专题7：微元累积法

数理极 由几何关系得d.=d(1+sin60°) 解得d。=2+5d 2 (3)粒子的运动周期T= 2mm qB a.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁 场的时间为，粒子斜向上射出磁场 可能1= T+4 可能=子7+ 4=2n-12T+4(n=1,2,3…) 当L=(2m-1)1+(1-夏)u时，粒子转过 夹角为石，即4，解得4=（宁+36.4） Tm 2qB b.设粒子最后一次碰撞到水平板后射出磁 场的时间为2，粒子斜向下射出磁场 2T+ 4 可能t= 4T+ 可能1= 6T+2 4-+4(n=12,3.… 当L=2nd+(1+)4时，粒子转过夹角为 名即6=吾，解得1=（片-35.4 24B 【小结】本题第三小题求带电粒子在磁场中 运动时间，带电粒子撞到水平板的次数分为奇偶 次两种情况递推，求出两种情况下粒子在磁场中 运动时间. 例2.如图3所示，以 两虚线为边界，中间存在 平行纸面且与边界垂直 的水平电场，宽度为d, 图3 两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里.一 质量为m、带电量+g、重力不计的带电粒子，以 初速度，垂直边界射入磁场做匀速圆周运动， 后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场 中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动已 知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的 二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推.求： (1)粒子第一次经过电场的过程中电场力 所做的功W· (2)粒子第n次经过电场时电场强度的大 小En (3)粒子第n次经过电场所用的时间tn: ·方法专项 (4)假设粒子在磁场中运动时，电场区域场 强为零.请画出从粒子第一次射入磁场至第三次 离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系 图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻 度值) 【解析】带电粒子在磁场中做匀速圆周运 动，由9B=m得r= qB 则U1:v2:…:vn=T1:r2:…:Tn =1:2:…:n (1)第一次过电场，由动能定理得 g=2-a=3a (2)第n次经过电场时，由动能定理得 5,d=26-2m 2 解得E。= (2n+1)m 2qd (3)第n次经过电场时的平均速度 0n= ,+_2n+l, 2 2 则时间为。= d 2d (2n+1)u (4)如图4. 【小结】依据带电粒子在 磁场中做匀速圆周运动的半 径公式，可知带电粒子依次进 入磁场的速度大小之比等于 图4 其在磁场中的轨道半径之比，可以求出每次进入 磁场的速度，每次进入磁场的速度也是前次出电 场的速度，以这个速度关系作为抓手，再结合动 能定理即可递推归纳出第次经过电场的场强， 至于第次在电场中匀加速的时间也就迎刃而 解了.本题难度适中，运动模型虽然复杂一些，但 模型相对单一，仅是电场与磁场周期性运动，应 用的物理规律可以是动能定理，也可以是动力学 运动规律，学生的得分率较高， 专题7 微元累积法 微元法是介于初等数学与高等数学之间的 一种处理物理模型问题的方法，其要点是：在对 物理问题做整体的考查后，选取该问题过程中的 某一微小单元进行分析，通过对微元细节的物理 分析和描述，找出该微元所具有的物理性质和运 动变化规律，从而获得解决该物理问题整体的方 法.微元法按其研究物理模型问题可分为对象微 元法、过程微元法. 1.过程微元法 过程微元法着眼于研究对象物体所经历的 比较复杂的过程，比如，物体的运动不是恒力作 用下的匀变速运动，而是变力作用下的变加速运 67 动，这时物体运动的过程复杂，运动过程性规律 不甚明了，若从整体着手研究，则难以在高中物 理层面展开，不过当我们用过程微元法，把物体 的运动过程按其经历的位移或时间等分为多个 小量，将每个微元过程近似为高中物理知识所能 处理的过程，在得出每个微元过程的相关结果 后，再进行数学求和，这样就能得到物体复杂运 动过程的规律。 例1.质量为m物体从地面以初速度。竖直 上抛，经过时间达最高点，在运动过程中受到 的阻力∫=w(k是常数)，求上升的最大高度， 【解析】物体上升过程 mg kv ma kv a =g+ m ∑A=∑(g+色)A kH 得o=gt1+ H=m(。-g) ① k 针对训练.接上题，上题条件不变，物体从最 高点下落，当物体到达地面时速度刚好达到最 大，求其下落时间2 【解析】到达地面速度最大值为vm hv =mg ② 过程中mg-k=ma ③ ∑△u=∑aAt即vm=gh2- kH ④ m ①23④得：，=匹+2-1 k 【小结】本题上升下落过程受到变化的阻 力，加速度变化，需要把物体的运动过程进行微 元处理，在每一小段的时间内可以认为加速度一 定，再进行时间的累积，就可以求出结果 例2.如图1所示，顶角 0=45°的金属导轨M0N 固定在水平面内，导轨处在 XXX XX 方向竖直，磁感应强度为B XXXX× 的匀强磁场中，一根与OW N 垂直的导体棒在水平外力 图1 作用下以恒定速度沿导轨MON向右滑动，导 体棒的质量为m,导轨与导体棒单位长度的电阻 均为r,导体棒与导轨接触点为α和b,导体棒在 滑动过程中始终保持与导轨良好接触，=0时， 导体棒位于顶角处.求： (1)t时刻流过导体棒的电流强度I和电流 方向 (2)导体棒作匀速直线运动时水平外力F 的表达式 (3)导体棒在0~t时间内产生的焦耳热Q. 【解析】(1)经时间t,导体棒位移x=od 导体棒有效长度1=x 68 方法专项 数理极 导体棒电动势E=Blm ③ F=Pta=2.8N ④ (3)对于第(2)问所述的运动情况，求a穿 回路总电阻R=(l+x+√+x)r R ④ 出第k个磁场区域时的速率， (2)在水平方向，由能量守恒定律得 1= 【解析】(1)因磁通量不变，a和b不受安培 ⑤ Q=7m6=2.45J ⑤力作用，由机械能守恒知 ①②③④⑤联立解得1= ⑥ △Ek=mgd1sinθ (2+√2)r (3)在水平方向，把部分线框在磁场中变速 (2)设导体棒α刚进入无磁场区域时的速 电流方向b→a 运动过程微元处理，每一微元的冲量 度为，刚离开无磁场区域的速度为2， Bvot (2)F =IIB 1=BP4 R 由能量守恒得：在磁场区域中 (2+√2) m听+Q=m暖+ngd sin0 1 由动量定理得 (3)在t时刻， R'=vort,P=PR' BPeA+BFsA+…+Br△L=m R 在无磁场区域中 R R 联立解得P= B-vot ⑥ 2m听=2m-mg4,sin0 (2+2)2, B'P P-t为正比例函数P个 （u+43+）=m0 ② 解得：Q=mg(d1+d2)sin0 (3)在无磁场区域中，根据匀变速直线运动 关系，作出其图像，（如 部分线框在磁场中的变减速运动的位移 规律 图2)把时间t无限小等 x=y1b1+U2l2+…vntn 8 ① 分， v2-v1=gtsin 0 N 将⑦⑧联立得 Q=P1△61+P2△t2 图2 x =mrok 且平均速度十丝。4 ② 2 t +P3△3+… B2P ⑨ 在磁场区域中棒a受到合力F=mgsin0 当△→0，Q线在t时间内时间所围面积 线框变减速运动每通过一个条形磁场发生 IBI ③ B2vot2 的位移为线框边长的二倍， 感应电动势E=B ④ 2(2+2)2r n=27≈4.4 10 E 【小结】该题中导体棒在斜导轨上运动，随 感应电流1=2R ⑤ 着导体棒的运动，导体棒的有效长度随之变化， 联立⑨⑩得n=4(取整数) 解得F=mgsin6- B'P 【小结】本题线框在磁场中受重力和安培力 2 ⑥ 电阻、电动势、安培力也随之变化，如果直接利用 的作用做曲线运动，类似于平抛运动但不同于平 有关公式计算无法得出结果，但这里可以利用过 根据牛顿第二定律，在t到t+△t时间内 抛运动，属于要求较高的问题.试题中第一问考 程微元法，将物体运动的过程分成很多的小等 查载流导体在磁场中的受力情况，属于考查基础 ∑a=∑ ⑦ 份，从而解决了“研究过程的选择”，再辅以力 知识范畴；第二问考查分析运动过程及能量的转 学、电磁学知识，问题迎刃而解 则有∑△u=∑(gsin0- BTe)At 2mR 化情况；第三问重点考查利用动量定理和微元法 针对训练.如图3所示，空间等间距分布着 解得v1-v2=gtsin0- B22 处理物理问题的能力，要求考生有较高的利用数 ⑨ 水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足 学知识处理物理问题的能力和技巧.三个设问对 够长，磁感应强度B=1T,每一条形磁场区域的 联立①②⑨解得 学生的能力要求逐步递增，有较好的区分度.本 宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d= 题揭示了“变”与“不变”的内在物理规律，展现 v1= 4mgRdz sin 0- B212 BPd 0.5m,现有一个边长1=0.2m,质量m=0.1kg、 电阻R=0.12的正方形线框MNOP以。= 了一个新的物理图景. 由题意知 例3.如图4所 磁场区域1、 7m/s的初速度从左侧磁场边缘水平进入磁场， 磁场区域2、 示，间距为1的两条 D=4=4msR4, 磁场区域3B BPd 求 9 磁场区域4 足够长的平行金属磁场区城 【小结】本题考察考生对匀强磁场中的安培 导轨与水平面的夹 力、电磁感应定律、能量守恒和匀加速直线运动 角为0，导轨光滑且 的分析综合能力及应用数学处理物理问题的能 电阻忽略不计.场强为B的条形匀强磁场方向与力.第(I)问要求考生理解感应电流产生的条 导轨平面垂直，磁场区域的宽度为山，间距为件，直接使用能量守恒定律解决问题.第(2)问 图3 d,.两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a要求考生仔细分析棒的物理状态和运动过程，建 (1)线框MN边刚进入磁场时受到安培力和b放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速立物理模型，从而找到系统能量守恒的物理规 的大小F 度为g) 律，对考生的分析综合能力要求较高.第(3)问 (2)线框从开始进入磁场到竖直下落的过 (1)若a进入第2个磁场区域时，b以与α同要求能将复杂问题分解，综合运用牛顿运动定 程中产生的焦耳热Q. 样的速度进入第1个磁场区域。求b穿过第1个律、电磁感应定律和能量守恒定律，应用过程微 (3)线框能穿过的条形磁场区域的个数几. 磁场区域过程中增加的动能△E; 元法解决问题，是对考生能力要求最高的一问. 【解析】(I)线框MN边刚进入磁场时 (2)若α进入第2个磁场区域时，b恰好离开 针对训练.如图 E Blvo ① 第1个磁场区域，此后α离开第2个磁场区域时，5所示，两平行的光 1=是 b又恰好进入第2个磁场区域且a、b在任意一个滑金属导轨安装在 ② 磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等.求α一光滑绝缘斜面上， F=IBL ③穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总导轨间距为1、足够 ①②③联立得 焦耳热Q: 长且电阻忽略不计， 数理极 导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d, 磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直.长 度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框 连接在一起组成“五”型装置，总质量为m,置于 导轨上.导体棒中通以大小恒为I的电流（由外 接恒流源产生，图中未图出).线框的边长为d(d <),电阻为R,下边与磁场区域上边界重合.将 装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下 边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导 轨垂直.重力加速度为g.求： (1)装置从释放到开始返回的过程中，线框 中产生的焦耳热Q; (2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间1； (3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区 域下边界的最大距离xm, 【解析】(1)设装置由静止释放到导体棒运 动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培 力做功为W 由动能定理有mgsin·4d+W-Bld=0 且Q=-W 解得Q=4 ngdsin a-Bld (2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为 "1,接着向下运动2d 由动能定理有mgsin a·2d-BIld=0- 装置在磁场中运动时受到的合力 F mgsin a-F' 感应电动势e=Bdu 感应电流1=发 安培力F'=BI'd 由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有△v m 则∑Ae=∑[gsin a-BE]Ar mR 有4=g,sin&- 2B2d mR 解得 /2m(B1M-2 ngdsin）+名 2B2d R t1= mgsin a (3)经过足够长时间后，线框在磁场下边界 与最大距离xm之间往复运动 由动能定理可列式 mgsin a.xm-BIl(xm-d)=O BIld 解得xm= BIl -mgsin a 【小结】第(2)问能将复杂问题分解，综合 运用牛顿运动定律、电磁感应定律和电路知识， 应用过程微元法求出运动时间. 2.对象微元法 对象微元法主要解决研究对象难以选择的 情形，通常的做法是把实体模型等分为很多很多 的等份，研究其一份，运用物理规律，辅以数学方 ·方法专项 法求解，由此求出整体受力或运动情况，在中学 阶段比较常见的有类似流体问题、铁链条的连续 体模型 例4.高压采煤水枪出水口的横截面积为S, 水的射出速度为，射到煤层上后，水的速度为 零，设水的密度为P,求对煤层的冲力大小 解析：设在△时间内，水枪中喷出水的质量 为mo,则有：mo=p(S·vAt) 以这部分水为研究对象，设煤层对这部分水 的作用力为F,由动量定理有： -F△t=0-mo 得：F=m=S,A)E=pSw △t △ 依牛顿第三定律，对煤层的冲力大小与F 相等 F=F=pSv2. 例5.某种气体分子束由质量m=5.4× 10-26kg、速度v=460m/s的分子组成，各分子都 向同一方向运动，垂直地打在某平面上后又以原 速率反向弹回，如分子束中每立方米的体积内有 no=1.5×10”个分子，求被分子束撞击的平面 所受到的压强. 解析：设在△t时间内射到面积为S的某平面 上的气体的质量为△M,则：△M=v△S·nom 取△M为研究对象，受到的合力等于平面作 用到气体上的压力F,规定以v方向为正方向，由 动量定理得： -F·△t=-△Mm-△M 解得：F=22nSm 所以平面受到的压强p为： P=- =2m=342sPa 【小结】对连续体（如高压水枪，漏斗装煤， 水车洒水等)产生的持续作用问题，若用牛顿运 动定律求解，一般比较麻烦，甚至难以求解，记住 可采用“微元法”，即取时间△，得出相应的质量 m。,然后对m。在时间△t中应用动量定理可轻松 得到问题的解.解决此类问题时，关键在于：一是 正确选取研究对象—一△时间内动量发生变化 的物质；二是根据题意正确地表示出其质量及动 量变化量. 针对训练.半径为R的均质圆环，质量为m, 在光滑水平面上以角速度ω匀速转动，求环中张 力. 【解析】模型构建：环为刚性环，水平面为光 滑平面，环上某个点作匀速圆周运动， 数理整合：如图6，取 环上一小段弧长，其所对应 的圆心角为0 △l=0R 其受力如图， F 图6 F 2FTsin 12 由向心力公式 69 F=△mo2R ③ △m= m△L 2πR ④ 联立①②③④得：Fx= mROo2 4πsin 2 当0→0时.sim号=号 mRo? 2T 【小结】截取环的微小的一段进行受力分 析，利用向心力公式列出方程，再借助于近似公 式求解，得出结论 专题8 伪相关变量问题 在高中物理习题中，大多数都是通过已知量 求解未知量，这些已知量对于未知量来说，叫做 相关变量.在解答有些问题时，我们发现这样的 情况：某一物理量与未知量关系非常紧密，在思 维过程中无法绕过，似乎是其必然的相关变量， 但问题中却并没有告知这个物理量.有些学生认 为问题缺条件，其实不然，我们在解题列式过程 中把这个貌似的相关变量引入，再应用适当的方 法，就可以把它消掉，这个貌似的相关变量叫 “伪相关变量”.比如：物体在平面上自由滑行时 的质量之于加速度；速度选择器问题中的电量之 于速度；初速为零的带电粒子经电场加速后垂直 进入电场偏转，其比荷之于偏转位移或偏转角； 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的速度之于 周期等等. “伪相关变量”问题是高中物理中的一大难 ,点，难主要表现在以下几个方面：一是在思雏上 误导学生，使学生错误地认为问题缺少条件，终 止解题.二是伪相关变量与未知量关系紧密，解 题过程中绕不开它，要引入它并在解题过程中消 掉，就意味着要多列物理表达式，应用较多的物 理规律，问题的难度必然要加大，三是解这类问 题常常要用到一些特殊的数学方法，比如微元 法、对称法等，而这些方法在高中物理习题教学 中不常用，学生对这些方法比较生疏，有些学生 尚未熟练掌握这些方法，这必然增加解题难度， 例1.如图1所示， 一薄木板斜搁在高度 7777777 一定的平台和水平地 图1 板上，其顶端与平台相平，末端置于地板的P处， 并与地板平滑连接.将一可看成质点的滑块自木 板顶端无初速释放，沿木板下滑，接着在地板上 滑动，最终停在Q处.滑块和木板及地板之间的 动摩擦因数相同.现将木板截短一半，仍按上述 方式搁在该平合和水平地板上，再次将滑块自木 板顶端无初速释放，（设物体在板和地面接触处 平滑过渡)，则滑块最终将停在