第27期 平面向量的概念及运算-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第二册同步学案（人教A版）

高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 发评柄 答案详解 2025~2026学年高一数学人教A(必修第二册) 第27~31期(2026年1月)》 第27期2版 9-16 -1487 √/37×13 481 专项小练一 1.D;2.B;3.AD:4.F2,BC,C 第27期3,4版 5.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点 平面向量的概念及运算同步核心素养测评 连成的有向线段，共有20个， 一、单项选择题 即AB,AC,AD,Ad:BA,B元，BD,BO:C,C元，C元，Cd:D 1~4 CBDB 5 ~8 DBCB DB,DC,Dd:0A,0B,0元，0i 提示： 1.7(a+2b-3c)-3(a-2b-c)=-3a+7b+3c 5 由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等， 即AB=D元，AD=-BC,D=cE,BA=cD,Ad=OC,OA- 2.向量b在向量a方向上的投影向量的模为 CO,DO OB,OD BO. 1a…b1 2万×3×c0s 又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个 3 3 专项小练二 I al 23 1.C;2.B;3.ABD: 3.-70+2b=2(b-a)=2(d- 1 4.2a+7b;5.C 6.解：在矩形ABCD中，1AD1=1BC=45,IAB1=8, =方励=励 则1B1=√AB12+1AD2=√82+(43)2=4万， 4.a∥b(b≠0)台存在唯一入∈R,使a=Ab,故①错误； ④中当入1=入2=0时等式成立，故④错，故选(B). 因为BC=b,AB=a,BD=c, a-b-c AB-BC BD=AB-AD BD 5.根据已知可得元=成+武=成+之花 DB+DB 2 DB. =0i+2(0成-0动 因此，1a-b-c1=21DB1=2×4万=8万 专项小练三 =是成-2=0-a 1.D;2.C;3.BD;4.e1+2e2;5.2. 6.由a1(2a+b)得a·(2a+b)=21a12+a·b= 6.解：因为M元=子+子， 21a13-71a1b1=0,21a2=1a11b1, 所以4M元=MA+3MB, 所以M元-MA=3(MB-MC), 则子 所以AC=3CB 7.连接0A因为B元=AC-A正=3AN-3A=3(0 所以A,B,G三点共线且：4 0A-3(0M-0A=3(0N-0i). I BCI 所以BC.0i=3(0N-0)·0 专项小练四 =3(0N.0M-1012) 1.C;2.A;3.BD;4.万；5.3g =3×(2×1×c0s120°-12) =3×(-2)=-6. 6.解：(1)因为1a+b12=a2+b2+2a·b=9+16+2 8.因为a+b与c共线，b-c与a共线， ×3×4×c0s60°=37， 所以存在实数m,n使a+b=mc,b-c=na, 所以1a+b1=√/37. 即b=-a+mc,b=na+c, (2)因为1a-b12=a2+b2-2a·b=9+16-2×3× 所以-a+mc=na+c, 4×c0s60°=13， 因为a,c不共线，所以m=1,n=-1, 所以1a-b1=√13. 所以b-c=-a,(b-c)2=(-a)2,所以2-2b·c=1, 所以cos0=(a+b)·(a-b bc=2 1 l a+bl l a-bl 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 设向量b,c的夹角为0， 故选(A)(C)(D. 则1×1×cos0=7,60s0=7,0=60 三、填空题 二、多项选择题 9.BD;10.AB;11.ACD. 提示： 提示： 12.由题知2x-0- 2 9分励=网≠故()错误： 2 b 2℃+ 2x+b=0, 所以子 2 1 号-分币（店-动分成=m放） 4a-b+7 所以=20-78 .1 正确； A-A不=N成≠M,故(C)错误； 1 13.因为a+b+2c=0, M元+BD+DN=MD+D=MN,故(D)正确. 故选(B)(D). 所以宁c=-(a+b), 10.因为1a1=1b1=1且|b-2al=√5， 所以(b-2a)2=b2-4a·b+42=1-4a·b+4=3, 两边平方得二=[-a+b)]=。6+2ab, 所以a:b=之， 因为a,b,c均是单位向量， 所以1a+b1=√(a+b)7=√a+2a·b+b= 所以4=1+1+2ab,所以ab=-日，所以1a-b1- 7 √个+1+1=5，故(A)正确； d+8-2ab=1+1-2×(-名）=界， a在a+b上的投影向量的模长为a,(a+b)_。+a·b l a+bl 所以1a-b1=⑤ 2 京厚k四隐 14.1a+b12=a2+2aa·b+X2b2 =1+4Acos0+4A2 因为1a-Ab12=a2-2a·b+A2b2=X2-A+1 =4+A6+2.9）+1 4 =(a-)广+子=子 33 =4A+cos0)2 2）+1-cos20 所1。-41=号>9 即不布在AeR使得1a-A61=竖故(C)错误： 4a+学)+ma 当入=-eos9时，1a+b1n=1sin01, 2 当入=-1时，a-Ab=a+b, 此时a-Ab与a+b的夹角为0，不是锐角，故(D)错误 A=-c059c0s0<0, 2 故选(A)(B). 11.如图1,20+3(0A+AB)+4(0A+AC=90A+3AB 因为1a+Ab1=宁所以1sm91=宁 +4花=0，则0=宁+号d.()正确： 因为0e0,],所以sm0=分， 若0i=20,0i=30B,0=40元， 所以0晋或9=装， 则0D+0尼+0示=0， 所以O是△DEF的重心，直线AO过 因为cos0<0,所以0=5知 6 EF的中点， 四、解答题 而EF与BC不平行，所以直线AO不 15.解：因为ka+3b与2a+kb共线， 过BC边的中点，(B)错误； 图1 所以存在实数入，使ka+3b=A(2a+b), 又SAOE=S△EoF=S△D0F, 即(k-2A)a=(k-3)b. SADOE 6S AAOB,SAEOF 12SABOE, 所以S△oB:S△Boc=2:1,(C)正确； 由于a,b不共线，所以-2】=0=k=±6 xk-3=0 若1041=10B1=10C1=1, 即实数k的值为6或-√6. 且160C=(20+30B2=40求+120A.0B+90, 16.(1)证明：如图2,0B+0元= 所以0·0成=子 20D,0A+0元=20正 而0心.4店=-子(20+30成(0成-0=4(20M 因为0+20B+30元=(0A+ 0C)+2(0B+0C)=2(0正+20i) B< +0.成-30应）=-6，(D)正确 图2 =0,即20D+02=0, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 所以0D与0正共线。 解得t=3,所以△ABC的边长为3. 又0D与0正有公共点0，所以D,E,0三点共线。 19.(1)证明：因为e1,e2分别为Ox,0y正方向上的单位向 量，且夹角为60°， (2)解：由(1)知210元1=10呢1， 所以5e=2SE=2×号5E 所以e·g=1e,16,1cos60=之 所以花1}·2,2} =(xe1+y1e2)·（xe1+y2e2) 所3 =x1x2ei+x1ye1·e2+x2y1e1·e2+yiy2e2 =162+7%+分+y16 17.解：(1)由题意知1a+b12=a2+2a·b+b2=12, 1 又1a1=2,1b1=4, =x名+2+2（为+）小. 所以a·b=-4, (2)解：因为向量a,b的“@未来坐标”分别为sinx,1}, 由(2a-b)⊥(ha+b)得(2a-b)·(ha+b)=0, cos x,1, 即2ha2+2a·b-k2a·b-b2=0. 所以f(x)=a·b=(sin xe1+e2)·(cos xe1+e2) 所以8k-8+42-16k=0, =sin xcos xe+sin xe1·e2+cos xe1·e2+ei 解得k=1±5. (2)a·(3a+b)=3a2+a·b=8, =imos+1+分(m+eas动， 13a+b1=√9a2+60·b+b=27, 设a与3a+b的夹角为0， 令t=sinx+cos=万sin(x+牙） 则0=022万9 8 27 则sin xeos=分(-10. 所以a与3a+b的夹角的氽弦值为识 因为xeR,所以-2≤2simx+年）≤2， 即-√2≤t≤2， 18.解：(1)因为MN∥BC, 所以示=-d=b-子， 1 令0=(f+1+1)(-万≤1≤. 正=子布-g(硒+西=文+名8 因为对称轴为1=一方，函数图象开口向上， (2)(i)设AN=xAC,因为M,E,N三点共线， 所以当t=- 时80)取得最小值(-分)=宁× 所以存在唯一的实数入，使得M正=入M示， 所以A正-AM=A(AN-A), (4=8 即A正=(1-A)AM+AA, 当1=万时，g(e)取得最大值g(2)=号×(2+万+1) 所以A正=，AA店+xAC 2 =3+2 2 即正=2a+Ab ()可得花=日a+女， 所以)的最小值为号，最大值为告三 第28期2版 时g且=令 2 专项小练一 解得入= 3 1 4x=6, LC:2.BeD:3.D:43:5号0- 所以不=石花， 专项小练二 示=-d=。d-分证=名b-2a 1.C:2B:3A0D:454:5-治 专项小练三 (i)h丽=b-之=名(-3a+b,花=女+ 1B,2A:3BD,4格：反- 1 gb=ga+),丽证=名得， 第28期3,4版 石(-如+b)·ga+b)=6 平面向量的基本定理及坐标表示同步核心素养测评 即0(-+6-2a)=-6 一、单项选择题 1~4 DBBB 5 ~8 BBDB 即6(-3+f-2rcos号）=-6 提示： 1.根据题意，b=2a=2(1,1)=(2,2). 一3 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.由题意得x2=2(x+4), 当+6=8时，则次数为8+2=10： 解得x=4或x=-2. lc+d=2 3.由题意得b=Ad-应c=花-A花=店-2， 当+6=3时，则次数为3+9=12 lc+d=9 故2h+e=-号。 综上，次数最小值为10， 二、多项选择题 9.AB:10.BC:11.BD 提示： 4.设正方形边长为2，以A为原点，AB,AD为x轴，y轴的正 9.对于(A),假设存在实数入使得e1=Ae2, 方向建立平面直角坐标系， 即(1,0)=A(0,1),即=A×0无解， 则M(2,1),D(0,2),B(2,0),C(2,2),BD=(-2,2), L0=λ 依题意AC=AAi+uB配， 则e1=(1,0),e2=(0,1)不共线， 所以可以作为一组基底； =3 即2A-24=,2解得 对于(B),假设存在实数A使得e1=Ae2, 1λ+2μ=2， 1 4=3, 明1,2)A-2.62无解。 所以A+红=多 则e1=(1,2),e2=(-2,1)不共线， 所以可以作为一组基底； 5.由题意可得，设点P(0,y), 对于(C),e1=-5e2, 则Pi=(2,2-y),P=(5,-2-y), 所以e1=(-3,4),e2= 3 4 共线，所以不可以作 又因为∠MPW为直角， 所以P.P示=0， 为一组基底： 即2×5+(2-y)(-2-y)=0, 对于(D),e1=-2e2, 化简可得6+y2=0,方程无实根， 所以e1=(2,6),e2=(-1,-3)共线，所以不可以作为 一组基底 所以满足要求的点P不存在. 6.a=(2,x),b=(0,2), 故选(A)(B) 故4=2·(02 2x 2 10.a与b的夹角为钝角，故a·b<0,且a,b不反向共线， 1a12 22+x2 x2+4x+ 4 则a·b=(3,k)·(2,-1)=6-k<0且-3-2k≠0， 3 解得k>6且k≠- 因为>0所以+兰≥2√，=4， 综上，k>6,(A)正确： 当且仅当x兰即x=2时，等号成立， 1a1=√9+2≥3，当且仅当k=0时，等号成立， 故IaI的最小值为3，(B)错误； 。1 4≤2 1b1=4+I=5,与b共线的单位向量有2个， x+- 为±（后）=±(-)(c)铅误 7.因为AB与a=(1,-2)的夹角为π， 所以A正=ka=(k,-2k)(k<0). 