第4章 平面内的两条直线（知识清单）数学新教材湘教版七年级下册

第四章 平面内的两条直线 1.平行线概念：在同一平面内，没有 的两条直线叫做平行线，平行用符号“ ”表示. 2.平面内两条直线的位置关系：同一平面内的两条直线的三种位置关系为 . 3.平行公理：经过直线外一点 一条直线与这条直线平行. 4.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线 . 即如果，，那么 . 5.相交线概念：在同一平面内，两条直线 公共点时，这两条直线叫做相交线，这个公共点叫 . 6.对顶角概念：如果两个角有共同的 ，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的 ，那么这样的两个角叫互为对顶角. 7.对顶角性质： . 对顶角是 出现的. 8.邻补角概念：如果两个角有一条 ，它们的另一边互为 ，那么叫这两个角互为邻补角. 9.邻补角性质： （和为180°）. 10.同位角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 ，且在被截两条直线 的两个角. 11.内错角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 ，且在被截两条直线 的两个角. 12.同旁内角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 ，且在被截两条直线 的两个角. 13.平移概念：在平面内，把图形上每一个点沿 移动 的距离，得到另一个图形，这种图形的变换叫平移. 点A平移到了点Aˊ，称点 是点 的对应点. 叫作原像，平移到新位置后的图形叫作原图形在平移下的 . 14.平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 . 平移不改变 ，只改变 . 平移保持任意两点间距离 ，保持角的大小 . 直线在平移下的像是与它 的直线（或者与它是 直线）. 15.平行线的性质： 性质1：两条平行直线被第三条直线所截， （简单说成 ）. 性质2：两条平行直线被第三条直线所截， （简单说成 ）. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截， （简单说成 ）. 16.平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行（简单说成 ）. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行（简单说成 ）. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果 ，那么这两条直线平行（简单说成 ）. 17.垂线概念：在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是 （此时可知其余三个角也是 ），则称这两条直线 ，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的 叫作垂足，垂直用符号“ ”. 若两条直线相交所成的四个角中 ，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. 18.平行线的判定定理推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 . 19.平行线的性质定理推论：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也 . 20.垂线的性质：在同一平面内， 一条直线与已知直线垂直. 21.垂线段概念：如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段 叫作点P到直线l的垂线段. 经过点P的其他直线分别交直线l于点A，B，C，D，……，线段PA，PB，PC，PD，……，称为斜线段. 22.垂线段的基本事实：直线外一点与直线上各点的所有线段中， （简单说成 ）. 23.点到直线的距离概念：从直线外一点到这条直线的 ，叫作点到直线的距离. 24.公垂线（段）概念：与两条平行直线都 的直线，叫作这两条平行直线的公垂线. 这时连接 叫作这两条平行直线的公垂线段. 25.公垂线段性质：两条平行线的所有公垂线段都 . 26.平行线间的距离概念：两条平行线的公垂线段的 叫作两条平行线间的距离. 平行线间的距离 . 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的 . 一、相交线与对顶角、邻补角 1.对顶角判定误用 错误：误将有公共顶点但另一边不互为反向延长线的角当作对顶角. 例如：判断∠1和∠2是否为对顶角时，仅看公共顶点，忽略两边是否反向延长线，实际上只有两边互为反向延长线的才是对顶角. 例题1 下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 例题2 下列工具中，可看作对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2.对顶角性质误解 错误：误认为相等的角就是对顶角. 注意：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角. 例题1 下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 例题2 已知和是对顶角，，则（   ） A． B． C． D． 二、平移 1.平移性质误解 错误：误认为平移会改变图形的形状、大小，或对应点连线不平行. 注意：将图形平移后，图形的边长、角度不变，对应点连线一定平行（或在同一直线上）且相等. 例题1 一个图形经过平移能得到另一个图形，其对应点所连成的线段的关系是（   ） A．平行 B．相等 C．平行且相等或在同一条直线上且相等 D．平行且相等 例题2 如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A． B． C． D． 2.平移方向与距离判断 错误：平移时误将图形旋转当作平移，或距离计算错误. 注意：图形沿不同方向移动相同距离，平移后的位置不同；距离是对应点连线的长度，而非图形上两点间的距离. 例题1 如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2 如图，将沿射线方向平移1个单位得到，若的周长是8，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 三、平行线 1.平行线概念遗漏条件 错误：忽略“同一平面内”，认为“不相交的两条直线就是平行线”. 注意：空间中不相交也不平行的两条直线叫异面直线，不能称为平行线. 例题1 下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间线段最短 B．学而不思则罔 C．在同一平面内不相交的两条直线叫平行线 D．对顶角相等 例题2 下列说法一定正确的是（    ） A．两条不相交的线段互相平行 B．连接两点间的线段叫做两点的距离 C．若，则点是线段的中点 D．在同一平面内，若两条直线没有交点，则这两条直线平行 2.判定与性质混淆 错误：误将平行线的判定定理与性质定理颠倒使用. 注意：由“两直线平行”推出“同位角相等”是性质，若由“同位角相等”推出“两直线平行”才是判定，勿混淆因果关系. 例题1 如图，直线平分，求的度数． 例题2 如图所示，，平分，．试说明：． 3.角的位置判断错误 错误：识别同位角、内错角、同旁内角时，误认非“三线八角”中的角为对应角. 注意：两条直线被第三条直线所截时才会产生同位角等，若不是三条直线构成的图形，不存在这类角. 例题1 如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 例题2 如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 4.平行公理推论误用 错误：认为“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，忽略“同一平面内”的条件. 注意：空间中两条直线都垂直于第三条直线，可能相交、平行或异面. 例题1 下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 例题2 下列说法中，正确的个数为(   ) （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果，那么 （3）如果两线段不相交，那么它们就平行 （4）如果两直线不相交，那么它们就平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 四、垂线与距离 1.垂线定义误解 错误：误认为“互相垂直的两条直线一定相交”（同一平面内成立，但未强调同一平面时，空间中垂直可能不相交），或误认为“相交的两条直线一定垂直”. 例如：同一平面内相交成60°的两条直线不垂直，空间中异面直线可能垂直但不相交. 例题1 下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 例题2 已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 2.垂线段与距离混淆 错误：将“垂线段”当作“点到直线的距离”，忽略距离是“长度”. 例如：点P到直线l的距离是垂线段PQ的长度，而非垂线段PQ本身. 例题1 如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例题2 设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 3.垂线性质忽略条件 错误：运用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”时，忽略“同一平面内”的前提. 注意：空间中过一点可以作无数条直线与已知直线垂直. 例题1 下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 例题2 下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点B为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 重难点01 对顶角与邻补角的辨析及计算 （1）核心是抓住“反向延长线”判定对顶角，“公共边+反向延长线+互补”判定邻补角； （2）计算时利用对顶角相等、邻补角和为180°，结合平角、周角性质求解. 【典例1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，直线相交于点O，把分成两部分．若，且，求的度数． 重难点02 同位角、内错角、同旁内角的识别 （1）关键是找到“截线”（与两条直线都相交的直线）和“被截线”（两条被研究的直线）； （2）同位角呈“F”型，内错角呈“Z”型，同旁内角呈“U”型，结合图形特征识别. 【典例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【典例2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 重难点03 平行线的判定与性质综合运用 （1）“由角定线”用判定（同位角相等→两直线平行），“由线定角”用性质（两直线平行→内错角相等）； （2）复杂图形中需先找“三线八角”，必要时作辅助线构造平行关系. 【典例1】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，已知，，．求证：． 【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 重难点04 平移的性质应用与作图 （1）利用平移性质求线段长度、角的度数，或解决图形重合、拼接问题； （2）作图步骤：确定平移方向和距离→找图形关键点→作关键点的对应点→连接对应点得到平移后的图形. 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，将先向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到． (1)请在图中画出； (2)点到点的距离是________． 【典例2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，将沿边平移得到，已知，，，，，求图中阴影部分的面积． 重难点05 垂线的性质应用与距离计算 （1）牢记“垂线段最短”，用于解决路径最短问题； （2）点到直线的距离计算需先作垂线，再求垂线段长度，注意与线段长度区分. 【典例1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【典例2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 重难点06 平面内直线位置关系的综合推理 （1）结合相交线、垂线、平行线的知识，进行多步推理证明； （2）注意同一平面内直线位置关系只有相交（含垂直）和平行两种，灵活运用定义、定理推导. 【典例1】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【典例2】（25-26七年级上·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 平面内的两条直线 1.平行线概念：在同一平面内，没有 公共点 的两条直线叫做平行线，平行用符号“ ∥ ”表示. 2.平面内两条直线的位置关系：同一平面内的两条直线的三种位置关系为 相交、重合、平行 . 3.平行公理：经过直线外一点 有且只有 一条直线与这条直线平行. 4.平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线 平行 . 即如果，，那么 c . 5.相交线概念：在同一平面内，两条直线 只有一个 公共点时，这两条直线叫做相交线，这个公共点叫 交点 . 6.对顶角概念：如果两个角有共同的 顶点 ，且其中一个角的两边分别是另一个角两边的 反向延长线 ，那么这样的两个角叫互为对顶角. 7.对顶角性质： 对顶角相等 . 对顶角是 成对 出现的. 8.邻补角概念：如果两个角有一条 公共边 ，它们的另一边互为 反向延长线 ，那么叫这两个角互为邻补角. 9.邻补角性质： 邻补角互补 （和为180°）. 10.同位角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 同侧 ，且在被截两条直线 同一方 的两个角. 11.内错角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 两侧 ，且在被截两条直线 之间 的两个角. 12.同旁内角概念：两条直线被第三条直线（截线）所截，在截线 同侧 ，且在被截两条直线 之间 的两个角. 13.平移概念：在平面内，把图形上每一个点沿 同一方向 移动 相同 的距离，得到另一个图形，这种图形的变换叫平移. 点A平移到了点Aˊ，称点 Aˊ 是点 A 的对应点. 原图形 叫作原像，平移到新位置后的图形叫作原图形在平移下的 像 . 14.平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线 平行（或在同一条直线上）且相等 . 平移不改变 图形的形状和大小 ，只改变 图形的位置 . 平移保持任意两点间距离 不变 ，保持角的大小 不变 . 直线在平移下的像是与它 平行 的直线（或者与它是 同一条 直线）. 15.平行线的性质： 性质1：两条平行直线被第三条直线所截， 同位角相等 （简单说成 两直线平行，同位角相等 ）. 性质2：两条平行直线被第三条直线所截， 内错角相等 （简单说成 两直线平行，内错角相等 ）. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截， 同旁内角互补 （简单说成 两直线平行，同旁内角互补 ）. 16.平行线的判定： 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果 同位角相等 ，那么这两条直线平行（简单说成 同位角相等，两直线平行 ）. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果 内错角相等 ，那么这两条直线平行（简单说成 内错角相等，两直线平行 ）. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角互补 ，那么这两条直线平行（简单说成 同旁内角互补，两直线平行 ）. 17.垂线概念：在同一平面内的两条直线相交所成的四个角中，若有一个角是 直角 （此时可知其余三个角也是 直角 ），则称这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的 交点 叫作垂足，垂直用符号“ ⊥ ”. 若两条直线相交所成的四个角中 没有直角 ，则称其中一条直线为另一条直线的斜线. 18.平行线的判定定理推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线 平行 . 19.平行线的性质定理推论：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线也 垂直于另一条 . 20.垂线的性质：在同一平面内， 过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直. 21.垂线段概念：如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段 PO 叫作点P到直线l的垂线段. 经过点P的其他直线分别交直线l于点A，B，C，D，……，线段PA，PB，PC，PD，……，称为斜线段. 22.垂线段的基本事实：直线外一点与直线上各点的所有线段中， 垂线段最短 （简单说成 垂线段最短 ）. 23.点到直线的距离概念：从直线外一点到这条直线的 垂线段的长度 ，叫作点到直线的距离. 24.公垂线（段）概念：与两条平行直线都 垂直 的直线，叫作这两条平行直线的公垂线. 这时连接 两个垂足的线段 叫作这两条平行直线的公垂线段. 25.公垂线段性质：两条平行线的所有公垂线段都 相等 . 26.平行线间的距离概念：两条平行线的公垂线段的 长度 叫作两条平行线间的距离. 平行线间的距离 处处相等 . 两条平行线间的距离等于其中一条直线上任意一个点到另一条直线的 距离 . 一、相交线与对顶角、邻补角 1.对顶角判定误用 错误：误将有公共顶点但另一边不互为反向延长线的角当作对顶角. 例如：判断∠1和∠2是否为对顶角时，仅看公共顶点，忽略两边是否反向延长线，实际上只有两边互为反向延长线的才是对顶角. 例题1 下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 例题2 下列工具中，可看作对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，关键是熟练掌握对顶角的定义．对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【详解】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，可看作对顶角的是选项B． 故选：B． 2.对顶角性质误解 错误：误认为相等的角就是对顶角. 注意：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角. 例题1 下列说法正确的有（    ） ①对顶角相等； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟悉掌握对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：①对顶角相等，说法正确； ②若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，根据对顶角相等，则②说法正确； ③若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等，说法错误，两个角相等不一定是对顶角，则③错误； 综上正确的为：①②， 故选：C． 例题2 已知和是对顶角，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查对顶角，根据对顶角的性质解答即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、平移 1.平移性质误解 错误：误认为平移会改变图形的形状、大小，或对应点连线不平行. 注意：将图形平移后，图形的边长、角度不变，对应点连线一定平行（或在同一直线上）且相等. 例题1 一个图形经过平移能得到另一个图形，其对应点所连成的线段的关系是（   ） A．平行 B．相等 C．平行且相等或在同一条直线上且相等 D．平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查平移的基本性质，需明确平移后对应点所连线段的关系，根据平移的性质，作答即可．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．        【详解】解：∵平移后对应点所连成的线段平行且相等，当对应点在同一条直线上时，对应点连线在同一直线上且相等， ∴对应点所连成的线段的关系是平行且相等或在同一条直线上且相等． 故选：C． 例题2 如图，下列“小旗子”的平移作图中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移不改变图形的形状、大小和方向是解题的关键． 根据平移的性质，逐一判断各选项中小旗子的方向是否改变． 【详解】解：平移变换的核心特征是图形的形状、大小和方向保持不变， 在四个选项中，只有选项C中的“小旗子”方向发生了改变，因此它是错误的平移作图． 故选：C． 2.平移方向与距离判断 错误：平移时误将图形旋转当作平移，或距离计算错误. 注意：图形沿不同方向移动相同距离，平移后的位置不同；距离是对应点连线的长度，而非图形上两点间的距离. 例题1 如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，得平移的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意平移的距离为， 故选：B． 例题2 如图，将沿射线方向平移1个单位得到，若的周长是8，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，由题意得，根据四边形的周长即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵的周长是8， ∴； ∴， ∴四边形的周长． 故选：A． 三、平行线 1.平行线概念遗漏条件 错误：忽略“同一平面内”，认为“不相交的两条直线就是平行线”. 注意：空间中不相交也不平行的两条直线叫异面直线，不能称为平行线. 例题1 下列语句中，属于定义的是（   ） A．两点之间线段最短 B．学而不思则罔 C．在同一平面内不相交的两条直线叫平行线 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了定义的概念．解决本题需熟记定义概念：规定一件事情名称的句子．根据定义的概念进行判断即可． 【详解】解：A、“两点之间线段最短”是公理，不是定义，故A不符合题意； B、“学而不思则罔”是出自《论语》的名言，不是数学概念，故B不符合题意； C、“在同一平面内不相交的两条直线叫平行线”是平行线的定义，故C符合题意； D、“对顶角相等”是定理，不是定义，故D不符合题意 故选：C． 例题2 下列说法一定正确的是（    ） A．两条不相交的线段互相平行 B．连接两点间的线段叫做两点的距离 C．若，则点是线段的中点 D．在同一平面内，若两条直线没有交点，则这两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线，两点间的距离，线段中点，根据平行线，两点间的距离，线段中点相关概念逐一排除即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】、两条不相交的线段，但延长后不一定平行，原说法错误，不符合题意； 、连接两点间的线段的长度叫做两点的距离，原说法错误，不符合题意； 、若，当点不在同一条直线上时，点不是线段的中点，原说法错误，不符合题意； 、在同一平面内，若两条直线没有交点，则这两条直线平行，原说法正确，符合题意； 故选：． 2.判定与性质混淆 错误：误将平行线的判定定理与性质定理颠倒使用. 注意：由“两直线平行”推出“同位角相等”是性质，若由“同位角相等”推出“两直线平行”才是判定，勿混淆因果关系. 例题1 如图，直线平分，求的度数． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再求出的度数，根据对顶角相等即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 例题2 如图所示，，平分，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得，根据已知条件可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【详解】解：因为平分，（已知）， 所以（角平分线的概念）． 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 3.角的位置判断错误 错误：识别同位角、内错角、同旁内角时，误认非“三线八角”中的角为对应角. 注意：两条直线被第三条直线所截时才会产生同位角等，若不是三条直线构成的图形，不存在这类角. 例题1 如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】根据内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与是直线，被所截得的内错角，原说法正确，不符合题意； B、与是对顶角，原说法正确，不符合题意； C、和是同旁内角，不一定互为补角，原说法不正确，符合题意； D、与是直线，被直线所截得的同旁内角，原说法正确，不符合题意． 例题2 如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角， 故选：C． 4.平行公理推论误用 错误：认为“如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线平行”，忽略“同一平面内”的条件. 注意：空间中两条直线都垂直于第三条直线，可能相交、平行或异面. 例题1 下列推理正确的是 （ ） A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，所以 D．因为，，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理的推论，属于基础题型，熟练掌握基本知识是关键．根据平行公理的推论逐项判断即得答案． 【详解】解：A、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； B、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意； C、由，，能推出，所以本选项推理正确，符合题意； D、由，，不能推出，所以本选项推理错误，不符合题意． 故选：C． 例题2 下列说法中，正确的个数为(   ) （1）过一点有无数条直线与已知直线平行 （2）如果，那么 （3）如果两线段不相交，那么它们就平行 （4）如果两直线不相交，那么它们就平行 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据平行线的概念、公理及推论判断． 【详解】（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； （2）根据平行公理的推论，正确； （3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误； （4）应该是“在同一平面内”，故错误． 正确的只有一个， 故选A 【点睛】掌握平行线的定义、公理及推论，并具有一定的判断能力，举反例也是一种方法． 四、垂线与距离 1.垂线定义误解 错误：误认为“互相垂直的两条直线一定相交”（同一平面内成立，但未强调同一平面时，空间中垂直可能不相交），或误认为“相交的两条直线一定垂直”. 例如：同一平面内相交成60°的两条直线不垂直，空间中异面直线可能垂直但不相交. 例题1 下列说法正确的是（   ） A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上 B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上 C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射线的垂线 D．在同一平面内，过直线上一点可画无数条直线与该直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查对垂线定义的理解． 根据直线垂直的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，垂足一定在该直线上，原说法正确，符合题意； B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段或射线画垂线，垂足可能在它们的延长线（或反向延长线）上，原说法错误，不符合题意； C．过线段或射线外一点可以画出一条直线与之垂直，原说法错误，不符合题意； D．在同一平面内，过直线上一点可画一条直线与该直线垂直，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 例题2 已知直线a、b相交，如图所示，下列条件中不能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算及垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题的关键． 根据垂直的定义及角度的计算、对顶角相等进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故该选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴，故该选项不符合题意； C、，不能判定，故该选项符合题意； D、 ∵， ∴， ∴，故该选项不符合题意； 故选：C． 2.垂线段与距离混淆 错误：将“垂线段”当作“点到直线的距离”，忽略距离是“长度”. 例如：点P到直线l的距离是垂线段PQ的长度，而非垂线段PQ本身. 例题1 如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 例题2 设A，B，C是直线l上的点，P是直线l外一点，，，，则点P到直线L的距离（    ） A．等于 B．等于 C．不大于 D．等于 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的性质．根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”可知垂线段的长度不能超过的长． 【详解】解：根据垂线段最短的性质可知点P到直线的距离不能超过的长． 故选：C． 3.垂线性质忽略条件 错误：运用“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”时，忽略“同一平面内”的前提. 注意：空间中过一点可以作无数条直线与已知直线垂直. 例题1 下列说法中可能错误的是（　　） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两条直线相交，有且只有一个交点 D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直 【答案】B 【分析】此题考查了平行公理、垂线定义、相交线的性质，根据平行公理、垂线定义、相交线的性质判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，选项说法正确； B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法错误； C．两条直线相交，有且只有一个交点，选项说法正确； D．若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，选项说法正确． 故选：B． 例题2 下列说法正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．若，则点B为线段的中点 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质，根据平行线的定义、线段中点的条件、点到直线的距离的概念以及垂线的性质分别判断即可． 【详解】解：∵平行线定义要求在同一平面内，不相交的两条直线可能不在同一平面，∴A错误； ∵点B可能不在线段上，∴B错误； ∵点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，∴C错误； ∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，∴D正确； 故选：D． 重难点01 对顶角与邻补角的辨析及计算 （1）核心是抓住“反向延长线”判定对顶角，“公共边+反向延长线+互补”判定邻补角； （2）计算时利用对顶角相等、邻补角和为180°，结合平角、周角性质求解. 【典例1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角的性质和角平分线的定义，牢记对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 根据对顶角的性质可证得，根据角平分线的定义可求得的度数，再根据即可求得． 【详解】直线、相交于点，， ． 平分， ． ． 故选：B. 【典例2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，直线相交于点O，把分成两部分．若，且，求的度数． 【答案】148° 【分析】本题考查了角的和差，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据对顶角相等得出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴． 重难点02 同位角、内错角、同旁内角的识别 （1）关键是找到“截线”（与两条直线都相交的直线）和“被截线”（两条被研究的直线）； （2）同位角呈“F”型，内错角呈“Z”型，同旁内角呈“U”型，结合图形特征识别. 【典例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【典例2】（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 重难点03 平行线的判定与性质综合运用 （1）“由角定线”用判定（同位角相等→两直线平行），“由线定角”用性质（两直线平行→内错角相等）； （2）复杂图形中需先找“三线八角”，必要时作辅助线构造平行关系. 【典例1】（25-26八年级上·广东河源·期末）如图，已知，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定先证明，再由平行线的性质得，最后由内错角相等两直线平行即可得到答案． 【详解】证明：，， ， ， ， ， ， ． 【典例2】（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 重难点04 平移的性质应用与作图 （1）利用平移性质求线段长度、角的度数，或解决图形重合、拼接问题； （2）作图步骤：确定平移方向和距离→找图形关键点→作关键点的对应点→连接对应点得到平移后的图形. 【典例1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，将先向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到． (1)请在图中画出； (2)点到点的距离是________． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查平移作图，掌握作图方法是解题的关键． （1）根据平移的方向与距离作图即可； （2）由图形即可解答． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）解：由图可得，点到点的距离是6． 故答案为：6． 【典例2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）如图，将沿边平移得到，已知，，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】本题考查平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了三角形的面积公式． 根据平移的性质得出，，，即可求出，利用三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：∵将沿边平移得到， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 答：图中阴影部分的面积为9． 重难点05 垂线的性质应用与距离计算 （1）牢记“垂线段最短”，用于解决路径最短问题； （2）点到直线的距离计算需先作垂线，再求垂线段长度，注意与线段长度区分. 【典例1】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：∵（ 已知）， ∴（垂直的定义）， 同理可得（垂直的定义）， ∴（等量代换）， 又∵（ 已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（）（ ）（同位角相等，两直线平行）． 【典例2】（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图，已知直线l表示一段公路，点A表示学校，点B表示书店． (1)在公路l上找一个路口M，使得的值最小； (2)现要从学校A向公路l修一条小路，怎样修路才能使小路的长最短？请画出小路的路线（请简要说明作图依据）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查两点之间线段最短、垂线段最短： （1）根据两点之间线段最短，连接交直线l于点M，此时的值最小； （2）根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，只需作于点N即可； 【详解】（1）解：如图所示，点M即为所求： （2）解：如图所示． 重难点06 平面内直线位置关系的综合推理 （1）结合相交线、垂线、平行线的知识，进行多步推理证明； （2）注意同一平面内直线位置关系只有相交（含垂直）和平行两种，灵活运用定义、定理推导. 【典例1】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明； （2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（25-26七年级上·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，平分，可求出，再根据角度的和差关系即可求解； （2）设，再结合角平分线和角度的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $