥3，当且仅当k=0时，等号成立， 故IaI的最小值为3，(B)错误； 。1 4≤2 1b1=4+I=5,与b共线的单位向量有2个， x+- 为±（后）=±(-)(c)铅误 7.因为AB与a=(1,-2)的夹角为π， 所以A正=ka=(k,-2k)(k<0). 若1al=31b1,则√9+=35， 解得k=±6，(D)正确。 因为1AB1=25, 故选(B)(C). 所以√2+(-2k)2=25 11.如右图，作0E⊥0C,分别以 解得k=-2(舍正)，即AB=（-2,4). OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系， 设点B(x,y）,因为A(2,1), 则10.c4.o)(-9） 所以AB=(x-2,y-1)=(-2,4), 所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5) D(-2,25), 8.由题可得，每次跳跃的路径对应的向量为 a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0),d1=(0,5), 设0(cos0,sm0),0e[0,号]. 设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,d∈N, 则P(4cos0,4sin0), 可得00=aa1+bb1+cc1+dd 由00=x0元+y0D可得， =(3a+4b+5c,4a+3b+5d)=(33,33), cos 0 =4x -2y,sin 0 =23y,>0y >0, 则3a+46+5c=3, 若y=x,则cos20+sim20=(4x-2y)2+(25y)2=1, L4a+3b+5d=33. 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66, 解得=y=子（负值合去），放x+y=分()错误： 因为a+b,c+deN, 则a+b=8,或a+6=3, 若y=2,则c0s0=4k-2y=0,0=受 lc+d=2 lc+d=9. 所以O·O=0,故(B)正确： 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 .0亦=(-号号)(4os0,4sin) 解得x=3,所以b=(3,-1), 所以Q与b的夹角的余弦值为b a·b =-6cos0+25im0=45sim0-号）， 2×3+2×(-1) 由于0e[0,号]，放9-号e[-号号]， 2+2×V3+-厅分 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 故-6≤45sim(0-号）≤6，(C)错误； 则B=(x-1,y-4),P元=(3-x,3-y), 由于p=(1-4cos0,-4sin0), 因为成：宁风， 成=（方-4m6,吾-4m), 「x= 解得 3 则.P元=(1-4eos0)×(-号-4cos0+ -4=3-0, b 1 3 (-4m0)x(停-4n0）=}-2s0-28in0=头 所以点P的华标为（号号 4sin(a+g）, (2)设向量0D的坐标为(a,b),即D(a,b), 面0+ge[] 则Ad=(a-2,b-1),0i=(1,4),0元=(3,3)， 因为d/o成，0元10而，则4(a-2)=6-1, 所以m(0+君)e[分小， l3a+3b=0, 所以.i=}-4m(a+君）≥}-4受放(D) 解得 a=5 正确.故选(B)(D). b=-5 三、填空题 12；13g+是：142 所以向量0励的坐标为（子，一子）片 17.解：(1)设D(x,y)(x,y>0), 提示： 依题意可得正=C, 12.由已知得AB=(2,1),CD=(5,5),因此AB在CD上的 又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1), 投影向量为或。15.3E -e= 2e=2e 所以AB=(4,4),C⑦=(x+1,y-1), 1c152 所以+1=4解得=3即D(35). 13.因为B正=3E, y-1=4, ly=5, 所以成=子酥，亦=-=-子花。 (2)设A正=AAC,A∈[0,1]， 4 则(m+2,n+4)=入(1,5)， 所以脉=a+序=a-子花， ① 所以m+2=人则m=A-2, ln+4=5λ，Ln=5λ-4， 成-子酥=b+花， ② 所以(m-2)2+2=(X-4)2+(5A-4)2=26A2-48入 由①+子x2相院成=a+子b, +24号+ 即脉=总+是 因为AE0,1】,所以当A=号时，(m-2户+取最小值 14.设a=(1,0),b=(1,s),c=(1-st,t),8,t∈R, 答当A=0时.(m-2°+广取最大值32 由已知可得：la-b+c1=√(1-st)2+(t-s) =√/1+(st)2-4t+s2+7 所以(m-2+的取值花围为[2]， ≥√/(st)2-4st+21st1+1, 18.(1)解：不妨设0M=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 当且仅当2=子时，取等号， 当st≥0时，有(st)2-2st+1≤8，得0≤st≤2万+1， 则存在a(a≠-1)使得AM=aMD, 当st<0时，有(st)2-6st+1≤8，得-1≤st<0, 即Ad+0成=（元+0币，于是Om=+a0西 1+a 所以当-1≤st≤22+1时，-22≤a·c=1-t≤ 2.所以a·c的最大值为2. 又0成=分0成， 四、解答题 15.解：由题可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0, 耐+受丽 1 即(22+22)-2×(2x-2)=0, 所以O= 1+ +a+2 5 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 [m=1+a 1 所以cosa=a·(a-b) a2-a·b 则 即m+2n=1. ① lall a-bl=lall a-bl 16 1 n=2(1+a)' 由于B,C,M三点共线， 则存在B(B≠-1)使得C=BMB,即C⑦+O=B(Md +0B), 放向量a与。-b的夹角的余弦值为5 于是0成=0元+B0正 (3)设向量a与b的夹角为0， 1+B 又0成=4oi 由题意可知0<0<号，则0<c0s0<1, O+B0 因为1a1=31b1,所以0<合≤宁 所以O成= 4 1+B =+0+中， 1 即0<2部s0<分 1 所以 [m=41+B'即4m+n=1 ② 因为b⑧a-b行2=招=， =1+B n B 所以0<b⑧a<号，即0<4(b⑧a)<号 由①2可得m=7a=号 1 因为4(b☒a)是整数，所以4(b⑧a)=1, 所以成-+ 所以b©a=子时a=0 1 (2)证明：由于E,M,F三点共线， 1 所以存在实数n()≠-1)使得E=nM下产 即Ed+0成=n(Md+0,于是O成=0正+m0应 所以3 ≤c0s0<1, 1+7 又0正=A0,0=40店， 因为a@6=6=8s0=4ma 所0成：A牛成+骨 又96≤cos6<1,所以9 1+” 4 -≤4cos20<4, 所以+马=十 3 at un b. 1+m1+7 即}≤a8b<4, 1 故a☒b的取值范围为 +m门消去n得+三7 1+m 第29期2版 19.解：(1)因为a+2b=(5,3)+2(-3,2)=(-1,7), 专项小练一 所以a⑧(a+2b)=a·(a+2b) (a+2b)2 1.C2D:3.BcD:4.-5;5- -5x2=g 专项小练二 (-1)2+72 1.C;2.C;3.ACD;4.等腰； 放a②(a+2)的值为袋 5端 (2)设向量a与a-b的夹角为a, 专项小练三 因为向量a,b是单位向量， 1.C;2.A;3.BD;4.125;5.3. 所以1a1=1,1b1=1, 由(a+b)⑧(2a-b)=i6 5 第29期3,4版 可得a+b):(2a-b)=2a+a·b- 平面向量的应用同步核心素养测评 (2a-b)2 4a2-4a·b+b 一、单项选择题 a·b+1-5 1 ~4 CDCA 5 ~8 CADD 5-4a·b=i6 提示： 解得ab=子 1.由正弦定理得a sin A=sin B' 由(a-b)2=a2-2ab+b=2 3 2 =√6. 可得1a-b1=√(a-b)2= 6 则a=6sin42×尽 sin B 2 sin 4 一6 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.F做的功为Fs=1F1s1es0°=0×14×分 =70. 因为△ABC是锐角三角形， 3.由余弦定理得 所以0<A<号，0<B<受 BC=√/1+(5)2-2×1×5×cosI 6 =1, 所以-受<A-B<受 设BC边上的高为h, 又ym在(-受受) 上单调递增， 则5am=了×1×in君=子×1·么，解得h= 1 1 2 所以B=A-B,则A=2B. 4.设△ABC的内角C为最大角， 又0<B<受0<A=2B<受.0<C=T-36<受 则cosC=+(t+)2:t+2)<0, 2t(t+1) b 2 所以若<B<于，由正弦定理得2R=B=品B 再由三角形三边关系可得+t+1>1+2, 所以2 <2R< 2 lt>0, 解得t>1, sin 4 sin 6 ”-38 所以2<R<2, 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 解得1<t<3. 二、多项选择题 5.因为3AB+2BC+CA=3(0B-0)+2(0元-0+ 9.BC;10.AD;11.AC. (0A-0C=-204+0B+0元 提示： 所以0A+20+30C=-20i+0B+0元， 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 即304+0店+20C=0, 所漂凉 1 1 选项(B:因为mC=血B=85<1,且c>6, b 15 所以角C有两解； 6.在△OAB中，因为∠OAB=45°，∠0BA=105°， 所以∠A0B=180°-45°-105°=30°， 选项（C:因为mB=n4=42<1,且6>a, a 7 由正弦定理可知。4B。一 OB sin∠A0B=sin∠OAB' 所以角B有两解； 所以186-05，则0B=365m, 选项(D):因为imB=sinA<1,且b<a, 1 所以角B仅有一解 2 故选(B)(C). 在直角三角形OTB中， 10.根据题意，得1G1=1F,+F21, m∠0=0即9：7 3 所以IGI2=IF112+IF22+21F1I×1F2I×cos0= 365 21F1I2(1+cos0), 解得0T=36m 1G12 7.由题及余弦定理得 a-cxato-b2 解得1F,12=21+cos0)' 因为0∈(0，π)时，y=cos0单调递减， 2ac =b-cxbto-a 2bc 化简得+公-c-。2+-c2 所以0越大越费力，0越小越省力，故(A)正确； 由题意知6的取值范围是(0，π)，故(B)错误； a b 当a2+62-c2=0时，即a2+b2=c2, 则△ABC为直角三角形； 因为1F,2=21+00) 1G12 当a2+b2-c2≠0时，得a=b, 所以当0=受时，1R12=1G 2 则△ABC为等腰三角形. 综上，△ABC为等腰或直角三角形 所以1P,1=号G1,放(C)错误： 8.由正弦定理可得a2-2=bc, 1G12 所以a2=62+bc 因为1F,12=21+c0s' 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 所以2+bc=b2+c2-2 bccos A, 所以当0=要时.F,12=1G13, 即b=c-2 bcos A, 所以IFI=IG1,故(D)正确 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Bcos A, 故选(A)(D). 因为C=π-(A+B), 1l.由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 得5·(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB·sinB, sin B sin Acos B-cos Asin B, 即sinB=sin(A-B). 所以5=2sinB,所以sinB=5, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 因为a=b,B是等腰△ABC的底角， 由于0<A<T,0<B<T,0<C<T,sin A≠0，sinB 所以Be(o,受），所以B=号 ≠0，所以esC=分，则C=号 所以△ABC是等边三角形，(A)正确： 所以16=c2=a2+b2-2 abeos C=a2+b2-ab≥2ab- 若A,B,C,D四点共圆， ab,得ab≤16，当且仅当a=b=4时，等号成立， 则四边形对角互补， 因为cD上AB,所以Sm=dimC=子·CD, 由(A)正确知∠D=,osD=-子 故CD=absin 但由于DC=1,DA=3,AC=23时， 学n号26， cos D DC D4-AC 1+3-2 所以CD的最大值为25. 2·DA·DC 2×1×3 四、解答题 ≠-子，所以(B)不正确： 15.解：15km/h=250m/min,250×5=1250m. 设∠D=0, 10kmh-9mmi,9×8-4g0m 则AC2=DC2+DA2-2DC·DA·cos0=10-6Cos0, 整个过程为A店，B元，C心，如图1所示， 所以Sac=车(10-6s)=5,5_35eo 4 2 2 -c0s0, 种1=0m,成1=1230m,可1=490m Saein A G60e→D 所以S四边形ABCD 200s0+5 =5amc+5aw-多in8-35。 图1 2 16.解：(1)在△ABD中AD=5,AB=7,∠BDA=60°， =3(m0-s0)+55 所以由余弦定理AB=AD2+BD-2AD·BD·cOS∠BDA 2 可得49=25+BD2-2×5·BD·c0s60°， =3n(0-号）+5 则BD-5BD-24=0, 解得BD=8(BD=-3舍去) 因为0e(0,m),所以sim(g-于）e（-,1小， (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60° =15°，又∠BCD=135°， 沉5<u≤誓+3，以C正疏，(D)不征确 则∠CBD=180°-135°-15°=30°. 由(1)得BD=8, 故选(A)(C) BD 三、填空题 由正弦定理得。CD 得im∠CBD=sin ZBCD, 12.1;13.2m;14.25. 即.CD 提示： 0=n35解得cD=4万 12.sin 24=2sin Acos A 2a 17.解：(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 sin C sin C c 2bc 2cos2 A 3cos A -2 =0, -2×4.25+36-16=1 (2cos A -1)(cos A +2)=0, 62×5×6 13.由题意得OP=OB+BP=OA+AP-x=5cm, 解得c0sA=分或c0sA=-2(含去)， 在△A0P中，cs&=0A+0P2-AP 2·0A·0P 因为0<1<，所以4=骨 9+25-49 2×3×5 2分 2②)由s=之einA=经e-5g. 4 因为∈(0，π)， 得bc=20,又b=5,所以c=4. 所以&=2年，B=a·0A=2mcm 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=25+16-20=21, 3 14.因为ccos Ccos(A-B)+c=csin2C+bsin Asin C, 解得a=√2T, 所以由正弦定理得sin Ccos Ccos(A-B)+sinC 又由正孩定理得mnG-.4-告A a a sin Csin2 C+sin Bsin Asin C, 由于0<C<m,sinC≠0， × 所以cos Ccos(A-B)+1=sinm2C+sin Bsin A, 所以sin Bsin A=cos Ccos(A-B)+1-sim2C 18解：)由正孩边角关系得(：)°-（台厂 cos Ccos(A -B)cos2 C cos C[cos(A -B)+cos C] 2sin Acos C+2cos B=2acos C+2cos B. sin B b cos C[cos(A -B)-cos(A B) 所以a2-c2=2 abeos C+2 bcos B, 2cos Csin Asin B, 由余弦定理得a2-c2-a2+b2-c2+2 cos B, -8 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 即b2(1+2cosB)=0, I ABI2 m'd2 n2d2 -2mnd cos 120 所以csB=-子又B∈(0，)，则B=受 =(m2+n2+mn)d, 由IACI2+IBCI2=1ABI2得 (2)由(1)及题设知，b=√a+c2-2 accos B= (n2+n+1)+(m2+m+1)=(m2+n2+mn)d, V3+5-2x3x5×(7)=7 整理得m+n+2=mn,而m>0,n>0, 如图2所示，此时W==子 则m++2:m≤(“兰)广 当且仅当m=n,即m=n=1+√5时取等号， 设BM=x,BV=y, 又m+n=t,即有t-4t-8≥0， 而t>0,解得t≥2+25， 所以实数t的最小值为2+25. 第30期3,4版 图2 平面向量及其应用核心素养综合测评 由余弦定理得2+>2-2c02=MW心=49 3 41 一、单项选择题 1~4 CBAB 5~8 BCBB 即2+y2+y=49 4 提示： 因为++≤+少+生兰=多+. 3 1.由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A, 2 拟+≥号×9-。 即1=3+2-2cx. 整理得2-3c+2=0, _75时取等号， 当且仅当x=y=6 解得c=1或c=2. 2.由题意知1el=1, 所以BM+BN2的最小值为 所以向量a在向量e上的投影向量为： 6 19.解：(1)在△ABC中，cos2A+cos2B-cos2C=1, (a1me）=(2s）e=-e 1 2sin2 A +1 -2sin2 B -1 +2sin2 C 1, 3.设c=(x,y), 则sin2C=sin2A+sin2B, 由正弦定理得c2=a2+b2, 则·c=2x+y=0, b·c=x+2y=32, 所以△ABC是直角三角形，即C=受 解得x=2, (2)(1)知c=受， y=22, 所以1c1=√R+y=2+8=0. 则△ABC的三个角都小于120°，如图3， 4.因为在△ABC中，A,B∈(0，m), 由费马点的定义知∠APB=∠BPC= ∠APC=120°， 所以cosB=7 I PAl =x,I PBI =y,I PCI =2, 由SAAPB+S△BPc+SAAPC=SAAB得 即sinB=V个-cosB-43 7 图3 1 2 ×4 由正弦定理可知smA=0B=。 2 b 83 整理得xy+yz+xz= 即4：号或号又a<么.则A<B, 3 所以P.P+P.P元+P元.P 所以A=罗不成立，故4=号 =2y-如 1 5.设线段BC的中点为M,则0B+0元=2O, 因为2A0=0正+0元，所以4d=0, =-分×89- 31 期0=分成-（花+⊙=4（花+十而） (3)由点P为△ABC的费马点， 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 子应+ IPBI ml PCI,I PAI nl PCI,I PCI d,m 0,n>0,d>0, 由B,00三点共线得子+=1，解得6=} 则由IPAI+PBI=I PCI得m+n=t, 6.如图1，过点P作PM⊥AC,垂足为 由余弦定理得1AC12=dP+n2P-2 nd cos120° M,由题意可知∠PAM=∠PBM= =(n2+n+1)d, 45°， BC12 =d2 m'd -2md cos 120 (m2 +m +1)d, 则△PAM,△PBM均为等腰直角 A D M E B 1 -9 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 三角形，可得AM=BM=PM, 提示： 且∠PCM=30°，可得MC=√5PM, 9.BC=AC-AB=(3,0),(A)正确： 因为BC=200(5-1)米， 因为2BC-4A元=(4，-1)， 则5PM-BM=(5-1)BM=200(35-1), 所以AB.(2BC-AC)=-5,(B)错误； 解得BM=200米， 因为AB.AC=-1,1AB1=2,「A元1=5， 所以DE=AB-AD-EB=2BM-AD-EB=350(米)， 即隧道DE的长度为350米. 所以cos0=万×5 -1 =(0)正确： 7.正八边形的每个内角为5×！80°=135°， 8 入AB+uAC=(2μ-A,4+A)=(3μ，A+1), 延长GH交直线AB于点M,延长DC交直线AB于点N, 所以2业-入=3业，解得入=-1,4=1， 则∠HAM=∠AHM=45°， u+A=入+1， 则△AHM为等腰直角三角形， 则4-入=2，(D)正确。 且AM=BN=AHcos45°=2√2， 故选(A)(C)(D). 以点A为坐标原点，AB,AF所 y 10.因为a=√7，b=3,c=2,所以simA:sinB:sinC= 在直线分别为x,y轴建立如图2所 a:b:c=√7：3：2，(A)正确； 示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(4,0),M(-22, 由余弦定理得cosA=c+6-a-22+32-(万 2cb 2×2×3 0),N(4+22,0), H ,因为Ae(0,),所以A=号，(B)错误； 设点P(x,y),则-2万≤x≤ 4+22,A=(x,y）,A店=(4,0)， M A B 5am=宁in4=宁×2×3×号-39.(C)正确： 所以AB·AP=4x∈[-82， 图2 16+82] 因为∠DMB的平分线交直线CB于点E,A=号， 8.因为(b+c)2-a2=45S, 所以∠BAE=T 3 所以+6-d2+2c=46:合sinA 所以S AACE=S△ABc+S△ABE, 即+c-心+1=万imA, 即24报x3n号=宁×3×2n号+分4×2sn号， 2bc 解得AE=6,(D)正确。 由余弦定理得3sinA-cosA=1, 故选(A)(C)(D) 则2n(4-君）=1， 11.对于(A),由奔驰定理可得S4:SB:Sc=2:3:4,故 (A)错误； 即sin(4-无)=2 1 对于(B),由=号店+子配 在△ABC中A∈(0，T), 即A-君e(晋爱) 即-0=与(0成-0M+号(d-0i. 整理得20+0+20C=0, 则4-吾=石故4=于 由奔驰定理可得S4:Sg:Sc=2:1:2,故(B)正确； 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=4+9-2×2×3 对于(C),由50A+120B+130C=0, ×2=7,所以a=万， 1 可得S4:Sg:Sc=5:12:13, 设△ABC的内切圆半径为T, 由正弦定理得2R=a, 5-2 sin A B ,则R= 1 √F 则S:S:S=之·Bc:之Ac:之·AB, 3 所以BC:AC:AB=5：12:13, 因为(a+b+cr= Ibesin A, 即BC2+AC2=AB2,所以BC⊥AC, 即∠ACB=,故(C)正确； bcsin A 2x3×5 所以r= 2 35 a+b +c 5+万5+万 对于(D)S=1应10元1sm∠B0c, 万 。=子01成1sn∠A0c, 所以R」 7+5万 35 9 及。=1a110i1sim∠A0B, 5+7 因为O为△ABC的垂心， 二、多项选择题 所以sin∠BOC=sin∠BAC,sin∠AOC=sin∠ABC, 9.ACD;10.ACD;11.BCD. sinm∠AOB=sin∠ACB, -10