若1al=31b1,则√9+=35， 解得k=±6，(D)正确。 因为1AB1=25, 故选(B)(C). 所以√2+(-2k)2=25 11.如右图，作0E⊥0C,分别以 解得k=-2(舍正)，即AB=（-2,4). OC,OE为x,y轴建立平面直角坐标系， 设点B(x,y）,因为A(2,1), 则10.c4.o)(-9） 所以AB=(x-2,y-1)=(-2,4), 所以x=0,y=5,即点B的坐标为(0,5) D(-2,25), 8.由题可得，每次跳跃的路径对应的向量为 a1=(3,4),b1=(4,3),c1=(5,0),d1=(0,5), 设0(cos0,sm0),0e[0,号]. 设对应的跳跃次数分别为a,b,c,d,其中a,b,c,d∈N, 则P(4cos0,4sin0), 可得00=aa1+bb1+cc1+dd 由00=x0元+y0D可得， =(3a+4b+5c,4a+3b+5d)=(33,33), cos 0 =4x -2y,sin 0 =23y,>0y >0, 则3a+46+5c=3, 若y=x,则cos20+sim20=(4x-2y)2+(25y)2=1, L4a+3b+5d=33. 两式相加可得7(a+b)+5(c+d)=66, 解得=y=子（负值合去），放x+y=分()错误： 因为a+b,c+deN, 则a+b=8,或a+6=3, 若y=2,则c0s0=4k-2y=0,0=受 lc+d=2 lc+d=9. 所以O·O=0,故(B)正确： 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 .0亦=(-号号)(4os0,4sin) 解得x=3,所以b=(3,-1), 所以Q与b的夹角的余弦值为b a·b =-6cos0+25im0=45sim0-号）， 2×3+2×(-1) 由于0e[0,号]，放9-号e[-号号]， 2+2×V3+-厅分 16.解：(1)设点P的坐标为(x,y), 故-6≤45sim(0-号）≤6，(C)错误； 则B=(x-1,y-4),P元=(3-x,3-y), 由于p=(1-4cos0,-4sin0), 因为成：宁风， 成=（方-4m6,吾-4m), 「x= 解得 3 则.P元=(1-4eos0)×(-号-4cos0+ -4=3-0, b 1 3 (-4m0)x(停-4n0）=}-2s0-28in0=头 所以点P的华标为（号号 4sin(a+g）, (2)设向量0D的坐标为(a,b),即D(a,b), 面0+ge[] 则Ad=(a-2,b-1),0i=(1,4),0元=(3,3)， 因为d/o成，0元10而，则4(a-2)=6-1, 所以m(0+君)e[分小， l3a+3b=0, 所以.i=}-4m(a+君）≥}-4受放(D) 解得 a=5 正确.故选(B)(D). b=-5 三、填空题 12；13g+是：142 所以向量0励的坐标为（子，一子）片 17.解：(1)设D(x,y)(x,y>0), 提示： 依题意可得正=C, 12.由已知得AB=(2,1),CD=(5,5),因此AB在CD上的 又A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1), 投影向量为或。15.3E -e= 2e=2e 所以AB=(4,4),C⑦=(x+1,y-1), 1c152 所以+1=4解得=3即D(35). 13.因为B正=3E, y-1=4, ly=5, 所以成=子酥，亦=-=-子花。 (2)设A正=AAC,A∈[0,1]， 4 则(m+2,n+4)=入(1,5)， 所以脉=a+序=a-子花， ① 所以m+2=人则m=A-2, ln+4=5λ，Ln=5λ-4， 成-子酥=b+花， ② 所以(m-2)2+2=(X-4)2+(5A-4)2=26A2-48入 由①+子x2相院成=a+子b, +24号+ 即脉=总+是 因为AE0,1】,所以当A=号时，(m-2户+取最小值 14.设a=(1,0),b=(1,s),c=(1-st,t),8,t∈R, 答当A=0时.(m-2°+广取最大值32 由已知可得：la-b+c1=√(1-st)2+(t-s) =√/1+(st)2-4t+s2+7 所以(m-2+的取值花围为[2]， ≥√/(st)2-4st+21st1+1, 18.(1)解：不妨设0M=ma+nb.由于A,D,M三点共线， 当且仅当2=子时，取等号， 当st≥0时，有(st)2-2st+1≤8，得0≤st≤2万+1， 则存在a(a≠-1)使得AM=aMD, 当st<0时，有(st)2-6st+1≤8，得-1≤st<0, 即Ad+0成=（元+0币，于是Om=+a0西 1+a 所以当-1≤st≤22+1时，-22≤a·c=1-t≤ 2.所以a·c的最大值为2. 又0成=分0成， 四、解答题 15.解：由题可得a·(a-2b)=a2-2a·b=0, 耐+受丽 1 即(22+22)-2×(2x-2)=0, 所以O= 1+ +a+2 5 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 [m=1+a 1 所以cosa=a·(a-b) a2-a·b 则 即m+2n=1. ① lall a-bl=lall a-bl 16 1 n=2(1+a)' 由于B,C,M三点共线， 则存在B(B≠-1)使得C=BMB,即C⑦+O=B(Md +0B), 放向量a与。-b的夹角的余弦值为5 于是0成=0元+B0正 (3)设向量a与b的夹角为0， 1+B 又0成=4oi 由题意可知0<0<号，则0<c0s0<1, O+B0 因为1a1=31b1,所以0<合≤宁 所以O成= 4 1+B =+0+中， 1 即0<2部s0<分 1 所以 [m=41+B'即4m+n=1 ② 因为b⑧a-b行2=招=， =1+B n B 所以0<b⑧a<号，即0<4(b⑧a)<号 由①2可得m=7a=号 1 因为4(b☒a)是整数，所以4(b⑧a)=1, 所以成-+ 所以b©a=子时a=0 1 (2)证明：由于E,M,F三点共线， 1 所以存在实数n()≠-1)使得E=nM下产 即Ed+0成=n(Md+0,于是O成=0正+m0应 所以3 ≤c0s0<1, 1+7 又0正=A0,0=40店， 因为a@6=6=8s0=4ma 所0成：A牛成+骨 又96≤cos6<1,所以9 1+” 4 -≤4cos20<4, 所以+马=十 3 at un b. 1+m1+7 即}≤a8b<4, 1 故a☒b的取值范围为 +m门消去n得+三7 1+m 第29期2版 19.解：(1)因为a+2b=(5,3)+2(-3,2)=(-1,7), 专项小练一 所以a⑧(a+2b)=a·(a+2b) (a+2b)2 1.C2D:3.BcD:4.-5;5- -5x2=g 专项小练二 (-1)2+72 1.C;2.C;3.ACD;4.等腰； 放a②(a+2)的值为袋 5端 (2)设向量a与a-b的夹角为a, 专项小练三 因为向量a,b是单位向量， 1.C;2.A;3.BD;4.125;5.3. 所以1a1=1,1b1=1, 由(a+b)⑧(2a-b)=i6 5 第29期3,4版 可得a+b):(2a-b)=2a+a·b- 平面向量的应用同步核心素养测评 (2a-b)2 4a2-4a·b+b 一、单项选择题 a·b+1-5 1 ~4 CDCA 5 ~8 CADD 5-4a·b=i6 提示： 解得ab=子 1.由正弦定理得a sin A=sin B' 由(a-b)2=a2-2ab+b=2 3 2 =√6. 可得1a-b1=√(a-b)2= 6 则a=6sin42×尽 sin B 2 sin 4 一6 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 2.F做的功为Fs=1F1s1es0°=0×14×分 =70. 因为△ABC是锐角三角形， 3.由余弦定理得 所以0<A<号，0<B<受 BC=√/1+(5)2-2×1×5×cosI 6 =1, 所以-受<A-B<受 设BC边上的高为h, 又ym在(-受受) 上单调递增， 则5am=了×1×in君=子×1·么，解得h= 1 1 2 所以B=A-B,则A=2B. 4.设△ABC的内角C为最大角， 又0<B<受0<A=2B<受.0<C=T-36<受 则cosC=+(t+)2:t+2)<0, 2t(t+1) b 2 所以若<B<于，由正弦定理得2R=B=品B 再由三角形三边关系可得+t+1>1+2, 所以2 <2R< 2 lt>0, 解得t>1, sin 4 sin 6 ”-38 所以2<R<2, 所以外接圆面积S∈(2π，4π). 解得1<t<3. 二、多项选择题 5.因为3AB+2BC+CA=3(0B-0)+2(0元-0+ 9.BC;10.AD;11.AC. (0A-0C=-204+0B+0元 提示： 所以0A+20+30C=-20i+0B+0元， 9.选项(A):因为A=45°，C=70°， 所以B=65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 即304+0店+20C=0, 所漂凉 1 1 选项(B:因为mC=血B=85<1,且c>6, b 15 所以角C有两解； 6.在△OAB中，因为∠OAB=45°，∠0BA=105°， 所以∠A0B=180°-45°-105°=30°， 选项（C:因为mB=n4=42<1,且6>a, a 7 由正弦定理可知。4B。一 OB sin∠A0B=sin∠OAB' 所以角B有两解； 所以186-05，则0B=365m, 选项(D):因为imB=sinA<1,且b<a, 1 所以角B仅有一解 2 故选(B)(C). 在直角三角形OTB中， 10.根据题意，得1G1=1F,+F21, m∠0=0即9：7 3 所以IGI2=IF112+IF22+21F1I×1F2I×cos0= 365 21F1I2(1+cos0), 解得0T=36m 1G12 7.由题及余弦定理得 a-cxato-b2 解得1F,12=21+cos0)' 因为0∈(0，π)时，y=cos0单调递减， 2ac =b-cxbto-a 2bc 化简得+公-c-。2+-c2 所以0越大越费力，0越小越省力，故(A)正确； 由题意知6的取值范围是(0，π)，故(B)错误； a b 当a2+62-c2=0时，即a2+b2=c2, 则△ABC为直角三角形； 因为1F,2=21+00) 1G12 当a2+b2-c2≠0时，得a=b, 所以当0=受时，1R12=1G 2 则△ABC为等腰三角形. 综上，△ABC为等腰或直角三角形 所以1P,1=号G1,放(C)错误： 8.由正弦定理可得a2-2=bc, 1G12 所以a2=62+bc 因为1F,12=21+c0s' 由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A, 所以2+bc=b2+c2-2 bccos A, 所以当0=要时.F,12=1G13, 即b=c-2 bcos A, 所以IFI=IG1,故(D)正确 由正弦定理得sinB=sinC-2 sin Bcos A, 故选(A)(D). 因为C=π-(A+B), 1l.由正弦定理a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C, 所以sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 得5·(sin Acos C+sin Ccos A)=2sinB·sinB, sin B sin Acos B-cos Asin B, 即sinB=sin(A-B). 所以5=2sinB,所以sinB=5, 2 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 因为a=b,B是等腰△ABC的底角， 由于0<A<T,0<B<T,0<C<T,sin A≠0，sinB 所以Be(o,受），所以B=号 ≠0，所以esC=分，则C=号 所以△ABC是等边三角形，(A)正确： 所以16=c2=a2+b2-2 abeos C=a2+b2-ab≥2ab- 若A,B,C,D四点共圆， ab,得ab≤16，当且仅当a=b=4时，等号成立， 则四边形对角互补， 因为cD上AB,所以Sm=dimC=子·CD, 由(A)正确知∠D=,osD=-子 故CD=absin 但由于DC=1,DA=3,AC=23时， 学n号26， cos D DC D4-AC 1+3-2 所以CD的最大值为25. 2·DA·DC 2×1×3 四、解答题 ≠-子，所以(B)不正确： 15.解：15km/h=250m/min,250×5=1250m. 设∠D=0, 10kmh-9mmi,9×8-4g0m 则AC2=DC2+DA2-2DC·DA·cos0=10-6Cos0, 整个过程为A店，B元，C心，如图1所示， 所以Sac=车(10-6s)=5,5_35eo 4 2 2 -c0s0, 种1=0m,成1=1230m,可1=490m Saein A G60e→D 所以S四边形ABCD 200s0+5 =5amc+5aw-多in8-35。 图1 2 16.解：(1)在△ABD中AD=5,AB=7,∠BDA=60°， =3(m0-s0)+55 所以由余弦定理AB=AD2+BD-2AD·BD·cOS∠BDA 2 可得49=25+BD2-2×5·BD·c0s60°， =3n(0-号）+5 则BD-5BD-24=0, 解得BD=8(BD=-3舍去) 因为0e(0,m),所以sim(g-于）e（-,1小， (2)在△BCD中，∠BDC=∠ADC-∠BDA=75°-60° =15°，又∠BCD=135°， 沉5<u≤誓+3，以C正疏，(D)不征确 则∠CBD=180°-135°-15°=30°. 由(1)得BD=8, 故选(A)(C) BD 三、填空题 由正弦定理得。CD 得im∠CBD=sin ZBCD, 12.1;13.2m;14.25. 即.CD 提示： 0=n35解得cD=4万 12.sin 24=2sin Acos A 2a 17.解：(1)由cos2A-3cos(B+C)=1得 sin C sin C c 2bc 2cos2 A 3cos A -2 =0, -2×4.25+36-16=1 (2cos A -1)(cos A +2)=0, 62×5×6 13.由题意得OP=OB+BP=OA+AP-x=5cm, 解得c0sA=分或c0sA=-2(含去)， 在△A0P中，cs&=0A+0P2-AP 2·0A·0P 因为0<1<，所以4=骨 9+25-49 2×3×5 2分 2②)由s=之einA=经e-5g. 4 因为∈(0，π)， 得bc=20,又b=5,所以c=4. 所以&=2年，B=a·0A=2mcm 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=25+16-20=21, 3 14.因为ccos Ccos(A-B)+c=csin2C+bsin Asin C, 解得a=√2T, 所以由正弦定理得sin Ccos Ccos(A-B)+sinC 又由正孩定理得mnG-.4-告A a a sin Csin2 C+sin Bsin Asin C, 由于0<C<m,sinC≠0， × 所以cos Ccos(A-B)+1=sinm2C+sin Bsin A, 所以sin Bsin A=cos Ccos(A-B)+1-sim2C 18解：)由正孩边角关系得(：)°-（台厂 cos Ccos(A -B)cos2 C cos C[cos(A -B)+cos C] 2sin Acos C+2cos B=2acos C+2cos B. sin B b cos C[cos(A -B)-cos(A B) 所以a2-c2=2 abeos C+2 bcos B, 2cos Csin Asin B, 由余弦定理得a2-c2-a2+b2-c2+2 cos B, -8 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 即b2(1+2cosB)=0, I ABI2 m'd2 n2d2 -2mnd cos 120 所以csB=-子又B∈(0，)，则B=受 =(m2+n2+mn)d, 由IACI2+IBCI2=1ABI2得 (2)由(1)及题设知，b=√a+c2-2 accos B= (n2+n+1)+(m2+m+1)=(m2+n2+mn)d, V3+5-2x3x5×(7)=7 整理得m+n+2=mn,而m>0,n>0, 如图2所示，此时W==子 则m++2:m≤(“兰)广 当且仅当m=n,即m=n=1+√5时取等号， 设BM=x,BV=y, 又m+n=t,即有t-4t-8≥0， 而t>0,解得t≥2+25， 所以实数t的最小值为2+25. 第30期3,4版 图2 平面向量及其应用核心素养综合测评 由余弦定理得2+>2-2c02=MW心=49 3 41 一、单项选择题 1~4 CBAB 5~8 BCBB 即2+y2+y=49 4 提示： 因为++≤+少+生兰=多+. 3 1.由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A, 2 拟+≥号×9-。 即1=3+2-2cx. 整理得2-3c+2=0, _75时取等号， 当且仅当x=y=6 解得c=1或c=2. 2.由题意知1el=1, 所以BM+BN2的最小值为 所以向量a在向量e上的投影向量为： 6 19.解：(1)在△ABC中，cos2A+cos2B-cos2C=1, (a1me）=(2s）e=-e 1 2sin2 A +1 -2sin2 B -1 +2sin2 C 1, 3.设c=(x,y), 则sin2C=sin2A+sin2B, 由正弦定理得c2=a2+b2, 则·c=2x+y=0, b·c=x+2y=32, 所以△ABC是直角三角形，即C=受 解得x=2, (2)(1)知c=受， y=22, 所以1c1=√R+y=2+8=0. 则△ABC的三个角都小于120°，如图3， 4.因为在△ABC中，A,B∈(0，m), 由费马点的定义知∠APB=∠BPC= ∠APC=120°， 所以cosB=7 I PAl =x,I PBI =y,I PCI =2, 由SAAPB+S△BPc+SAAPC=SAAB得 即sinB=V个-cosB-43 7 图3 1 2 ×4 由正弦定理可知smA=0B=。 2 b 83 整理得xy+yz+xz= 即4：号或号又a<么.则A<B, 3 所以P.P+P.P元+P元.P 所以A=罗不成立，故4=号 =2y-如 1 5.设线段BC的中点为M,则0B+0元=2O, 因为2A0=0正+0元，所以4d=0, =-分×89- 31 期0=分成-（花+⊙=4（花+十而） (3)由点P为△ABC的费马点， 得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°， 子应+ IPBI ml PCI,I PAI nl PCI,I PCI d,m 0,n>0,d>0, 由B,00三点共线得子+=1，解得6=} 则由IPAI+PBI=I PCI得m+n=t, 6.如图1，过点P作PM⊥AC,垂足为 由余弦定理得1AC12=dP+n2P-2 nd cos120° M,由题意可知∠PAM=∠PBM= =(n2+n+1)d, 45°， BC12 =d2 m'd -2md cos 120 (m2 +m +1)d, 则△PAM,△PBM均为等腰直角 A D M E B 1 -9 高一数学人教A(必修第二册)第27~31期 三角形，可得AM=BM=PM, 提示： 且∠PCM=30°，可得MC=√5PM, 9.BC=AC-AB=(3,0),(A)正确： 因为BC=200(5-1)米， 因为2BC-4A元=(4，-1)， 则5PM-BM=(5-1)BM=200(35-1), 所以AB.(2BC-AC)=-5,(B)错误； 解得BM=200米， 因为AB.AC=-1,1AB1=2,「A元1=5， 所以DE=AB-AD-EB=2BM-AD-EB=350(米)， 即隧道DE的长度为350米. 所以cos0=万×5 -1 =(0)正确： 7.正八边形的每个内角为5×！80°=135°， 8 入AB+uAC=(2μ-A,4+A)=(3μ，A+1), 延长GH交直线AB于点M,延长DC交直线AB于点N, 所以2业-入=3业，解得入=-1,4=1， 则∠HAM=∠AHM=45°， u+A=入+1， 则△AHM为等腰直角三角形， 则4-入=2，(D)正确。 且AM=BN=AHcos45°=2√2， 故选(A)(C)(D). 以点A为坐标原点，AB,AF所 y 10.因为a=√7，b=3,c=2,所以simA:sinB:sinC= 在直线分别为x,y轴建立如图2所 a:b:c=√7：3：2，(A)正确； 示的平面直角坐标系， 则A(0,0),B(4,0),M(-22, 由余弦定理得cosA=c+6-a-22+32-(万 2cb 2×2×3 0),N(4+22,0), H ,因为Ae(0,),所以A=号，(B)错误； 设点P(x,y),则-2万≤x≤ 4+22,A=(x,y）,A店=(4,0)， M A B 5am=宁in4=宁×2×3×号-39.(C)正确： 所以AB·AP=4x∈[-82， 图2 16+82] 因为∠DMB的平分线交直线CB于点E,A=号， 8.因为(b+c)2-a2=45S, 所以∠BAE=T 3 所以+6-d2+2c=46:合sinA 所以S AACE=S△ABc+S△ABE, 即+c-心+1=万imA, 即24报x3n号=宁×3×2n号+分4×2sn号， 2bc 解得AE=6,(D)正确。 由余弦定理得3sinA-cosA=1, 故选(A)(C)(D) 则2n(4-君）=1， 11.对于(A),由奔驰定理可得S4:SB:Sc=2:3:4,故 (A)错误； 即sin(4-无)=2 1 对于(B),由=号店+子配 在△ABC中A∈(0，T), 即A-君e(晋爱) 即-0=与(0成-0M+号(d-0i. 整理得20+0+20C=0, 则4-吾=石故4=于 由奔驰定理可得S4:Sg:Sc=2:1:2,故(B)正确； 由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA=4+9-2×2×3 对于(C),由50A+120B+130C=0, ×2=7,所以a=万， 1 可得S4:Sg:Sc=5:12:13, 设△ABC的内切圆半径为T, 由正弦定理得2R=a, 5-2 sin A B ,则R= 1 √F 则S:S:S=之·Bc:之Ac:之·AB, 3 所以BC:AC:AB=5：12:13, 因为(a+b+cr= Ibesin A, 即BC2+AC2=AB2,所以BC⊥AC, 即∠ACB=,故(C)正确； bcsin A 2x3×5 所以r= 2 35 a+b +c 5+万5+万 对于(D)S=1应10元1sm∠B0c, 万 。=子01成1sn∠A0c, 所以R」 7+5万 35 9 及。=1a110i1sim∠A0B, 5+7 因为O为△ABC的垂心， 二、多项选择题 所以sin∠BOC=sin∠BAC,sin∠AOC=sin∠ABC, 9.ACD;10.ACD;11.BCD. sinm∠AOB=sin∠ACB, -1017.(15分)已知1a1=2,1b1=4,且1a+b1=23. 18.(17分)如图4，在等边△ABC中，点E为底边BC的中线AD 19.(17分)我们把由平面内夹角成60°的两条数轴Ox,0y构成 (1)若(2a-b)1(ka+b),求实数k的值； 的靠近点A的四等分点，过点E的直线分别与AB,AC交于点M,N 的坐标系，称为“@未来坐标系”.如图5所示，e1,e2分别为0x,0y (2)求a与3a+b的夹角的余弦值. 设A正=a,AC=b. 正方向上的单位向量.若向量OP=x,+ye2,则把实数对{x,y叫 (1)若MN∥BC,用a,b分别表示M,A正； 做向量0P的“@未来坐标”，记0P={x,y,已知x1y,},{x2y2 (2)若M为AB的中点. 分别为向量a,b的“@未来坐标” （i)用a,b表示M; （)证明：·=+为+2（为+： (i)若而.正=-。求△4C的边长L (2)若向量a,b的“@未来坐标”分别为sinx,1},cosx,l}, 已知f(x)=a·b,x∈R,求函数f(x)的最值. 高中数学· 高中数学·必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 图5 必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 参考答案见下期 本版责任编辑：张瑞霞 报纸编辑质量反馈电话： 0351-5271268 2026年1月2日·星期五 高中数学 报纸发行质量反馈电话： 羞理橘 第 27期总第1171期 人教A 0351-5271248 必修（第二册】 高中数学人教A 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社编辑出版社长：徐文伟国内统一连续出版物号：CN14-0707八F) 邮发代号：21-201 必修第二册 解：C,D,E三点在同一条直线上台CD=入 平面向量是近代数学中重要和基本的数学 1~6月编辑计划 打开平面向量 DEed-c =A(e-d)(1+)d Ae +c. 概念之一，既有几何的背景也是解决几何问题 的有力工具，下面从平面向量的概念、线性运算 第六章 平面向量及 共线定理的“应用之门 因为a=，b=d,e=a+b 的运用两个方面进行导学。 其应用 所以(1+入)·2b=入t(a+b)+3a, 一、零向量的定义有什么要求？ ◎浙江施建冒 即λt+3=0,且2(1+入)=入t,解得t= 6 零向量是一个特殊的向量，对它的有关规 27期平面向量的概 所谓共线向量定理，就是“向量a(a≠0)与 定：长度为零，方向任意，而且与任何非零向量共 念及运算 b共线，当且仅当有唯一一个实数入，使b= 入”.依据此定理，容易得到两个推论： 故当1=号时，C,B三点在铜一条直线上 线在具体的应用中要注意与普通向量的区别， 28期平面向量基本 (1)若A,B,P三点共线，则存在实数t,使 三、解（证）平面几何题 例1给出下列命题： 例3如右图，在 (1)若1a1=0,则a=0; 定理及坐标表示 0P=(1-t)·0+t0B.特别地，若P为线段 △ABC中，点M是BC的中 (2)若a是单位向量，则la1=1; 29期 平面向量的应用 B的中点，则0示=(O+0, 点，点N在边AC上，且AW (3)若a与b不平行，则a与b都是非零向量. =2NC,AM与BN相交于 30期平面向量及其 (2)若a与b不共线，则入a+ub=0曰入= 其中真命题的序号为 点P,求AP:PM的值 4=0. 解：对于(1)，若1a|=0,则a=0,故不正确； 应用综合 解：设B=e1,CN=e2 一、证明（判断）三点共线 长度等于1个单位的向量为单位向量，所以 第七章复数 例1下列条件中，能确定A,B,P三点不共 则AM=AC+C=-3e2-e1, 2)正确； BN BC+CN 2e e2, 对于(3)，若a与b中一个是零向量，则零向 31期复数 线的是 (A)Mp=sin233°M+cos233°MB 因为点A,P,M共线，点B,P,N共线， 量与任一向量平行，与已知矛盾，所以(3)正确 第八章 立体几何初步 (B)Mp=1 所以存在实数入，以，使AP=入Ai=-Ae c0s2330 MA-tan233°MB 32期立体图形、直观 3Aez,BB u BN 2ue ue 注意概念要领 图、表面积与体积 (C)= sin33 an'33。ma 1 BA=BB-P =+2u)e+(3+ u)e2,ifiBA BC+CA 2e +3e2, 理解婆本知识 33期空间点、直线 (D)Mp=sin233°Mi+cos257°MB 所以（入+2u)e1+(3A+u)e2=2e1+3e2, 平面之间的位置关系 解：sin233°+cos257°≠1，由共线向量定 即(X+2μ-2)e1+(3x+k-3)e2=0. ⊙湖南贺仕军 理，得A,B,P三点不共线，故选(D). 二、单位向量特殊在什么地方？ 34期空间直线、平面 二、求参数的值 由于e,e不共线，所以+2u-2=0, 3λ+u-3=0. 单位向量也是向量中的一个特殊向量，有 的平行 例2设0i=a,0B=b,0C=c,0D=d, 其具体、特殊的规定：长度为1个单位 例2下列说法正确的是 35期空间直线、平面 0死=e,且a=3c,b=d,e=(a+b,问实 (A)单位向量一定是平行向量 的垂直 数为何值时，C,D,E三点在同一条直线上？ 故AP:PM=4:1. (B)相等向量不一定是共线向量 36期立体几何初步 (C)共线的单位向量一定是相等向量 一、判断图形的形状 (D)平行向量一定是共线向量 综合 例1设平面上有4个互异的点A,B,C,D,已 构造图形 解：对于(A),单位向量的方向不是确定 37期阶段综合（三）》 知1DB+DC-2DA1=1AB-AC1,试判断A, B,C,D四点构成的四边形的形状 速解向量问题 的，所以错误； 第九章统计 对于(B),相等的向量一定是共线向量： 解：因为1DB+DC-2D1=1(D-DA) ⊙山东王明章 对于(C),共线的单位向量的长度相等，但 38期随机抽样 +(DC-DA)I=1 AB+ACI=1 AB-ACI 所以10+0B1=10C1=2×35 =33 方向不一定相同 39期 用样本估计总 而1AB+AC1,1AB 三、解决不等关系 故选(D). AC1分别表示以AB, 例3若非零向量4，b,满足1a-b1=1b1 三、平面向量的线性运算如何应用？ 体、统计案例 AC为邻边的平行四边形 平面向量的线性运算主要包括平面向量的 40期统计综合 的对角线的长，如图1所 (A)I2b1>1a-2b1 加、减法和数乘运算，在运用时要结合图形，主 第十章概率 示.由于平行四边形的对角线相等，故该平行四 (B)I2b1<1a-2b 要是运用其几何意义解题 边形为矩形， (C)I2a1>1a-2b 例3若P为△ABC所在平面内一点，动点P 41期随机事件与概率 二、求值 (D)I2a1<1a-2b1 满足PA+PB+P元=AB,则点P与△ABC的关 42期事件的相互独 例2已知I0A1=10B1=3,∠AOB=60° 解：若两向量a,b共线，则由于a,b是非零 系为 求10A+0B 向量，且1a-b1=1b1,则必有a=2b,代入可 (A)P在△APC内部 立性、频率与概率 知只有(A),(C)满足； (B)P在△ABC外部 解：因为10 43期概率综合 若两向量a,b不共线，构 (C)P在AB边所在直线上 10B1=3,所以以0A,OB 造如图3所示的三角形，使其 (D)P为AC边的一个三等分点 44期阶段综合（四） 为邻边作菱形OACB,如图 满足OB=AB=BC.令OA= 解：因为AB=AP+PB, 4552期复习专号 2所示.连接OC,AB,且交 于点D,则OC⊥AB. a,0B=b,则B=a-b, 故由P+P店+P元=AB, 因为∠A0B=60°，所以1AB1=1OA1=3, 所以CA=a-2b,且Ia-b1=|b1: 可得P+PB+P元=AP+PB, 在Rt△BDC中，CD=3E 又BA+BC>AC,所以Ia-b|+|bI> 所以2AP=PC a-2b1,故I2b1>1a-2b1,故选(A) 故选(D) 21 素养 专项小练一、平面向量的概念 1.下列说法正确的是 (A)数量可以比较大小，向量也可以比较大小 (B)方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 (C)向量的大小与方向有关 (D)问量的模可以比较大小 2.关于向量a,b,下列命题中，正确的是 (A)若Ia1=1b1,则a=b (B)若a=-b,则a∥b (C)若1a1>1b1,则a>b (D)若a∥b,b∥c,则a∥c 3.(多选)设点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论正 确的是 () (A)A0=0C (B)1AO1=1B61 (C)AO=BO (D)AB与CD共线 4.如图1所示，E,F分别为△ABC的边AB,AC 的中点，则与向量E下共线的向量有 .（写出 图中所有符合条件的向量) 5.如图2所示，平行四边形ABCD中，0是两对 角线AC,BD的交点，设点集S={A,B,C,D,O,向 图1 量集合T={M1M,N∈S,且M,N不重合，试求 集合T中元素的个数 专项小练三、向量的数乘运算 1.6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c)= (A)6a+2b+8c (B)6a-14b (C)-2a-14b (D)6a+2b 2.已知向量a与b反向，且1a1=r,1b1=R,b=Aa,则入= ( (A) (B)-元 (C)-E (D)R r 3.(多选)若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a= 2e,b=子，则下列说法工确的是 3 ( (A)a=-b (Bb=-号0 (C)a+b的坐标为0 (D)1a1lb1=1 4.已知0是线段AB外一点，D是线段AB靠近点B的三等分点.如果OA =3e1,0B=3e2,那么0D= 5.已知a,b是两个不共线的向量，向量6b-a,a-3b共线，则实数t= 6.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，M为平面上任一点，A,B,C三 点满足沉=(+子派求的值 I BCI +… ()I (A)0 鳞 (D)(a-b)2=1 al2-2a.b+lb12 【B)4.ai1L012 非 CBPR力 a,BD c,a-b-cl. .与/DA.锦：太厨2图mS 5 5.. 中3话18137-4-。11157130.018c (c028c (c)0 D)可指四心心与心川--4-L虾儿4)((D (c)l]斗L!BL-L中-B:建心际内有指件障饰 (R)请L止L社CL-L4-二心与合回业区 (第L文L江BL-LA+B二川合店小用指可 .居详·出型深上至：际-图江2 2. (B)1 (D)23 (c02 D-22 (0)3 7.在如图2的平面图形中，已知OM=1, 14.已知向量a,b的夹角为(0为定值)，Ib1=21a=2,当入 平面向量的概念及运算 0N=2,∠M0N=120°，Bi=2M,CN=2 (0,+∞)时，1a+b1的最小值是)，则0= 同步核心素养测评 N,则BC.OM= 四、解答题：本题共5小题，共77分 (A)-15 (B)-9B 图 15.(13分)已知两个非零向量a,b不共线，且ka+3b与2a+b (C)-6 (D)0 ⊙数理报社试题研究中心 共线，求实数k的值 8.已知a,b,c都是单位向量，且a,c不共线，若a+b与c共线 第I卷选择题（共58分） b-c与a共线，则向量b,c的夹角为 ( (A)30 (B)60 (C)90 (D)120° 一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 a+2b-3)-3a-2b -c)= ( 9.如图3，已知四面体ABCD中，M,N分别 5 (A)-2a-4c (B)-2a-4b-2c 是棱CD,BC的中点，则MN= 高中数学 (c)-0+7b+c (D)-0+0- (A)2丽 (B)- (C)AM -AN (D)MB+BD+DN 图3 2.已知向量a,b满足1a 1=25,1b1=3,且a,b的夹角为号 10.设向量a,b满足1a1=1b1=1且1b-2a1=5,则以下 必修第一 则向量b在向量a方向上的投影向量的模为 ( 结论正确的是 ( 册 (A)5 (B)3 (C)3 (D)33 (A)Ia+b1=5 2 人教 3.在口ABCD中，AC与BD交于点M,若设A店=a,AD=b,则与 (B)a在a+b上的投影向量的模长为 3 16.(15分)设0为△ABC内任一点，且满足0A+20+30C 2 =0. 2a+2b相等的向量有 2 ( C)]AER,使得Ia二Ab1三=？成冠 (1)若D,E分别是边BC,CA的中点，证明：D,E,O三点共线： 版 同步核 (A)MA (B)ME (C)MC (D)MD (2)求△ABC与△AOC的面积之比. (D)当入<1时，a-入b与a+b的夹角为锐角 4.下列命题中真命题的是 ( ①a∥b-存在唯一的实数入，使得a=λb 11.已知点0为△ABC所在平面内-点，且20i+30B+40C 高中数学·必修第二册（人教A版）同步核心素养测评 心素养测评 ②a∥b曰存在不全为0的实数入，和入2，使入，a+入b=0 0,则下列选项正确的有 ( ③a与b不共线曰若A14+入2b=0,则A1=2=0 (A0=号+号C ④a与b不共线台不存在实数入1，入2，使得入，a+入2b=0 (B)直线A0过BC边的中点 (A)①与③ (B)②与③ (C)①与④ (D)②与④ (C)S△A0B:SABc=2:1 5.如图1所示，向量0A=a,0B=b,0C =c.点A,B,C在一条直线上，且AC= (D)若101=10成1=0=1，则0.A店=- -3CB,则 ( 3 第Ⅱ卷 非选择题（共92分) (A)c=-2a+2b (B)c= 20- (C)c=-a+2b (D)c=-20+b 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 6.非零向景a,b满足a1(2a+b),且a与b的夹角为2严，则 12.若2(x-0）-2(b+c-3x)+b=0,其中a,bc为已 知向量，则向量x= ( 13.已知同一平面内的单位向量a,b,c,满足a+b+2c=0,则 (A) 2 (B) 4 (C) (D)2 a-b=