专题3.2 四边形中常见的几何模型（期中复习讲义）2025-2026学年 人教版数学 八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形四大核心几何模型，以典型例题构建从性质应用到综合推理的训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点四边形模型|6题|结合矩形、等腰梯形等四边形性质，判断中点四边形形状|以三角形中位线定理为核心，关联原四边形对角线关系推导中点四边形判定| |手拉手模型|5题|正方形背景下旋转全等、面积转化及最值问题|基于旋转性质构建全等关系，渗透动态几何中不变量思想| |十字架模型|6题|正方形内垂直线段关系证明与计算|通过构造全等或相似，建立垂直条件与线段数量关系的转化| |半角模型|4题|含特殊角（45°）的线段和差证明及推广应用|利用旋转构造全等三角形，推导线段间的和差关系，体现模型迁移能力|

专题3.2 四边形中常见的几何模型 【重难点突破】 类型一 中点四边形模型 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】30 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算. 【详解】解：连接 ∵ 四边形为矩形， ∴， ∵分别为边的中点 ∴   ∴ 故答案为：30. 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得结论． 【详解】解：连接， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】连接菱形的两条对角线，利用三角形中位线定理先证明所得四边形是平行四边形，再结合菱形对角线互相垂直的性质，证明平行四边形有一个内角为直角，根据矩形的判定定理得到结果． 【详解】解：设菱形中，，，，分别是，，，的中点，连接，． ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，． 同理可得：，，，． ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴平行四边形是矩形． 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可． 【详解】∵点、为、的中点 ∴是的中位线， ∴，， 同理，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， 四边形是矩形． 5．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，进而得到即可． 【详解】解：∵四边形中，，，，分别是边，，，的中点， ∴在中，为的中位线，所以且； 同理且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 类型二 手拉手模型 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 【答案】5 【分析】连接，根据证明得，再求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，． 8．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 9．（25-26八年级下·河南新乡·期中）正方形中，点在上，点在边的延长线上，且，点在上，，垂足为点，连接．若， (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为12 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，然后利用证明结论即可； （2）连接，设，先根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质得到垂直平分，则，，然后利用勾股定理列方程求得x值即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，且， ， ， ． （2）解：连接，设， ， ， 又， 垂直平分， ， ， 在Rt中，， ， ， 的长为12． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】连接，根据正方形的性质得到，证明，得到点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时，求出，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ， ， ， 点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值， 此时， ， ， ． 11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形外取一点P，连接、、．若，．则的最大值为______． 【答案】6 【分析】过点作，使得点在的两侧，且，连接，则，再证出，则，然后根据（当且仅当点三点共线时，等号成立）解答即可． 【详解】解：如图，过点作，使得点在的两侧，且，连接， ∴在中，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，当且仅当点三点共线时，等号成立， ∴的最大值为6， ∴的最大值为6． 类型三 十字架模型 12．（25-26八年级下·湖北鄂州·期中）如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定和性质逐一判断即可. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，A选项正确； ∵， ∴， ∴，B选项正确； ∵ ∴即：， ∴，C选项正确； ∵，， ∴D选项不正确． 13．（25-26八年级下·上海·期中）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于，过点O的直线与边，分别交于，求证：． 【答案】见解析 【分析】过点C作分别交于点H，点M，可证明四边形是平行四边形，得到，则；证明，得到，可推出，即，则可证明． 【详解】证明：如图所示，过点C作分别交于点H，点M， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，理由见解析． 【分析】（1）由正方形的性质，结合同角的余角相等，证明，即可证得结论； （2）延长、，交于点，由三角形全等的性质，可得，证明，可得点是的中点，由直角三角形斜边中线的性质，即可得线段与之间的关系． 【详解】（1）证明：在正方形中，，， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由： 在正方形中，，， 延长、，交于点，则， ∴， 由（1）得， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴． 15．（2026·海南儋州）如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：连接并延长交于，连接， 四边形是正方形， ，，， ，分别是边，的中点， ， ， ， ∵点H是的中点， ∴， ， ， ， ， ∴在中，， 点，分别是，的中点， ． 16．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 【答案】/ 【分析】根据正方形的性质可得，得到，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，点到点的距离不变，再根据两点之间线段最短得，当点，，三点共线时最小，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，即， 取的中点，连接，， ， ， ， 当点，，三点共线时，取最小为， 的最小值为． 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，点在上，连接、，作于点，交于点，作于点，交于点，下列结论正确的个数有（    ）个： ①；②；③；④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】因为正方形的边相等、角为直角，所以先利用正方形的性质得出各边相等、各内角为的条件．对于①，因为，所以可推出，，进而得到角相等，再结合正方形的边相等，用全等三角形判定定理判断．对于②，因为，所以可推出，，进而得到角相等，再结合正方形的边相等，用全等三角形判定定理判断．对于③，若前两个全等成立，那么可利用全等三角形对应边相等的性质，结合正方形边长相等的关系，推导．对于④，先利用四边形内角和为，结合已知垂直条件和，再利用全等得到的角的关系，推导的度数；最后统计正确结论的个数，匹配选项． 【详解】结论① ： 正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①正确． 结论② ： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②正确． 结论③ ： ∵， ∴， ∴， ③正确． 结论④ 时，： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ④正确． 故正确的有①②③④，选：D． 类型四 半角模型 18．（24-25八年级下·山东济南·月考）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】A 【分析】此题考查了正方形的性质、翻折变换以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 由正方形纸片的边长为6，可得，，根据折叠的性质得：，，然后设，在中，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：延长到点，使，连接，如图， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， 故选：A． 19．（25-26八年级下·山东济宁·月考）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了旋转的性质、半角模型以及正方形的性质，掌握半角模型的条件以及结论是解题关键． （1）根据提示即可作图； （2）根据图形可得结论； （3）由旋转可知：，推出，进而得，证即可； （4）根据的周长，，推出的周长，即可； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：； （3）证明：由旋转可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵的周长，， ∴的周长 20．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】本题考查了常见的全等模型——半角模型，掌握模型的构成条件、辅助线的引入是解题关键． （1）先证，推出，进一步得；再证，即可得； （2）参考（1）中的证明过程即可； 【详解】解：（1）如图所示： ∵，，， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： 延长到，使得，连接， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 21．（25-26八年级下·全国·月考）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识以及正确作出辅助线是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 四边形中常见的几何模型 【重难点突破】 类型一 中点四边形模型 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，四边形为等腰梯形，且对角线，取梯形各边的中点E、F、G、H，则四边形是（    ） A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 3．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）顺次连接菱形各边的中点得到的四边形是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 4．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在四边形中，分别是边的中点，对角线，则四边形是什么图形（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，四边形中，，，，分别是边，，，的中点．若四边形为菱形，则四边形应满足条件（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 类型二 手拉手模型 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 8．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河南新乡·期中）正方形中，点在上，点在边的延长线上，且，点在上，，垂足为点，连接．若， (1)求证：； (2)求长． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 11．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形外取一点P，连接、、．若，．则的最大值为______． 类型三 十字架模型 12．（25-26八年级下·湖北鄂州·期中）如图所示，在正方形中，点、分别在上，且，连接相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·上海·期中）如图，O为正方形内一点，连接并延长交边于，过点O的直线与边，分别交于，求证：． 14．（25-26八年级下·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，点、分别在、上，且，垂足为． (1)求证：； (2)若点是的中点，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由． 15．（2026·海南儋州）如图，在边长为6的正方形中，点E、F分别是边、的中点，连接、，点G、H分别是、的中点，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，点在上，连接、，作于点，交于点，作于点，交于点，下列结论正确的个数有（    ）个： ①；②；③；④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 类型四 半角模型 18．（24-25八年级下·山东济南·月考）如图，正方形纸片的边长为6，点E，F分别在边，上，已知，，则的长为（   ） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 19．（25-26八年级下·山东济宁·月考）如图，正方形中，M，N分别在上，连接． (1)若将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到；请你补全图形． (2)直接写出线段之间的数量关系； (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是5，求的周长． 20．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）问题背景  如图1，在四边形中．，，，、分别在、上，且，试探究图中线段、、之间的数量关系，并说明理由． 由“，”的数据信息，解决问题的方法是：延长到，使得，连接，则可以先证，再证________________，从而得到，，之间的数量关系是：________； 验证猜想  写出上述推理的详细过程； 探索延伸  如图2，在四边形中，，，、分别在、上，且，上述结论是否成立，并说明理由． 21．（25-26八年级下·全国·月考）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $