专题02二元一次方程（期中真题汇编，浙江专用）八年级数学下学期新教材浙教版

专题02 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01一元二次方程的概念 考点02解一元二次方程 考点03 一元二次方程根与系数的关系 考点04一元二次方程的应用 一、选择题地 城 考点01 一元二次方程的概念 1.（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．根据一元二次方程的解的定义可得，从而得到，再由完全平方公式计算，即可求解． 【详解】解：∵m是关于x的一元二次方程的根， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故选：D 2.（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．14 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义．把代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2， ∴， 解得：． 故选：D 3.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用根的定义得到关于的等式，再对所求式子进行变形求值． 因为是方程的根，所以将代入方程可得，变形得到，再将其代入所求式子进行计算． 【详解】已知是方程的一个根，把代入方程中， 根据方程根的定义，方程左右两边相等，可得： ，移项得到， 对于式子，可变形为， 把代入变形后的式子： 所以的值是2025， 故选：C． 4.（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后“；“一个未知数“；“未知数的最高次数是2“；“二次项的系数不等于0“；“整式方程“． 利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】A、方程是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义； B、方程含两个未知数和，属于二元二次方程，不符合“一元”条件； C、方程中，为分式，不是整式方程，因此不符合要求； D、方程中，未知数的最高次数为1，属于一元一次方程． 故选：A． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：A． 是代数式，不是方程，排除． B． 是一元一次方程，最高次数为1，排除． C． 可整理为 ，符合一元二次方程的定义． D． 含有两个未知数和，是二元二次方程，排除． 故选：C 6.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，然后找出常数项即可．解题的关键是掌握：一元二次方程的一般形式是，它的特征是等号左边是一个关于未知数的二次多项式，等号右边是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项． 【详解】解：原方程移项得， 此时常数项为． 故选：D． 二、填空题 7.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 8.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程的一个解为0，则的值为____________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，则可推出，将代入原方程得到关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，即． 是该一元二次方程的一个解， 将代入方程得，． 解得（舍去）或． ． 9.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，将代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解该方程即可得到的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 整理得：， 解得：． 10.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 把代入方程，得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：． 11.（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程的一个根为，求______． 【答案】 【分析】本题考查方整式求值，熟练掌握整体代入法是解题关键． 由题目可知 满足方程 ，得到 ，整理表达式即可求解． 【详解】解：因为方程 的一个根为 ， 所以 满足方程 ，即 ， 所以 故答案为： 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程的一个解为，则________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，据此将代入方程，得到关于m的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的一个解为， ∴， ∴， 故答案为：． 13.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 【答案】， 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 三、解答题 15.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 一、选择题地 城 考点02 解一元二次方程 1.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 【答案】D 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一般形式确定a，b，c的值即可． 【详解】解：方程移项整理，得， 则，，． 2.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】由方程的解结合线段的和差可以得到答案． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 线段的长是的根． 3.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 【答案】A 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0列方程求解即可. 【详解】解：∵ 一元二次方程 有两个相等的实数根， ∴ ， 其中 ，，，代入得： ， 解得 或 . 4.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）把方程配方转化成的形式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照配方法步骤整理方程，即可得到对应结果． 【详解】解：∵原方程为 ． 移项得 ． 根据配方法，方程两边需加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数为，一半的平方为． ∴方程两边同时加，得 ． 整理得 ． 因此正确结果为A选项． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据关于x的一元二次方程，方程的根的判别式解答即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵方程，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 二、填空题 6.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 【答案】0或 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 7.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是__________． 【答案】， 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 8.（19-20八年级下·浙江温州·期中）已知：，那么_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，设，将已知方程转化为关于的新方程，通过解新方程得到即的值． 【详解】解：设，则． 整理，得． 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：5． 9.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程换元法，利用关于的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 关于的方程的解是，， 或， ，， 方程的解为和． 故答案为：，． 三、解答题 10.（21-22八年级下·浙江金华·期中）请用适当的方法解下列方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴； （2）解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 11.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）用一元二次方程求根公式即可计算求解； （2）用直接开平方法，先移项再开方即可得到结果． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：， ， ， ，， ∴，． 12.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴或， 解得：，． 13.（21-22八年级下·浙江温州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 移项，得， 两边同时加上4，得 即 开平方，得 解得：； （2）， 方程左边分解因式，得 即， 所以或， 解得：． 14.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)5或7 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得证； （2）先判断出是关于的一元二次方程的一个根，代入可得一个关于的一元二次方程，解方程可得的值，然后根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系进行检验即可得． 【详解】（1）证明：∵关于的一元二次方程的根的判别式为 ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）解：由（1）已证：这个方程有两个不相等的实数根， ∵等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7， ∴是关于的一元二次方程的一个根， ∴， 整理得：， 解得或， ①当时，这个一元二次方程为， 解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意； ②当时，这个一元二次方程为， 解得或，此时等腰三角形三边的长分别为，符合题意； 综上，的值为5或7． 15.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）利用一元二次方程根的判别式即可得； （2）分①长为7的边是等腰的腰和②长为7的边是等腰的底边两种情况，再结合三角形的三边关系定理、利用一元二次方程根的定义求解即可得． 【详解】（1）证明：∵方程根的判别式， ∴该方程总有两个实数根 （2）解：由题意，分以下两种情况： ①当长为7的边是等腰的腰时， 则7是方程的一个根， 因此有， 解得：， 方程为， 解得或， 等腰的三边长分别为，符合题意； ②当长为7的边是等腰的底边时， 则，即方程有两个相等的实数根， 则 ∴， 方程为，解得， 此时等腰的三边长分别为，不满足三角形的三边关系定理，舍去， 综上， 一、选择题地 城 考点03 一元二次方程根与系数的关系 1.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再通过完全平方公式变形将所求式子转化，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得，， 又∵， ∴代入得． 2.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；②若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；④已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对四个说法逐一用一元二次方程根的定义、根的判别式、根与系数的关系验证，统计正确说法的个数即可． 【详解】解：①∵是方程的根， ∴把代入方程得， 提取公因式得， ∵， ∴，即，故①正确； ②∵是一元二次方程，故， 当， 若，则，可得，即； 若，则，，若，则得，此时， 因此一定大于0，方程一定有两个不相等的实数根，故②正确； ③∵是一元二次方程，故， ∵， ∴， ∵，，故，方程一定有两个不相等的实数根，故③正确； ④对，，两边同除以得， 又，即，故和是方程的两个不相等实数根， ∴，， 则， 故④错误； 综上，正确的说法共3个． 3.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（   ） A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据解方程，根的判别式，二次根式的化简解答即可． 本题考查了解方程，根的判别式，二次根式的化简，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】解：①时，是一元一次方程，根为；关于的方程且时，有两个实数根，故，本题结论错误，不符合题意； ②根据，得。故，本结论正确，符合题意； ③，则方程一定无解，故本结论错误，不符合题意； ④根据方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 正确，符合题意． 故选：C． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 二、选择题 6.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入求值式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴由根与系数的关系，得 ，． 则 ． 故答案为：2． 7.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为_____ 【答案】 【分析】题考查了根的判别式和根与系数的关系，一次函数的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据题意得出，，解得：，将，代入函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵关于的一定二次方程，有两个实数根． ∴， 解得： ∴ ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值为 故答案为：． 8.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 9.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或， ，， ， 故②不正确；     ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 10.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据方程的解得到，根与系数的关系，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：0． 11.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系先求出，的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． (1)判断关于的方程是不是倍根方程___________（是或不是） (2)若关于的方程是倍根方程，则___________． (3)关于的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根． 【答案】(1)是 (2)或 (3)和 【分析】（1）利用因式分解法求得方程的解，根据“倍根方程”的定义即可判断； （2）利用因式分解法解方程，再利用“倍根方程”的定义得到或，即可得到结果； （3）利用“倍根方程”的定义设，根据，利用根与系数的关系得到，即可求出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴方程是倍根方程； （2）解：∵， ∴，， 当时，； 当时，； （3）解：∵方程是倍根方程， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 13.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)根为2，，不是邻根方程 (2)或 (3) 【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 15.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 一、选择题地 城 考点04 一元二次方程的应用 1.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 2.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵月平均上升率为，月初人数为， ∴月初人数为， ∴月初人数为， ∵月初人数为， ∴可得方程． 3.（23-24八年级下·浙江温州·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用；设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据“第一年共植树400棵，第三年共植树676棵”列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 即x的值为． 故选：B． 4.（24-25八年级下·浙江温州·期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为，由题可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及年均增长率问题．根据题意，2023年至2025年共两年，年均增长率为x，则两年后的总人数为初始人数乘以． 【详解】解：2023年到2025年共经过2年，故增长次数为2次， 设年均增长率为x，则2025年人数为，根据题意，该值等于6050，即 故选：A 二、填空题 5.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）某音乐播放器原来每个售价元，经过连续两次降价后，现在每只售价为元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______． 【答案】 【分析】根据平均每次降价百分率依次表示出两次降价后的价格，结合已知现售价找到等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知原价为元，平均每次降价的百分率为， 根据降价过程，第一次降价后的价格为， 第二次降价在第一次降价后的价格基础上降价，因此第二次降价后的价格为， 因此可列方程为：． 三、解答题 6.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售数量即可； （）设每件商品降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：根据题意得：若降价元，则平均每天的销售数量为件； （2）解：设每件商品降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件盈利不少于元， ∴，解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 7.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． (1)求平均每次降价的百分率． (2)为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 【答案】(1)． (2)每件应降价36元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次降价的百分率为x，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应降价元，由题意得方程，进而求解． 【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：平均每次降价的百分率为． （2）解：设每件应降价元，则每天可售出件， 依题意，得， 解得：，． 要尽快减少库存， ． 答：每件应降价36元． 8.（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 【答案】任务一：15600 任务二：； 任务三：100 【分析】本题考查了列代数式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程． 任务1：根据题意“当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元”列出算式即可求解； 任务2：设镇流器补进件，根据题意列出代数式即可求解； 任务3：根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：依题意，镇流器补进90件，学校补进镇流器和灯管共元， 答：若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共15600元； 任务2：设镇流器补进件，若，则补进镇流器的单价为（元）， 补进灯管的总价为：（元）， 故答案为：；． 任务3：依题意，， 解得， ， ， 答：补进镇流器100件． 9.（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 10.（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为 (2)该零部件的实际售价应定为元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该零件的售价元/个，根据题意列出方程，解方程，再结合要尽可能让购买方得到实惠，确定的值，即可． 【详解】（1）解：设该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得， 解得或（舍去）， 故该工厂月份到月份生产数量的平均增长率为． （2）解：设该零部件的实际售价元/个，则每个的销售利润为元，此时月销售量将减少个，则月销售量为个， 由题意得， 解得，， ∵要尽可能让消费者得到实惠， ∴， 故该零部件的实际售价应定为元． 11.（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 【答案】任务1∶120元；任务2：150元；任务3：见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，二次函数的实际应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． 任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意，列出方程，即可求解； 任务2：根据题意，列出方程，即可求解； 任务3：设所获利润为w元，根据题意列出w关于x的函数关系式，求出当时，根据保证日销售利润不低于3030元，可得到m的取值范围，即可求解． 【详解】解：任务1：设每只龙泉青瓷茶杯的进价为a元，根据题意得：， 解得：， 即每只龙泉青瓷茶杯的进价为120元； 任务2：根据题意得：， 整理得： 解得：， ∵每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售， 所以该日每只茶杯的售价为150元； 任务3：设所获利润为w元，根据题意得： 当时，， ∵保证日销售利润不低于3030元， ∴， 解得：， ∵且m为整数， ∴m取2， 当时，日捐款总额为元； 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 160 2 160 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 【答案】(1)； (2)单价应定为8元或12元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握利润、进价、售价、销量的关系是解题的关键． （1）根据利润售价进价和“水果的单价每提高1元/千克．该水果店每天就会少卖出20千克”填空； （2）根据总利润等于每千克利润乘以销量，由此列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：每千克水果的利润：（元）， 每天的销售量：（千克）， 故答案为：，； （2）解：由题意知， ． 化简得：． 解得，． （元），（元）， 答：单价应定为8元或12元． 13.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 2025年4月23日是第三十个世界读书日，学校计划购买文学和科普两类图书，已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元． 素材2 为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）． 问题解决 任务1 预计购买数量 如果每本文学类图书的单价量25元，则至少购买文学类图书多少本 任务2 拟定购买方案 如果学校购进两类图书共120本，用去购书款3948元，求购进文学类图书多少本？ 【答案】任务1：如果每本文学类图书的单价量25元，则至少购买文学类图书本 任务2：购进文学类图书本 【分析】本题主要考查不等式，一元一次方程，一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 任务1：设购买文学类图数本，根据题意得到当单价为25时的数量，结合题意即可求解； 任务2：设购进文学类图书有本，则科普类图书有本，根据题意，分类讨论即可． 【详解】解：任务1：设购买文学类图数本， ∴， 解得，， ∵超过一定的购买数量后，单价保持25元不变， ∴如果每本文学类图书的单价量25元，则至少购买文学类图书本； 任务2：设购进文学类图书有本，则科普类图书有本， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 整理得，， ∴， 解得，，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 综上所述，购进文学类图书本． 14.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． (2)在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ (3)该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1)14000 (2)降价30元 (3)不能达到，见解析 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出一元二次方程是解题的关键： （1）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出算式进行计算即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可； （3）利用总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：14000； （2）要使每天销售饮料获利14400元，每箱应降价元，依据题意列方程得， ， 整理得， 解得； 要求每箱饮料获利大于80元， ， 答：每箱应降价30元，可使每天销售饮料获利14400元； （3）， 整理得， ， 方程无解， 答：每天销售饮料获利不能达到15000元． 15.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键； （1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克核桃应降价元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01一元二次方程的概念 考点02解一元二次方程 考点03 一元二次方程根与系数的关系 考点04一元二次方程的应用 一、选择题地 城 考点01 一元二次方程的概念 1.（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知m是关于x的一元二次方程的根，且，，则的值为（   ） A． B． C．0 D． 2.（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．14 3.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的方程的一个根，则的值是（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 4.（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 6.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的一元二次方程（二次项系数为正数 ）的常数项为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 8.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）若关于的一元二次方程的一个解为0，则的值为____________． 9.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）已知是方程的一个根，则的值为______． 10.（24-25八年级下·浙江温州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 11.（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程的一个根为，求______． 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的方程的一个解为，则________． 13.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是________． 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 三、解答题 15.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 一、选择题地 城 考点02 解一元二次方程 1.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，，5 B．1，，5 C．1，5， D．1，， 2.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，则下列线段的长度是方程的一个根的是（    ） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 3.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）已知一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（   ） A．0或 B．0 C．8 D．无解 4.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）把方程配方转化成的形式，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 二、填空题 6.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 7.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是__________． 8.（19-20八年级下·浙江温州·期中）已知：，那么_________． 9.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于的方程的解是，，（，，均为常数，），则方程的解是___． 三、解答题 10.（21-22八年级下·浙江金华·期中）请用适当的方法解下列方程 (1) (2) 11.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）解方程： (1) (2) 12.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 13.（21-22八年级下·浙江温州·期中）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 14.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形两边的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为7，求的值． 15.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)已知等腰的一边长为7，若恰好是另外两边的边长，求的值． 一、选择题地 城 考点03 一元二次方程根与系数的关系 1.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）设，是一元二次方程的两个根，则（        ） A． B． C． D． 2.（21-22八年级下·浙江宁波·期中）下列说法：①若一元二次方程有一个根是，则代数式的值是；②若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；③若，则关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根；④已知两实数，满足，，且，则的值为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 4.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）下列给出的四个命题： ①关于的方程有实数根，则满足且； ②若，则； ③若，则方程一定无解； ④若方程的两个实根中有且只有一个根为0，那么，． 其中是真命题是（   ） A．①② B．②③④ C．②④ D．①②④ 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 二、选择题 6.（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程的两根为，则的值为________． 7.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一定二次方程，有两个实数根．设则的最大值为_____ 8.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则_________． 9.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有__________(填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 10.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为_______． 11.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）设，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为___________． 三、解答题 12.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）如果关于的一元二次方程（不为0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，我们称这样的方程为倍根方程． (1)判断关于的方程是不是倍根方程___________（是或不是） (2)若关于的方程是倍根方程，则___________． (3)关于的一元二次方程（不为0）是倍根方程，且，请求出此方程的两个根． 13.（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 15.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 一、选择题地 城 考点04 一元二次方程的应用 1.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 2.（21-22八年级下·浙江绍兴·期中）随着体育节的开展，浣江初中八年级学生关注篮球比赛的人数由月初的人，上升到月初的人，设月至月关注篮球比赛的人数月平均上升率为，根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·浙江温州·期中）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树676棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，则x的值为（   ） A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·浙江温州·期中）春暖花开，温州各园区的郁金香都盛开了．已知温州某郁金香园区2023年的赏花人数为5500人，预计2025年赏花人数将达到6050人．若设2023年至2025年赏花人数年平均增长率为，由题可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）某音乐播放器原来每个售价元，经过连续两次降价后，现在每只售价为元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______． 三、解答题 6.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）一商店销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． (1)若降价元，则平均每天销售数量为 件．（用含的代数式表示） (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元． 7.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）某商场销售某款上衣，刚上市时每件售价100元，一段时间之后开始滞销，经过两次连续下降后，每件售价81元，平均每天售出30件． (1)求平均每次降价的百分率． (2)为了尽量减少库存，“五一”期间商场决定再次降价，经调查发现，一件上衣每降价1元，每天可多售出2件，若商场销售额为4590元，则每件降价多少元？ 8.（22-23八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某校统一安装了日光灯，日光灯中最易损坏的是灯管和镇流器． 素材2 该校后勤部准备补进灯管和镇流器共400件．批发市场灯管的单价为30元，镇流器的单价为80元．商家为了促销且保证有一定的利润，当镇流器购买数量超过80件时，每多购买1件，单价下降1元，但单价不低于50元． 问题解决 任务1 若镇流器补进90件，则学校补进镇流器和灯管共多少元？ 任务2 设镇流器补进x件，若，则补进镇流器的单价为__________元，补进灯管的总价为__________元；（用含x的代数式表示） 任务3 在任务2的基础上，若学校后勤部补进镇流器和灯管共花15000元，求补进镇流器多少件？ 9.（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 10.（23-24八年级下·浙江金华·期中）生产某款零部件的一间工厂，因为实施技术升级改造，生产效率提升，月份生产个，同年月份则生产个．该零部件成本为元/个，某批发商销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． (1)求该工厂月份到月份生产数量的平均增长率； (2)批发商为使月销售利润达到元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零部件的实际售价应定为多少元？ 11.（23-24八年级下·浙江温州·期中）近日，温州朔门古港遗址成功入选“2022年度全国十大考古新发现”，此次挖掘出的龙泉窑印证了温州港是海上丝绸之路的重要节点．请根据以下素材，探索并完成以下任务． 如何设计商品销售及捐款方案？ 素材1 某商店以固定的进价购进一批龙泉青瓷茶杯，每日以单只135~165元（含135元，165元）的价格出售，销售单价为整数． 素材2 该商店茶杯的日销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数：．当茶杯的售价为140元/只时，日销售利润为2400元． 问题解决 任务1 确定商品进价 请根据以上信息，求出每只龙泉青瓷茶杯的进价． 任务2 探究商品售价 某日龙泉青瓷茶杯日销售利润为3000元，则该日每只茶杯的售价为多少元？ 设计方案 任务3 为帮扶贫困儿童，该商店决定每售出一只茶杯就捐款m（且m为整数）元，请在保证日销售利润不低于3030元时，设计一种方案并完成表格． 销售单价（元） m的值 日捐款总额（元） 12.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某水果店销售一种水果的成本价是5元/千克．在销售过程中发现，当这种水果的价格定在7元/千克时，每天可以卖出160千克．在此基础上，这种水果的单价每提高1元/千克，该水果店每天就会少卖出20千克． (1)设提价x元，则该水果每千克利润是 元，每天可以卖出水果 千克．（用含x的代数式表示） (2)若该水果店每天销售这种水果所获得的利润是420元，则单价应定为多少？ 13.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 2025年4月23日是第三十个世界读书日，学校计划购买文学和科普两类图书，已知文学类图书每本40元，科普类图书每本30元． 素材2 为弘扬中国传统文化，商家决定对文学类图书推出销售优惠活动：若不超过50本，按每本40元价格销售；若超过50本，每增加2本，单价降低1元，但单价不得低于25元（即超过一定的购买数量后，单价保持25元不变）． 问题解决 任务1 预计购买数量 如果每本文学类图书的单价量25元，则至少购买文学类图书多少本 任务2 拟定购买方案 如果学校购进两类图书共120本，用去购书款3948元，求购进文学类图书多少本？ 14.（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元．天气渐热，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题： (1)当每箱饮料降价20元时，这种饮料每天销售获利___________元． (2)在要求每箱饮料获利大于80元的情况下，要使每天销售饮料获利14400元，问每箱应降价多少元？ (3)该超市售卖这种饮料的总利润能达到15000元吗？若能，每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 15.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $