专题04平行四边形（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

专题04 平行四边形 4大高频考点概览 考点01多边形 考点02平行四边形的性质 考点03中心对称与图形的旋转 考点04平行四边形的判定 一、选择题地 城 考点01 多边形 1.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，以四边形边长均大于的四个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 3.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．边数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 4.（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级下·浙江·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）六边形的内角和为______． 7.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形． 8.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 9.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为__________． 10.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，，则的度数为_______． 11.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一个四边形，它的外角和的度数是______． 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 三、解答题 13.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 一、选择题地 城 考点02 平行四边形的性质 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在边上，，为中点，，记长为，长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 3.（20-21八年级下·浙江杭州·期中）如图1，的对角线交于点O，的面积为120，．将合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则（　　） A．29 B．26 C．24 D．25 4.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长为（   ） A． B．5 C． D．8 5.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上， ，分别交于点P、Q，过点P作 ，分别交于点M、N，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 6.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点F是上一个动点，以为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（   ） ①的面积先由小变大，再由大变小     ②的面积始终不变 ③线段最小值为8 A．① B．② C．①③ D．②③ 二、填空题 7.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点，，且，则的长为_____________． 8.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 9.（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，若，则____，____． 10.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 11.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，平分交于点E，若，则______度． 12.（22-23八年级下·浙江宁波·月考）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 三、解答题 13.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图（1），在四边形中，，，，有动点P从A点出发，在线段上以的速度向点D运动，有动点Q同时从C点出发，在线段上以的速度向点B运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，t的取值； (3)如图（2），取中点E，中点F，连接，请求出使的时间t； 14.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图所示，在中，是对角线，作于点，于点． (1)求证： (2)若，，时，求的周长． 一、选择题地 城 考点03 中心对称与图形旋转 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·浙江温州·期中）下列图形中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为___. 三、解答题 5.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 6.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，已知A，B，P三个格点，请按要求画出格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个中心对称图形，使为其一边，点P在图形的内部（不在边界上） (2)在图2中画一个平行四边形，使为其一条对角线，且另一条对角线经过点P． 7.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 8.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在等边中，，点P、Q分别是边上的动点，满足，以为邻边作平行四边形，分别交 于点E，F，设． (1) （用含m的代数式表示）； (2)当平行四边形的面积为时，求m的值； (3)如图2，连接，线段点绕Q点顺时针旋转得到，若点落在的内部（不包括边界）时，则m的取值范围为 ． 9.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的对称中心在原点O． (1)在如图直角坐标系中画出这个平行四边形； (2)的周长为 ． 10.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 11.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． (1)在图1中画一个，使； (2)在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的； (3)图2中的面积为_______． 一、选择题地 城 考点04 平行四边形的判定 1.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 2.（18-19八年级下·浙江台州·期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作的中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A．甲正确，乙错误 B．甲、乙均错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙均正确 3.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4.（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 三、解答题 5.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，E、F分别是边、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 6.（21-22八年级下·浙江温州·期中）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 7.（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，E是上一点，连结，作，交于点F． (1)求证：． (2)连结，已知，，当时，求的长． 9.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的一条对角线，点、在上． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求长． 10.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，两条对角线，相交于点O，E是的中点，连结并延长至点F，连结，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的面积． 11.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，． (1)求证：． (2)当，且时． ①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长． ②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 12.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 13.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F． (1)当点D为中点时，线段________． (2)如图2，作交AB于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，=________． 14.（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，是的对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 15.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，E是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图. (1)直接写出边的长=_______； (2)在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使得. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行四边形 4大高频考点概览 考点01多边形 考点02平行四边形的性质 考点03中心对称与图形的旋转 考点04平行四边形的判定 一、选择题地 城 考点01 多边形 1.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图，以四边形边长均大于的四个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的内角和等于的性质．根据平行四边形的内角和等于可知，图中阴影部分的面积正好等于一个圆的面积，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵平行四边形的边长均大于2，各弧的半径都是1，四边形的内角和为， ∴图中阴影部分的面积等于一个圆的面积， 即． 故选：A． 2.（24-25八年级下·浙江温州·期中）学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（    ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据多边形内角和公式可得出，解出n即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意可知：， 解得：， 则这个花坛应设计成七边形， 故选：A 3.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）一个多边形剪去一个角后得到一个新的多边形，则关于这两个多边形，下列量中一定没有发生变化的是（    ） A．边数 B．内角和度数 C．对角线条数 D．外角和度数 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和，外角和，对角线条数等问题，熟知多边形外角和都为360度是解题的关键．根据多边形外角和一定为360度即可得到答案． 【详解】解：∵一个多边形去掉一个角后得到的多边形可能边数增加，也有可能边数减小，也有可能不变， ∴内角度数，内角和度数，对角线条数都可能会发生变化， 又∵多边形外角和度数都为360度， ∴外角和度数一定不会发生变化， 故选：D． 4.（24-25八年级下·浙江·期中）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和定理，外角和定理列出方程，然后解方程即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 根据题意得：， 解得：， 故选：． 5.（24-25八年级下·浙江·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 6.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）六边形的内角和为______． 【答案】 【分析】将六边形的边数代入多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：六边形的边数，代入公式得：． 7.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和为，则这个多边形是______边形． 【答案】十三 【分析】本题考查了多边形的内角和：，其中为多边形的边数，且为正整数，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．根据多边形的内角和公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得， 所以这个多边形是十三边形， 故答案为：十三． 8.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，剪去得到一个四边形，则的度数为______． 【答案】/250度 【分析】本题考查多边形的内角和问题，先根据三角形的内角和定理求得，再根据四边形的内角和为求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和为，则它的边数为__________． 【答案】5 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据内角和的计算公式和外角和为360度，设边数为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设边数为，由题意，得：， 解得：； 故答案为：5． 10.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，，则的度数为_______． 【答案】90 【详解】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握多边形的内角和公式． 先根据多边形的内角和公式求出四边形的内角和，从而根据已知条件求出即可． 【解答】解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵， ∴， 故答案为：90． 11.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一个四边形，它的外角和的度数是______． 【答案】/360度 【分析】本题考查四边形的外角和，数学基本常识：任意一个多边形的外角和都是，熟记这一常识性知识是解决问题的关键． 【详解】解：一个四边形，它的外角和的度数是， 故答案为：． 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州八卦田遗址曾是南宋皇家籍田的遗址，遗址的外圈可以看成是一个八边形，则这个八边形的外角和为_____． 【答案】/360度 【分析】本题考查多边形的外角和，根据n边形的外角和为即可求解． 【详解】解：八边形的外角和为． 故答案为： 三、解答题 13.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 一、选择题地 城 考点02 平行四边形的性质 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，在平行四边形中，平分，交于点平分，交于点E，若，，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】分别可证、为等腰三角形，得到、的长，进而得到，再根据计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， 又、分别是和的角平分线， ∴，． 又， ∴， 是等腰三角形，即． 同理可证是等腰三角形． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 2.（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，点在边上，，为中点，，记长为，长为．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接并延长，交的延长线于点G，过点A作于点H，由题意易得，然后可得，则有，进而可得，设，则有，，最后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：连接并延长，交的延长线于点G，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， 设，则有，， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴①，②， 由①可得：，②化简得：， 把代入得：， ∴； 故选：D． 3.（20-21八年级下·浙江杭州·期中）如图1，的对角线交于点O，的面积为120，．将合并（A与C、D与B重合）形成如图2所示的轴对称图形，则（　　） A．29 B．26 C．24 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及图形的对称问题，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．由题意可得对角线，且与平行四边形的高相等，进而利用面积与边的关系求出边的高即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴垂直平分， 则对角线，且与平行四边形的边上的高相等． ∵平行四边形的面积为120，， ∴图1中，图2中， ， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 4.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，对角线，交于点O，，若，，则的长为（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质及勾股定理是解题的关键． 由平行四边形的对角线互相平分得到，再由勾股定理即可求出，进而在中即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴在中，． 故选：C 5.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上， ，分别交于点P、Q，过点P作 ，分别交于点M、N，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得，，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【详解】解：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴的面积的面积， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的面积的面积， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积， 故选：B． 6.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，点F是上一个动点，以为邻边作另一个，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（   ） ①的面积先由小变大，再由大变小     ②的面积始终不变 ③线段最小值为8 A．① B．② C．①③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，据此可判断①②；过点C作于点G，连接交于H，可证明是等腰直角三角形，得到，由勾股定理可得，由，可得当时，有最小值，由平行四边形的性质可得，据此可判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的面积始终不变，故①错误，故②正确； 如图所示，过点C作于点G，连接交于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴当时，有最小值， ∵， ∴ ∴线段的最小值为，故③错误； 故选：B． 二、填空题 7.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）已知平行四边形中，，，的平分线，分别与边交于点，，且，则的长为_____________． 【答案】或 【分析】利用平行四边形的性质得到，，，根据角平分线的定义，结合平行线的性质得到，由等角对等边得到，同理得出，分两种不同位置情况计算的长即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴ 如图，当点在点、之间时， ∵， ∴； 综上所述，的长为或． 8.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知平行四边形，在平面直角坐标系中，，直线与分别相交，且将平行四边形的面积分成相等的两部分，则k的值是______． 【答案】 【分析】由题意得到的中点为平行四边形的对角线的交点，求出交点坐标，再根据直线将的面积分成相等的两部分，得到直线经过点，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形为平行四边形， ∴的中点为平行四边形的对角线的交点， ∵， ∴平行四边形的对角线的交点坐标为， ∵直线将的面积分成相等的两部分， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 9.（21-22八年级下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，若，则____，____． 【答案】 /度 /度 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补得到与的数量关系，结合已知的角度差联立方程即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 10.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】解决问题的关键是找到当四边形是平行四边形及四边形是平行四边形时的两种情况作图进行分类讨论． 11.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，平分交于点E，若，则______度． 【答案】72 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理．由角平分线得到，再由平行四边形的性质得到，从而，因此，根据三角形的内角和有，即可求得，进而，最后根据平行四边形的对角相等即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 故答案为：72 12.（22-23八年级下·浙江宁波·月考）如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则_________． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、折叠的性质、平行线的性质，由平行四边形的性质得，，再由由折叠的性质得，，，，根据平行线的性质得，进而得，再根据，利用等量代换求得，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图（1），在四边形中，，，，有动点P从A点出发，在线段上以的速度向点D运动，有动点Q同时从C点出发，在线段上以的速度向点B运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是t秒． (1)_______，_______（用含t的代数式表示）； (2)求当四边形和四边形其中一个是平行四边形时，t的取值； (3)如图（2），取中点E，中点F，连接，请求出使的时间t； 【答案】(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，列代数式，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，以及线段之间的和差关系，列出代数式即可； （2）分四边形是平行四边形以及四边形为四边形，两种情况，根据平行四边形的对边相等，列出方程进行求解即可； （3）延长交于，延长交于，根据时，得到四边形为平行四边形，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）依题意， 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：， 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得：； 综上：或； （3）延长交于，延长交于 的中点为中点为， ， ， ， ， ， 同理可得， 当时，四边形为平行四边形，则， 即， ； 解得：． 14.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图所示，在中，是对角线，作于点，于点． (1)求证： (2)若，，时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等. （1）由平行四边形对边平行且相等可得且，进而可证明； （2）由 可得，由勾股定理分别求出即可. 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴且，       ∴，                   ∵， ∴，      ∴， （2）解：由（1）得 ， ∴，      ∵ ∴. ， ∴的周长为 一、选择题地 城 考点03 中心对称与图形旋转 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】“中心对称图形是把一个图形绕着某一个点（即对称中心）旋转后，能够与原图完全重合”，据此判断即可． 【详解】解：A选项中的图形不是中心对称图形； B选项中的图形是中心对称图形； C选项中的图形不是中心对称图形； D选项中的图形不是中心对称图形． 2.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 3.（23-24八年级下·浙江温州·期中）下列图形中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义：一个图形绕某个点旋转180度后能够与原图形完全重合，该图形是中心对称图形．即可判断． 【详解】解：A、它是中心对称图形，符合题意； B、它不是中心对称图形，不符合题意； C、它不是中心对称图形，不符合题意； D、它不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 二、填空题 4.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则点关于原点对称的点的坐标为___. 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式及关于原点对称的点的坐标特征，利用判别式，求出的值是关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，判别式，得出关于的方程，求出的值，进而确定点的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征进行解答即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得， ∴ ∴点 则关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 5.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）成中心对称的两个图形的对应点的连线交于一点，据此连接，二者的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，该对称点的坐标是． 6.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，已知A，B，P三个格点，请按要求画出格点图形（顶点均在格点上）． (1)在图1中画一个中心对称图形，使为其一边，点P在图形的内部（不在边界上） (2)在图2中画一个平行四边形，使为其一条对角线，且另一条对角线经过点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）以为边作出平行四边形即可； （2）取的中点，过该中点与点P作线段，且线段被平分，则得到四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）解：如图，四边形为平行四边形，是中心对称图形，为所求． （2）解：如图，为所求． 7.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中的顶点坐标分别是，，，以点为旋转中心，将顺时针转动，得到，在坐标系中画出，并写出、、的坐标． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查了画旋转图形、点坐标的旋转变换，熟练掌握画旋转图形是解题关键．先根据旋转的定义画出旋转图形，再据此写出点的坐标即可得． 【详解】解：由题意，画出如下： 则． 8.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在等边中，，点P、Q分别是边上的动点，满足，以为邻边作平行四边形，分别交 于点E，F，设． (1) （用含m的代数式表示）； (2)当平行四边形的面积为时，求m的值； (3)如图2，连接，线段点绕Q点顺时针旋转得到，若点落在的内部（不包括边界）时，则m的取值范围为 ． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）由，可得，根据等边三角形的性质得到的长，再根据，即可得出答案； （2）过点Q作于H，可求出，则， ，根据平行四边形的面积为，建立方程求解即可； （3）对点的位置进行分类讨论，可得当时，与重合，利用的直角三角形的性质可得，解得；当点在上，时，可得，解得，据此可得答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：如图，过点Q作于H， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵，平行四边形的面积为， ∴，即， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 综上，m的值是2； （3）解：如图3，当时，与重合， ， ∴， ， ∴， 解得； 如图4，当点在上，时， 由旋转的性质可得， 同理可得， ∴， ∴， ∴ 解得， ． 9.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中，的对称中心在原点O． (1)在如图直角坐标系中画出这个平行四边形； (2)的周长为 ． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）根据，结合的对称中心在原点O．确定，描点画图即可； （2）利用勾股定理，结合平行四边形的性质解答即可． 本题考查了平行四边形的中心对称性质，性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 又的对称中心在原点O． 故，画图如下： （2）解：由图可知：， ∴▱ABCD的周长为． 故答案为：． 10.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为． (1)求点的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动，一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束．设点运动的时间为秒（）． 求当时，的面积是多少？ 求当为何值时，的面积是平行四边形的一半？（请直接写出答案） 【答案】(1)点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2) ； ． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）根据平行四边形性质可得，由点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； （）由题意得，，由上可知，，，然后通过即可求解； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合，根据动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为，即； （2）解：根据题意得：当时，点坐标为，， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴为中点， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点坐标为，即， ∵， ∴； 由题意，要使的面积是平行四边形的一半，则需与重合， ∵动点从点出发，沿方向以每秒个单位的速度向终点匀速运动， ∴， ∴， ∵一点到达终点时另一点继续运动到达终点结束， ∴． 11.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，在的正方形网格中，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了利用旋转设计图形，根据中心对称图形的定义即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：依题意可得，选取一个白色的单位正方形并涂上阴影，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，如图： 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图． (1)在图1中画一个，使； (2)在图2中画一个以点O为对称中心，A，B为顶点的； (3)图2中的面积为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)6 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及网格作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． （1）根据网格特点画出，再作平行四边形即可； （2）根据中心对称，做出对称点即可作出平行四边形； （3）根据平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）如图所示即为所求； （3）的面积为 一、选择题地 城 考点04 平行四边形的判定 1.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．∥，∥ C．， D．∥， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 2.（18-19八年级下·浙江台州·期末）如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是_____． 甲：连接，作的中 垂线交于， 则四边形是菱形． 乙：分别作与的平分线，分别交于点，交于点，则四边形是菱形． A．甲正确，乙错误 B．甲、乙均错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙均正确 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据甲的作法作出图形，首先证明，可得，其次根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，可判断四边形是菱形；根据乙的作法作出图形，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，再由角平分线的定义和平行线的性质可得，可判断四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：根据甲的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故甲的作法正确； 根据乙的作法作出图形，如下图所示. ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， 故乙的作法正确； 综上所述，甲、乙均正确， 故选：D． 3.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）在四边形中，，添加下列条件后，能使四边形为平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方有：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， A选项：已知，添加， 一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形， 故A选项不符合题意； B选项：， ， 添加， 只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：已知，添加， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四形，可知四边形是平行四边形， 故C选项符合题意； D选项：， ， ， ， 只有一组对边平行，不能说明四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题 4.（23-24八年级下·浙江温州·期中）图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了______． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 三、解答题 5.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）如图，已知中，E、F分别是边、的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，从而可得，然后根据平行四边形的判定即可得证； （2）先根据线段中点的定义可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，根据平行四边形的周长公式即可得四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 分别是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：是中点，且， ， ， ∴是等边三角形， ， 由（1）已证：四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为． 6.（21-22八年级下·浙江温州·期中）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 7.（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质， （1）证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）根据平行线的性质可得答案； 掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：由（1）知：， 又∵， ∴， 即的度数为． 8.（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，E是上一点，连结，作，交于点F． (1)求证：． (2)连结，已知，，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）证明四边形是平行四边形，得到，由中，，即可根据线段的和差得证结论； （2）设，则，根据勾股定理得到，，从而，代入数值即可求出，从而根据平行四边形的对边相等即可解得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，， ∴， 即． （2）解：设，则， ∵， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴在中，． 9.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，是的一条对角线，点、在上． (1)若，求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接交于点O，首先根据平行四边形的性质得到，，然后求出，即可证明出四边形是平行四边形； （2）过点D作交的延长线于点G，求出，，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，连接交于点O ∵四边形是平行四边形 ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）如图所示，过点D作交的延长线于点G ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 10.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，两条对角线，相交于点O，E是的中点，连结并延长至点F，连结，使，连结． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理得到，，根据平行四边形的判定定理得到结论． （2）根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到，求得，再根据平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在平行四边形中，为底，为高， ∴的面积． 11.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连结，，． (1)求证：． (2)当，且时． ①如图2，若， ，三点共线，求四边形的周长． ②如图3，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）利用平行四边形对角线性质和对称点性质，通过等腰三角形等边对等角证明角相等； （2）①根据对称性质、等腰直角三角形判定及性质，结合平行四边形判定与性质求周长；②通过作平行线构造平行四边形，利用角度关系、中点性质设未知数，结合勾股定理求解边长，进而求面积 ． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵点与关于对称， （2）①，A，三点共线，且点与关于对称， ， ，， 为等腰直角三角形，根据勾股定理可得： ，， ∴ 四边形是平行四边形 ∵ ， ∴是正方形 ，. ②过点作的平行线，交，分别于点E，F； ∵点关于的对称点为点 ∴ ∵， ∴ ∴ 由∵ ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴为等腰的边中点， ∴为中点，为中点， ∵ ∴ 则 ∴ ∵， ∴， 设，则， 在Rt中，， 解，得 ， 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等腰三角形性质、等腰直角三角形判定与性质、勾股定理及对称性质，熟练掌握这些性质定理，灵活运用判定与性质进行推理、计算是解题的关键． 12.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，点在上，作交于点，延长至点使得，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形定义“两组对边平行的四边形是平行四边形”，证明，即可证明； （2）根据平分，，可证，在中，根据勾股定理可得，即可求得面积． 【详解】（1）证明：， 又， 四边形是平行四边形 （2）平分，，， ， ，且，， 在中，. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质和判定，勾股定理的应用，主要在于熟练掌握各个知识点的衔接. 13.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图1，在中，．点D是边上的动点，连结，将绕点A旋转至，使点C与点B重合，连结交于点F． (1)当点D为中点时，线段________． (2)如图2，作交AB于点G，连结交于点H．求证：四边形是平行四边形； (3)在（2）的条件下： ①若，求的度数； ②连接，当时，=________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，垂直平分，再由，可得，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得，再结合旋转的性质可得，从而得到，再由，可得到，从而得到，即可求证； （3）①设，则，可得，再结合旋转的性质以及等腰三角形的性质可得，再根据，可得，即可求解；②连接交于点M， 根据平行四边形的性质可得，，从而得到，设，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴，垂直平分， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：①设，则， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； ②连接交于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点A旋转至，使点C与点B重合， ∴， 设，，则，． ∴． 故答案为：．时，=_ 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行四边形的性质与判定，平行线之间的距离相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14.（24-25八年级下·浙江丽水·期中）如图，是的对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）根据四边形是平行四边形得，，再证明，得，可得，，即可得，，即可证明； （2）根据题意得，，在中，利用勾股定理可得，，，再利用平行四边形的面积公式即可计算． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形，， ， ，， 在中，， ， ，， ． 15.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图是由的小正方形组成的网格，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，图中的三个顶点都是格点，E是上一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图. (1)直接写出边的长=_______； (2)在图中画格点，使四边形是平行四边形；再在线段上画点，使得. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识． （1）过点作于点，构造直角，利用勾股定理可以求出答案； （2）作格点使且，连接，四边形是平行四边形；连接、交于点，连接并延长，交于点即可． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 由网格图可知，，， ， 故答案为：； （2）如图，格点，点即为所求， 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $