热点03 一次函数图象与性质7大题型专练（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点03 一次函数图象与性质专练 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 一次函数图象与性质常见7大题型（上海中考专用） 题型一 根据一次函数的解析式判断经过的象限 题型五 判断一次函数的增减性 题型二 根据一次函数经过的象限求参数取值范围 题型六 一次函数的图象与性质解答综合 题型三 一次函数的图形与坐标轴交点问题 题型七 一次函数与几何综合 题型四 一次函数图象中平移问题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：上海中考一次函数的图象与性质，主要考察一次函数的定义与解析式求解、图象的平移与对称、的几何意义、函数的增减性、与坐标轴的交点、与方程 / 不等式的关联、实际应用建模等核心内容；核心围绕基础性质辨析、解析式求解、图象变换、函数与其他知识的综合、生活场景中的实际应用等经典模型；而这类题目中，对符号与图象象限的对应、增减性的条件判断、平移规律的应用、分段函数的分段讨论、实际问题中自变量取值范围的限制考察占了绝大多数，试题难度梯度明显，基础题、中档题分层清晰，题目多以选择题、填空题、解答题的形式稳定出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，会结合动点问题、几何图形结合、多方案对比、分段函数、与二次函数/反比例函数综合等进行灵活变形。 预测2026年：2026年将继续保持稳定，更突出核心素养，情境化试题增多，聚焦生活、科技、传统文化背景，所以在复习时，需要考生对这类题涉及的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，规范解题步骤、规避易错细节，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，稳稳拿下这部分的满分基础分与中档分，冲刺综合题高分。 题型01 根据一次函数的解析式判断经过的象限 解｜题｜策｜略 通用解题四步走(按顺序):根据一次函数的解析式判断经过的象限 步骤1：审题建模，抓准核心条件 通读题目，圈画核心关键词(一次函数解析式、k/b的取值、经过的象限、不经过的象限、象限分布等),明确已知量(解析式/参数范围)、未知量(象限分布),梳理出核心判断依据：一次函数的图象象限由k(斜率，决定增减性)和b(截距，决定与y轴交点)共同决定，这是判断的核心。 步骤2:规范分析，对应象限规律 ①分析原则：优先提取解析式中k、b的符号(正/负/0)，若则为正比例函数y=kx(k≠0);②用k、b的符号，完整对应象限规律： k的符号 b的符号 经过的象限 不经过的象限 一、二、三 四 一、三、四 二 一、三 二、四 一、二、四 三 二、三、四 一 二、四 一、三 ③ 严格根据k、b的符号，对应象限规律，确保判断逻辑一致、无遗漏。 例1（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 【变式1】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项． 【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限， ， 函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小． 当时，；正比例函数的图像是倾斜直线． 所以选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【变式2】（2025·上海闵行·模拟预测）一次函数 的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，先对进行分别讨论，再结合，得出一次函数的图象一定经过第一、二象限，即可作答． 【详解】解：当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限； 当时， ∵， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限． 综上所述，一次函数的图象一定经过第一、二象限． 故选：A． 题型02 根据一次函数经过的象限求参数取值范围 解｜题｜策｜略 ① 对应原则：根据象限要求，反推k、b的符号，严格对应象限规律表： 一次函数y=kx+b(k=0)的象限要求 对应k、b的符号条件 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 经过一、三象限（正比例函数） 经过二、四象限（正比例函数） 不经过某一象限（如不经过第四象限） 等价于经过一、二、三象限，对应 不经过第二象限 等价于经过一、三、四象限，对应 例2（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限；当，图象经过第二、四象限；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限或一、三象限， ∴y随x的增大而增大， ∴． 故选：C． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）如果函数的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数图象的性质进行求解即可． 【详解】解：∵函数的图像经过第一、三、四象限， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 【变式2】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图像和性质：若， ，则图像经过二、三、四象限；若， ，则图像经过一、三、四象限．根据一次函数的图像经过第二、三、四象限，得到，解不等式求解即可． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， 故答案为：． 题型03 一次函数的图形与坐标轴交点问题 解｜题｜策｜略 一、核心知识点 一次函数解析式： 1.与轴交点：令=0，得 故交点坐标：(0，) 2.与轴交点：令，解方程 3.围成三角形面积 与两坐标轴围成Rt△： 面积： 例3（2024·上海·模拟预测）一次函数与坐标轴围成三角形的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，先求出一次函数与轴交点为，与轴交点为，再利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】当时，， 当时，，解得 ∴一次函数与轴交点为，与轴交点为， 根据三角形的面积公式得到与坐标轴围成三角形的面积为 故答案为：． 【变式1】（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数，当时，函数图象与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小． 直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小， ， ∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（2025·上海松江·二模）如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象经过点，可知函数图象经过第二象限，根据函数图象与轴的交点在原点右侧，可知函数图象经过第一象限，所以可知该函数图象经过第一、二、四象限，所以函数值随自变量的值增大而减小． 【详解】解：一次函数的图象经过点， 函数图象经过第二象限， 函数图象与轴的交点在原点右侧， 函数图象经过第一象限， 一次函数的图象不经过第三象限， 该函数图象经过第一、二、四象限， 函数值随自变量的值增大而减小． 故答案为：减小． 题型04 一次函数图象中平移问题 解｜题｜策｜略 一、核心口诀 上加下减常数项，左加右减自变量 二、平移规律 设原函数： 1.上下平移 向上平移个单位： 向下平移个单位： 2.左右平移 向左平移个单位： 向右平移个单位： 关键：只变，不变，平移后直线平行，斜率不变。 例3（2025·上海·模拟预测）直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：直线向左平移3个单位得到直线， 故； 故答案为：0． 【变式1】（2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是________． 【答案】1 【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度得到：， 令，即， 解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故答案为：1． 【变式2】（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 【答案】 【分析】本题考查两直线相交或平行问题，根据两条直线平行，则k值相等，可设这个一次函数的解析式是，再根据一次函数的图象经过点，求得． 【详解】解：设直线解析式是， ∵它与直线平行， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴ ∴， ∴这个一次函数的解析式是． 故答案为：． 题型05 判断一次函数的增减性 解｜题｜策｜略 一次函数： 增减性只由决定，与无关。 1.当时，随的增大而增大，函数单调递增。 2.当时，随的增大而减小，函数单调递减。 例5（2025·上海·二模）下列函数中，图象在第一象限的部分满足y的值随x的值增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质，熟练掌握各个函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数、反比例函数及二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：A、由可知：，y随x的增大而增大；故不符合题意； B、由可知：，在第一象限内，y随x的增大而减小，故符合题意； C、由可知：，y随x的增大而增大；故不符合题意； D、由可知开口向下，且不经过第一象限，故不符合题意； 故选B． 【变式1】（2020·上海崇明·二模）已知一次函数，如果随自变量的增大而减小，那么的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质得到关于m的不等式，求解集即可． 【详解】根据题意，得：m-3＜0， 解得：m＜3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，解决此类问题的关键是灵活运用一次函数的图象与k的关系是解题的关键． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查的知识点是判断一次函数的增减性，解题关键是熟练掌握判断一次函数的增减性． 先根据该图像经过点求出值，再根据时，函数值随着的值增大而增大；时，函数值随着的值增大而减小即可得解． 【详解】解：正比例函数（为常数，且）的图像经过点， ，， 函数值随着的值增大而减小． 故答案为：减小． 【变式3】（2025·上海宝山·模拟预测）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据“自变量系数小于零时，y的值随x的值增大而减小，”得，再求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 题型06 一次函数的图象与性质综合解答 例6（2024·上海闵行·一模）如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象的平移问题，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点代入得到，把代入，求得，于是得到结论； （2）根据平移前后的一次函数的解析式k相等，设平移后的一次函数的解析式为：，将点C的坐标代入可得结论． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； （2）设平移后的一次函数的解析式为：， ∵轴，且， ∴， 把点代入中，得：， ∴， ∴平移后的一次函数的解析式为：． 【变式1】（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法可求得反比例函数解析式，将点代入反比例函数，得到点坐标，然后将点、分别代入一次函数，解方程组即可； （2）先求得一次函数的图像与x轴交点为，然后利用，即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得，解得， ， 将点代入反比例函数，得， ， 将点、分别代入一次函数，得． 解这个方程组，得． 一次函数解析式为； （2）解：当时，代入，得到， 一次函数的图像与x轴交点， ． 【变式2】（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图像直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点 代入， 得， 解得， 将点代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）解：∵在中， 令，得， ， 在中， 令，得， ， ， （3） ； 解：由函数图像可知，当时，． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了利用待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法解答即可； （2）观察图象，利用数形结合法解答即可得出结论． 【详解】（1）过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 点， ， ，, ，， ，的面积为6， ， ∴， ， ， 反比例函数的解析式为：， 一次函数的图象经过点，， ， 解得：， 一次函数的解析式为． （2）点在反比例函数上， ∴， ∴． ∴， 由图象可知：第二象限中点的左侧部分，满足，第四象限中点的左侧部分，满足，对应的的取值范围分别为：或． ∴当时，的取值范围为：或． 题型07 一次函数与几何综合 例7（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函数性质，延长交于点C，过点B作于点D，根据轴，在第一象限，得出，，根据直线的解析式为，得出点C的坐标为，求出，证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得出，求出三角形的面积即可． 【详解】解：延长交于点C，过点B作于点D，如图所示： ∵轴，在第一象限， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)直线， (2) (3)直线恒过定点． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再求出函数值为0时自变量的值即可求出A、B的坐标； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可推出，则，再根据题意可得点C和点E关于抛物线的对称轴对称，则；求出点C坐标，进而表示出，根据建立方程求解即可； （3）根据图形面积之间的关系可得，则，求出D、E坐标，进而得到直线解析式为，则直线解析式为，进一步求出，同理可得直线解析式为，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，解得或， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，且C、E都在抛物线上， ∴点C和点E关于抛物线的对称轴对称， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 由对称性可知， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴可设直线解析式为， 把代入中得：，解得， ∴直线解析式为， 联立解得或， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，， ∴直线恒过定点． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）背景概述：现在二次元文化十分流行，许多二次元爱好者会去商店购买自己喜欢的二次元角色的周边，称作“买谷”谷，英文货物的谐音．而“买谷”的一种形式叫做“抽卡”，即购买随机款式的卡片，如果运气好能“抽”到自己想要的款式，岂不美哉． 情景：你是某家二次元周边商店的经营者，店里现在有两台抽卡设备． 使用第一台抽卡，费用元和抽卡次数次成正比例，且满足时； 使用第二台抽卡，先要缴付元的使用金额，之后每次抽卡需支付第一台机器一半的抽卡单价． (1)直接写出第一、二台抽卡，关于的函数解析式不写定义域)． (2)你在某一个时段内统计了人次使用两台抽卡设备抽卡的次数，以此来估计全店当天两台抽卡设备被使用的频率．你让助手将数据整理成表格，但是他只统计了部分数据，请帮助他填完空缺部分． 总人次∶20人次 抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上 人次 8 4 ________ 2 1 ________ 频率 0.4 略 略 略 略 0.05 所有顾客都会选择在同等抽卡次数下最省钱的抽卡设备使用．请你先补充表格，之后估计出全店当天第一台抽卡设备的使用频率． 【答案】(1)第一台抽卡费用的函数解析式为，第二台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为 (2)4，1，全店当天第一台抽卡设备的使用频率为 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质以及频率的计算方法是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义设出第一台抽卡费用的函数解析式，再代入已知条件求出比例系数，进而得到解析式；然后根据第一台的抽卡单价求出第二台抽卡费用的函数解析式． （2）先根据总人次求出抽卡次数为3和6及以上的人次，再分别计算不同抽卡次数下使用第一台和第二台抽卡设备的费用，确定使用第一台的人次，最后计算第一台抽卡设备的使用频率． 【详解】（1）解：设第一台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为（为常数，）． 把，代入，得， 解得， ∴第一台抽卡费用的函数解析式为． ∴第一台机器抽卡单价为元/次，那么第二台机器每次抽卡需支付元． 又∵使用第二台抽卡先要缴付元的使用金额， ∴第二台抽卡费用关于抽卡次数的函数解析式为． （2）解：∵总人次为人次，抽卡次数为、、、的人次分别为、、、， ∴抽卡次数为及以上的人次为（人次），抽卡次数为的人次为（人次）， 补充表格如下 总人次∶20人次 抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上 人次 8 4 4 2 1 1 频率 0.4 略 略 略 略 0.05 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第一台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第一台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第一台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次都使用第二台． 当时，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为时，人次使用第二台． 当时，取，第一台费用元，第二台费用元． ∵， ∴抽卡次数为及以上时，人次使用第二台． 使用第一台抽卡设备的人次为人次． 第一台抽卡设备的使用频率为． 【变式3】（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 【答案】(1) (2)①D，；②． 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）①根据一次函数的性质求解； ②根据三角形的面积的和差求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴； （2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限， ∴，，，，， 故选：D；， ②∵，， ∴图象如下： 由图象得：． （20分钟限时练） 1．（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查折叠，重心的性质，平面直角坐标系的建立，解题关键在于熟练掌握其相关知识点；通过建立坐标系，设等边的边长为，建立平面直角坐标系，计算重心G、中点O、点E和F的坐标，进而求出和的长度，即可求解. 【详解】解：如图；设等边的边长为，建立平面直角坐标系： 则，， ∵中点，重心(，根据重心性质，重心将分为)   ∴中点（与的中点，   ∵折叠后为的垂直平分线， ∴为水平线（垂直于轴且过） 设直线解析式：过，两点， ∴，解得 ∴直线解析式，联立得 ， 设直线解析式：过，两点， ∴，解得， ∴直线解析式，联立得  ， ∴， ∵， ∴， 故选：C. 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握“形如（、为常数，且）的函数是一次函数”是解题的关键． 根据一次函数的定义，分析各选项：A中可能为；B可能为二次或常数函数；D为反比例函数；C中恒为正，故与成正比，一定是一次函数． 【详解】解：∵ 一次函数需满足， 对于A，若，则，不是一次函数，故A不符合题意； 对于B，若，则为二次函数，故B不符合题意； 对于C，， ， ，符合（、为常数，且）的形式，一定是一次函数，故C符合题意； 对于D，，为反比例函数，故D不符合题意． 故选：C． 3．（2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 【答案】 【分析】将直线解析式变形为，易知当时，，从而得到直线恒过定点． 【详解】解：∵， ∴， 当时，即时，， ∴直线恒过定点． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 【答案】一 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，解题关键是掌握一次函数的图像与性质． 由，可判断一次函数各项系数的符号，再根据一次函数各项系数确定其图像所经象限． 【详解】解：∵， ∴，． ∴，． ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限， ∴该图像不过第一象限． 故答案为：一． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为___________． 【答案】（） 【分析】先根据勾股定理求斜边长，再利用直角三角形斜边上的中线性质求长，从而确定定义域；通过建立坐标系表示点P坐标，利用三角形面积公式求y关于x的解析式． 【详解】解：∵在中，，，， ∴． ∵是边上的中线， ∴． ∵P在上，， ∴定义域为． 以点C为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则，，． ∴中点D的横坐标为，纵坐标为， ∴． 设直线的表达式为，则， 解得：， 所以直线的表达式为， 设点P坐标为， 因为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴P坐标为． ∴的面积为． 故答案为：（）． 【点睛】本题考查了用勾股定理解三角形，动点问题的函数图象，斜边的中线等于斜边的一半，一次函数与几何综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 6．（2025·上海·模拟预测）对于任意二次函数，它的“子函数”形如，若一个二次函数的“子函数”过点，则当两函数的函数值相等时，对应的x的值为______． 【答案】1或2 【分析】本题主要考查二次函数与其一次子函数的关系，以及方程求解能力。关键在于理解“子函数”的定义，并利用已知条件建立方程，进而求解两函数的交点横坐标． 【详解】解：因为“子函数”过点， 所以，则， 当两函数的函数值相等时， 即， 把代入得， 即， 再移项得， 解得或． 故答案为：1或2． 7．（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式和两圆相切的性质是解题的关键． （1）根据交点求出m的值，再根据两直线平行求出k的值，再代入点A坐标即可求出b的值； （2）根据相切的性质，分两圆内切和外切两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切， 当两圆外切时，， ∴； 当两圆内切时，， ∴； ∴r的值为或． 8．（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键， （1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，从而得到点，再利用点、的坐标得，进而求得的长； （2）根据点、的坐标得直线的表达式为：，由于，可得直线的表达式为：，则点，代入点，求得，进而得到抛物线的表达式； （3）由于点与点关于原点对称，可得点，则新抛物线的表达式为：，联立两个抛物线的表达式得点点，由点、的坐标得，该直线表达式函数值中的，而直线的表达式为：，再根据，可求得，进而求得△的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，， ∴点， ∵点， ∴， ∴； （2）解：∵点、 ，设直线的表达式为：， ∴ 解得：， ∴直线的表达式为：， ， ∴直线的表达式为：， ∴点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， ∴（舍去）或， ∴抛物线的表达式为：； （3）解：∵点与点关于原点对称， ∴点，    ∴新抛物线的表达式为：， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点， 设直线的表达式为：， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵直线的表达式为：，且， ∴， ∴， ∴△的面积． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点03 一次函数图象与性质专练 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 一次函数图象与性质常见7大题型（上海中考专用） 题型一 根据一次函数的解析式判断经过的象限 题型五 判断一次函数的增减性 题型二 根据一次函数经过的象限求参数取值范围 题型六 一次函数的图象与性质解答综合 题型三 一次函数的图形与坐标轴交点问题 题型七 一次函数与几何综合 题型四 一次函数图象中平移问题 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：上海中考一次函数的图象与性质，主要考察一次函数的定义与解析式求解、图象的平移与对称、的几何意义、函数的增减性、与坐标轴的交点、与方程 / 不等式的关联、实际应用建模等核心内容；核心围绕基础性质辨析、解析式求解、图象变换、函数与其他知识的综合、生活场景中的实际应用等经典模型；而这类题目中，对符号与图象象限的对应、增减性的条件判断、平移规律的应用、分段函数的分段讨论、实际问题中自变量取值范围的限制考察占了绝大多数，试题难度梯度明显，基础题、中档题分层清晰，题目多以选择题、填空题、解答题的形式稳定出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，会结合动点问题、几何图形结合、多方案对比、分段函数、与二次函数/反比例函数综合等进行灵活变形。 预测2026年：2026年将继续保持稳定，更突出核心素养，情境化试题增多，聚焦生活、科技、传统文化背景，所以在复习时，需要考生对这类题涉及的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，规范解题步骤、规避易错细节，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，稳稳拿下这部分的满分基础分与中档分，冲刺综合题高分。 题型01 根据一次函数的解析式判断经过的象限 解｜题｜策｜略 通用解题四步走(按顺序):根据一次函数的解析式判断经过的象限 步骤1：审题建模，抓准核心条件 通读题目，圈画核心关键词(一次函数解析式、k/b的取值、经过的象限、不经过的象限、象限分布等),明确已知量(解析式/参数范围)、未知量(象限分布),梳理出核心判断依据：一次函数的图象象限由k(斜率，决定增减性)和b(截距，决定与y轴交点)共同决定，这是判断的核心。 步骤2:规范分析，对应象限规律 ①分析原则：优先提取解析式中k、b的符号(正/负/0)，若则为正比例函数y=kx(k≠0);②用k、b的符号，完整对应象限规律： k的符号 b的符号 经过的象限 不经过的象限 一、二、三 四 一、三、四 二 一、三 二、四 一、二、四 三 二、三、四 一 二、四 一、三 ③ 严格根据k、b的符号，对应象限规律，确保判断逻辑一致、无遗漏。 例1（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【变式1】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　） A．x大于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限 C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小 【变式2】（2025·上海闵行·模拟预测）一次函数 的图象一定经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 题型02 根据一次函数经过的象限求参数取值范围 解｜题｜策｜略 ① 对应原则：根据象限要求，反推k、b的符号，严格对应象限规律表： 一次函数y=kx+b(k=0)的象限要求 对应k、b的符号条件 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 经过一、三象限（正比例函数） 经过二、四象限（正比例函数） 不经过某一象限（如不经过第四象限） 等价于经过一、二、三象限，对应 不经过第二象限 等价于经过一、三、四象限，对应 例2（2025·上海杨浦·一模）已知一次函数不经过第二象限，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·上海崇明·二模）如果函数的图像经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海杨浦·模拟预测）已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围为_____________． 题型03 一次函数的图形与坐标轴交点问题 解｜题｜策｜略 一、核心知识点 一次函数解析式： 1.与轴交点：令=0，得 故交点坐标：(0，) 2.与轴交点：令，解方程 3.围成三角形面积 与两坐标轴围成Rt△： 面积： 例3（2024·上海·模拟预测）一次函数与坐标轴围成三角形的面积为________． 【变式1】（2025·上海金山·二模）已知直线与轴的交点在轴下方且函数值随着的增大而减小，那么这条直线的表达式是________．（写出一种情况即可） 【变式2】（2025·上海松江·二模）如果一次函数的图象经过点，且与轴的交点在原点右侧，那么函数值随的增大而__（填“增大”或“减小”）． 题型04 一次函数图象中平移问题 解｜题｜策｜略 一、核心口诀 上加下减常数项，左加右减自变量 二、平移规律 设原函数： 1.上下平移 向上平移个单位： 向下平移个单位： 2.左右平移 向左平移个单位： 向右平移个单位： 关键：只变，不变，平移后直线平行，斜率不变。 例3（2025·上海·模拟预测）直线向左平移3个单位得到直线，那么b的值为______． 【变式1】（2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是________． 【变式2】（2025·上海嘉定·二模）如果一次函数的图像经过点，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是__． 题型05 判断一次函数的增减性 解｜题｜策｜略 一次函数： 增减性只由决定，与无关。 1.当时，随的增大而增大，函数单调递增。 2.当时，随的增大而减小，函数单调递减。 例5（2025·上海·二模）下列函数中，图象在第一象限的部分满足y的值随x的值增大而减小的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（2020·上海崇明·二模）已知一次函数，如果随自变量的增大而减小，那么的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·上海浦东新·二模）如果正比例函数（为常数，且）的图像经过点，那么函数值随着的值增大而________．（填“增大”或“减小”） 【变式3】（2025·上海宝山·模拟预测）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的取值范围为_______． 题型06 一次函数的图象与性质综合解答 例6（2024·上海闵行·一模）如图，在坐标平面中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)过点A作轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式． 【变式1】（2025·上海青浦·二模）已知：在平面直角坐标系中，一次函数（）与反比例函数（）的图像交于、两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式2】（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【变式3】（2025·上海·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，与y轴交于点C（0，2），已知的面积为6． (1)求这两个函数的解析式； (2)根据图象直接写出，当时，的取值范围． 题型07 一次函数与几何综合 例7（2024·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，其中，且a，b满足，过点P作y轴和直线的垂线，垂足分别为A，B，连接，则的面积是__________． 【变式1】（2025·上海杨浦·二模）已知平面直角坐标系，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，过点C作轴交抛物线于点E． (1)直接写出抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)联结，如果平分，求a的值； (3)点P是抛物线上一点，线段交于点F，如果，那么直线是否一定会经过一个定点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由． 【变式2】（2025·上海·模拟预测）背景概述：现在二次元文化十分流行，许多二次元爱好者会去商店购买自己喜欢的二次元角色的周边，称作“买谷”谷，英文货物的谐音．而“买谷”的一种形式叫做“抽卡”，即购买随机款式的卡片，如果运气好能“抽”到自己想要的款式，岂不美哉． 情景：你是某家二次元周边商店的经营者，店里现在有两台抽卡设备． 使用第一台抽卡，费用元和抽卡次数次成正比例，且满足时； 使用第二台抽卡，先要缴付元的使用金额，之后每次抽卡需支付第一台机器一半的抽卡单价． (1)直接写出第一、二台抽卡，关于的函数解析式不写定义域)． (2)你在某一个时段内统计了人次使用两台抽卡设备抽卡的次数，以此来估计全店当天两台抽卡设备被使用的频率．你让助手将数据整理成表格，但是他只统计了部分数据，请帮助他填完空缺部分． 总人次∶20人次 抽卡次数 1 2 3 4 5 6及以上 人次 8 4 ________ 2 1 ________ 频率 0.4 略 略 略 略 0.05 所有顾客都会选择在同等抽卡次数下最省钱的抽卡设备使用．请你先补充表格，之后估计出全店当天第一台抽卡设备的使用频率． 【变式3】（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． （20分钟限时练） 1．（2026·上海金山·一模）在等边中，点分别在边上，将沿折叠，使得点与的重心重合，与交于点，延长交于点，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列函数中，一定是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海杨浦·二模）直线恒过定点___________． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）一次函数中，，则该图像不过第___________象限． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在直角三角形中，，是边上的中线，，，在上任取一点（不与点，重合）设面积为，长为，则关于的函数解析式和定义域为___________． 6．（2025·上海·模拟预测）对于任意二次函数，它的“子函数”形如，若一个二次函数的“子函数”过点，则当两函数的函数值相等时，对应的x的值为______． 7．（2025·上海奉贤·三模）已知：在平面直角坐标系中（如图），反比例函数在第一象限内的图像与直线的交点为，且直线与直线平行． (1)求直线的表达式； (2)若以A为圆心、半径长为r的与以原点O为圆心、半径长为1的相切，求r的值． 8．（2025·上海松江·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，（点在点的右侧）与轴正半轴交于点，顶点为．    (1)求的长； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)将该抛物线平移，新抛物线的顶点落在轴上，与原抛物线交于点，如果点与点关于原点对称，且，求△的面积． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $