专题01 第六章 平面向量（9考点清单，知识导图+11个题型解读&提升训练）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

清单01 第六章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 计划恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例1-2】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（    ） A．与同向 B． C．且 D． 【变式1-1】.（2024·广西柳州·一模）对于非零向量，，“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】.（多选）（24-25高一下·山西·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-3】.（多选）（23-24高一下·广西百色·阶段练习）下列关于向量的结论正确的是（    ） A．若，则或 B．非零向量与平行，则与的方向相同或相反 C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D．若向量与同向，且，则 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2-1】（23-24高二下·浙江·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】.（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（24-25高三下·广西·开学考试）在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（2025高三下·全国·专题练习）化简： (1) (2) 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 【例3-2】（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 【变式3-1】.（24-25高三上·辽宁·期末）已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 【变式3-3】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 【例4-2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【变式4-1】.（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【变式4-3】.（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知向量，，． (1)若，求实数x的值，并求的值； (2)若，求实数x的值． 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5-1】（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【例5-2】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 【例5-3】（24-25高三下·河南周口·开学考试）如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 【变式5-1】.（2025·江苏·一模）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 【变式5-3】.（2025高一·全国·专题练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 . 【变式5-4】.（24-25高三下·北京·阶段练习）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【变式5-5】（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】.（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ． 【变式6-3】.（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是 ． 【考点题型七】向量的模（） 【例7-1】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知向量，则的最大值为 . 【例7-2】（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）设两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．1 B．21 C． D． 【变式7-2】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【变式7-3】.（2025·海南·三模）在同一平面内，向量满足，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【考点题型八】量的夹角（） 【例8-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为 . 【例8-2】（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知向量，满足，，，则 . 【变式8-2】.（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【变式8-3】.（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【例9-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【变式9-1】.（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. (1)求及； (2)求在上的投影向量； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【变式9-3】.（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【考点题型十】投影向量（） 【例10-1】（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例10-2】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】.（2025·四川成都·二模）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（2025·贵州安顺·模拟预测）已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（2025·河北秦皇岛·一模）已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【考点题型十一】新定义题（） 【例11-1】（多选）（24-25高一下·河北·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【例11-2】（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. (1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； (2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 【变式11-1】.（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 【变式11-2】.（2024·全国·模拟预测）在直角坐标平面内，对于向量，记．设，，为直角坐标平面内的向量，． (1)若，求； (2)设，若，求的最大值； (3)若，，求证：． 【变式11-3】.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：． (1)证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之； (2)如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：； (3)如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 2．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 3．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·广东·开学考试）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 6．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A． B．3 C． D．7 8．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（    ） A．的面积恒为 B．存在，使得 C． D．的取值范围是 10．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）关于平面非零向量，向量的夹角为，下列说法中正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则与的夹角为钝角 D． 11．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 12．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知为内切圆的圆心，且，则 . 13．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ． 14．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 四、解答题 15．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 16．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角的平分线与交于点，且，若，求. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第六章 平面向量 （9个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 平面向量基本概念 （1）向量 在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量. （2）向量的表示 ①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母,,,…表示 （3）两种特殊的向量 零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作. 单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量 (4)平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量与平行,记作.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量,都有. (5)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 清单02 平面向量线性运算 知识点01：向量的加法法则 （1）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （2）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法法则 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 清单03 平面向量共线定理 知识点01：向量共线定理 （1）内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. （2）向量共线定理的注意问题： ①定理的运用过程中要特别注意． 特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 知识点02：三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 清单04 平面向量平行垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 清单05平面向量数量积 平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 清单06 计划恒等式法求数量积最值（范围） 知识点01：极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 清单07 向量的模 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 清单08 向量的夹角 已知非零向量，是与的夹角，则． 清单09向量投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 【考点题型一】平面向量基本概念（） 【例1-1】（24-25高一下·甘肃临夏·阶段练习）下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据向量是具有大小和方向的量以及零向量的含义，一一判断各选项，即得答案. 【详解】对于A，若，但方向不一定相同，故不一定成立，A错误； 对于B，若，即的模相等，方向相同，则，B正确； 对于C，向量是具有方向和大小的量，故向量不能比较大小， 即，不能得出，C错误； 对于D，若，则，D错误， 故选：B 【例1-2】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（    ） A．与同向 B． C．且 D． 【答案】A 【知识点】探求命题为真的充要条件、相等向量、零向量与单位向量 【分析】由分别表示与同向的单位向量分析判断即可. 【详解】由于分别表示与同向的单位向量， 因此的充要条件是与同向． 除A外，其它项均不为充要条件. 故选：A． 【变式1-1】.（2024·广西柳州·一模）对于非零向量，，“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】根据相反向量一定是共线向量，共线向量不一定是相反向量可求解. 【详解】对于非零向量，，因为， 所以，则， 即“”能推出 ， 但当时，，显然 不一定成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式1-2】.（多选）（24-25高一下·山西·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量）、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的相关概念，可得答案. 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确； 当时，向量不一定共线，故C错误. 故选：BD. 【变式1-3】.（多选）（23-24高一下·广西百色·阶段练习）下列关于向量的结论正确的是（    ） A．若，则或 B．非零向量与平行，则与的方向相同或相反 C．起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D．若向量与同向，且，则 【答案】BC 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据题意，由平面向量的相关概念，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，但方向不能确定，选项A错误： 非零向量与平行，则与的方向相同或相反，选项B正确： 根据向量相等的定义，选项C正确： 向量不能比较大小，选项D错误． 故选：BC． 【考点题型二】平面向量线性运算（） 【例2-1】（23-24高二下·浙江·期末）在中，为边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】由向量的加减法运算法则分别对四个选项进行判断. 【详解】，故A、B错误； ，故C错误； 由平行四边形法则可知，故D正确； 故选：D． 【例2-2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的数乘运算及线性运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． 【变式2-1】.（23-24高一下·江苏镇江·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量加法的运算律 【分析】根据平面向量线性运算法则及运算律计算可得. 【详解】. 故选：D 【变式2-2】.（24-25高三下·广西·开学考试）在中，点M为边BC的中点，点N在AM上，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】因为点M是边BC的中点，所以 因为点N在AM上，且 ，所以， 所以. 故选：C. 【变式2-3】.（2025高三下·全国·专题练习）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】（1）根据向量的加减法运算求解； （2）根据向量的加法运算求解； 【详解】（1）原式． （2）原式． 【考点题型三】平面向量共线定理（） 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量的混合运算 【分析】利用向量的线性运算及共线向量定理列式计算得解. 【详解】由，得， 由三点共线，得，而， 则，又不共线，因此，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 【例3-2】（24-25高一下·广东湛江·开学考试）设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【详解】（1）由， 得， ， 所以，且有公共点B， 所以三点共线. （2）由与共线， 则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，因此， 解得，或， 实数k的值是. 当时，与反向共线 【变式3-1】.（24-25高三上·辽宁·期末）已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】分析可知，，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、、的方程组，消去即可得出结果. 【详解】、、三点共线， 设，即， 由于、不共线，则，消去可得. 因此，、、三点共线的充要条件为. 故选：D. 【变式3-2】.（24-25高一下·全国·课后作业）设，是两个不共线的向量．若向量与的方向相反，则 ． 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由共线得到，比较系数即可求解； 【详解】解：因为向量与的方向相反， 所以，其中， 所以：， 联立可得：， 解得： 故答案为： 【变式3-3】.（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知向量，不共线，且，，． (1)若，求的值； (2)若，求证：，，三点共线． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、已知向量共线（平行）求参数、平面向量的混合运算 【分析】（1）根据向量的共线定理即可求解； （2）由向量的线性运算，可求出、，再根据向量的共线定理，即可证明. 【详解】（1）若，则，即， 可得，解得，， 所以. （2）若，则， 所以，， 所以，则，，三点共线． 【考点题型四】平面向量平行，垂直的坐标表示（） 【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知平面内给定三个向量.若，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量线性运算的坐标关系，即可求解. 【详解】因为，又， 所以，所以. 故答案为： 【例4-2】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数 【分析】依据向量平行和垂直的坐标表示形式来求得的值即可. 【详解】（1）由题知，. 若，则， 解得，故实数的值为. （2）若，则，整理得， 解得或. 【变式4-1】.（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】直接根据平面向量的坐标化运算和垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】∵向量，，，∴， ∵，∴，即得，解得， 故选：C． 【变式4-2】.（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）已知向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】C 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示 【分析】利用坐标计算，再利用数量积即可求. 【详解】因，则， 因，，则， 得. 故选：C 【变式4-3】.（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）已知向量，，． (1)若，求实数x的值，并求的值； (2)若，求实数x的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据两向量垂直的坐标关系求出，再利用两向量数量积的坐标运算求解； （2）根据两向量平行的坐标关系列式求解. 【详解】（1）由，得，解得， ， . （2）， 又，则， 解得. 所以实数的值为. 【考点题型五】平面向量数量积（） 【例5-1】（24-25高一下·河北·阶段练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，其中，则， 因为，所以，又， 所以， 当且仅当时等号成立. 故选：A. 【例5-2】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知正方形的边长为，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 . 【答案】 /； . 【知识点】数量积的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系，根据向量相等求出可得空一；设，用表示出，利用二次函数性质求解可得空二. 【详解】如图，以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 因为，所以， 得， 因为，所以， 得，所以， 设，则， 所以， 所以 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【例5-3】（24-25高三下·河南周口·开学考试）如图，在矩形中，，点为边上的任意一点（包含端点），为线段的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用坐标法求向量的数量积，结合相关函数的性质求数量积的范围. 【详解】以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 所以，， 所以，又， 所以，即的取值范围是． 故答案为： 【变式5-1】.（2025·江苏·一模）已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据投影向量定义，结合题意求出的值，再利用平面向量的运算律求数量积. 【详解】由题意，在上的投影向量为，则， 因为是单位向量，即，所以， 则. 故选：B. 【变式5-2】.（24-25高一下·湖北武汉·阶段练习）在边长为4的正方形中，，以F为圆心，1为半径作半圆与交于M，N两点，如图所示．点P为弧上任意一点，向量最大值为 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、诱导公式五、六、已知向量共线（平行）求参数 【分析】过作交于点，可知当与半圆相切时，最大，再利用三角函数求解即可. 【详解】过作交于点，根据投影向量的概念可得， 设，所以， 当与半圆相切时，取得最大值，此时最大， 过作交于点，连接， 当取得最大值时，且， 因为，正方形边长为4，则，， 所以， 所以， 则，所以， 得，所以的最大值为. 所以最大值为. 故答案为：24. 【变式5-3】.（2025高一·全国·专题练习）如图，正方形的边长为分别为边上的动点，若为的中点，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、已知数量积求模 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法和基本不等式求得的最小值. 【详解】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则， 设，其中，则， 因为，所以，即， 因为， 当且仅当时等号成立. 所以. 又， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式5-4】.（24-25高三下·北京·阶段练习）如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】已知数量积求模、数量积的坐标表示 【分析】根据平面向量数量积的计算公式和坐标表示求解即可. 【详解】因为梯形中，，，所以， 所以，解得. 以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系， 由对称性不妨设点在点左侧，设，，， 则，，， 所以， 所以当时，取得最小值， 最小值为， 故答案为：； 【变式5-5】（24-25高一下·山西·阶段练习）如图，在梯形中，，，，E、F分别为、的中点，且，P是线段上的一个动点． (1)若，求的值； (2)求的长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； （3）利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）由分别为的中点，则，， 由图可得，则， 所以. （2）由（1）可知，， 由，则， ， 可得，解得. （3）由图可得， ， ， 由，则. 【考点题型六】极化恒等式法求数量积的最值（范围）（） 【例6】（23-24高一下·福建莆田·阶段练习）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 【变式6-1】.（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）正方体的棱长为1，是正方体外接球的直径，P为正方体表面上的动点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求空间向量的数量积、用定义求向量的数量积、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用向量数量积的运算律得，进一步只需求出即可得解． 【详解】由题意等于正方体的体对角线长， 设点为球心，即点为的中点， 所以， 则 ， 当点与某个侧面的中心重合时，最小，且， 当点与正方体的顶点重合时，最大，且， 由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是， 所以的取值范围是. 故选：A. 【变式6-2】.（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取的中点可得，易得，即可求得的最小值为. 【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】.（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】设为圆心，连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】如图，为圆心，连接，则, 因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值. 所以，所以， 则，即的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型七】向量的模（） 【例7-1】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知向量，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、向量模的坐标表示 【分析】首先表示出的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 【例7-2】（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知为坐标原点，向量，，（点，，不重合）满足，，若平面内一点满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】依题意可得、、三点在以为圆心，1为半径的圆上，且是圆的直径，所以，设、的夹角为，根据数量积的运算律及定义得到，再根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】解：因为， 所以、、三点在以为圆心，1为半径的圆上， 又， 所以，所以， 所以是圆的直径， 所以， 所以， 设、的夹角为， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围是. 故选：B. 【变式7-1】.（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习）设两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．1 B．21 C． D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】由已知根据向量模和数量积的运算求解即可. 【详解】由已知得，，， 所以 . 故选：. 【变式7-2】.（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知向量，向量与向量的夹角为，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【知识点】坐标计算向量的模 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，又，所以， 根据二次函数性质，所以当时，， 故选：B. 【变式7-3】.（2025·海南·三模）在同一平面内，向量满足，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】由题意用向量的坐标运算求出的坐标，结合二次函数性质求出的最小值即可. 【详解】由题意，不妨设，则由得， 则，所以，所以， 所以当时，的最小值为3. 故选：A 【考点题型八】量的夹角（） 【例8-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）若是夹角为的两个单位向量，设，则与的夹角为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】利用数量积的运算律、向量的夹角公式求解即得. 【详解】由单位向量的夹角为，得， ， ， ， 因此，而，则， 所以与的夹角为. 故答案为： 【例8-2】（2025·甘肃·一模）已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、向量夹角的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，应用向量的夹角公式计算最后结合值域求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系，则 ，， 设，则，， ， 令，则， ， 可得， 故选:D. 【变式8-1】.（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知向量，满足，，，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】利用向量数量积的运算律、向量夹角公式计算得解. 【详解】由，，，得， ，所以. 帮答案为： 【变式8-2】.（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】建立平面直角坐标系并标点，利用向量数量积的坐标运算求夹角余弦值. 【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，    过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 故答案为：. 【变式8-3】.（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求出，向量坐标的加法运算求出再求模长即可； （2）求出、的坐标，再由向量夹角的坐标运算可得答案. 【详解】（1）， ， ； 因为， 所以； （2）由（1），， 因为， 所以， 所以 所以与的夹角的余弦值为. 【考点题型九】根据两个向量成锐角或钝角，求参数（） 【例9-1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量与的夹角为，且，．若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据数量积的运算律求出时的取值范围，排除两向量同向时的值即可得到答案. 【详解】由题意可知， ∴． ∵与的夹角为锐角，∴， 解得或． 当时，与方向相同，其夹角为，不符合题意， 故实数的取值范围是． 故答案为： 【例9-2】（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知，其中是夹角为的单位向量． (1)当，求与夹角的余弦值； (2)若与夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、向量的模 【分析】（1）根据向量夹角公式即可求得答案； （2）若与的夹角为钝角，则且不共线，即可解得的取值范围． 【详解】（1）由已知，，是夹角为的单位向量， 所以， 又，则， 所以， 又， 所以． （2）若与的夹角为钝角，则且不共线， 所以，且， ，且，所以且． 【变式9-1】.（24-25高一下·广西·阶段练习）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由向量夹角为钝角可得两向量数量积小于0且不反向，由此列出不等式求解即可. 【详解】因为向量与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是， 故选：C. 【变式9-2】.（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）已知单位向量，，夹角为，向量，，且与的夹角为. (1)求及； (2)求在上的投影向量； (3)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2) (3) 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】（1）根据与的夹角列方程求得，利用平方的方法求得. （2）根据投影向量的知识求得在上的投影向量 （3）根据向量夹角是锐角列不等式，由此求得实数的取值范围. 【详解】（1）已知单位向量，夹角为，则， ，， 将上述结果代入可得： ，两边平方可得， 即，解得（舍去）. 将代入得，则. . （2）由（1）知，，. 根据向量投影向量公式，在上的投影向量为. （3）已知，， 则，. 因为与所成的角是锐角， 则且与不共线. 解得. 若与共线，则存在实数，使得， 即，可得，解得， 所以且. 综上，实数的取值范围是. 【变式9-3】.（22-23高一下·河北石家庄·期中）已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 【考点题型十】投影向量（） 【例10-1】（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知模求数量积、求投影向量 【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可. 【详解】由，得，由， 得，则， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. 【例10-2】（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用向量数量积结合投影向量求解即可. 【详解】因为，所以 又因为，，所以 向量在向量上的投影向量为： 故选：D. 【变式10-1】.（2025·四川成都·二模）已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量、数量积的运算律 【分析】由条件化简得，利用投影向量的定义计算. 【详解】由，则，化简得， 所以在向量上的投影向量为. 故选：C. 【变式10-2】.（2025·贵州安顺·模拟预测）已知，是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果. 【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为， ∵，是夹角为的两个单位向量， ∴， ∴向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 【变式10-3】.（2025·河北秦皇岛·一模）已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标. 【详解】已知，则. 因为，根据向量垂直的性质可知，即. 将代入上式可得，即，解得. 根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为. 将，，代入可得： . 故答案为：. 【考点题型十一】新定义题（） 【例11-1】（多选）（24-25高一下·河北·阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、根据向量关系判断三角形的心 【分析】根据重心的性质推导出，结合重心的定义可判断A选项；由“奔驰定理”结合平面向量的线性运算可判断BC选项；推导出，可得出为直角，结合锐角三角函数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用平面向量的线性运算与三角形的面积比的关系，转化为“奔驰定理”判断结论即可. 【例11-2】（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量，特别地，称为零向量.设，，，定义加法和数乘：，.对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关. (1)判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由. ①，； ②，，； (2)已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由. (3)已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明： ①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零； ②如果两个等式，同时成立，其中，则. 【答案】(1)①线性无关；②线性相关；理由见解析 (2)向量，，线性无关；理由见解析 (3)①证明见解析；②证明见解析 【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、向量数乘的有关计算 【分析】（1）根据向量线性相关的定义逐一判断即可； （2）设，则，然后由条件得到即可判断； （3）①如果某个，，然后证明，，……，，，……，都等于0即可；②由可得，然后代入根据题意证明即可. 【详解】（1）对于①，设， 则可得，所以，线性无关；                           对于②设， 则可得，所以，， 可取不全为零，故，线线性相关； （2）设， 则， 因为向量，，线性无关， 所以，，， 解得， 所以向量，，线性无关； （3）①， 如果某个，，2，……，m， 则， 因为任意个都线性无关， 所以，，……，，，……，都等于0， 所以这些系数，，……，或者全为零，或者全不为零， ②因为，所以，，……，全不为零， 所以由， 可得， 代入，可得， 所以， 所以，……，， 所以 【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景考查向量的运算，解题的关键是根据所给的线性相关的定义进行运算判断. 【变式11-1】.（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】已知数量积求模、向量新定义 【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 当，时，， 此时，点的轨迹表示以点、的线段； 如下图所示： 记点、、、， 则点的轨迹为四边形， 因为，，同理可得， 故四边形为矩形，且， 所以，点的轨迹围成的图形面积为； 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 因为，要求其最大值，令， 不妨设，，于是，则， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查动点的轨迹所围成图形的面积，解题的关键在于紧扣题中的定义，分析出动点的轨迹图形，通过作出图形求解. 【变式11-2】.（2024·全国·模拟预测）在直角坐标平面内，对于向量，记．设，，为直角坐标平面内的向量，． (1)若，求； (2)设，若，求的最大值； (3)若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求cosx（型）函数的最值、平面向量线性运算的坐标表示、绝对值三角不等式 【分析】（1）由向量坐标运算及题目所给定义可得答案； （2）由绝对值不等式可得且，然后可得答案； （3）由题可设，，则，然后研究在上的值域，最后结合周期性可得答案. 【详解】（1）由题可得， 所以； （2）设，则 因为，当时取等， 因为，当时取等， 等价于且， 得，的最大值为，当且时取得； （3）由，， ， 可设，， 因， ， 则， ， 设，则以为周期， 当时，，由余弦函数单调性可得： ， ，则此时； 当时，，由正弦函数单调性可得： ， ，则此时； 当时，，由正弦函数单调性可得： ， ，则此时； 当时，，由函数单调性可得： ， ，则此时. 综上所述，当时， 因为以为周期，所以当时，， 得， 所以． 【点睛】关键点睛：对于涉及绝对值的有关问题，可利用三角不等式简化问题，也可通过平方，分类讨论去掉绝对值，还可以利用绝对值的几何意义解决问题. 【变式11-3】.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：． (1)证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之； (2)如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：； (3)如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值． 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. (3)5. 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据圆的参数方程设定的坐标，再依据题意证明即可； （2）依据新定义把的坐标表示出来再运算证明即可； （3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答. 【详解】（1）证明：设（分别为轴正方向逆时针到所成的角，且）， 则， ， 于是， 即，轴正方向逆时针到所成的角为. 故：是这样一个向量：把的模变为原来的倍，并按逆时针方向旋转角（为轴正方向逆时针到所成的角，且）. 例如，，则，，与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为，将的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转，即可得. （2）证明：记， 根据新定义，可得， 同理， 所以， 而， 所以， 故：. （3）解：设，则， ， 所以， 所以 . 设，则， 当，即时，. 【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知，是平面内的一组基底，，，，若A，B，C三点共线，则实数k的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】先求出，，再结合三点共线的定义求解即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 又因为A，B，C三点共线，所以， 即， 所以解得，． 故选：C． 2．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 3．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）三角板是一种用于几何绘图和测量的工具.如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】以B为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，作，交的延长线于点F，由向量的坐标运算求出. 【详解】以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系. 作，交的延长线于点F， 由题中数据可得，，，， 则，，. 因为，所以，则， 解得，故. 故选：B 4．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】利用向量减法，向量的数量积及向量共线的坐标表示的公式即可求解. 【详解】因为，，所以. 又与的夹角为锐角，所以，且与不共线， 则，解得，且. 即x的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高三下·广东·开学考试）中，点满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】用、作为基底表示出、，根据数量积的运算律及余弦定理得到，即可得解. 【详解】由题意可得 ， ，， 因为，所以， 即， 故，于是. 故选：C. 6．（24-25高一下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，，D为线段的中点，，E为线段的中点，F为线段上的动点，则的最大值与最小值的差为（   ）    A． B．5 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，表示各点坐标，利用平面向量的线性运算表示向量，结合平面向量的数量积运算，即可得. 【详解】如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，    由题意，，，， 设，（）， 设，（）， 由，则，， ， ， 解得，则， ，， 又， ， 因为，所以， 的最大值为，的最小值为， 的最大值与最小值的差为：4 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的坐标表示，向量的数量积平面向量数量积的坐标运算，关键是由，得出M坐标，结合平面向量的数量积运算即可. 7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（   ） A． B．3 C． D．7 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用投影向量的概念结合平面向量数量积的坐标表示及模长公式计算即得. 【详解】因向量在向量上的投影向量是， 则， 故， 于是. 故选：A 8．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理的推论 【分析】根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值. 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西榆林·阶段练习）已知是边长为1的正六边形内一点（含边界），且，，则（    ） A．的面积恒为 B．存在，使得 C． D．的取值范围是 【答案】AC 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积 【分析】根据向量共线，即可求解A，根据对称性可求解BC，根据数量积的定义求解D. 【详解】由，可得，即， 所以在正六边形的对角线上运动，所以， 所以的面积为定值，且，A正确； 因为正六边形关于直线对称，所以不论在何处，总有，B错误； 根据图形的对称性，当为的中点时，取到最大值， 当与或重合时，取到最小值，故的取值范围是，C正确； ，的取值范围是，D错误． 故选:AC． 10．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）关于平面非零向量，向量的夹角为，下列说法中正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则与的夹角为钝角 D． 【答案】BD 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量 【分析】由向量数量积的概念及投影向量的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，取， 则，显然不成立，故错误； 对于B，在向量上的投影向量为，正确； 对于C，当时，，此时与的夹角不为钝角，错误； 对于D，， 可得或，正确； 故选：BD 11．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图，在边长为6的等边中，，点在以为直径的半圆上（不含点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ABD 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】利用向量数量积的计算公式判断AB，利用向量的四则运算判断C，利用投影向量的概念判断D. 【详解】，A正确; 因为点在以为直径的半圆上，所以，所以，B正确； ，C错误； 过点作交于点，过点作交于点，易得为的中点， 因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确． 故选：ABD 三、填空题 12．（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知为内切圆的圆心，且，则 . 【答案】/ 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】取的中点，则，代入等式可证三点共线.设 ，由直角三角形的性质以及三角形相似可求出各边长，从而求出比例关系. 【详解】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知. 又，所以，即.则三点共线. 因为为的内切圆的圆心，所以. 不妨设，则. 在中，. 由，知，即，解得，且， 又，所以. 故答案为： 13．（24-25高一下·山西·阶段练习）在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、平面向量共线定理的推论 【分析】利用表示向量，再利用共线向量定理的推论求得；利用表示向量，再利用数量积的运算律求得. 【详解】在中，由，得，则， 令，又D是的中点，则， 而共线，因此，解得，所以； ，于是，所以. 故答案为：； 14．（24-25高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量加法的法则、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 四、解答题 15．（河北省保定市部分高中2024-2025学年高一下学期3月联考数学试题）如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、利用向量垂直求参数 【分析】（1）结合图形，由向量的加法和减法表示即可； （2）由平面向量的基本定理结合题意可得； （3）结合图形，由向量的加减运算与向量垂直数量积为零解方程组可得. 【详解】（1）因为，所以， 则. 因为E是线段的中点，所以. （2）证明：因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. 由（1）可知，则， 所以，所以. （3）因为，，所以. 由（1）可知，所以. 因为，，，且，所以. 由（2）可知，联立，解得，. 16．（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角的平分线与交于点，且，若，求. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【知识点】数量积的运算律、向量新定义 【分析】（1）根据题意直接代入公式运算即可； （2）①根据向量的坐标运算可得，进而可知，结合题意即可分析证明；②根据角平分线的性质结合数量积可得，且可知点为的重心，进而求，即可得结果. 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$