热点04 反比例函数图象与性质8大题型专练（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点04 反比例函数图象与性质专练 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 反比例函数图象与性质常见8大题型（上海中考专用） 题型一 反比例函数的定义求解 题型五 求反比例函数的解析式 题型二 判断反比例函数的增减性 题型六 一次函数与反比例函数综合解答 题型三 比较反比例函数值或自变量大小 题型七 反比例函数与几何综合 题型四 反比例函数系数k的几何意义 题型八 反比例函数综合压轴题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：上海中考反比例函数的图象与性质，主要考察反比例函数的定义与解析式求解、图象的平移与对称、k的几何意义、函数的增减性、与坐标轴的交点特征、与方程/不等式的关联、实际应用建模等核心内容；核心围绕基础性质辨析、解析式求解、图象变换、函数与其他知识的综合、生活场景中的实际应用等经典模型；而这类题目中，对k符号与图象象限的对应、增减性的条件判断（限定象限）、k的几何意义应用、反比例函数与一次函数的交点问题、实际问题中自变量取值范围的限制考察占了绝大多数，试题难度梯度明显，基础题、中档题分层清晰，题目多以选择题、填空题、解答题的形式稳定出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，会结合动点问题、几何图形结合、多方案对比、分段函数、与一次函数/二次函数综合等进行灵活变形。 预测2026年：2026年将继续保持稳定，更突出核心素养，情境化试题增多，聚焦生活、科技、传统文化背景，所以在复习时，需要考生对这类题涉及的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，规范解题步骤、规避易错细节，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，稳稳拿下这部分的满分基础分与中档分，冲刺综合题高分。 题型01 反比例函数的定义求解 解｜题｜策｜略 题型1：判断函数是否为反比例函数(选择/填空基础题) 核心策略： 1.化标准式：将函数整理为或的形式 2.验两个条件： ①自变量x的次数是否为-1; ②比例系数k是否不为0; 3.排除干扰项：形如的函数，都不是反比例函数。 题型2：已知函数是反比例函数，求参数值(选择/填空/解答基础题)核心策略： 1.列两个方程： ①令自变量x的次数=-1,解出参数的可能值； ②令比例系数≠0,排除不符合的参数； 2.联立求解：同时满足两个条件的参数，即为最终结果； 3.易错提醒：必须同时验证两个条件，绝对不能漏验系数不为0,否则会出现增根。 例1（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2024·上海闵行·三模）若函数是反比例函数，则的值是__． 题型02 判断反比例函数的增减性 解｜题｜策｜略 题型1：判断反比例函数的增减性(选择/填空基础题)核心策略： 1.先看比例系数k的符号： ①当时：函数图像在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当时：函数图像在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 2.牢记关键前提：增减性必须限定在每个象限内(即或的区间内),绝对不能直接说“在全体实数上”增减，否则结论错误。 3.排除干扰误区： ①不能忽略k的符号直接判断增减； ②不能跨象限比较函数值(如时，不能用同一象限的增减性直接比较)。 题型2：已知增减性，求参数k的取值范围(选择/填空/解答基础题) 核心策略： 1.根据增减性定k的符号： ①若函数在每个象限内y随c增大而减小→; ②若函数在每个象限内y随c增大而增大→。 2.列不等式求解：结合函数表达式，列出关于参数的不等式(，解出参数范围。 3.验证反比例函数定义：必须同时满足比例系数(已包含在k>0或k<0中)和自变量x的次数为-1，避免漏条件。 例2（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【变式1】（2025·上海闵行·二模）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”） 【变式3】（2024·上海·三模）反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 【变式4】（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【变式5】（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 题型03 比较反比例函数值或自变量大小 解｜题｜策｜略 1.先判断k的符号，确定图像象限； 2.分情况讨论自变量的位置： ①同一象限内：直接用增减性比较（时，x越大y越小；时，x越大y越大）； ②不同象限内：直接根据象限判断y的正负（一、三象限，二、四象限），正数>负数，直接比较大小。 3.特殊方法：代入具体数值计算验证，避免逻辑错误。 例3（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【变式1】（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______． 【变式3】（2024·上海黄浦·二模）反比例函数的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（    ） A．自变量且x的值可以无限接近0 B．自变量且函数值y可以无限接近0 C．函数值且x的值可以无限接近0 D．函数值且函数值y可以无限接近0 题型04 反比例函数系数k的几何意义 解｜题｜策｜略 题型1：利用k的几何意义求k值/图形面积(选择/填空基础题)核心策略： 1.牢记核心结论： 过反比例函数图像上任意一点P(x,y),分别作x轴、y轴的垂线， ○两垂线与坐标轴围成的矩形面积： o连接OP,形成的直角三角形面积： 2.分两步计算： ①先由图形面积求|k|：矩形面积直接等于|k|,三角形面积乘2得|k|; ②再由图像象限定k的符号：图像在一、三象限→；图像在二、四象限 3.易错提醒：绝对不能漏加绝对值，面积是正数，但k可正可负，必须结合象限判断符号。 题型2：k的几何意义与图形面积综合(选择/填空中档题)核心策略： 1.找对应点：在反比例函数图像上找到与坐标轴垂直的点，确定矩形/三角形的顶点； 2.用|k|表示面积：将图形面积拆分为多个以|k|为基础的矩形/三角形面积之和/差； 3.列方程求解：根据已知面积列等式，求出k,再结合象限确定k的最终值。 4.常见模型： o双反比例函数图像：，同象限内矩形面积比为|k1|:|k2|； 平移/对称图形：利用k的几何意义，转化为等面积问题求解。 例4（2026·上海普陀·一模）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 【变式1】（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为___________． 【变式2】（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为______．    题型05 求反比例函数的解析式 解｜题｜策｜略 已知图像上一点求解析式(基础必考) 核心步骤：①设解析式；②代入点坐标；③；④回代写出解析式 例5（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【变式2】（2024·上海闵行·一模）如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 【变式3】（2025·上海·二模）平面直角坐标系xOy内有一直角△AOB，其中O为直角顶点，∠A=30°．点B在第一象限内一反比例函数上运动，且满足其横纵坐标乘积为2．若点A在x轴上方，则点A所在的反比例函数图像解析式为________． 题型06 一次函数与反比例函数综合解答 解｜题｜策｜略 一、基本解题步骤 1.求交点坐标 ①已知一个点：直接代入反比例函数求，得解析式。 ②已知两个函数解析式：联立方程组：，消去，解一元二次方程，得到交点横坐标，再求纵坐标。 2.求函数解析式 ①反比例函数：一个点即可确定，用。 ②一次函数：两个点才能确定，代入y=kx+b列方程组求k、b。 3.利用图像比较大小：①看交点横坐标，把x轴分成几段；②图像在上→函数值更大。 注意：反比例函数图像被y轴断开，要分区间讨论。 4.求图形面积 常用方法：割补法 以坐标轴为底和高，转化为三角形、梯形面积计算。 涉及反比例函数时，可结合k的几何意义： 5.存在性问题(是否存在点……) 设点坐标：反比例函数上可设(t) 根据条件(等腰、直角、面积相等、平行四边形等)列方程 解方程，检验是否符合题意，舍去不合理解。 例6（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【变式2】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【变式3】（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点两点，与x轴、y轴分别交于两点，且点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． 题型07 反比例函数与几何综合 例7（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、D分别在x轴正半轴和y轴正半轴上．反比例函数的图像过点B，连接，若轴，则下列命题中（　　）正确． 命题甲：反比例函数的图像不过点C； 命题乙：反比例函数的图像过菱形的旋转对称中心，的值不变． A．甲、乙 B．甲 C．乙 D．没有一个 【变式1】（2025·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象． 在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为______． 【变式2】（2024·上海普陀·模拟预测）如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、C点（A、C点在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交的图象于点，过点C作x轴的垂线交的图象于点E，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则四边形的面积为_____． 题型08 反比例函数综合压轴题 例8（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点 作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【变式1】（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【变式2】（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数 上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【变式3】（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． （20分钟限时练） 1．（2026·上海·一模）研究函数的性质，通常可以绘制对应的函数图像．小明用某软件绘制出了函数的图像（如图所示），已知其和轴没有交点，小明对此函数进行猜想，那么下列说法中正确的是（    ） 猜想一 函数和y轴交于点； 猜想二 函数可由向右平移个单位得到； A．猜想一错误 B．猜想二错误 C．猜想均错误 D．猜想均正确 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知点是双曲线上的一点，下列坐标表示的各点中，不在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海普陀·一模）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数的值是______ ． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称之为：整点，已知双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点有4个，那么的取值范围是___________． 6．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 7．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 8．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数与反比例函数的图象交于，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标． 9．（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点04 反比例函数图象与性质专练 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 反比例函数图象与性质常见8大题型（上海中考专用） 题型一 反比例函数的定义求解 题型五 求反比例函数的解析式 题型二 判断反比例函数的增减性 题型六 一次函数与反比例函数综合解答 题型三 比较反比例函数值或自变量大小 题型七 反比例函数与几何综合 题型四 反比例函数系数k的几何意义 题型八 反比例函数综合压轴题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：上海中考反比例函数的图象与性质，主要考察反比例函数的定义与解析式求解、图象的平移与对称、k的几何意义、函数的增减性、与坐标轴的交点特征、与方程/不等式的关联、实际应用建模等核心内容；核心围绕基础性质辨析、解析式求解、图象变换、函数与其他知识的综合、生活场景中的实际应用等经典模型；而这类题目中，对k符号与图象象限的对应、增减性的条件判断（限定象限）、k的几何意义应用、反比例函数与一次函数的交点问题、实际问题中自变量取值范围的限制考察占了绝大多数，试题难度梯度明显，基础题、中档题分层清晰，题目多以选择题、填空题、解答题的形式稳定出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，会结合动点问题、几何图形结合、多方案对比、分段函数、与一次函数/二次函数综合等进行灵活变形。 预测2026年：2026年将继续保持稳定，更突出核心素养，情境化试题增多，聚焦生活、科技、传统文化背景，所以在复习时，需要考生对这类题涉及的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，规范解题步骤、规避易错细节，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，稳稳拿下这部分的满分基础分与中档分，冲刺综合题高分。 题型01 反比例函数的定义求解 解｜题｜策｜略 题型1：判断函数是否为反比例函数(选择/填空基础题) 核心策略： 1.化标准式：将函数整理为或的形式 2.验两个条件： ①自变量x的次数是否为-1; ②比例系数k是否不为0; 3.排除干扰项：形如的函数，都不是反比例函数。 题型2：已知函数是反比例函数，求参数值(选择/填空/解答基础题)核心策略： 1.列两个方程： ①令自变量x的次数=-1,解出参数的可能值； ②令比例系数≠0,排除不符合的参数； 2.联立求解：同时满足两个条件的参数，即为最终结果； 3.易错提醒：必须同时验证两个条件，绝对不能漏验系数不为0,否则会出现增根。 例1（2025·上海闵行·二模）正多边形的一个外角的大小（度）随着它的边数的变化而变化，下列说法正确的是（   ） A．与之间是正比例函数关系； B．与之间是反比例函数关系； C．与之间是一次函数关系； D．与之间是二次函数关系． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角问题，判断是否为反比例函数，先结合正多边形的一个外角的大小（度）与它的边数的关系为，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴与之间是反比例函数关系； 故选B． 【变式1】（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，错误的有4个． 故选：D． 【变式2】（2024·上海闵行·三模）若函数是反比例函数，则的值是__． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数定义．根据反比例函数的定义：，列式计算即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 故答案为： 题型02 判断反比例函数的增减性 解｜题｜策｜略 题型1：判断反比例函数的增减性(选择/填空基础题)核心策略： 1.先看比例系数k的符号： ①当时：函数图像在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当时：函数图像在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 2.牢记关键前提：增减性必须限定在每个象限内(即或的区间内),绝对不能直接说“在全体实数上”增减，否则结论错误。 3.排除干扰误区： ①不能忽略k的符号直接判断增减； ②不能跨象限比较函数值(如时，不能用同一象限的增减性直接比较)。 题型2：已知增减性，求参数k的取值范围(选择/填空/解答基础题) 核心策略： 1.根据增减性定k的符号： ①若函数在每个象限内y随c增大而减小→; ②若函数在每个象限内y随c增大而增大→。 2.列不等式求解：结合函数表达式，列出关于参数的不等式(，解出参数范围。 3.验证反比例函数定义：必须同时满足比例系数(已包含在k>0或k<0中)和自变量x的次数为-1，避免漏条件。 例2（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】（2025·上海闵行·二模）下列函数中，函数值随的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质、正比例函数的性质及二次函数的性质等知识点，熟知以上知识是解题的关键． 分别根据反比例函数、一次函数、正比例函数及二次函数的性质进行解答即可． 【详解】解：A、由反比例函数中，，则函数图象的两个分支分别位于第一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意； B、由一次函数中，，则函数值y随x的增大而减小，符合题意； C、∵在二次函数中，， ∴抛物线开口向上，顶点在原点， ∴当时，y随x的增大而增大，不符合题意； D、在中，，则y随x的增大而增大，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而_________（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数过第二象限， ∴， ∴， ∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式3】（2024·上海·三模）反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而______．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小， 在第三象限，y随x增大而减小， 故答案为：减小． 【变式4】（2025·上海金山·二模）下列对反比例函数的图像的描述，正确的是（   ） A．经过 B．经过第一、三象限 C．在每个象限内，函数值随的增大而增大 D．关于轴对称 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及图像的特点，理解和掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式可知，函数图像经过第二，四象限，根据图形特点即可求解． 【详解】解：A选项，当时，选项不符合题意； B选项，反比例函数的，函数图像经过第二，四象限，B选项不符合题意； C选项，函数图像在第二，四象限内，随的增大的增大，C选项符合题意； D选项，函数图象关于直线对称，D选项不符合题意． 故选：C． 【变式5】（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴或， 假设且，则， ∴，， ∴， 同理：当且时，， ∴的值为负数． 故选：B． 题型03 比较反比例函数值或自变量大小 解｜题｜策｜略 1.先判断k的符号，确定图像象限； 2.分情况讨论自变量的位置： ①同一象限内：直接用增减性比较（时，x越大y越小；时，x越大y越大）； ②不同象限内：直接根据象限判断y的正负（一、三象限，二、四象限），正数>负数，直接比较大小。 3.特殊方法：代入具体数值计算验证，避免逻辑错误。 例3（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：在反比例函数中， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海静安·二模）已知点、在双曲线上，如果，那么______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式3】（2024·上海黄浦·二模）反比例函数的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（    ） A．自变量且x的值可以无限接近0 B．自变量且函数值y可以无限接近0 C．函数值且x的值可以无限接近0 D．函数值且函数值y可以无限接近0 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可 【详解】解：A．自变量且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； B．自变量且函数值y可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； C．函数值且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； D．函数值且函数值y可以无限接近0，与题目条件相符，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 题型04 反比例函数系数k的几何意义 解｜题｜策｜略 题型1：利用k的几何意义求k值/图形面积(选择/填空基础题)核心策略： 1.牢记核心结论： 过反比例函数图像上任意一点P(x,y),分别作x轴、y轴的垂线， ○两垂线与坐标轴围成的矩形面积： o连接OP,形成的直角三角形面积： 2.分两步计算： ①先由图形面积求|k|：矩形面积直接等于|k|,三角形面积乘2得|k|; ②再由图像象限定k的符号：图像在一、三象限→；图像在二、四象限 3.易错提醒：绝对不能漏加绝对值，面积是正数，但k可正可负，必须结合象限判断符号。 题型2：k的几何意义与图形面积综合(选择/填空中档题)核心策略： 1.找对应点：在反比例函数图像上找到与坐标轴垂直的点，确定矩形/三角形的顶点； 2.用|k|表示面积：将图形面积拆分为多个以|k|为基础的矩形/三角形面积之和/差； 3.列方程求解：根据已知面积列等式，求出k,再结合象限确定k的最终值。 4.常见模型： o双反比例函数图像：，同象限内矩形面积比为|k1|:|k2|； 平移/对称图形：利用k的几何意义，转化为等面积问题求解。 例4（2026·上海普陀·一模）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，求得是解题的关键． 先求出为中边的中线，求出面积的比例，再推导为中边的中线，根据中线得出为重心，求出，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵的中点为， ∴为中边的中线， ∴，即． 四边形的面积等于的面积，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵和高相等， ∴， ∴为中边的中线．     ∴为的重心， ∴， ∵设和过点的高为， ， ∴， ∴， ∴． ∵设，， ∵， ∴，即，即 ∴，即． ∵点、点在双曲线上， ∴， 将代入①中得：，即， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 作轴于G，连接，设和交于I，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，即：， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式为，将点B代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理得：直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为______．    【答案】12 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，可证明得到，，利用可得点D的横坐标为3，设，则根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m值，即可得到点D坐标，从而得到k值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，    ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵与四边形的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵D、C在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：12． 题型05 求反比例函数的解析式 解｜题｜策｜略 已知图像上一点求解析式(基础必考) 核心步骤：①设解析式；②代入点坐标；③；④回代写出解析式 例5（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，点在直线上，点B在曲线上． (1)求曲线的解析式； (2)连结，若直线和直线平行，求的度数和的正弦值． 【答案】(1) (2)°， 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及三角函数的求解，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入求得，推出；将代入求得，即可求解； （2）由题意得直线的解析式为：；联立与得：；可推出是等腰直角三角形，得；根据，得；作，即可求解； 【详解】（1）解：将代入得：； 求得：； ∴； 将代入得：， 求得：； ∴； （2）解：由（1）可得：； ∵直线和直线平行， ∴直线的解析式为：； 联立与得：； ∴轴，且； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴； 作，如图所示： 则； ∵，， ∴； ∴； 【变式1】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 【变式2】（2024·上海闵行·一模）如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象的平移问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点代入得到，把代入，求得，于是得到结论； （2）根据平移前后的一次函数的解析式k相等，设平移后的一次函数的解析式为：，将点C的坐标代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）设平移后的一次函数的解析式为：， ∵轴，且， ∴， 把点代入中，得：， ∴， ∴平移后的一次函数的解析式为：． 【变式3】（2025·上海·二模）平面直角坐标系xOy内有一直角△AOB，其中O为直角顶点，∠A=30°．点B在第一象限内一反比例函数上运动，且满足其横纵坐标乘积为2．若点A在x轴上方，则点A所在的反比例函数图像解析式为________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质，解题关键是通过作辅助线证明三角形相似，结合三角函数和反比例函数的条件推导点$A$所在反比例函数的解析式． 设点，由．作轴、轴，证．在中，由得，结合相似三角形性质得边的比例关系．设，推导、与、的关系，代入，得出，从而得点所在反比例函数解析式． 【详解】解： 设点坐标为， 点B在第一象限内一反比例函数上运动，且满足其横纵坐标乘积为2， 过点作轴于点，过点作轴于点 在中， 设点坐标为 则 即 点在轴上方，在第一象限 即 即点所在反比例函数图像解析式为 题型06 一次函数与反比例函数综合解答 解｜题｜策｜略 一、基本解题步骤 1.求交点坐标 ①已知一个点：直接代入反比例函数求，得解析式。 ②已知两个函数解析式：联立方程组：，消去，解一元二次方程，得到交点横坐标，再求纵坐标。 2.求函数解析式 ①反比例函数：一个点即可确定，用。 ②一次函数：两个点才能确定，代入y=kx+b列方程组求k、b。 3.利用图像比较大小：①看交点横坐标，把x轴分成几段；②图像在上→函数值更大。 注意：反比例函数图像被y轴断开，要分区间讨论。 4.求图形面积 常用方法：割补法 以坐标轴为底和高，转化为三角形、梯形面积计算。 涉及反比例函数时，可结合k的几何意义： 5.存在性问题(是否存在点……) 设点坐标：反比例函数上可设(t) 根据条件(等腰、直角、面积相等、平行四边形等)列方程 解方程，检验是否符合题意，舍去不合理解。 例6（2025·上海黄浦·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴交于、两点，反比例函数的图像经过直线上的点． (1)求直线的表达式； (2)已知点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入反比例函数解析式，求出点P坐标，再把点P坐标代入一次函数解析式，求出k值即可； （2）根据得出，利用两直线平行，比例系数相同，得求出直线的表达式为：，再联立函数解析式，求出直线与反比例函数的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为：． （2）解：如图， ∵， ∴， 又∵直线的表达式为：， ∴直线的表达式为：， 联立，得， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数图象交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，平行线的判定，熟练掌握两直线平行，解析式的比例系数相等是解题的关键． 【变式1】（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 【变式2】（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线（k是常数，且）交于点． (1)求k与m的值： (2)直线与x轴交于点B，过点B作y轴的平行线．交双曲线于点C，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题． （1）先利用一次函数求出m的值，得到点，再代入反比例函数解析式求出k的值即可： （2）求出点B的坐标，再求出点C的坐标，即可求出答案． 【详解】（1）解：把点代入得到， ∴， 把代入得到， 解得 （2）当时，，解得， ∴点B的坐标为， 由（1）可得，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ ∵， ∴的面积为． 【变式3】（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点两点，与x轴、y轴分别交于两点，且点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了待定系数法求表达式，以及一次函数与反比例函数的综合运用． （1）将点A坐标代入一次函数，即可求出b，将点A代入反比例函数，即可求出表达式了． （2）两个函数表达式建立方程，即可求出点A、B的坐标，在根据一次函数求出点C的坐标，即可求解的面积． 【详解】（1）解：（1）把代入得：． 解得：． ∴一次函数的表达式为． 把代入得：． 解得：． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：连接，如图所示． 由， 解得：． ∴． 在上，当时， 解得：． ∴． ∴． ∴． ∴． 题型07 反比例函数与几何综合 例7（2025·上海·二模）在平面直角坐标系中，菱形的顶点A、D分别在x轴正半轴和y轴正半轴上．反比例函数的图像过点B，连接，若轴，则下列命题中（　　）正确． 命题甲：反比例函数的图像不过点C； 命题乙：反比例函数的图像过菱形的旋转对称中心，的值不变． A．甲、乙 B．甲 C．乙 D．没有一个 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数图像的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据菱形的性质，设，如图所示，设对角线交于点，过点作轴于点，则，过点作轴于点，得到，运用待定系数法求反比例函数解析式得到的值，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵连接，若轴， ∴轴， ∵菱形的顶点A、D分别在x轴正半轴和y轴正半轴上， ∴设，如图所示，设对角线交于点，过点作轴于点，则，过点作轴于点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像过点B， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的图像经过点C，故命题甲错误，不符合题意； 反比例函数的图像过菱形的旋转对称中心， ∴， ∴，即的值不变，故命题乙正确，符合题意； 故选：C ． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有曲线的图象． 在该图象上有点和点，点在轴上．连接，若，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，先求出反比例函数的解析式，进而可得，过点作轴于，过点作轴于，由等腰三角形的性质可得，即得，最后根据计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 过点作轴于，过点作轴于，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式2】（2024·上海普陀·模拟预测）如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、C点（A、C点在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交的图象于点，过点C作x轴的垂线交的图象于点E，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则四边形的面积为_____． 【答案】12 【分析】本题为反比例函数与几何的综合．考查关于原点成中心对称的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，二元一次方程组的应用，矩形的性质，综合性强，为压轴题．正确的作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键． 设，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，可得，求得，再将三角形与梯形相关的线段用t的代数式表示出来，再利用三角形、梯形面积公式即可求得答案． 【详解】解：设，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，如图， ，两点关于原点中心对称， ． 轴，且点在反比例函数上， ． 点A是的中点， 点的坐标为． 点在反比例函数图象上， ， 整理，得：①， ，． ， ，即， ②， 联立①②，得， 解得：， ，，， ，，，，，． ； 故答案为：12． 题型08 反比例函数综合压轴题 例8（2025·上海浦东新·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点 作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将代入直线方程求出后可得点坐标，再将该坐标代入双曲线方程即可得到； （2）结合题意得出，，，根据垂直平分线的判定推得，解方程后可得，，将的值代入求得点和点坐标，满足存在即可． 【详解】（1）解：已知直线过点， 将代入直线方程， ， 双曲线过点，把，代入， ； （2）解：由题知：，，， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ，， 当时，，，， 当时，，，此时、重合，舍去， 综上：． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数综合、垂直平分线的判定、两点间的距离、一元二次方程的实际应用，解题关键是运用数形结合思想解题． 【变式1】（2025·上海普陀·二模）【问题背景】 我们学过用尺规作图平分一条线段，小普同学想借助所学过的函数知识平分线段． 在如图1中，已知线段，为了平分线段，小普同学进行了如下的操作： ①在平面直角坐标系中，画出函数的图像； ②在轴的正半轴上截取，过点A作轴交函数的图像于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，交于点． 所以点平分线段． 【解决问题】 (1)根据小普同学的做法，如果要将线段三等分，那么可以借助函数________的图像在图7-1中的线段上，找到点，使，于是可作出线段上的一个三等分点．（填函数解析式） (2)平面内的点可以用有序实数对来表示．在图2中，点在轴的正半轴上，．运用我们学过的函数知识，在图7-2中作出坐标为的点，写出画图步骤．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）由题意得，，设，则，点，即可解答． （2）先画出和 的图像，再过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，再作圆O，长为半径画圆交x轴于点E，过点E作直线垂直于x轴，过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q，即可解答． 【详解】（1）解：若，， 设，则，点， ∴． （2）如图： 画图步骤：①画平面直角坐标系中和 的图像； ②过点B作轴的垂线，分别交两个函数于C、D两点，则，， ③以点O为圆心，长为半径画圆交x轴于点E． ④过点E作直线垂直于x轴； ⑤过E为圆心，为半径画圆交直线l于点Q． ∴Q为所求． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的性质，尺规作图，正比例函数． 【变式2】（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数 上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 则直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 【变式3】（2025·上海浦东新·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点、分别在函数的图像上，且轴，轴． (1)当点横坐标为6，求直线的表达式； (2)连接，当时，求点坐标； (3)连接、，试猜想：的值是否随的变化而变化？如果不变，求出的值；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变，值为1 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，反比例函数与几何的综合应用，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，进而求出直线的解析式即可； （2）根据轴，得到的纵坐标为，代入反比例函数的解析式，进而求出点坐标，根据，列出方程进行求解即可； （3）延长交轴和轴于点，由题意，得：，进而得到，值的几何意义得到，进而推出，根据同高三角形的面积比等于底边比得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， 当时，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3），值不变： 延长交轴和轴与点，由题意，得：， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴． （20分钟限时练） 1．（2026·上海·一模）研究函数的性质，通常可以绘制对应的函数图像．小明用某软件绘制出了函数的图像（如图所示），已知其和轴没有交点，小明对此函数进行猜想，那么下列说法中正确的是（    ） 猜想一 函数和y轴交于点； 猜想二 函数可由向右平移个单位得到； A．猜想一错误 B．猜想二错误 C．猜想均错误 D．猜想均正确 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图像的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．把代入，得出，可判定猜想一正确，根据函数图像的平移规律可判断猜想二正确，即可得答案． 【详解】解：∵当时，， ∴函数和y轴交于点，故猜想一正确； 根据函数“左加右减”的平移规律可知，向右平移个单位得到函数， ∴函数可由向右平移个单位得到，故猜想二正确， ∴猜想均正确． 故选：D． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知点是双曲线上的一点，下列坐标表示的各点中，不在双曲线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的性质，验证点的横纵坐标乘积是否等于进行验证即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的一点， ∴ 选项A：∵， ∴在双曲线上，不符合题意； 选项B：∵， ∴在双曲线上，不符合题意； 选项C：∵， ∴不在双曲线上，符合题意； 选项D： ∴在双曲线上，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·上海徐汇·二模）已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A,B两点，如果点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合．根据正比例函数与反比例函数图像的中心对称性，可得关于原点中心对称，进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于两点， ∴关于原点中心对称， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是． 故选：A． 4．（2026·上海普陀·一模）已知二次函数，反比例函数，若这两个函数的图象的所有交点横、纵坐标都是整数，则符合条件的正整数的值是______ ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，根的判别式，整数的性质，涉及面较广，难度较大． 联立和，并整理得，故其中一个根：，为正整数，方程有一个到两个的根，，交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数（设为），即（为非负整数），讨论确定的值． 【详解】解：联立和，得：， 两边乘以()，得：． 因式分解得：， 所以是一个根． 为正整数，方程有一个到两个的根， 交点横、纵坐标都是整数，则一定是完全平方数（设为）， 即（为非负整数）， 整理得：， ， ， ， 即：， 而， 当，时，解得：（舍去）； 当，时，解得：； 当，时，解得：（舍去）； 故． 故答案为：． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称之为：整点，已知双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点有4个，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】 本题考查二次函数与反比例函数的综合问题，结合图象利用二次函数与反比例函数的交点是解决本题的关键；利用图象可得满足题意的k的临界值，进而求解． 【详解】解：抛物线与x轴所围成的区域内整点的个数是7个，坐标分别为：，，，，，，， 要使双曲线与抛物线在第一象限内所围成的区域内的整点只有4个， 结合图象可得：当双曲线恰好经过点时，k取临界值3，当双曲线恰好经过点时，k取临界值2， ∴的取值范围为． 故答案为：． 6．（2025·上海徐汇·二模）如图，矩形的两边分别在轴和轴的正半轴上，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，反比例函数经过点，若的对应点恰好落在对角线的中点，，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据旋转以及矩形的性质求出，然后由勾股定理求出，解，求出，由旋转可知：，，则，那么，然后由角直角三角形性质和勾股定理求出，再由待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：过点作轴于点，连接， 四边形是矩形， ， 矩形绕点顺时针旋转得到矩形，， ， 的对应点恰好落在对角线的中点， ， ， ， 在中，，， ， 由旋转可知：，， ， 又轴， ， ， 在中，，， ， ， 反比例函数经过点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及解直角三角形，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线． 7．（2025·上海宝山·二模）在平面直角坐标系中（如图），反比例函数（是常数，且）的图像经过点． (1)求的值； (2)点在该反比例函数图像上（点与点在不同的象限内），联结，与轴交于点，且，求的正切值． 【答案】(1)的值为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，求出值即可； （2）过点分别作轴的垂线，垂足为点，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，，再利用三角形相似的性质得到，最后根据正切的定义求出的正切值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 解得； 所以，的值为2． （2）解：过点分别作轴的垂线，垂足为点， 由（1）可知，点，则，， ， ， ， ， 当时，， ， ， ， 所以，在中，． 8．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数与反比例函数的图象交于，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质，数形结合是解题的关键． 将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案； 由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ， 反比例函数的图象经过点A， ， 反比例函数解析式； （2）列方程组， 解得或， ， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， 由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，A与关于原点对称， ， 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， 点的坐标为． 9．（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与全等综合转化相关的线段与角度是解题关键． （1）根据一次函数解析式算出点的坐标即可求算； （2）作轴，根据矩形的性质得出，从而表示出的坐标，再根据条件表示的坐标，再根据均在反比例图象上从而算出． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点C， ∴， ∴； （2）解：如图，作轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵轴，在上， ∴， ∵,均在反比例上： ∴， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴舍去， ∴， ∴． 1 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $