反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何问题综合复习 讲义-2026年中考数学一轮复习

反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何问题综合复习讲义 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何问题综合复习讲义 考点目录 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与几何问题综合 知识点解析 一、反比例函数与一次函数综合 解题原理 联立反比例函数与一次函数解析式，转化为一元方程求交点坐标；结合两函数图象性质（一次函数的斜率、截距，反比例函数的与图象象限、增减性），分析图象位置关系、面积、取值范围，核心是联立求交点，以坐标析图象，用性质解问题。 ### 解题思路（三步法） 1. 求解析式，定函数特征：根据题干已知点（交点、定点），代入反比例/一次函数解析式，求未知参数（、一次函数斜率、截距），确定两函数完整解析式，标注反比例函数图象象限、一次函数增减性。 2. 联立解析式，求交点坐标：将与联立，消去得一元二次方程，求解得交点横/纵坐标（注意验根，结合图象取舍），为后续计算铺垫。 3. 结合图象性质，解各类问题： - 求面积：以交点、坐标轴交点为顶点，用割补法（拆为三角形/矩形）计算，结合反比例函数的几何意义简化； - 求取值范围：根据图象上下位置，确定的取值区间（“上大下小”）； - 求参数：结合交点坐标、图象过点条件列方程求解。 关键：交点坐标是连接两函数的核心，所有计算围绕坐标展开。 二、反比例函数与几何问题综合 解题原理 利用反比例函数的坐标特征（双曲线上点满足）和的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积为、三角形面积为），结合几何图形的边长、面积、相似、全等、垂直/平行关系，设双曲线上点的坐标，将几何量转化为坐标表达式，列等式求解，核心是建坐标，用的几何意义/坐标特征，结合几何性质列方程。 ### 解题思路（四步法） 1. 建系设点，标坐标特征：依托几何图形（三角形、矩形、菱形等），以坐标轴为依托建平面直角坐标系，设双曲线上关键点坐标（如，），标注几何图形的顶点坐标（用、表示）。 2. 用几何性质，列坐标等式：根据几何条件（边长相等、面积定值、相似比、垂直/平行），将几何量转化为坐标的代数等式（如边长相等→两点间距离公式，相似→对应边成比例）。 3. 结合反比例性质，消元求解：利用消去参数，或结合的几何意义直接列面积等式，求解值、点的坐标或几何量。 4. 验根验证，确定结果：验证所求参数/坐标是否符合几何图形存在性、反比例函数图象特征，舍去增解。 核心技巧：优先利用的几何意义解面积问题，无需设坐标，直接用“垂线围形面积与的关系”快速计算；几何边长/相似问题优先设参坐标，化几何为代数。 三、注意事项 1. 的核心作用：反比例函数所有性质均由决定，，的符号定图象象限，定几何面积，牢记和的几何意义。 1. 设参技巧：双曲线上的点优先设为，避免分母为未知数，简化计算；未知参数仅设1个，减少方程复杂度。 1. 数形结合：所有问题先画草图，标注函数图象、几何图形、关键点位置，通过图象直观分析数量关系，避免纯代数计算的盲目性。 1. 面积计算：均用割补法，将不规则图形拆为与坐标轴平行的三角形/矩形，结合坐标求底和高，不直接用复杂面积公式。 1. 验根必做：求解后验证坐标是否在函数图象上、几何图形是否存在，避免因符号、取值范围导致的错误。 考点一 反比例函数与一次函数综合 例1．（2026·安徽合肥·一模）【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 【答案】(1)，，图见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动， 点相遇的时间为（秒）， 在相遇前，即时，； 在相遇后，即时，； 综上所述，； 以为一边的矩形面积为，， ； 由描点法画出图象，如图所示： ； （2）解：当时，即， 图象在图象下方， 联立，解得或（负值舍去）； ， 当时，； （3）解：如图所示： 则共有个格点，其中恰好在函数或图象上有个，故概率为． 例2．（2026·河南周口·一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质． … 0 1 2 3 4 … … … (1)列表，写出表中的值：_______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最_______值，是_______； ②当自变量的取值范围是_______时，函数的值随自变量的增大而增大． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是_______． 【答案】(1)-6,见解析 (2)①小，；② (3)或 【详解】（1）解：当时，； ∴， 补全函数图象，如图所示． （2）解：①观察图象可知，当时，函数有最小值，最小值为； ②观察图象可知，当时，y随x的增大而增大； （3）解：观察图象，即可得到的解集为：或． 例3．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； (2)或； (3)的值为或． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过、两点， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的关系式为，， ∵一次函数过、两点， ∴， 解得：， ∴一次函数的关系式为； （2）解：根据图象可知：当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）解：过、，， ∴，，， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 如图，当是斜边时，即， ∴， ∴，解得：， 综上可得：的值为或． 例4．（2026·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，请完成下列任务： (1)画出关于原点O的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)画出过A点的反比例函数的大致图象； (3)画出直线，若其解析式为，直接写出不等的解集． 【答案】(1)作图见解析； (2)见解析 (3)作图见解析；或 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 反比例函数的图象如上图所示； （3）解：直线如上图所示，由函数图象可得，直线与反比例函数图象交于点和， 则的解集即为的解集， ∴由图象可得解集为或． 变式1．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 变式2．（2026·贵州六盘水·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m的值； (2)将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 一次函数解析式为， 将代入， 得：． （2）解：在反比例函数的图象上， ， 一次函数图象向下平移n个单位长度后的解析式为：， 联立与，得：， ， ，即， 当两个图象在第一象限内有且仅有一个交点时，有且只有一个根， ， 解得或． 当时，方程为， 解得，符合题意； 当时，方程为， 解得，不符合在第一象限内有交点的条件，舍去， 综上可得，n的值为． 变式3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． (1)求n的值，以及直线对应的函数表达式． (2)若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 【答案】(1)， (2)4 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，得， 设直线的函数表达式为， 将点，代入上式，得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 解得， ∴点M的横坐标为． 变式4．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3， ∴当时，或； （2）解：∵点、点的横坐标分别是和3，且点、点在上， ∴ ∴， 将点代入， 则 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ∴ 解得， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴， 过点作轴交于点， ∴ ∵， ∴． 考点二 反比例函数与几何问题综合 例1．（2026·河南信阳·一模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过点，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，在图中用直尺和铅笔画出沿所在直线平移，且点与点重合，得到的（不写画法）． ①点 反比例函数图象上，点 反比例函数图象上；（填“在”或“不在”） ②四边形是 （特殊四边形），它的面积等于 ． 【答案】(1) (2)画图见解析；①在，在；②矩形， 【详解】（1）解：由题意得， ∵反比例函数经过点， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）如图所示． 由平行四边形性质得坐标为，将平移使与重合，平移规律为横坐标减，纵坐标减： ① 平移后，代入​，，故点在反比例函数图象上； 平移后，代入​，，故点在反比例函数图象上； ②由平移的性质，可知， ∴四边形是平行四边形， 由图象，可知， ∴四边形是矩形， 由勾股定理，得，， ∴． 例2．（2026·广东东莞·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：当时，反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B， ∴点与点关于原点对称， ∴， 又∵轴C，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，且双曲线位于第一、三象限， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵轴C，轴，且AC与BD的延长线交于点E， ∴，， ∴，，， ∴， ， ∴， ∴； （3）证明：如图所示， 令，则， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 联立， 解得（负值已舍）， ∴， ∵轴， ∴， ∴，， ∴， ∴点C为线段的黄金分割点； ∵轴，， ∴直线的解析式为， ∵点Q为和的延长线交点， ∴， ∴， ∴， ∴点M为线段的黄金分割点． 例3．（2026·山东济南·一模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2) (3)点G坐标为或 【详解】（1）解：将代入，得， ∴； 将代入，得， ∴； （2）解：设点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴，（舍）， ∴． （3）解：设直线的解析式为， 把，，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：， ∴当时，解得， ∴； ①点G在x轴正半轴， ∵，， ∴， ∴． 设， 则 ∴，（舍） ∴． ②点在x轴负半轴， 此时，， ∴ 过点A作轴于点，则是中点， ∴； 综上所述，点G坐标为或． 例4．（2026·四川泸州·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于两点，点在直线上，且位于第二象限，．过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于第三象限的点，连接，的面积为6． (1)求值和点的坐标； (2)如图，点是直线上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1)，点的坐标为， (2)点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别交于两点， ∴，， 作于点， ∵轴， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积为6， ∴， 解得， ∵点位于第三象限， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴， 解得或 ， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为或． 变式1．（2026·河北邢台·一模）如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．线段的垂直平分线交反比例函数图象于点． (1)在图中用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不写画法）； (2)连接，点一定在线段上吗？回答：___________（填“是”或“否”）； (3)连接、．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式； ②连接，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)否 (3)①；② 【详解】（1）解：如图，点D即为所求： （2）解：如图，连接，设线段的垂直平分线交于点E，交于点F， 则，， ∴， ∴，即点F是的中点， 设，则， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上，点D的纵坐标为4， ∴点D的横坐标为，即， ∴只有当，即时，点F和点D为同一点， ∴点D不一定在线段上； 故答案为：否． （3）解：①如图，设线段的垂直平分线交于点E，过点D作轴于点M， 则，， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； ②∵， ∴， 设，由①可知， ∴， ∵点C、D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式2．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)正确，见解析 (2)见解析 (3)k 【详解】（1）解：正确．证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 变式3．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】(1) (2) (3)或． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：令，， ∴， ∴，，， ，， ∴， 取点，则，连接，， ∴，， 过作交的图象于点，此时， ∵直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 代入得， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得（负值舍去）， ∴； （3）解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则， 过作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴，即， ∴， 当在点下方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 当在点上方时，过作交直线于，过作轴于， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 综上所述，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何问题综合复习讲义 反比例函数与一次函数综合、反比例函数与几何问题综合复习讲义 考点目录 反比例函数与一次函数综合 反比例函数与几何问题综合 知识点解析 一、反比例函数与一次函数综合 解题原理 联立反比例函数与一次函数解析式，转化为一元方程求交点坐标；结合两函数图象性质（一次函数的斜率、截距，反比例函数的与图象象限、增减性），分析图象位置关系、面积、取值范围，核心是联立求交点，以坐标析图象，用性质解问题。 ### 解题思路（三步法） 1. 求解析式，定函数特征：根据题干已知点（交点、定点），代入反比例/一次函数解析式，求未知参数（、一次函数斜率、截距），确定两函数完整解析式，标注反比例函数图象象限、一次函数增减性。 2. 联立解析式，求交点坐标：将与联立，消去得一元二次方程，求解得交点横/纵坐标（注意验根，结合图象取舍），为后续计算铺垫。 3. 结合图象性质，解各类问题： - 求面积：以交点、坐标轴交点为顶点，用割补法（拆为三角形/矩形）计算，结合反比例函数的几何意义简化； - 求取值范围：根据图象上下位置，确定的取值区间（“上大下小”）； - 求参数：结合交点坐标、图象过点条件列方程求解。 关键：交点坐标是连接两函数的核心，所有计算围绕坐标展开。 二、反比例函数与几何问题综合 解题原理 利用反比例函数的坐标特征（双曲线上点满足）和的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线，围成矩形面积为、三角形面积为），结合几何图形的边长、面积、相似、全等、垂直/平行关系，设双曲线上点的坐标，将几何量转化为坐标表达式，列等式求解，核心是建坐标，用的几何意义/坐标特征，结合几何性质列方程。 ### 解题思路（四步法） 1. 建系设点，标坐标特征：依托几何图形（三角形、矩形、菱形等），以坐标轴为依托建平面直角坐标系，设双曲线上关键点坐标（如，），标注几何图形的顶点坐标（用、表示）。 2. 用几何性质，列坐标等式：根据几何条件（边长相等、面积定值、相似比、垂直/平行），将几何量转化为坐标的代数等式（如边长相等→两点间距离公式，相似→对应边成比例）。 3. 结合反比例性质，消元求解：利用消去参数，或结合的几何意义直接列面积等式，求解值、点的坐标或几何量。 4. 验根验证，确定结果：验证所求参数/坐标是否符合几何图形存在性、反比例函数图象特征，舍去增解。 核心技巧：优先利用的几何意义解面积问题，无需设坐标，直接用“垂线围形面积与的关系”快速计算；几何边长/相似问题优先设参坐标，化几何为代数。 三、注意事项 1. 的核心作用：反比例函数所有性质均由决定，，的符号定图象象限，定几何面积，牢记和的几何意义。 1. 设参技巧：双曲线上的点优先设为，避免分母为未知数，简化计算；未知参数仅设1个，减少方程复杂度。 1. 数形结合：所有问题先画草图，标注函数图象、几何图形、关键点位置，通过图象直观分析数量关系，避免纯代数计算的盲目性。 1. 面积计算：均用割补法，将不规则图形拆为与坐标轴平行的三角形/矩形，结合坐标求底和高，不直接用复杂面积公式。 1. 验根必做：求解后验证坐标是否在函数图象上、几何图形是否存在，避免因符号、取值范围导致的错误。 考点一 反比例函数与一次函数综合 例1．（2026·安徽合肥·一模）【综合与实践】如图，直线上有两定点，，点分别从点以每秒个单位长度速度相向移动，分别到达点，点时停止移动，以为一边的矩形面积为．设点运动时间为秒，之间的距离为，长为． (1)分别写出关于的函数解析式，并在坐标系中画出两函数图象； (2)根据图象，直接写出当运动多少秒后，（误差不超过）； (3)当时，设，和直线围成的封闭图形为（包括边界），随机在中选取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），则该格点恰好在函数或图象上的概率为________． 例2．（2026·河南周口·一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质． … 0 1 2 3 4 … … … (1)列表，写出表中的值：_______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最_______值，是_______； ②当自变量的取值范围是_______时，函数的值随自变量的增大而增大． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是_______． 例3．（2026·四川宜宾·模拟预测）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的关系式； (2)结合图形，请直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值． 例4．（2026·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、，请完成下列任务： (1)画出关于原点O的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)画出过A点的反比例函数的大致图象； (3)画出直线，若其解析式为，直接写出不等的解集． 变式1．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式2．（2026·贵州六盘水·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m的值； (2)将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值． 变式3．（2026·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点B，C，与反比例函数的图象交于点，已知点B的坐标为． (1)求n的值，以及直线对应的函数表达式． (2)若有一点M在x轴正半轴上，且的面积为12，请直接写出点M的横坐标． 变式4．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 考点二 反比例函数与几何问题综合 例1．（2026·河南信阳·一模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过点，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，在图中用直尺和铅笔画出沿所在直线平移，且点与点重合，得到的（不写画法）． ①点 反比例函数图象上，点 反比例函数图象上；（填“在”或“不在”） ②四边形是 （特殊四边形），它的面积等于 ． 例2．（2026·广东东莞·模拟预测）反比例函数和一次函数的图象交于点A和点B，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，AC与BD的延长线交于点E． (1)如图1，当时，当的面积为4时，求k的值； (2)如图2，当b为任意值时，连接，猜想与有什么位置关系，并说明理由； (3)当时，在图1中，延长交反比例函数在第一象限的图象于点M，过点M作轴于点N，过点A作轴于点P，交的延长线于点Q，求证：点C、点M分别为线段和的黄金分割点． 例3．（2026·山东济南·一模）已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上． (1)求反比例函数的表达式； (2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长交轴于点，点为轴上一点，且满足，请求出所有符合条件的点坐标． 例4．（2026·四川泸州·模拟预测）如图，直线与轴，轴分别交于两点，点在直线上，且位于第二象限，．过点作轴，垂足为点，交反比例函数的图象于第三象限的点，连接，的面积为6． (1)求值和点的坐标； (2)如图，点是直线上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 变式1．（2026·河北邢台·一模）如图，线段轴于点，，反比例函数交于点．线段的垂直平分线交反比例函数图象于点． (1)在图中用直尺和圆规作出点（保留作图痕迹，不写画法）； (2)连接，点一定在线段上吗？回答：___________（填“是”或“否”）； (3)连接、．若． ①当点的坐标为时，求反比例函数的解析式； ②连接，当时，求的长． 变式2．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 变式3．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； (3)在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 2 学科网（北京）股份有限公司 $