专题03 几何作图10大压轴题型（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题03 几何作图综合压轴 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中作图题类型的考向主要分4种类型： 1、 尺规作图（每年1道，3~8分）； 2、 直尺作图（每年1道，3~8分） 三、格点作图（每年1题，3~8分）； 四、几何综合题型（每年1道，3~10分）； 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏上． 预测2026年：必考题型，各市针对作图题的考察重点略有不同，具体可参照往年的中考模拟题和真题针对性练习。 考向01 尺规作图 一．五种基本作图 1.作一条线段等于已知线段 已知：如图，线段a． 求作：线段AB，使AB ＝a 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB＝a，则线段AB就是所求作的图形． 2.作一个角等于已知角 已知：如图，已知∠AOB． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB 作法： （1）作射线O′A′； （2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N； （3）以O′为圆心，以OM的长为半径画弧，交O′A′于M′﹔ （4）以M′为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N′﹔ （5）连接ON′并延长到B′．则∠A′O′B′就是所求作的角． 3.作已知线段的垂直平分线 已知：如图，线段MN． 求作：点O，使MO＝NO（即O是MN的中点）． 作法： （1）分别以M、N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （2）连接PQ交MN于O．则直线PQ就是所求作的MN的垂直平分线． 4.作已知角的角平分线 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP，使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）． 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、N为圆心，大于MN的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P； （3）作射线OP．则射线OP 就是∠A0B的角平分线． 5.过一点作已知直线的垂线(点在直线上或直线外作法一致) 已知：如图，直线AB及直线外一点P． 求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB． 作法： （1）以Р为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N； （2）分别以M、N圆心，大于MN长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q； （3）过P、Q作直线CD．则直线就CD是所求作的直线． 2． 常见综合作图 1.过直线外一点作平行线 利用平行线的性质，构造同位角相等或内错角相等； 2.作三角形的外接圆（或找三角形的外心） 作三角形两边的垂直平分线，交点即是外心； 3.作三角形的内切圆（或找三角形的内心） 作三角形两个内角的角平分线，交点即是内心； 4.作一个点关于一条直线的对称点 先过这个点做已知直线的垂线，再截取点到直线的距离； 三．中考作图通用评分规范 ①必须保留作图痕迹（弧、辅助线），无痕迹直接扣分； ②实线 / 虚线分清： 最终所求图形：实线 作辅助线、延长线、对称辅助线：虚线 垂直位置必须标注直角符号； 每题最后必须写结论：“…… 即为所求”； 题型1 作角平分线 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 2.角的对称性：角的对称轴是角平分线所在的直线； 1．（2026•新城区模拟）已知：如图，四边形ABCD，E为CD边上一点．请在四边形ABCD内求作一点P，使得EP∥BC，且点P到AB、AD的距离相等． 【分析】作角平分线：作∠BAD的角平分线，因为角平分线上的点到角两边（AB、AD）的距离相等； 作平行线：过点E作一条直线平行于BC，这条直线与∠BAD的角平分线的交点，就是所求的点P． 【解答】角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，满足“点P到AB、AD的距离相等”的要求； 平行线的判定：过E作EP∥BC，满足“EP∥BC”的要求， 两条线的交点即为同时满足两个条件的点P． 故答案为： 点P是∠BAD的角平分线与过E且平行于BC的直线的交点． 如图： ． 2．（2025•镇江二模）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，点C关于AD的对称点C′落在AB边上． 【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与C′； 【推理与计算】（2）以D为圆心，CD为半径作⊙D，若点A恰好落在⊙D上，且AB＝10，BC＝13，求⊙D的半径． 【分析】（1）利用轴对称的性质作出∠BAC的平分线即可； （2）利用圆的有关性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）作∠BAC的平分线AE，AE交BC于点D，过点C作CF⊥AD于点F，延长CF交AB于点C′，如图， 则点D，C′为所求． （2）以D为圆心，CD为半径作⊙D，若点A恰好落在⊙D上，如图， 则DC＝DA， ∴∠DAC＝∠C． 由题意得：∠CAD＝∠BAD， ∴∠BAD＝∠C， ∵∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∵AB＝10，BC＝13， ∴， ∴BD， ∴DC＝BC﹣BD＝13． ∴⊙D的半径为． 3．（2025•漳州模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O． （1）在OB上求作点E，使得点E到AB，AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求点E到AB的距离． 【分析】（1）作∠BAC的角平分线交BD于点E，点E即为所求； （2）过点E作EH⊥AB于点H，证明BEEHOE，再根据OB＝1，构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，点E即为所求； （2）过点E作EH⊥AB于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝ODAB＝1，∠ABO＝45°， ∵EH⊥AB，EO⊥AC， ∴EH＝EO， ∵∠EHB＝90°， ∴∠EBH＝∠HEB＝45°， ∴BEEHEO， ∴EH+EH＝1， ∴EH1， ∴点E到AB的距离是1． 4．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠A＝80°，CD是△ACB的角平分线，在CD上求作点P，使∠BPC＝130°．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作BP平分∠ABC，BO交CD于点P，点P即为所求． 【解答】解：如图，点P即为所求． 题型2 作垂直平分线 1.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等； 2.垂直平分线可以构造等腰三角形； 3.垂直平分线可以构造二倍角； 5．（2025•东海县模拟）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在AB上，且⊙O过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）中作图基础上，求证：BC与⊙O相切； （3）若AC＝6，BC＝8，求（1）中所作的⊙O的半径． 【分析】（1）作AD垂直平分线交AB于点O； （2）根据等腰三角形和角平分线可得平行线，进而可得证； （3）易求AB＝10，设半径为r，证△ODB∽△ACB，利用相似比建立方程求解即可． 【解答】（1）解：作法一：如图所示； 作法提示：作AD垂直平分线交AB于点O； 作法二：如图所示， 作法提示：过D作BC的垂线交AB于点O； （2）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， 又由（1）知：⊙O经过A、D两点． ∴OA＝OD， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°，即OD⊥BC， ∵OD为半径， ∴BC与⊙O相切； （3）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴， 设⊙O的半径为r，则由（1）知：AO＝DO＝r， ∴OB＝10﹣r， 由（2）知：AC∥OD． ∴△ODB∽△ACB， ∴，即， 解得， ∴⊙O的半径为． 6．（2025•仪征市校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 有 【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″即可； （2）根据矩形性质和∠PEC＝∠DAP，可以证明△ABP∽△PCE，对应边成比例进而可得BP的长． 【解答】解：（1）如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″， 则点P′和P″即为所求； （2）∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∵∠PEC＝∠DAP， ∴∠APB＝∠PEC， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 设BP′＝x，AB＝4，BC＝5， ∴P′C＝5﹣x， ∴， 解得x1＝1，x2＝4， ∴BP的长为1或4． 7．（2025•镇江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边AC上一点． （1）尺规作图：在边AB上作一点O，使得∠AOD＝2∠BDO；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，以点O为圆心，OB为半径的圆与BC交于点E，且∠AOD＝∠DOE． ①求证：AC与⊙O相切； ②若⊙O的半径为3，，求CE的值． 【分析】（1）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AB与点O，连接OD即可； （2）①连接OD，OE，BD，由∠AOD＝∠OBD+∠ODB，∠AOD＝2∠BDO， 得∠OBD＝∠ODB，由OB＝OE，得∠OBE＝∠OEB，再根据∠AOD＝∠DOE，得∠AOD＝∠OBE，故有OD∥BC，再根据性质即可求解； ②由①得OD⊥AC，则∠ADO＝90°，根据，求出OA，AB，过O作OF⊥BE于F，则BF＝EF，在Rt△BOF中，求得BF＝OB•sin∠FOB，进而得到BE＝2BF，CE＝BC﹣BE． 【解答】（1）解：如图1所示，点O即为所求， （2）①证明：如图2，连接OD，OE，BD， ∵∠AOD＝∠OBD+∠ODB，∠AOD＝2∠BDO， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴OB＝OD即OD为半径， ∵∠AOE是△BOE的外角， ∴∠AOE＝∠OBE+∠OEB＝∠AOD+∠DOE， ∵OB＝OE， ∴∠OBE＝∠OEB， ∵∠AOD＝∠DOE， ∴∠AOD＝∠OBE， ∴OD∥BC， ∴∠ADO＝∠C＝90°， ∴OD⊥AC， ∵OD为半径， ∴AC与⊙O相切； ②解：由①得OD⊥AC， ∴∠ADO＝90°， 在Rt△AOD中，OD＝3，， ∴OA＝5， ∴AB＝8， ∵， ∴， 过O作OF⊥BE于F，则BF＝EF， ∵AC⊥BC， ∴OF∥AC， ∴∠FOB＝∠A， ∴sin∠FOB＝sinA， 在Rt△BOF中，BF＝OB•sin∠FOB， ∴BE＝2BF， ∴CE＝BC﹣BE． 8．（2024•绥化）已知：△ABC． （1）尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是 　15　 cm2． 【分析】（1）根据三角形的重心是三角形三条中线的交点即可解决问题． （2）根据三角形重心的性质即可解决问题． 【解答】解：（1）分别作出AB边和BC边的垂直平分线，与AB和BC边分别交于点N和点M， 连接AM和CN， 如图所示，点G即为所求作的点． （2）∵点G是△ABC的重心， ∴AG＝2MG， ∵△ABG的面积等于5cm2， ∴△BMG的面积等于2.5cm2， ∴△ABM的面积等于7.5cm2． 又∵AM是△ABC的中线， ∴△ABC的面积等于15cm2． 故答案为：15． 9．（2025•南山区三模）如图1，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上． （1）请你添加一个条件：　∠CDA＝∠ABD ，使得直线CD与⊙O相切并写出你的证明过程； （2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点． 求作：这个圆的圆心O（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）． 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，得到∠CDO＝90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）分别过切点A，B作PA和PB的垂线，交于点O即可． 【解答】解：（1）添加条件：∠CDA＝∠ABD， 证明：连接OD， ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO+∠ODB＝90°， ∵∠CDA＝∠ABD， ∴∠CDA+∠ADO＝90°， 即∠CDO＝90°， ∵OD是半径 ∴CD是⊙O的切线， 故答案为：∠CDA＝∠ABD； （2）如图所示，（答案不唯一）． 圆心O即为所求； 10．（2026•雁塔区校级二模）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝15°．请用尺规作图法，在AC上求作一点D，使得BD＝2BC．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】作线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，点D即为所求． 【解答】解：如图，点D即为所求． 11．（2026•周口模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线． （1）在BC上求作一点D，在AG上求作一点E，使四边形ADCE是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形ADCE是矩形． 【分析】（1）①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧交于点P； ③作射线AP交BC于点D； ④以点A为圆心，DC长为半径画弧，交AG于点E，则点D，E即为所求． （2）先由AB＝AC得出∠B＝∠ACB，结合三角形外角性质，推出内错角相等，进而证得AE∥CD，再结合AE＝CD，根据一组对边平行且相等证出四边形ADCE是平行四边形，又由等腰三角形三线合一得出AD⊥BC，即∠ADC＝90°，最后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，完成证明． 【解答】（1）解：如图，先利用尺规作角平分线的方法作出∠BAC的平分线，再通过尺规截取等长线段的方法在相关边上确定点E，则点D，E即为所求． （2）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB． ∵AG是△ABC的外角∠FAC的平分线， ∴∠FAG＝∠GAC． ∵∠B+∠ACB＝∠FAG+∠GAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAG＝∠GAC， ∴AE∥CD． ∵AE＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， 由作图可知AD平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． 12．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可； （2）利用勾股定理求出BD，再根据tan∠ADB，求出OE可得结论． 【解答】解：（1）正方形EFGH即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD2， ∴OB＝OD， ∵tan∠ADB， ∴OE， ∵四边形EFGH是正方形， ∴OE＝OH，EO⊥OH， ∴EHOE， ∴正方形EFGH的边长为． 题型3 作垂直平分线与角平分线综合 13．（2025•无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数． （请直接写出∠EFA的度数） 【分析】（1）由题意先作AD的垂直平分线l，再根据点F到∠BAC的两边距离相等可知点F在∠BAC的角平分线上，据此作图即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，直线l和点F即为所求； （2）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠BAC＝∠CAD＝45°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝22.5°， ∴∠EAF＝67.5°， ∵直线l⊥AD，即∠AEF＝90°， ∴∠EFA＝22.5°． 14．（2025•扬州二模）（1）如图1，Rt△ABC中，若AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE⊥AC，且DE＝DB，求AD的长； （2）如图2，已知△ABC，若AB边上存在一点M，若AC边上存在一点N，使MB＝MN，且△AMN∽△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段MN（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． 【分析】（1）根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，进而得到，据此可得AD的长． （2）作∠B的平分线BN，交AC于N，作BN的垂直平分线MG，交AB于M，则MN＝BM，而MN∥BC，则△AMN∽△ABC． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， ∵DE⊥AC，∠C＝90°， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 即， 解得AD， 故AD的长为． （2） 如图2所示，作∠B的平分线BN，交AC于N，作BN的垂直平分线MG，交AB于M，MN即为所求． 15．（2024•扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM＝12，求BM的长． 【分析】（1）作AC的垂直平分线交AQ于点O． （2）作AC的垂直平分线交AQ于点O，以点O为圆心，OC为半径画圆交AQ于点B，作∠CBQ的角平分线交AP于点M，点M即为所求； （3）可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k，证明△MBC≌△MBH（AAS），推出BC＝BH＝3k，推出AH＝AB+BH＝8k，推出MH＝6k，构建方程求解． 【解答】解：（1）如图点O即为所求； （2）如图，点B点M即为所求； （3）由作图可知OA＝OC＝OB， ∴∠ACB＝90°， ∵sinA， ∴可以假设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝4k， ∵BM平分∠CBQ，MC⊥CB，MH⊥BQ， ∴∠MBC＝∠MBH，∠MCB＝∠BHM＝90°， ∵BM＝BM， ∴△MBC≌△MBH（AAS）， ∴BC＝BH＝3k， ∴AH＝AB+BH＝8k， ∵sinA， ∴AM＝10k，MH＝MC＝6k， ∴12＝6k， ∴k＝2， ∴BH＝6，MH＝12， ∴BM6 ． 16．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N； （2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　3π　 ． 【分析】（1）先作∠APB的平分线PQ，再过M点作PB的垂线交PQ于点O，接着过O点作ON⊥PA于N点，然后以O点为圆心，OM为半径作圆，则⊙O满足条件； （2）先利用切线的性质得到OM⊥PB，ON⊥PN，根据切线长定理得到∠MPO＝∠NPO＝30°，则∠MON＝120°，再利用含30度角的直角三角形三边的关系计算出OM，然后根据扇形的面积公式，利用⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积＝S四边形PMON﹣S扇形MON进行计算． 【解答】解：（1）如图，⊙O为所作； （2）∵PM和PN为⊙O的切线， ∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO∠APB＝30°， ∴∠OMP＝∠ONP＝90°， ∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°， 在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°， ∴OMPM3， ∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积 ＝S四边形PMON﹣S扇形MON ＝23 ＝3π． 故答案为：3π． 17．（2025•韶关模拟）如图，长方形ABCD中，AD＞AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①在BC边上取一点E，使AE＝BC； ②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等． （2）在（1）的条件下，连接AF．若AB＝6，AD＝10，求△ADF的面积． 【分析】（1）①以A为圆心，AD为半径作弧交BC于点E，连接AE即可； ②作AF平分∠DAE交CD于点F； （2）连接EF，证明DF＝EF，设DF＝EF＝x，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，点E，点F即为所求； （2）连接EF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠ADF＝90°， ∵AD＝AE＝10， ∴BE8， ∴EC＝BC﹣BE＝10﹣8＝2， ∵AD＝AE，∠DAF＝∠EAF，AF＝AF， ∴△ADF≌△AEF（SAS）， ∴DF＝EF， 设DF＝EF＝x， 在Rt△ECF中，x2＝22+（6﹣x）2， ∴x， ∴△ADF的面积•AD•DF10． 18．（2026•铜川一模）如图，已知∠ABC＝70°，点D在边BC上．请用尺规作图法，求作等腰△PBD，使得点P在∠ABC内部，∠PBD＝35°，且线段BD为等腰△PBD的底边．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】先作∠ABC的平分线，再作边BC的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P，连接PB、PD． 【解答】解：如图，△PBD即为所求作． 19．（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD是矩形，请在矩形ABCD内找一点P，使PB＝PC，∠PAB＝45°．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作BT平分∠ABC，直线MN交BT于点P，连接PC，点P即为所求． 【解答】解：如图，点P即为所求． 20．（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 【分析】（1）作OP平分∠MON即可； （2）作线段ON的垂直平分线垂足为D，以O为圆心，OD为半径作弧交OM于点C，弧CD即为所求． 【解答】解：（1）如图，射线OP即为所求； （2）如图2中，弧CD即为所求． 21．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值） 【分析】（1）作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点D，即为所求． （2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形AEDF为正方形，设AE＝AF＝ED＝DF＝x，则BE＝7﹣x，FC＝5﹣x，以DB＝DC为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD． 【解答】解：（1）如图：AD即为所求． （2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，则∠AED＝∠AFD＝90°，又∵∠BAC＝90° ∴四边形AEDF为矩形， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴DE＝DF， ∴四边形AEDF为正方形， ∴AE＝AF＝ED＝DF， 设AE＝AF＝ED＝DF＝x， ∴BE＝AB﹣AE＝7﹣x，FC＝AF﹣AC＝x﹣5， 在Rt△BED中，BD2＝ED2+BE2＝x2+（7﹣x）2， 在Rt△CFD中，CD2＝DF2+FC2＝x2+（x﹣5）2， ∵DB＝DC， ∴DB2＝DC2， ∴x2+（7﹣x）2＝x2+（x﹣5）2， 解得：x＝6， ∴． 方法二：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵DB＝BC， ∴△BDE≡△CDF（HL）， ∴BE＝CF， 设BE＝CF＝x，则AE＝AB﹣BE＝7﹣x，AF＝AC+CF＝5+x， ∵AD＝AD， ∴△ADE≌△ADF（HL）， ∴AE＝AF， 即7﹣x＝5+x， ∴x＝1， ∴AE＝AF＝6， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAF＝45°， ∴ADAF＝6． 题型4 作一个角等于已知角 1.构造平行线； 2.构造相似三角形； 22．（2025•南京）尺规作图：如图，点P在直线l外，过点P作与直线l平行的直线． 【分析】利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【解答】解：如图，直线PA即为所求． 23．（2026•碑林区校级一模）如图，已知△ABC．请用尺规作图法，在BC上方求作一个以BC为底边的等腰△DBC，且S△BCD＝S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】利用尺规作出AD∥BC和BC的垂直平分线交于点D即可． 【解答】解：利用尺规作出AD∥BC和BC的垂直平分线交于点D，如图，等腰△DBC即为所求． 由垂直平分线的性质得到，DB＝DC， ∴△DBC是以BC为底边的等腰三角形， ∵AD∥BC ∴点D到BC的距离等于点A到BC的距离， ∴S△BCD＝S△ABC． 24．（2026•碑林区校级三模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在AB上确定一点D，使得AC2＝AD×AB．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】在CA的右侧作∠ACD＝∠B，CD交AB于点D，点D即为所求． 【解答】解：如图，点D即为所求． 题型5 构造等边三角形或等腰三角形 25．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 【分析】（1）先分别以O、M点为圆心，以OM长为半径画弧，两弧相交于点A、B，接着作∠AOM和∠BOM的平分线OP、OQ，然后以M点为圆心，MO为半径画弧交OP、OQ于点N、N′，则点N、N′满足条件； （2）方法一：先过A点作AH⊥l于H点，再以点A、H为圆心，以AH长为半径画弧，两弧相交于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件； 方法二：先过A点作AH⊥l于H点，再作AH得垂直平分线，接着以点A圆心，以AH长为半径画弧交AH得垂直平分线于点D，接着作∠DAH的平分线AP，AP交直线l于B点，然后截取CH＝BH，则△ABC满足条件． 【解答】解：（1）如图1，点N、N′为所作； （2）如图2、3，△ABC为所作． 26．（2026•未央区一模）如图△ABC，请用尺规作图的方法在BC边求作点P，使得以AP为边构成的等边△APQ的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】过点A作BC边的垂线交BC于点P，再分别以点A，P为圆心，AP长为半径画弧，两弧交于点Q，即可． 【解答】解：过点A作BC边的垂线交BC于点P，再分别以点A，P为圆心，AP长为半径画弧，两弧交于点Q，如图，点P即为所求． 27．（2025•江都区二模）【问题提出】如图1，矩形ABCD中，如何用圆规和无刻度的直尺在边AD上作点P，使∠BPC＝60°？ 【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作等边三角形MNQ； 【问题解决】请你在图1中用圆规和无刻度的直尺作出符合条件的点P； 【深度思考】若AB＝m，BC＝6，若图1中符合要求的点P一定存在，求m的取值范围． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【分析】[问题联想]分别以M，N为圆心，MN的长为半径在MN的同侧作弧，两弧交于点Q，连接MQ，NQ，则三角形MNQ即为所求； [问题解决]同[问题联想]作等边△BCE，两弧与AD的交点为点P，点P即为所求； [深度思考]当点P与AD只有1个交点时为临界值，勾股定理即可求解． 【解答】解：[问题联想]如图所示，分别以M，N为圆心，MN的长为半径在MN的同侧作弧，两弧交于点Q，连接MQ，NQ，则三角形MNQ即为所求； [问题解决]如图所示，同[问题联想]作等边△ABE与等边△CDF，BE与CF相交于O， ∵∠ABO＝∠DCO＝60°， ∠OBC＝∠OCB＝30°， 以点O为圆心，OB为半径作圆，交AD于P1、P2， ∴∠BOC＝120°， ∠BP1C＝∠BP2C＝60°， P1、P2就是符合条件的点． [深度思考]如图所示， 当点P与点A重合时，O是矩形ABCD 的中心， ∴AB＝BC•tan30°； 当点P1与点P2重合时，点P位于AD的中点， ∴ABBC•BC； ∴m的取值范围为m． 28．（2025•南京一模）如图，⊙O的半径为r，点P在⊙O外．按下列要求分别求作一条直线l，使l过点P，并交⊙O于点A，B． （1）PB﹣PA＝r； （2）PB+PA＝2r． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 版权所有 【分析】（1）连接PO，以PO为边，在PO上方作等边△POQ，作△POQ的外接圆⊙O'交于点B，连接PB交⊙O于点A即可； （2）连接PO，以PO为直径作⊙O'，以P为圆心，r为半径画弧交⊙O'于Q，连接AQ交⊙O于点A，延长AQ交⊙O于点B即可． 【解答】解：（1）如图，直线l即为所求， 作法提示：①连接OP，在OP上方作等边三角形POQ， ②作△POQ的外接圆⊙O'，交⊙O于点B， ③作直线l经过点P和点B交⊙O于点A， 则直线l即为所求； 理由：由作图知，⊙O'是等边△POQ的外接圆， ∴∠PBO＝∠PQO＝60°， 连接OA，OB， ∵OA＝OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝r， ∴PB﹣PA＝AB＝r； （2）如图，点A、B即为所求， 作法提示：①连接PO，以PO为直径作⊙O'， ②以P为圆心，r为半径画弧交⊙O'于Q， ③过点P和点Q作直线l，交⊙O于点A，点B， 直线l即为所求； 理由：由作图知，PQ＝r，连接OQ， ∵PO是⊙O的直径， ∴∠PQO＝90°，即OQ⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AQ＝BQ， ∴PA+PB＝（PQ﹣AQ）+（PQ+BQ）＝2PQ＝2r． 29．（2025•清江浦区一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在BC上找一点E，使∠AEC＝30°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，∠EAD＝45°，求AD的长． 【分析】（1）在AC的右侧构造等边△ACF，延长AF交BC于点E，点E即为所求； （2）过点D作DH⊥AE于点H．设DH＝m．再根据AE＝1，构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，点E即为所求； （2）过点D作DH⊥AE于点H．设DH＝m． ∵∠AEC＝30°，∠EAD＝45°， ∴AH＝DH＝m，EHm， ∵AE＝1， ∴mm＝1， ∴m＝1， ∴AH＝DH＝1， ∴AD． 30．（2024•梁溪区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC． （1）尺规作图：作矩形DEFG，使D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上，且； （2）若，设第（1）问中所作的矩形DEFG的面积为S1，△ABC的面积为S2，则　　 ． 【分析】（1）作AT⊥BC于点T，在AT的左侧作等边三角形ATQ，TQ交AB于点D，作DE⊥BC于点E，以T为圆心，ET为半径作弧交TC于点F，以F为圆心，DE为半径作弧交AC于点G，连接DG，FG，四边形DEFG即为所求（由作图可知∠ETD＝30°，推出ET＝FTDE，推出EF＝2DE，可得结论）； （2）设△BDE的面积为a，求出△ABC的面积，矩形DEFG的面积，可得结论． 【解答】解：（1）如图，矩形DEFG即为所求． （2）如图，连接DT，GT．设△BDE的面积为a． ∵cosB， ∴∠B＝30°， ∵AT⊥BC， ∴∠BAT＝60°， ∵∠ATD＝60°， ∴△ADT是等边三角形， ∴DA＝DT， ∵∠B＝∠DTB＝30°， ∴DB＝DT＝AD， ∵DE⊥BC， ∴ET＝BE， ∴△BDT的面积为2a，△ABT的面积＝△ATC的面积＝4a，矩形DEFG的面积S1为4a， ∴△ABC的面积为S2为8a， ∴． 31．（2026•碑林区校级二模）如图，已知∠AOB＝90°，点C在边OB上，请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得点P到∠AOB两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】构造等腰直角△OCP即可． 【解答】解：如图，点P即为所求（作法不唯一）． 作法提示：过C作OB的垂线，在垂线上方截取CP＝OC， 则△OCP为等腰直角三角形，即OPOC． 32．（2024•威海）感悟ㅤ如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD． 应用ㅤ（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）． 【分析】感悟：根据等腰三角形的性质证明； 应用：（1）以A为圆心，分别以AB，AC的长为半径作圆交BC于点D，E即可； （2）延长AC到D，使CD＝AC，再作∠CDE＝∠BAC即可． 【解答】感悟：过点A作AH⊥BE于点H， ∵AB＝AE，BC＝DE， ∴∠BAH＝∠EAH，∠CAH＝∠DAH， ∴∠BAC＝∠DAE； 应用：（1）解：如图2：点D，E即为所求； （2）如图3：点D，E即为所求． 33．（2024•无锡二模）尺规作图 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，若点D是斜边AB上一个动点，点K在BC上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形． （1）连接CD，KD，使CD⊥DK，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． （2）在（1）的条件下，求此时△BDK的面积． 【分析】（1）以C为圆心，CA为半径作弧交AB于点D，过点D作DK⊥CD，交CB一点K即可； （2）过点C作CH⊥AB于点H，KJ⊥AB于点J．解直角三角形求出BD，KJ，可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）过点C作CH⊥AB于点H，KJ⊥AB于点J． ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9， ∴AB3， ∵•AC•CB•AB•CH， ∴CH， ∵AC＝CD，CH⊥AD， ∴AH＝DH， ∴BD＝AB﹣AD＝3， ∵KJ⊥DB，KB＝KD， ∴DJ＝JB， ∴KJ＝BJ•tanB， ∴△BDK的面积． 题型6 利用圆周角定理分析作图 1.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是90°； 2.圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角； 34．（2026•锡山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作BC边的中线AD； ②在边AB上找一点E，使得∠DEC＝∠DAC；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，AB＝5，则线段CE的长为 　　 ．（如需画草图，请使用备用图） 【分析】（1）①先作BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD即可； ②先作DE⊥AB，根据圆内接四边形即可得结论； （2）如图3，过点C作CF⊥AB于点F，根据等角的三角函数可设CD＝2x，AC＝3x，则BD＝CD＝2x，可得AC＝3，BC＝4，BD＝2，再由三角函数可得CF，AF，BE，最后由勾股定理即可解答． 【解答】解：（1）①如图1，线段AD即为所求； ②如图2，以D为圆心，以任意长为半径画弧交AB于M，N，再分别以M，N为圆心，以大于MN为半径画弧交于点G，过点D，G，作线段DE，此时∠DEC＝∠DAC； 理由：∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠AED＝180°， ∴A，C，D，E四点共圆， ∴∠DEC＝∠DAC； （2）如图3，过点C作CF⊥AB于点F， ∵∠DEC＝∠DAC， ∴tan∠DEC＝tan∠DAC， ∵tan∠DAC， ∴设CD＝2x，AC＝3x， ∴BD＝CD＝2x， ∴BC＝4x， ∵∠ACB＝90°，AB＝5， ∴AC＝3，BC＝4，BD＝2， ∵sin∠CAF，cos∠CAF， ∴CF，AF， ∵cosB， ∴BE， ∴EF＝AB﹣BE﹣AF＝5， 由勾股定理得：CE． 35．（2025•无锡一模）如图，已知△ABC，AB＝AC． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作△ABC的高CD，垂足为D； ②在CD上求作点E，使AE⊥BE． （2）在（1）的条件下，当∠BAC＝2∠AED，CE＝2时，则AB的长为　3　 ． （如需画草图，请使用图2） 【分析】（1）①利用垂直平分线的作图方法确定垂足D的位置即可； ②先利用垂直平分线作图确定AB的中点O，然后由直径所对的圆周角为直角作⊙O与CD的交点确定点E的位置即可． （2）先根据圆周角定理得出AF为等腰△ABC的高，然后根据已知条件得出AE＝BF，推出EF∥AB，得到点E是CD的中点．再由∠DOE＝∠DAC推出，最后在Rt△ODE中，由勾股定理求出半径OA的长度，从而求得直径AB的长度． 【解答】解：（1）①如图1所示：CD即为所求； ②如图1所示：点E即为所求； （2）如图，BC与⊙O交于点F，连接OE，AF，EF． 根据题意，CD⊥AB，⊙O是△ABE的外接圆． 由圆周角定理可知，∠AEB＝∠AFB＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠BAC＝2∠BAF＝2∠AED，BF＝CF． ∴∠BAF＝∠ABE． ∵BF＝ABsin∠BAF，AE＝ABsin∠EBA， ∴BF＝AE． ∴∠ABE＝∠BEF， ∴EF∥AB． ∵EF是△BCD的中位线， ∴DE＝CE＝2． ∵∠DOE＝∠OBE+∠OEB＝2∠OBE，∠DAC＝2∠BAF＝2∠ABE． ∴∠DOE＝∠DAC， ∴tan∠DOEtan∠DAC． ∵． ∴． 在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，则（OA）2+22＝OA2， ∴OA． 故AB＝3． 故答案为：3． 36．（2025•仪征市校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 【分析】（1）根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″即可； （2）根据矩形性质和∠PEC＝∠DAP，可以证明△ABP∽△PCE，对应边成比例进而可得BP的长． 【解答】解：（1）如图，连接AE，作AE的垂直平分线，以AE为直径画圆，交BC于点P′和P″， 则点P′和P″即为所求； （2）∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAP＝∠APB， ∵∠PEC＝∠DAP， ∴∠APB＝∠PEC， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△ABP∽△PCE， ∴， 设BP′＝x，AB＝4，BC＝5， ∴P′C＝5﹣x， ∴， 解得x1＝1，x2＝4， ∴BP的长为1或4． 题型7 与切线相关的作图 切线的性质：切线垂直于过切点的半径即：若直线 l 切圆 O 于点 P，则 OP⊥l 37．（2025•泗洪县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作Rt△ABC的内切圆⊙O，并分别标出⊙O和AB、BC、CA相切的切点D、E、F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不需证明） （2）连接OE、OF，四边形OECF是正方形吗？为什么？ （3）若AD＝6，BD＝4，求⊙O的半径r的长． 版权所有 【分析】（1）首先由三角形的内心是三角形三个角平分线的交点，确定圆心，然后作边的垂线，确定半径，继而可求得△ABC的内切圆； （2）连接OE，OF，OD，根据切线的性质得到OE⊥BC，OF⊥AC，求得∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°，得到四边形OECF是矩形，根据角平分线的性质得到OF＝OD，OD＝OE，求得OE＝OF，得到四边形OECF是正方形； （3）根据正方形的性质得到OF＝CF＝CE＝OE＝r，根据切线的性质得到AF＝AD＝6，BE＝BD＝4，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示：⊙O即为所求； （2）四边形OECF是正方形， 理由：连接OE，OF，OD， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴OE⊥BC，OF⊥AC， ∴∠C＝∠CFO＝∠CEO＝90°， ∴四边形OECF是矩形， ∵AO平分∠CAB，BO平分∠ABC， ∴OF＝OD，OD＝OE， ∴OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形； （3）∵四边形OECF是正方形， ∴OF＝CF＝CE＝OE＝r， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AF＝AD＝6，BE＝BD＝4， ∴AC＝AF+CF＝6+r，BC＝4+r， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（6+r）2+（4+r）2＝（6+4）2， ∴r＝2（负值舍去）， 即⊙O的半径r的长为2． 38．（2026•博兴县一模）如图，直线AB，CD被BC所截，AB∥CD． （1）请在图中作出⊙O，使其与AB，BC，CD都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）题所作的图中，若⊙O分别与AB，BC，CD相切于点E，F，G，⊙O的直径为6cm，设BE＝x，CG＝y，求y与x的函数关系式． 【分析】（1）利用角平分线的性质，作∠ABC与∠BCD的角平分线，其交点即为圆心O，再以O到CD的距离为半径作圆，即可得到与AB、BC、CD都相切的⊙O． （2）先根据切线长定理得到线段相等关系，再通过作辅助线构造矩形和直角三角形，最后利用勾股定理建立等式，化简得出y与x的函数关系式． 【解答】解：（1）分别作∠ABC和∠BCD的角平分线，两条角平分线交于点O． 过点O作OG⊥CD于G，以O为圆心，OG为半径作圆，⊙O即为所求． （2）如图，连接OE，OG，过点B作BM⊥DC． ∵⊙O分别与AB，BC，CD相切于点E，F，G， ∴OE⊥AB，OG⊥DC， ∵AB∥CD， ∴点E，O，G共线． ∴BE＝BF＝x，CF＝CG＝y， ∵OE⊥AB，OG⊥DC，BM⊥DC， ∴∠BEO＝∠EGC＝∠BMG＝90°， ∴四边形EBMG为矩形． ∴BM＝EG＝6，BE＝GM＝x， ∴CM＝y﹣x， 在Rt△BCM中，BM2+CM2＝BC2， ∴62+（y﹣x）2＝（x+y）2， 化简得，xy＝9． ∴y与x的函数关系式为． 39．（2025•锡山区一模）已知在△ABC中，∠A＞90°． （1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O，使得⊙O与AB、BC所在直线相切，且⊙O在直线BC的上方，且与BC的切点为点C；（不写作法，但保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知AB＝3，BC＝6，⊙O的半径为2，则△ABC的面积为 　　 ． 【分析】（1）过C点作BC的垂线l，再作∠ABC的平分线BP，BP交直线l于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作图，根据角平分线的性质得到OC＝OD，然后根据切线的判定方法得到⊙O与AB、BC所在直线相切； （2）过O点作OD⊥BA于D点，CO的延长线交BA的延长线于点E，过A点作AH⊥CE于H点，如图，根据切线的性质得到OC⊥BC，OC＝OD＝2，再证明BD＝BC＝6，则AD＝3，接着证明△EDO∽△ECB，利用相似比可求出OE，DE，然后证明△EAH∽△EBC，利用相似比求出AH，最利用S△ABC＝S△BCE﹣S△ACE进行计算即可． 【解答】解；（1）如图，过C点作BC的垂线l，再作∠ABC的平分线BP，BP交直线l于O点，然后以O点为圆心，OC为半径作图， 则⊙O为所作； （2）过O点作OD⊥BA于D点，CO的延长线交BA的延长线于点E，过A点作AH⊥CE于H点，如图， ∵⊙O与BA，与BC相切于点C， ∴OC⊥BC，OC＝OD＝2， ∵BD，BC， ∴BD＝BC＝6， ∴AD＝BD﹣BA＝3， ∵∠EDO＝∠ECB，∠OED＝∠BEC， ∴△EDO∽△ECB， ∴，即， 即3DE＝OE+2且3OE＝6+DE， 解得OE，DE， ∵AH∥BC， ∴△EAH∽△EBC， ∴，即， 解得AH， ∴S△ABC＝S△BCE﹣S△ACE6． 故答案为：． 40．（2025•无锡二模）已知⊙O及⊙O外一点P． （1）用直尺和圆规过点P作⊙O的切线，切点为Q．（只需作一条切线）； （2）在（1）中，线段PO交⊙O于点A，延长PO交⊙O于点B，若AQ＝2，BQ＝4，则sin∠OPQ＝ 　　 ． 【分析】（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线，垂足为J，以J为圆心，JO为半径作弧交⊙O于点Q，作直线PQ即可； （2）连接OQ，过点Q作QH⊥AB于点Q．证明∠OPQ＝∠OQH，求出sin∠OQH可得结论． 【解答】解：（1）如图，直线PQ即为所求； （2）连接OQ，过点Q作QH⊥AB于点Q． ∵AB是直径， ∴∠BQA＝90°， ∴AB2 ∴OQ＝OA＝OB， ∵•QB•QA•AB•QH， ∴QH， ∴OH， ∴sin∠OQH， ∵PQ是切线， ∴∠OQP＝90°， ∵∠PHQ＝90°， ∴∠OPQ+∠HQP＝90°，∠OQH+∠HQP＝90°， ∴∠OPQ＝∠OQH， ∴sin∠OPQ＝sin∠OQH． 故答案为：． 41．（2025•滨湖区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AB上找一点P，以点P为圆心作一个圆，使⊙P与AC、BC都相切；（不写作法，保留作图痕迹，作图痕迹描粗加黑） （2）已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求⊙P的半径．（如需画辅助线，请使用图2） 【分析】（1）作CP平分∠ACB，过点P作PE⊥BC于点E，以P为圆心，PE为半径作⊙P即可； （2）设⊙P与BC相切于点F，设PF＝PE＝r，利用面积法求解． 【解答】解：（1）如图1中，⊙P即为所求； （2）设⊙P与BC相切于点F，连接PF．设PE＝PF＝r， ∵∠ACB＝90°，PF⊥AC，PE⊥CB， ∴•AC•BC•AC•r•BC•r， ∴r． ∴⊙P的半径为． 考向02 直尺作图 作图小技巧： ①先看图形有没有平行、等腰、圆 ②能连对角线就先连，交点非常有用 ③能延长就延长，构造大三角形、梯形 ④出现中点 / 平分 → 想中位线、重心 ⑤出现圆 → 想直径、圆周角、切线垂直半径 ⑥出现垂直 → 想直角、对称、直径对直角 42．（2025•罗湖区校级模拟）在平面直角坐标系中，以C（﹣4，0）为圆心，为半径画圆交y轴于点A，已知点P（6，0），射线PA交⊙C于点B． （1）求证：AB＝AP； （2）只利用一把无刻度的直尺画出过点P，且与⊙C相切的一条直线，并说明理由．（保留画图痕迹） 【分析】（1）连接AC，作CD⊥AB于D．在Rt△AOC中由勾股定理求出OA的长，再在Rt△AOP中由勾股定理求出AP的长，证明△CPD∽△APO得出．代入数据求出CD的长从而得出AD的长，再根据垂径定理即可得出结果； （2）连接BC并延长交圆C于点E，连接PE，则直线PE为圆C的切线，先证明∠ACB＝90°，再由AB＝AP，EC＝BC．得出AC∥PE，即可得出结论． 【解答】（1）证明：如图，连接AC，作CD⊥AB于D． ∵C（﹣4，0），P（6，0）， ∴OC＝4，OP＝6． ∵∠AOC＝90°，，OC＝4， ∴AO＝2， 又∵∠AOP＝90°，OP＝6， ∴， ∵CD⊥AB， ∴∠CDP＝90°＝∠AOP． 又∵∠CPD＝∠APO． ∴△CPD∽△APO， ∴． ∴． ∴， ∴． 又∵CD⊥AB，C是圆心， ∴， ∴AB＝AP； （2）解：如图，连接BC并延长交圆C于点E，连接PE，则直线PE为圆C的切线．理由如下： ∵，∠CDA＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°． 又∵AC＝BC． ∴∠CAD＝∠CBA＝45°． ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝AP，EC＝BC． ∴AC∥PE， ∴∠PEB＝∠ACB＝90°． ∴直径BE⊥PE． ∴PE为圆C的切线． 43．（2025•金凤区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）若∠ABC＝90°，请在图1中的BC边上找点G，使EG⊥BC； （2）如图2，点P为AB边上一点，请在图2中的CD边上找点K，使CK＝BP． 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接EO并延长，交BC于点G，则点G即为所求； （2）连接AC，BD交于点O，连接EO并延长，交BC于点G，连接PC交EG于点F，连接BF并延长，交CD于点K，则点K即为所求． 【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连接EO并延长，交BC于点G，则点G即为所求，如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DO＝BO， ∴点O为BD中点， 由条件可知EO为△DAB的中位线， ∴EO∥AB，即EG∥AB， ∴∠EGC＝∠ABC＝90°， ∴EG⊥BC； （2）连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交BC于点G，连接PC交EG于点F，连接BF并延长，交CD于点K，则点K即为所求，如图： 由条件可知DO＝BO，AB∥CD， ∴点O为BD、AC的中点， 由条件可知EO为△DAB的中位线， ∴EO∥AB，即EG∥AB， ∴EG∥AB∥CD， ∵点O为AC的中点，EG∥AB， ∴OG是△CAB的中位线， ∴点G是BC的中点， ∴FG是△CPB和△BKC的中位线， ∴， ∴CK＝BP． 44．（2024•镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点． 操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点． 理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，，所以，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，，所以，所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上． ①作线段EF的中点； ②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）． 【分析】实践操作（1）①根据【阅读理解】部分的作法：在l1上任取一点A，得到△AEF，AE与交l1于点B，AF交l1于点C，连接CE，BF交于点O，作射线AO交l1，l2分别于N，M，点M即为所求点； ②作射线FN交AE于点G，作射线GC交l2于点P，点P即为所求； （2）根据上述作法，有两种作法； 【探索发现】如作法一，根据相似可知，连接CD，BE交于点O，则DO：OC＝1：2，即点O是CD的三等分点之一，由此可以得出过点O作BC的平行线；同理可得点M是CP的三等分点之一，则OM∥BC，即点Q为所求作点． 【解答】解：【实践操作】 （1）①如图， 点M即为所求作的点； ②如图， 点P即为所求作的点； （2）如图， 作法一、 作法二、 点N，M即为所求作的点； 【探索发现】（3）如图， 作法一、 作法二、 作法三、 作法四、 作法五、 作法六、 点Q即为所求的点． 考向03 格点作图 中考最常的考格点作图 1. 作相等线段 找相同横纵差 例：AB 横 2 纵 3 → 再找一个横 2 纵 3 的格点线段即可； 2. 作相等角 / 全等三角形 用SSS：三边对应相等 格点里直接数横纵差，凑出一样的边长 3. 作垂线（必考） 口诀：横变纵，纵变横，符号相反 例： 线段从 (0,0)→(2,1) 垂线就走 (1,-2) 或 (-1,2) 连格点，直接画出垂线 4. 作平行线 保持横差、纵差比例相同 如原线段：右 3 上 1 → 平行线也右 3 上 1 5. 找中点 直接数格子 6. 作面积为 n 的三角形 / 四边形 7. 作位似图形（放大 / 缩小） 8.线段比转化成相似比，构造A型或8字型相似； 9.三角形三边的中线、高，三个内角的角平分线均交于一点； 45．（2025•天宁区校级模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上． （1）将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1； （2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得； （3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC＝2∠A．（请涂上墨点，注上字母） 【分析】（1）分别作点A、点B绕C点按顺时针方向旋转90°得到的对应点A1，B1顺次连接 A1C，B1C，A1B1即可得到△AB1C1； （2）由图可知，AP＝3，CQ＝2，AP∥CQ，则△AMP∽△CMQ，故点M即为所求； （3）连接BN、CN、AN，由勾股定理可得，则点N到点A、B、C的距离相等，故点N是△ABC的外心，以点N为圆心，BN为半径画圆，因此有∠BNC＝2∠A． 【解答】解：（1）如图1，分别作点A、点B绕C点按顺时针方向旋转90°得到的对应点A1，B1顺次连接 A1C，B1C，A1B1即可得到△AB1C1， ∴△AB1C1即为所求； （2）如图2， 由图可知，AP＝3，CQ＝2，AP∥CQ， ∴△AMP∽△CMQ， ∴， ∴， ∴点M即为所求； （3）如图3， 连接BN、CN、AN，由勾股定理可得， ∴点N到点A、B、C的距离相等， 即点N是△ABC的外心，以点N为圆心，BN为半径画圆， 则∠BNC＝2∠A， 即点N即为所求． 46．（2026•濮阳模拟）如图，在6×6的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图1中作出△ABC的外接圆的圆心O； （2）将图1中的圆心O标记在图2的相应位置并求图2中阴影部分的面积（结果保留π）． 【分析】（1）解题时，应选取三角形的任意两条边（如AB和BC），分别作出它们的垂直平分线，相交的一点即△ABC的外接圆的圆心O； （2）先根据勾股定理求出OA、OC、AC，再根据勾股逆定理证出△AOC为直角三角形，最后根据S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC求解即可． 【解答】解：（1）如图，分别作AB，BC的垂直平分线，交于点O，点O即为所求； （2）如图，连接OA，OC， 由图得，． ∵，即OA2+OC2＝AC2， ∴△AOC为直角三角形，∠AOC＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC5． 47．（2026•南岗区一模）如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹，体现作图过程） （1）在图1中作出BC的中点D； （2）在图2中作出△ABC的重心O，连接OB，并直接写出OB的长． 【分析】（1）取格点M，N，连接MN，交BC于点D即可． （2）结合三角形的重心的定义，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相交于点O，则点O即为所求． 【解答】解：（1）如图1，点D即为所求． （2）如图2，点O即为所求． ∵AE＝CE2， ∴点E是AC的中点， 由（1）知，点D是BC的中点， ∴AD，BE是△ABC的中线， ∴点O是△ABC的重心O． 取格点G，H， ∵GO∥EH， ∴． ∵， ∴． ∴． 48．（2025•萧山区校级模拟）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图中，画射线AD交BC于点D，AD平分△ABC的面积； （2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB． 【分析】（1）根据中线平分三角形的面积，利用矩形的对角线交点为中点的思路解答即可； （2）利用三角形全等构造垂直，再利用平行四边形构造中位线定理，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可证明∠ECB＝∠ACB． 【解答】解：（1）画图如下，点D即为所求； （2）画图使得△AQC≌△NMA（SAS），得BC⊥AN交点为H， 连接FP与AN的延长线交于点G，则四边形BFPC是平行四边形， 得到BH∥FG， 又AB＝BF， 故，得到AH＝HG， 得到直线BC是线段AG的垂直平分线， 连接CG，交直线AD于点E， 则CG＝CA，根据BC⊥AN， 得到∠ACB＝∠ECB， 则点E即为所求． 49．（2025•哈尔滨）如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出△ACD（点D在格点上），满足，且△ACD的面积是5； （2）在△ABC的边BA上画出点E，使线段BE的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接ED，并直接写出tan∠EDA的值． 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，过点E作EH⊥AD于点H，求出EH，DH可得结论． 【解答】解：（1）△ACD．如图所示． （2）如图，点E即为所求． 过点E作EH⊥AD于点H． ∵AB5，EH∥BN，BN＝3，AN＝4， ∴， ∴EH，AH， ∴HN＝AN﹣AH＝4， ∴DH＝DN+HN＝1， ∴tan∠EDA． 50．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 【分析】（1）利用圆周角定理作出图形； （2）利用圆内接四边形的性质作出图形． 【解答】解：（1）如图①中，点D即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中，点E即为所求（答案不唯一）． 51．（2025•威海）问题提出 已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ 　90　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 【分析】（1）连接BC，利用等腰直角三角形的性质求解； （2）构造等腰直角三角形ABC可得结论，构造直角三角形DGF可得结论． 【解答】解：（1）如图1中，连接BC， ∵AB＝BC，AC， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∴∠α+∠β＝45°； （2）如图2中，连接BC， 由题意，α＝∠BAD，β＝∠DAC， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴α+β＝90°． 故答案为：90； （3）如图2中，α＝∠GDH，β＝∠HDF， 在Rt△DGF中，tan（α+β）． 52．（2026•前郭县校级模拟）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、P、Q均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画出△PAB的对称轴； （2）如图②，四边形ABPQ的面积为 　6　 ； （3）如图②，点M是线段PQ上一点，在线段AB上找一点N，使AN＝QM． 【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出对称轴即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）连接AM交对称轴于点J，连接QJ，延长QJ交AB于点N，点N即为所求． 【解答】解：（1）如图①中，直线m即为所求； （2）四边形ABPQ的面积（2+4）×2＝6； 故答案为：6； （3）如图②中，点N即为所求． 53．（2025•长春一模）图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作△ABC 的中线AD． （2）在图②中，在AC上找一点E，使． （3）在图③中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接CP，并在线段AC上找到一点Q，连接PQ，使△ABQ∽△CPQ． 【分析】（1）取BC的中点D，连接AD即可． （2）取格点F，G，使AF∥CG，且AF：CG＝2：1，连接FG交AC于点E，则点E即为所求． （3）根据平移的性质可得点P；取格点M，使CM∥AB，且CM：AB＝2：3，连接BM交AC于点Q，则点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图①，取BC的中点D，连接AD， 则AD即为所求． （2）如图②，取格点F，G，使AF∥CG，且AF：CG＝2：1，连接FG交AC于点E， 此时△AEF∽△CEG， ∴AE：CE＝AF：CG＝2：1， ∴， 则点E即为所求． （3）如图③，点P即为所求． 取格点M，使CM∥AB，且CM：AB＝2：3，连接BM交AC于点Q，连接PQ， 此时△ABQ∽△CMQ， ∴， ∵， ∴， ∵∠BAQ＝∠PCQ＝90°， ∴△ABQ∽△CPQ， 则点Q即为所求． 54．（2026•临泉县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，线段AB的两个端点均为格点（网格线的交点）．已知点A和点B的坐标分别为（1，﹣6）和（2，﹣3）． （1）将线段AB先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段A1B1，画出线段A1B1； （2）将线段AB绕O逆时针旋转90°，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）在平面直角坐标系xOy的第四象限内描出一个格点P（要在网格内），使得PA＝PA2，并写出格点P的坐标． 【分析】（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据旋转性质得到对应点的位置，再顺次连接即可； （3）根据网格特点，结合勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）根据平移性质得到对应点的位置，再顺次连接，线段A1B1如图； （2）根据旋转性质得到对应点的位置，再顺次连接，线段A2B2如图； （3）取格点P（答案不唯一），如图，P（7，﹣5）， 此时满足题意． 55．（2025•武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． （1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积． （2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD． 【分析】（1）利用旋转变换的性质作出点E的对应点F即可，连接AC交网格线于点O，作直线FO交AB于点G即可； （2）取格点J，K，连接AK，CJ交于点M，连接KJ交网格线于点P，取格点W，连接PW，延长PW交BD于点N，作直线MN即可． 【解答】解：（1）如图1中，点F，直线FG即为所求； （2）如图，点M，直线MN即为所求． 56．（2024•武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积； （2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB； （3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G； （4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）． 【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形； （2）方法一：作点A作BC的对称点A′，连接CA′交射线ADF于点E，点E即为所求．方法二：取格点P，Q，连接BR，作射线PD交BQ于点M，连接CM交AD一点E，点E即为所求； （3）构造等腰直角三角形AFC即可； （4）取格点P，Q，K，L，连接PQ，KL，PQ交射线AF于点M，BC交KL于点N，连接MN，线段MN即为所求（证明△ABG≌△MNG，可得结论）． 【解答】解：（1）如图1中，线段AD即为所求； （2）如图1中，点E即为所求； （3）如图2中，点F，射线AF，点G即为所求； （4）如图2中，线段MN即为所求． （其中（2）的方法二：如图所示）． 考向04 尺规作图综合题 57．（2025•淮安一模）（1）如图1，△ABC是等边三角形，点E为AC边上一点，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得BF，连接EF． ①△BEF的形状为 　等边　 三角形； ②若AB＝6，CE＝4，求tan∠ABE的值． （2）如图2，等边三角形ABC，点A在直线l上（任意一点），请用尺规作图，在直线l上，求作点E、点F，使得△CEF为等边三角形．（不写作法，需保留作图痕迹） （3）如图3，在∠MON的内部有一定点A，在OM、ON上分别找点B、点C，使△ABC为等边三角形．请画出示意图，并写出画△ABC的思路． 【分析】（1）①由等边三角形的判定很容易得解；②过E作EK⊥AB于点K，易得AE＝2，解△AEK，进而即可得解； （2）根据①中思路，可以作作△ABC的外接圆交l于点E，根据同弧所对的圆周角相等即可得到∠CEA＝60°，以点E为圆心，EC长为半径画弧，在点E左侧，交l于点F，则△CEF即为所求； （3）①在ON上且点A右侧任取两点D、F，在ON上方作等边三角形DEF；②过A作ON的垂线交ON于点K，交DE的延长线于点G；③作AH∥DG交ON于点H，在点H左侧的l上取一点L，使AH＝AL；④作∠ALO的角平分线交OM于点B，连接AB；⑤在点H左侧ON上取一点C，使HC＝LB，连接BC，AC，则△ABC即为所求； 【解答】解：（1）①线段BE绕点B顺时针旋转60°得BF， ∴BE＝BF， ∴△BEF是等腰三角形， ∵∠EBF＝60°， ∴△BEF是等边三角形， 故答案为：等边． ②如图，过E作EK⊥AB于点K， ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝6，∠A＝60°， ∴∠AEK＝30°， ∵CE＝4， ∴AE＝2， ∴AK＝1，EK， ∴BK＝AB﹣AK＝5， ∴tan∠ABE； （2）如图，△CEF即为所求； 作法提示：①作△ABC的外接圆交l于点E，则∠CEA＝∠B＝60°； ②连接EC，以点E为圆心，EC长为半径画弧，在点E左侧，交l于点F，则EC＝EF； ③连接CF，则△CEF为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． （2）如图，△ABC即为所求； 作法提示：①在ON上且点A右侧任取两点D、F，在ON上方作等边三角形DEF； ②过A作ON的垂线交ON于点K，交DE的延长线于点G； ③作AH∥DG交ON于点H，在点H左侧的l上取一点L，使AH＝AL； ④作∠ALO的角平分线交OM于点B，连接AB； ⑤在点H左侧ON上取一点C，使HC＝LB，连接BC，AC，则△ABC即为所求； 证明：∵△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝60°， ∵AH∥DG， ∴∠AHK＝60°， ∵AL＝AK， ∴△AHL是等边三角形， ∴∠ALH＝60°， ∴∠ALO＝120°， ∵LB平分∠ALO， ∴∠ALB＝60°＝∠AHC， ∵AL＝AH，LB＝HC， ∴△ABL≌△ACH（SAS）， ∴AB＝AC，∠BAL＝∠CAH， ∴∠BAL﹣∠CAL＝∠CAH﹣∠CAL， 即∠BAC＝∠HAL＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 58．（2025•鼓楼区校级一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，请按要求完成下列问题． （1）如图1，在△ABC中，D在边BC上，且∠1＝∠2，求证：AB2＝BD•BC； （2）如图2，在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．AC＝3，BC＝4，求：BD的长； （3）如图3，已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规在直线a上找所有的点P，满足∠BPD＝∠PAB． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到AB＝5，根据三角形的面积公式得到CD，然后根据勾股定理即可得到结论； （2）作AB的垂直平分线，交AB于点O；以O为圆心，OA为半径作⊙O；在AB上截取DC＝DB，作BC的垂直平分线EF，交⊙O于E；以点B为圆心，BE为半径作⊙B，可得点P． 【解答】（1）证明：∵∠B＝∠B，∠1＝∠2， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∴AB2＝BD•BC； （2）解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∵S△ABCAC•BCAB•CD， ∴AC•BC＝AB•CD， ∴CD， ∵CD⊥AB， ∴BD； （3）解：如图3， ①作AB的垂直平分线，交AB于点O， ②以O为圆心，OA为半径作⊙O， ③在AB上截取CD＝CB，作BD的垂直平分线EF，交⊙O于E， ④以点B为圆心，BE为半径作⊙B，交直线a于点P和点P′， 则点P和点P′即为所求． 59．（2024•徐州）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD•DB，则称点D是点C的“关联点”． （1）如图（1），在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”． （2）如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝m，DB＝n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）． 【分析】（1）证△ACD∽△CBD即可得证； （2）依据题意作出尺规作图，由（1）我们发现当∠ACB是直角三角形时，DC2＝DA•DB，所以我们需要找到一个点满足D到这个点的距离等于直角三角时的DC，这时很容易想到轨迹圆； （3）分类讨论，①当m＜n时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当m＜n时，同①方法． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵∠CDA＝∠CDB＝90°， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•DB， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，△ABC即为所求， 作法提示：①作线段AB的垂直平分线，交AB于点O； ②以O为圆心，OA为半径作圆； ③过D作DP⊥AB交⊙O于点P； ④以D为圆心，DP为半径画圆，则点C在⊙D上且在直线DP右侧． 简证：∵P在以AB为直径的圆上， ∴∠APB＝90°， 根据第一问很容易得出DP2＝DA•DB， ∵DC＝DP， ∴DC2＝DA•DB． （3）①当m＜n时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线DP左侧、A的右侧时，△ACB是锐角三角形， 此时AC1＜AC＜AC2， ∵DC2＝DA•DB，且DA＝m，DB＝n， ∴mn， 在Rt△ADC1中，AC1， 在Rt△ADC2中，AC2， ∴AC； ②当m＞n时，同理可得AC； 综上，AC或AC． 60．（2025•丹徒区二模）实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图1，同学们将细铁丝抽象为线段MN，在线段MN上取点A，B（MA＜MB），沿点A，B弯折，使M，N两点重合（记为C），得到△ABC． 【活动1】围等腰三角形 （1）一般的等腰三角形．如图2，线段MN上已确定好点A，请在线段MN上确定点B，沿点A，B弯折，使M，N两点重合（记为C），△ABC为等腰三角形．请画出点B（一种情况即可）和△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）等边三角形．如图3，线段MN上取点A，B（MA＜MB），沿点A，B弯折，使M，N两点重合（记为C），得到等边△ABC．小明思考后发现，找线段MN的一个三等分点B即可，他采取了以下的作图方法： ①过点N作MN的垂线NH； ②线段MN上顺次截取，以P为圆心，PM的长为半径作⊙P； ③以Q为圆心，线段QP的长为半径画弧，在MN的上方交⊙P于点E，作射线ME交射线NH于点D； ④作MD的垂直平分线交MN于点B．则点B就是线段MN的三等分点． 根据上面的作法，证明点B是线段MN的三等分点． 【活动2】围直角三角形 如图4，线段MN上有一点，同学们为解决问题，过点A作射线AH⊥MN于点A．请你借助射线AH，用尺规确定点B的位置，使得沿点A，B弯折后，M，N两点重合（记为C），最后得到直角△ABC．请画出点B（一种情况即可）和△ABC（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 有 【分析】（1）作线段MN的垂直平分EF，以A为圆心，AM为半径画弧，交EF于C，以C为圆心，AM为半径画弧交MN于B，于是得到结论； （2）连接EQ，BD，由作图知PM＝PQ＝PEQM，∠DNM＝90°，根据圆周角定理得到∠MEQ＝90°，求得∠M＝30°，得到∠MDN＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到BM＝BD，求得∠BDM＝∠M＝30°，得到∠BDN＝30°，根据直角三角形的性质得到BNBDBM，得到点B是线段MN的三等分点； （3）①以M为圆心，任意长为半径画弧，交AH与点C；②连接BC，作BC垂直平分线交MN与点B，③连接CB，则△ABC即为所求． 【解答】（1）解：如图，点B，△ABC即为所求； （2）证明：连接EQ，BD， 由作图知PM＝PQ＝QEQM，∠DNM＝90°， ∵MQ是⊙P的直径， ∴∠MEQ＝90°， ∴∠M＝30°， ∴∠MDN＝60°， ∵BT垂直平分DM， ∴BM＝BD， ∴∠BDM＝∠M＝30°， ∴∠BDN＝30°， ∴BNBDBM， ∴点B是线段MN的三等分点； （3）解：如图，点B，△ABC即为所求． （建议用时：60分钟） 1．（2025•漳州模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O． （1）在OB上求作点E，使得点E到AB，AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求点E到AB的距离． 【分析】（1）作∠BAC的角平分线交BD于点E，点E即为所求； （2）过点E作EH⊥AB于点H，证明BEEHOE，再根据OB＝1，构建方程求解． 【解答】解：（1）如图，点E即为所求； （2）过点E作EH⊥AB于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝ODAB＝1，∠ABO＝45°， ∵EH⊥AB，EO⊥AC， ∴EH＝EO， ∵∠EHB＝90°， ∴∠EBH＝∠HEB＝45°， ∴BEEHEO， ∴EH+EH＝1， ∴EH1， ∴点E到AB的距离是1． 2．（2026•雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC边上确定一点P，使得△PAB∽△ABC．（要求保留作图痕迹，不写作法） 【分析】根据垂直平分线的作法作AB的垂直平分线与BC的交点即为点P． 【解答】解：根据垂直平分线的作法作AB的垂直平分线与BC的交点，如图，点P即为所求作． 由垂直平分线的性质可得AP＝BP， ∴∠B＝∠BAP， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠PBA＝∠ACB，∠PAB＝∠ABC， ∴△PAB∽△ABC． 3．（2025•梁溪区校级二模）如图，四边形ABCD为菱形，60°＜∠ABC＜90°，点E是BC边的中点． （1）请在图①中用尺规作图分别在CD边上找一点G，在BD上找一点F，使EF+FG最小．（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） （2）若菱形边长为5，tan∠ABC＝2，在（1）的条件下，则sin∠GBC＝ 　　 ． 【分析】（1）作点E关于BD的对称点E′，过点E′作E′F垂直AB，交BD于点F，交CD于点G，连接EF，点E，F即为所求； （2）如图，连接BG，过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CJ⊥BG于点J．利用面积法求出CG可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）如图，连接BG，过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CJ⊥BG于点J． 在Rt△BCH中，BC＝5，tanB2， ∴BH，CH＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∵GE′⊥AB，CH⊥AB， ∴GE′∥CH， ∴四边形CHE′G是平行四边形， ∵∠GE′H＝90°， ∴四边形CHE′G是矩形， ∴CG＝E′H，CH＝E′G＝2， ∴BG， ∴S△BCGBG×CJ（）×22， ∴CG， ∴sin∠GBC． 故答案为：． 4．（2025•锡山区二模）在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD上确定点E，使 BE＝BC．再在CD上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． （2）在（1）的条件下，若AB＝3，且 ，则BC的长为 　5　 【分析】（1）以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点E，连接CE，作线段EC的垂直平分线交CD于点F，连接EF即可； （2）设DF＝4k，EF＝FC＝5k，构建方程求出k，设AD＝BC＝BE＝x，利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：（1）图数如图所示： （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3，AD＝BC， ∵sin∠DEF， ∴可以假设DF＝4k，EF＝5k， ∵FE＝FC＝5k， ∴CD＝DF+CF＝9k＝3， ∴k， ∴EF，DF，DE＝1， 设AD＝BC＝BE＝x， 在Rt△ABE中，x2＝32+（x﹣1）2， ∴x＝5， ∴BC＝5． 故答案为：5． 5．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC． （1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB，则CD＝ 　　 ． 【分析】（1）利用基本作图，先作∠ACE＝∠ACB，再作∠FBC＝∠ACB，CE和BF相交于点D； （2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图，先利用等腰三角形的判定与性质证明BT＝CT＝4，再利用正切的定义求出JT＝3，则利用勾股定理可计算出JC＝5，所以BJ＝5，接着证明△DCJ∽△DBC，利用相似三角形的性质得到，则可设DJ＝5x，则DC＝8x，然后利用得到，从而求出x得到DC的长． 【解答】解：（1）如图，点D为所作； （2）BF交AC于J点，过J点作JT⊥BC于T点，如图， ∵∠JBC＝∠JCB， ∴JB＝JC， ∴BT＝CTBC＝4， 在Rt△JCT中，∵tan∠JCT， ∴JT＝3， ∴JC5， ∴BJ＝5， ∵∠DCJ＝∠DBC，∠JDC＝∠CDB， ∴△DCJ∽△DBC， ∴， 设DJ＝5x，则DC＝8x， ∵△DCJ∽△DBC， ∴，即， 解得x， ∴DC＝8x． 故答案为：． 6．（2025•浦口区校级模拟）已知：如图点A、B为⊙O定点． 求作：优弧AB上点C使得AC﹣BC等于定长d．（保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明） 【分析】先确定点以A为圆心d为半径的圆，求出到点A距离为（AC﹣BC）的点E的轨迹，然后根据等腰三角形的性质得出∠AEB为定角，并根据等腰三角形的性质推出DA＝DF＝BD，判定点E在以点D为圆心AD为半径的圆上，由两圆交点确定出点E的位置，即可得出点C的位置． 【解答】解：如图，作AB的垂直平分线OD交于点D，以点D为圆心AD为半径作⊙D交OD于点F，以点A为圆心d为半径作⊙A，⊙A与⊙D交于点E，连接AE并延长交⊙O于点C．根据轴对称的性质，同理在另一侧得到点C′．点C和C′即为所求． 思路：由于AE＝d，构造CE＝BC，在等腰△CBE中， ∠AEB＝180°﹣∠CEB＝180°﹣（）＝180°∠AFB． 由于∠AFB＝∠AFD+∠BFD＝2∠AFD，180°180°﹣∠ADO＝∠FAD+∠AFD，则∠FAD＝∠AFD，AD＝DF＝DB， 由于∠C为定角，则∠AEB也为定角，点E的轨迹为以点D为圆心，AD为半径的圆． 因点E又在以点A为圆心d为半径的圆上． 故两圆交点即为点E，连接AE并延长，即可找到点C． 7．（2025•鼓楼区校级二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图1中作出BC边上的高AD； （2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4； （3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF． 【分析】（1）取格点G，连接AG，与BC交于点D，则AD即为所求． （2）取格点P，Q，连接PQ，交AC于点E，则△AEP∽△CEQ，可得； （3）取格点M，连接AM，交网格线于点N，此时AM＝AC，∠CAM＝90°，2，即，再连接CN，交AB于点F，可得tan∠ACF＝tan∠ACN． 【解答】解：（1）如图1，高AD即为所求． （2）如图2，点E即为所求． （3）如图3，点F即为所求． 8．（2026•船营区校级模拟）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段AB的端点A和B均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． （1）在图①中，以AB为边画一个三角形ABC，且有一边长为5，点C为格点． （2）在图②中，以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABD，点D为格点． （3）在图③中，以AB为边画一个面积为5的等腰直角三角形ABE，点E为格点． 【分析】（1）使BC为直角边分别为3和4的直角三角形的斜边，可得BC＝5，画出三角形ABC即可． （2）根据题意，画底为2，高为3的等腰三角形即可． （3）使AB＝AE，且AB⊥AE即可． 【解答】解：（1）如图①，三角形ABC即为所求． （2）如图②，等腰三角形ABD即为所求． （3）如图③，等腰直角三角形ABE即为所求（答案不唯一）． 9．（2024•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC； （2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值． 【分析】（1）在图形中直接作图即可； （2）每个小正方形的边长均为1个单位长度，结合平移，得到相应线段的长度，从而得到结果． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 得到． ∵每个小正方形的边长均为1个单位长度， ∴等腰直角三角形EAD中， AD， ∵O是平行四边形ABDC对角线的交点， ∴DO， 在Rt△EOD中，ED， ∴EO， ∴． 10．（2025•海陵区校级三模）如图，△ABE≌△BCF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，点E在BC上，AE，BF交于点G． （1）求证：AE⊥BF； （2）△BCF可由△ABE绕点O旋转而得，用尺规作图的方法，作出O点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当E是BC中点时，连接CG，求∠AGC的大小． 【分析】（1）利用全等三角形的性质得到角相等，再结合直角三角形的性质，通过角的转化证明垂直； （2）连接EF，分别作线段EF和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为点O； （3）先证△ECF是等腰直角三角形得∠FEC＝45°，再证G、E、C、F四点共圆，利用圆周角性质及平角求∠AGC． 【解答】（1）证明：∵△ABE≌△BCF，且∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF； （2）解：如图1，点O即为所求； （3）解：如图2，连接CG，连接EF， ∵E是BC中点，△ABE≌△BCF， ∴BE＝EC＝CF， ∵∠BCF＝90°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴∠EFC＝45°， ∵AE⊥BF，∠BCF＝90°， ∴∠FGE＝∠BCF＝90°， ∴G、E、C、F四点共圆， ∴∠FGC＝∠FEC＝45°， ∴∠AGC＝180°﹣45°＝135°． 11．（2025•沛县二模）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AB＝12，AM＝3，求BN的长． （2）如图②，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，，，AE、AF分别交BD于点M、N．求证：M、N是线段BD的勾股分割点． （3）如图3，点C是线段AB上的一定点如图所示．请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（尺规作图） 【分析】（1）设MN＝x，则BN＝MB﹣MN＝9﹣x，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设AB＝BC＝CD＝AD＝a，根据平行线截线段成比例得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【解答】（1）解：∵AB＝12，AM＝3， ∴MB＝AB﹣AM＝12﹣3＝9， 设MN＝x，则BN＝MB﹣MN＝9﹣x， 当AM＝3是斜边时，AM2＝MN2+NB2， ∴x2+（9﹣x）2＝32， 整理得x2﹣9x+36＝0， Δ＝（﹣9）2﹣4×36＜0， ∴原方程无解，即AM＝3不是斜边； 当MN＝x是斜边时，MN2＝AM2+BN2， ∴32+（9﹣x）2＝x2， 解得，x＝5， ∴BN＝9﹣x＝9﹣5＝4； 当BN＝9﹣x是斜边时，BN2＝AM2+MN2， ∴32+x2＝（9﹣x）2， 解得，x＝4， ∴BN＝9﹣x＝9﹣4＝5； ∴BN的长为4或5； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，BC∥AD， 设AB＝BC＝CD＝AD＝a， ∴，， ∵AB∥DF， ∴，即， ∴，则， ∵AD∥BE， ∴，即， ∴，则， ∴M， ∴MN＞BM＞DN， ∴， ， ， ∴； ∴M、N是线段BD的勾股分割点； （3）解：如图所示， 作法提示：①以点C为圆心，以CA为半径画弧交AB于点E， ②分别以点A，E为圆心，以大于为半径画弧交于点M，N， ③连接MN，则MN为线段AE的垂直平分线，垂足为点C，则∠ACM＝∠ECM＝90°， ④在CM上取CF＝CA，连接BF，分别以点E，F为圆心，以大于为半径画弧交于点P，Q， ⑤连接PQ，交AB于点D，则DB＝DF， 在Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2即CA2+CD2＝DB2， ∴点D即为所求点的位置． 12．（2025•泰兴市校级三模）在▱ABCD中，，AD＝5，，点E、F分别在CD、AB上一点（不与端点重合），且DE＝BF，将四边形CEFB沿着EF翻折至四边形HEFG处． （1）如图1，HE与AB交于点Q，若AQ＝BF，求证：四边形AQED为平行四边形； （2）当点G落在边AD上（不与A、D重合）时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点G（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）当点G落在▱ABCD的边上时，求点B、G之间的距离． 优网版权所有 【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答即可； （2）连接AC，BD交于点O，作AB的垂直平分线得到AB的中点F，作直线OF交CD于E，过B作直线EF的垂线交AD于G，于是得到结论； （3）连接BE，DF，BD，交EF于点O，延长EF交BG于点P，推导出动点G的轨迹是以O为圆心，OB长为半径的圆弧．然后分三种情况：当点G落在AB边上时；当点G落在AD 边上时；当点G与点D重合时，分别解得BG的长即可． 【解答】（1）证明：∵DE＝BF，AQ＝BF， ∴AQ＝DE， ∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB， ∴四边形AQED为平行四边形； （2）解：如图所示，点G即为所求； （3）解：①当点G落在AB边上时，如图， 由折叠性质可知：FG＝FB，HE＝CE，∠EFG＝90°， ∵DE＝BF， ∴FG＝DE， 在平行四边形ABCD中， ∵AB∥CD， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴∠DGA＝∠EFG＝90°， 在Rt△ADG中，∵AD＝5，， ∴DG＝4， ∴AG3， ∴BG＝AB﹣AG3． ②当点G落在AD边上时，连结BD交EF于点O，连接OG，如图， 由平行四边形的中心对称性，得DO＝BO， 由翻折的性质得：GO＝BO ∴OG＝DO＝OBBD， ∴△BGD为直角三角形，∠DGB＝90°， ∴BG＝AB•sinA5； ③当点G落在DC边上时，连结BG交EF于点O，如图， 由折叠可知：FG＝FB， ∵FB＝DE， ∴FG＝DE． 则BG垂直平分EF， 由轴对称性可知EF垂直平分BG， ∴点G与点D重合． 过点D作AB的垂线交于点M， 在Rt△BGM中， ∵AM＝3，GM＝DM＝4， ∴BM＝AB﹣AM， ∴由勾股定理，得BG． 综上所述，点B，G之间的距离为或5或． 13．（2025•丹阳市二模）矩形纸片ABCD中，点M，N分别在边AB和AD上，点E，F分别在边BC和CD上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片ABCD是正方形时，NE⊥MF，则线段NE和MF的数量关系为NE＝MF ； 【初步探究】 如图2，矩形纸片ABCD中，． （2）若NE⊥MF，则线段NE和MF的数量关系为　　 ； （3）若，那么NE⊥MF一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若AB＝2，，点F是CD边的中点，将矩形纸片ABCD折叠，使得点A落F处，则折痕落在纸片上的线段的长为　　 ；（用含k的代数式表示） （5）已知点P，Q，R的位置如图4所示，求作一点S，使得点P，Q，R，S一定分别在一个长宽比为2：1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】（1）作AG∥MF交DC于点G，DH∥EN交BC于点H，则AG＝MF，DH＝EN，AG⊥EN，DH⊥AG．易知AG＝MF，DH＝EN，AG⊥EN，DH⊥AG．证明△ADG≌△DCH（AAS）即可得结论； （2）作BG∥EN交AD于点G，CH∥MF交AB于点H，如图2所示，则BG＝EN，MF＝CH，证明△GAB∽△HBC，可得，故； （3）如图2所示，以N为圆心，以NE为半径画弧交BC于点E'，则此时并不满足NE⊥MF； （4）由题意可得折痕长为GH的长，如图3所示，且GH⊥AF，由AB＝2，，可得AD＝2k．由（2）可得，即GH； （5）即满足PS⊥QR且PS即可． 【解答】解：（1）如图1所示，作AG∥MF交DC于点G，DH∥EN交BC于点H， 易知AG＝MF，DH＝EN，AG⊥EN，DH⊥AG． ∴∠DAG+∠ADH＝90°，∠DAG+∠DGA＝90°， ∴∠ADH＝∠DGA， 在△ADG和△DCH中， ， ∴△ADG≌△DCH（AAS）， ∴AG＝DH， ∴NE＝MF． 故答案为：NE＝MF． （2）作BG∥EN交AD于点G，CH∥MF交AB于点H，如图2所示，则BG＝EN，MF＝CH， 同（1）可得∠ABG＝∠HCB， 又∵∠GAB＝∠HBC＝90°， ∴△GAB∽△HBC， ∴， 故， 故答案为：． （3）如图2所示，以N为圆心，以NE为半径画弧交BC于点E'，则此时并不满足NE⊥MF； （4）由题意可得折痕长为GH的长，如图3所示， 且GH⊥AF， ∵AB＝2，， ∴AD＝2k． 由（2）可得， 即GH， 故答案为：． （5）如图所示，点S即为所求作的点． 14．（2025•高邮市二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． （1）如图1，用无刻度的直尺与圆规作出△ABC过点A的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）如图2，点P是△ABC中AB上一点（AP＜BP），用无刻度的直尺与圆规作出△ABC过点P的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图3，点P是△ABC中AB上一点（AP＞BP），D为BC中点，连接PD，过点A作AM∥PD，交BC延长线于点M，连接PM交AC于Q，判断PQ是不是△ABC的“等积线”，并说明理由． 【分析】（1）如图1，作线段BC的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则AD就是△ABC的“等积线”； （2）如图2，作AB的垂直平分线MN，交AB于点D，连接PC，CD，以点D为顶点作∠CDE＝∠PCD，交BC于点E，最后作直线PE，即为所求； （3）如图3，连接AD，PC，根据平行线同底等高三角形的面积相等得：S△PDA＝S△PDM，由三角形的中线平分三角形的面积和面积和的关系可和是：S△ABDS△ABC＝S四边形PBCQ+S△QCM，即可得结论． 【解答】解：（1）如图1，则AD就是△ABC的“等积线”； （2）如图2，则直线PE是△ABC过点P的“等积线”； 理由是：∵MN是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴S△ACD＝S△BCDS△ABC， ∵∠PCD＝∠CDE， ∴PC∥DE， ∴S△PCD＝S△PEC， ∵S△ADC＝S△APC+S△PDC＝S△APC+S△PEC＝S四边形APEC， ∴S四边形APECS△ABC， ∴直线PE是△ABC过点P的“等积线”； （3）PQ不是△ABC的“等积线”，理由如下： 如图3，连接AD，PC， ∵S△PDM＝S四边形PDCO+S△QCM， ∵AM∥PD， ∴S△PDA＝S△PDM， ∵D是BC的中点， ∴S△ABDS△ABC＝S△PDA+S△BDP＝S△PDM+S△BDP＝S四边形PBCQ+S△QCM， ∵S△QCM≠0， ∴S四边形PBCQ＝S△ABD﹣S△QCMS△ABC， ∴PQ不是△ABC的“等积线”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 几何作图综合压轴 内容导航 速度提升 技巧掌握 手感养成 重难考向聚焦 锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向 重难考向保分攻略 授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化 重难冲刺练 模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感” 近三年：中考数学中作图题类型的考向主要分4种类型： 1、 尺规作图（每年1道，3~8分）； 2、 直尺作图（每年1道，3~8分） 三、格点作图（每年1题，3~8分）； 四、几何综合题型（每年1道，3~10分）； 考查内容稳定，以解答题为主，难度中等偏上． 预测2026年：必考题型，各市针对作图题的考察重点略有不同，具体可参照往年的中考模拟题和真题针对性练习。 考向01 尺规作图 一．五种基本作图 1.作一条线段等于已知线段 已知：如图，线段a． 求作：线段AB，使AB ＝a 作法： （1）作射线AP； （2）在射线AP上截取AB＝a，则线段AB就是所求作的图形． 2.作一个角等于已知角 已知：如图，已知∠AOB． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB 作法： （1）作射线O′A′； （2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N； （3）以O′为圆心，以OM的长为半径画弧，交O′A′于M′﹔ （4）以M′为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N′﹔ （5）连接ON′并延长到B′．则∠A′O′B′就是所求作的角． 3.作已知线段的垂直平分线 已知：如图，线段MN． 求作：点O，使MO＝NO（即O是MN的中点）． 作法： （1）分别以M、N为圆心，大于MN的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，Q； （2）连接PQ交MN于O．则直线PQ就是所求作的MN的垂直平分线． 4.作已知角的角平分线 已知：如图，∠AOB， 求作：射线OP，使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）． 作法： （1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N； （2）分别以M、N为圆心，大于MN的线段长为半径画弧，两弧交∠AOB内于P； （3）作射线OP．则射线OP 就是∠A0B的角平分线． 5.过一点作已知直线的垂线(点在直线上或直线外作法一致) 已知：如图，直线AB及直线外一点P． 求作：直线CD，使CD经过点P，且CD⊥AB． 作法： （1）以Р为圆心，任意长为半径画弧，交AB于M、N； （2）分别以M、N圆心，大于MN长度的一半为半径画弧，两弧交于点Q； （3）过P、Q作直线CD．则直线就CD是所求作的直线． 2． 常见综合作图 1.过直线外一点作平行线 利用平行线的性质，构造同位角相等或内错角相等； 2.作三角形的外接圆（或找三角形的外心） 作三角形两边的垂直平分线，交点即是外心； 3.作三角形的内切圆（或找三角形的内心） 作三角形两个内角的角平分线，交点即是内心； 4.作一个点关于一条直线的对称点 先过这个点做已知直线的垂线，再截取点到直线的距离； 三．中考作图通用评分规范 ①必须保留作图痕迹（弧、辅助线），无痕迹直接扣分； ②实线 / 虚线分清： 最终所求图形：实线 作辅助线、延长线、对称辅助线：虚线 垂直位置必须标注直角符号； 每题最后必须写结论：“…… 即为所求”； 题型1 作角平分线 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； 2.角的对称性：角的对称轴是角平分线所在的直线； 1．（2026•新城区模拟）已知：如图，四边形ABCD，E为CD边上一点．请在四边形ABCD内求作一点P，使得EP∥BC，且点P到AB、AD的距离相等． 2．（2025•镇江二模）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，点C关于AD的对称点C′落在AB边上． 【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与C′； 【推理与计算】（2）以D为圆心，CD为半径作⊙D，若点A恰好落在⊙D上，且AB＝10，BC＝13，求⊙D的半径． 3．（2025•漳州模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O． （1）在OB上求作点E，使得点E到AB，AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求点E到AB的距离． 4．（2026•西安模拟）如图，在△ABC中，∠A＝80°，CD是△ACB的角平分线，在CD上求作点P，使∠BPC＝130°．（保留作图痕迹，不写作法） 题型2 作垂直平分线 1.垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等； 2.垂直平分线可以构造等腰三角形； 3.垂直平分线可以构造二倍角； 5．（2025•东海县模拟）如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在AB上，且⊙O过A、D两点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）在（1）中作图基础上，求证：BC与⊙O相切； （3）若AC＝6，BC＝8，求（1）中所作的⊙O的半径． 6．（2025•仪征市校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 有 7．（2025•镇江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为边AC上一点． （1）尺规作图：在边AB上作一点O，使得∠AOD＝2∠BDO；（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，以点O为圆心，OB为半径的圆与BC交于点E，且∠AOD＝∠DOE． ①求证：AC与⊙O相切； ②若⊙O的半径为3，，求CE的值． 8．（2024•绥化）已知：△ABC． （1）尺规作图：画出△ABC的重心G．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，连接AG，BG．已知△ABG的面积等于5cm2，则△ABC的面积是 　　 cm2． 9．（2025•南山区三模）如图1，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上． （1）请你添加一个条件：　 ，使得直线CD与⊙O相切并写出你的证明过程； （2）如图2，PA，PB是圆的切线，A，B为切点． 求作：这个圆的圆心O（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）． 10．（2026•雁塔区校级二模）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝15°．请用尺规作图法，在AC上求作一点D，使得BD＝2BC．（保留作图痕迹，不写作法） 11．（2026•周口模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线． （1）在BC上求作一点D，在AG上求作一点E，使四边形ADCE是矩形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：四边形ADCE是矩形． 12．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 题型3 作垂直平分线与角平分线综合 13．（2025•无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数． （请直接写出∠EFA的度数） 14．（2025•扬州二模）（1）如图1，Rt△ABC中，若AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，DE⊥AC，且DE＝DB，求AD的长； （2）如图2，已知△ABC，若AB边上存在一点M，若AC边上存在一点N，使MB＝MN，且△AMN∽△ABC，请利用没有刻度的直尺和圆规，作出符合条件的线段MN（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注）． 15．（2024•扬州）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C． （1）用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ＝2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法） （3）在（1）、（2）的条件下，若sinA，CM＝12，求BM的长． 16．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点． （1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N； （2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　 　 ． 17．（2025•韶关模拟）如图，长方形ABCD中，AD＞AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：（不写作法，保留作图痕迹） ①在BC边上取一点E，使AE＝BC； ②在CD上作一点F，使点F到点D和点E的距离相等． （2）在（1）的条件下，连接AF．若AB＝6，AD＝10，求△ADF的面积． 18．（2026•铜川一模）如图，已知∠ABC＝70°，点D在边BC上．请用尺规作图法，求作等腰△PBD，使得点P在∠ABC内部，∠PBD＝35°，且线段BD为等腰△PBD的底边．（保留作图痕迹，不写作法） 19．（2025•碑林区校级模拟）如图，四边形ABCD是矩形，请在矩形ABCD内找一点P，使PB＝PC，∠PAB＝45°．要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹． 20．（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 21．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB＝DC；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若∠BAC＝90°，AB＝7，AC＝5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值） 题型4 作一个角等于已知角 1.构造平行线； 2.构造相似三角形； 22．（2025•南京）尺规作图：如图，点P在直线l外，过点P作与直线l平行的直线． 23．（2026•碑林区校级一模）如图，已知△ABC．请用尺规作图法，在BC上方求作一个以BC为底边的等腰△DBC，且S△BCD＝S△ABC．（保留作图痕迹，不写作法） 24．（2026•碑林区校级三模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在AB上确定一点D，使得AC2＝AD×AB．（保留作图痕迹，不写作法） 题型5 构造等边三角形或等腰三角形 25．（2026•建邺区校级模拟）（1）已知线段OM，∠NOM＝30°，NM＝MO，用尺规作满足条件的点N． （2）已知点A是直线l外一点，用直尺与圆规在直线l上作点B，C，使得△ABC为等边三角形，请提供两种不同的作法． 26．（2026•未央区一模）如图△ABC，请用尺规作图的方法在BC边求作点P，使得以AP为边构成的等边△APQ的周长最小．（不写作法，保留作图痕迹） 27．（2025•江都区二模）【问题提出】如图1，矩形ABCD中，如何用圆规和无刻度的直尺在边AD上作点P，使∠BPC＝60°？ 【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作等边三角形MNQ； 【问题解决】请你在图1中用圆规和无刻度的直尺作出符合条件的点P； 【深度思考】若AB＝m，BC＝6，若图1中符合要求的点P一定存在，求m的取值范围． （友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 28．（2025•南京一模）如图，⊙O的半径为r，点P在⊙O外．按下列要求分别求作一条直线l，使l过点P，并交⊙O于点A，B． （1）PB﹣PA＝r； （2）PB+PA＝2r． 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 版权所有 29．（2025•清江浦区一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上一点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在BC上找一点E，使∠AEC＝30°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，∠EAD＝45°，求AD的长． 30．（2024•梁溪区校级一模）如图，△ABC中，AB＝AC． （1）尺规作图：作矩形DEFG，使D、G分别在AB、AC上，E、F在BC上，且； （2）若，设第（1）问中所作的矩形DEFG的面积为S1，△ABC的面积为S2，则　 ． 31．（2026•碑林区校级二模）如图，已知∠AOB＝90°，点C在边OB上，请用尺规作图法，在∠AOB的内部求作一点P，使得点P到∠AOB两边的距离相等，且．（保留作图痕迹，不写作法） 32．（2024•威海）感悟ㅤ如图1，在△ABE中，点C，D在边BE上，AB＝AE，BC＝DE．求证：∠BAC＝∠EAD． 应用ㅤ（1）如图2，用直尺和圆规在直线BC上取点D，点E（点D在点E的左侧），使得∠EAD＝∠BAC，且DE＝BC（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图3，用直尺和圆规在直线AC上取一点D，在直线BC上取一点E，使得∠CDE＝∠BAC，且DE＝AB（不写作法，保留作图痕迹）． 33．（2024•无锡二模）尺规作图 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝9，若点D是斜边AB上一个动点，点K在BC上，点B、点D、点K组成的三角形为等腰三角形． （1）连接CD，KD，使CD⊥DK，请用尺规作图的方法，作出点K，点D的具体位置． （2）在（1）的条件下，求此时△BDK的面积． 题型6 利用圆周角定理分析作图 1.圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是90°； 2.圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角； 34．（2026•锡山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图： ①作BC边的中线AD； ②在边AB上找一点E，使得∠DEC＝∠DAC；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，AB＝5，则线段CE的长为 　 　 ．（如需画草图，请使用备用图） 35．（2025•无锡一模）如图，已知△ABC，AB＝AC． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） ①作△ABC的高CD，垂足为D； ②在CD上求作点E，使AE⊥BE． （2）在（1）的条件下，当∠BAC＝2∠AED，CE＝2时，则AB的长为　 ． （如需画草图，请使用图2） 36．（2025•仪征市校级三模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是CD边上的一点，点P在BC边上，且满足∠PEC＝∠DAP． （1）请用不带刻度的直尺和圆规，在所给的图中作出符合条件的点P（不要求写作法，但保留作图痕迹）； （2）若CE＝1，试确定BP的长． 题型7 与切线相关的作图 切线的性质：切线垂直于过切点的半径即：若直线 l 切圆 O 于点 P，则 OP⊥l 37．（2025•泗洪县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作Rt△ABC的内切圆⊙O，并分别标出⊙O和AB、BC、CA相切的切点D、E、F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，不需证明） （2）连接OE、OF，四边形OECF是正方形吗？为什么？ （3）若AD＝6，BD＝4，求⊙O的半径r的长． 版权所有 38．（2026•博兴县一模）如图，直线AB，CD被BC所截，AB∥CD． （1）请在图中作出⊙O，使其与AB，BC，CD都相切；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）在（1）题所作的图中，若⊙O分别与AB，BC，CD相切于点E，F，G，⊙O的直径为6cm，设BE＝x，CG＝y，求y与x的函数关系式． 39．（2025•锡山区一模）已知在△ABC中，∠A＞90°． （1）如图，请用无刻度的直尺和圆规作出点O，使得⊙O与AB、BC所在直线相切，且⊙O在直线BC的上方，且与BC的切点为点C；（不写作法，但保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，已知AB＝3，BC＝6，⊙O的半径为2，则△ABC的面积为 　 ． 40．（2025•无锡二模）已知⊙O及⊙O外一点P． （1）用直尺和圆规过点P作⊙O的切线，切点为Q．（只需作一条切线）； （2）在（1）中，线段PO交⊙O于点A，延长PO交⊙O于点B，若AQ＝2，BQ＝4，则sin∠OPQ＝ 　 ． 41．（2025•滨湖区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AB上找一点P，以点P为圆心作一个圆，使⊙P与AC、BC都相切；（不写作法，保留作图痕迹，作图痕迹描粗加黑） （2）已知Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求⊙P的半径．（如需画辅助线，请使用图2） 考向02 直尺作图 作图小技巧： ①先看图形有没有平行、等腰、圆 ②能连对角线就先连，交点非常有用 ③能延长就延长，构造大三角形、梯形 ④出现中点 / 平分 → 想中位线、重心 ⑤出现圆 → 想直径、圆周角、切线垂直半径 ⑥出现垂直 → 想直角、对称、直径对直角 42．（2025•罗湖区校级模拟）在平面直角坐标系中，以C（﹣4，0）为圆心，为半径画圆交y轴于点A，已知点P（6，0），射线PA交⊙C于点B． （1）求证：AB＝AP； （2）只利用一把无刻度的直尺画出过点P，且与⊙C相切的一条直线，并说明理由．（保留画图痕迹） 43．（2025•金凤区校级一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点．仅用无刻度的直尺在给定图形中画图，画图过程用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）若∠ABC＝90°，请在图1中的BC边上找点G，使EG⊥BC； （2）如图2，点P为AB边上一点，请在图2中的CD边上找点K，使CK＝BP． 44．（2024•镇江）主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图 【阅读理解】 任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点． 操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点． 理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以，，所以，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得，，所以，所以，则BN＝CN，DM＝EM，即M、N分别为DE、BC的中点． 【实践操作】 请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （1）如图3，l1∥l2，点E、F在直线l2上． ①作线段EF的中点； ②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF＝EF； （2）小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点； 【探索发现】 请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹． （3）如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q，使得QECE（要求用两种方法）． 考向03 格点作图 中考最常的考格点作图 1. 作相等线段 找相同横纵差 例：AB 横 2 纵 3 → 再找一个横 2 纵 3 的格点线段即可； 2. 作相等角 / 全等三角形 用SSS：三边对应相等 格点里直接数横纵差，凑出一样的边长 3. 作垂线（必考） 口诀：横变纵，纵变横，符号相反 例： 线段从 (0,0)→(2,1) 垂线就走 (1,-2) 或 (-1,2) 连格点，直接画出垂线 4. 作平行线 保持横差、纵差比例相同 如原线段：右 3 上 1 → 平行线也右 3 上 1 5. 找中点 直接数格子 6. 作面积为 n 的三角形 / 四边形 7. 作位似图形（放大 / 缩小） 8.线段比转化成相似比，构造A型或8字型相似； 9.三角形三边的中线、高，三个内角的角平分线均交于一点； 45．（2025•天宁区校级模拟）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6的网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上． （1）将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1； （2）在图2中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段AC上找一点M，使得； （3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC＝2∠A．（请涂上墨点，注上字母） 46．（2026•濮阳模拟）如图，在6×6的正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，请按要求画图：①用尺规作图；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． （1）在图1中作出△ABC的外接圆的圆心O； （2）将图1中的圆心O标记在图2的相应位置并求图2中阴影部分的面积（结果保留π）． 48．（2025•萧山区校级模拟）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图中，画射线AD交BC于点D，AD平分△ABC的面积； （2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB． 49．（2025•哈尔滨）如图，方格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出△ACD（点D在格点上），满足，且△ACD的面积是5； （2）在△ABC的边BA上画出点E，使线段BE的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接ED，并直接写出tan∠EDA的值． 50．（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 51．（2025•威海）问题提出 已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，求∠α+∠β的度数． 问题解决 （1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B，C，D都在格点上） 策略迁移 （2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα，tanβ，则∠α+∠β＝ 　　 °； （3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα，tanβ，∠α+∠β＝∠θ，求tanθ的值． （提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案） 52．（2026•前郭县校级模拟）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、P、Q均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中，画出△PAB的对称轴； （2）如图②，四边形ABPQ的面积为 　　 ； （3）如图②，点M是线段PQ上一点，在线段AB上找一点N，使AN＝QM． 53．（2025•长春一模）图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． （1）在图①中，作△ABC 的中线AD． （2）在图②中，在AC上找一点E，使． （3）在图③中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接CP，并在线段AC上找到一点Q，连接PQ，使△ABQ∽△CPQ． 54．（2026•临泉县一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，线段AB的两个端点均为格点（网格线的交点）．已知点A和点B的坐标分别为（1，﹣6）和（2，﹣3）． （1）将线段AB先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到线段A1B1，画出线段A1B1； （2）将线段AB绕O逆时针旋转90°，得到线段A2B2，画出线段A2B2； （3）在平面直角坐标系xOy的第四象限内描出一个格点P（要在网格内），使得PA＝PA2，并写出格点P的坐标． 55．（2025•武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫作格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． （1）如图1，E是格点，先将点E绕点A逆时针旋转90°，画对应点F，再画直线FG交AB于点G，使直线FG平分矩形ABCD的面积． （2）如图2，先画点C关于直线BD的对称点M，再画射线MN交BD于点N，使MN∥AD． 56．（2024•武汉）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． （1）在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积； （2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB； （3）在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G； （4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）． 考向04 尺规作图综合题 57．（2025•淮安一模）（1）如图1，△ABC是等边三角形，点E为AC边上一点，将线段BE绕点B顺时针旋转60°得BF，连接EF． ①△BEF的形状为 　 　 三角形； ②若AB＝6，CE＝4，求tan∠ABE的值． （2）如图2，等边三角形ABC，点A在直线l上（任意一点），请用尺规作图，在直线l上，求作点E、点F，使得△CEF为等边三角形．（不写作法，需保留作图痕迹） （3）如图3，在∠MON的内部有一定点A，在OM、ON上分别找点B、点C，使△ABC为等边三角形．请画出示意图，并写出画△ABC的思路． 58．（2025•鼓楼区校级一模）2024年徐州中考数学试卷大家一定都做过，其中第27题的尺规作图，体现重要的数学解决问题方法：分析问题，无中生有，进行数学模型构建．汤老师对此题进行了变式处理，请按要求完成下列问题． （1）如图1，在△ABC中，D在边BC上，且∠1＝∠2，求证：AB2＝BD•BC； （2）如图2，在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．AC＝3，BC＝4，求：BD的长； （3）如图3，已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规在直线a上找所有的点P，满足∠BPD＝∠PAB． 59．（2024•徐州）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2＝AD•DB，则称点D是点C的“关联点”． （1）如图（1），在△ABC中，若∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”． （2）如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD＝m，DB＝n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）． 60．（2025•丹徒区二模）实践课上，同学们尝试探索在不剪断铁丝且不浪费材料的前提下，能否将一段铁丝弯折围成符合要求的三角形．如图1，同学们将细铁丝抽象为线段MN，在线段MN上取点A，B（MA＜MB），沿点A，B弯折，使M，N两点重合（记为C），得到△ABC． 【活动1】围等腰三角形 （1）一般的等腰三角形．如图2，线段MN上已确定好点A，请在线段MN上确定点B，沿点A，B弯折，使M，N两点重合（记为C），△ABC为等腰三角形．请画出点B（一种情况即可）和△ABC（尺规作图，保留作图痕迹）． （2）等边三角形．如图3，线段MN上取点A，B（MA＜MB），沿点A，B弯折，使M，N两点重合（记为C），得到等边△ABC．小明思考后发现，找线段MN的一个三等分点B即可，他采取了以下的作图方法： ①过点N作MN的垂线NH； ②线段MN上顺次截取，以P为圆心，PM的长为半径作⊙P； ③以Q为圆心，线段QP的长为半径画弧，在MN的上方交⊙P于点E，作射线ME交射线NH于点D； ④作MD的垂直平分线交MN于点B．则点B就是线段MN的三等分点． 根据上面的作法，证明点B是线段MN的三等分点． 【活动2】围直角三角形 如图4，线段MN上有一点，同学们为解决问题，过点A作射线AH⊥MN于点A．请你借助射线AH，用尺规确定点B的位置，使得沿点A，B弯折后，M，N两点重合（记为C），最后得到直角△ABC．请画出点B（一种情况即可）和△ABC（要求：尺规作图，保留作图痕迹）． 有 （建议用时：60分钟） 1．（2025•漳州模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O． （1）在OB上求作点E，使得点E到AB，AC的距离相等；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求点E到AB的距离． 2．（2026•雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，请用尺规作图法在BC边上确定一点P，使得△PAB∽△ABC．（要求保留作图痕迹，不写作法） 3．（2025•梁溪区校级二模）如图，四边形ABCD为菱形，60°＜∠ABC＜90°，点E是BC边的中点． （1）请在图①中用尺规作图分别在CD边上找一点G，在BD上找一点F，使EF+FG最小．（请用圆规和直尺完成作图，并保留作图迹．） （2）若菱形边长为5，tan∠ABC＝2，在（1）的条件下，则sin∠GBC＝ 　 ． 4．（2025•锡山区二模）在矩形ABCD中，AD＞AB． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图．先在AD上确定点E，使 BE＝BC．再在CD上确定点F，使以F为圆心的圆经过点E和点C． （2）在（1）的条件下，若AB＝3，且 ，则BC的长为 　　 5．（2024•无锡）如图，在△ABC中，AB＜AC． （1）尺规作图：求作点D，使得∠DBC＝∠DCA＝∠ACB；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若BC＝8，tan∠ACB，则CD＝ 　　 ． 6．（2025•浦口区校级模拟）已知：如图点A、B为⊙O定点． 求作：优弧AB上点C使得AC﹣BC等于定长d．（保留作图痕迹，并将你的构图思维用简要文字加以说明） 7．（2025•鼓楼区校级二模）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹． （1）在图1中作出BC边上的高AD； （2）在图2中作出AC边上的点E，使得AE：CE＝3：4； （3）在图3中作出AB边上的点F，使得tan∠ACF． 8．（2026•船营区校级模拟）图①，图②，图③都是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且小正方形边长均为1，线段AB的端点A和B均在格点上．在给定的网格中用无刻度直尺按要求画图． （1）在图①中，以AB为边画一个三角形ABC，且有一边长为5，点C为格点． （2）在图②中，以AB为边画一个面积为3的等腰三角形ABD，点D为格点． （3）在图③中，以AB为边画一个面积为5的等腰直角三角形ABE，点E为格点． 9．（2024•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB的端点均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中将线段AB先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到线段CD（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），连接AD，BC，画出线段CD，AD，BC； （2）在方格纸中，画出以线段AD为斜边的等腰直角三角形AED（点E在小正方形的顶点上），且∠BAE为钝角，AD，BC交于点O，连接OE，画出线段OE，直接写出的值． 10．（2025•海陵区校级三模）如图，△ABE≌△BCF，且∠ABE＝∠BCF＝90°，点E在BC上，AE，BF交于点G． （1）求证：AE⊥BF； （2）△BCF可由△ABE绕点O旋转而得，用尺规作图的方法，作出O点（不写作法，保留作图痕迹）； （3）当E是BC中点时，连接CG，求∠AGC的大小． 11．（2025•沛县二模）定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AB＝12，AM＝3，求BN的长． （2）如图②，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，，，AE、AF分别交BD于点M、N．求证：M、N是线段BD的勾股分割点． （3）如图3，点C是线段AB上的一定点如图所示．请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（尺规作图） 12．（2025•泰兴市校级三模）在▱ABCD中，，AD＝5，，点E、F分别在CD、AB上一点（不与端点重合），且DE＝BF，将四边形CEFB沿着EF翻折至四边形HEFG处． （1）如图1，HE与AB交于点Q，若AQ＝BF，求证：四边形AQED为平行四边形； （2）当点G落在边AD上（不与A、D重合）时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点G（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）当点G落在▱ABCD的边上时，求点B、G之间的距离． 优网版权所有 13．（2025•丹阳市二模）矩形纸片ABCD中，点M，N分别在边AB和AD上，点E，F分别在边BC和CD上． 【特例感知】 （1）如图1，当矩形纸片ABCD是正方形时，NE⊥MF，则线段NE和MF的数量关系为NE＝MF ； 【初步探究】 如图2，矩形纸片ABCD中，． （2）若NE⊥MF，则线段NE和MF的数量关系为　 ； （3）若，那么NE⊥MF一定成立吗？如果不一定，请在图2中画出一个反例；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （4）如图3，若AB＝2，，点F是CD边的中点，将矩形纸片ABCD折叠，使得点A落F处，则折痕落在纸片上的线段的长为　　 ；（用含k的代数式表示） （5）已知点P，Q，R的位置如图4所示，求作一点S，使得点P，Q，R，S一定分别在一个长宽比为2：1的矩形的四条边上（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 14．（2025•高邮市二模）定义：若一个三角形被某条直线分成面积相等的两个部分，则称这条直线是该三角形的“等积线”． （1）如图1，用无刻度的直尺与圆规作出△ABC过点A的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （2）如图2，点P是△ABC中AB上一点（AP＜BP），用无刻度的直尺与圆规作出△ABC过点P的“等积线”（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）； （3）如图3，点P是△ABC中AB上一点（AP＞BP），D为BC中点，连接PD，过点A作AM∥PD，交BC延长线于点M，连接PM交AC于Q，判断PQ是不是△ABC的“等积线”，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $