8.6.2直线与平面垂直第1课时课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

高一下学期数学人教A版必修第二册 第八章立体几何初步 8.6.2直线与平面垂直 第1课时直线与平面垂直的判定 1.理解直线与平面垂直的意义，理解点到平面的距离、直线与平面所成的角的概念. 2.探索并了解直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简 单问题，能求简单的直线与平面所成的角. 3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验空间问题 转化为平面问题、线面垂直转化为线线垂直，进一步感悟数学中以“以简驭繁”的 转化思想. ◎ 学习目标 事实上，随着时间的变化，尽管影子BC 的位置在不断地变化，但是 旗杆AB 所在直线始终与影子BC 所在直线垂直. 也就是说，旗杆AB 所在直线与地面上任意一条过点B 的直线垂直. 对于地面上不过点B的任意一条直线B'C’, 总能在地面上找到过点 B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆AB所 在直线与直线B'C '也垂直. 因此，旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直. 任务一 探究直线与平面垂直的定义 思 考 在阳光下观察直立于地面的旗杆AB 及它在地面的影子BC. 随着时间的 变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC 所在 直线是否保持垂直?旗杆所在直线AB是否与平面内所有直线垂直? 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报 探究新知 探究新知 任务 一 探究直线与平面垂直的定义 说一说 如何定义一条直线与平面垂直呢? 一般地，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直， 那么称直线l与平面α互相垂直. 记 作l⊥a. 直线l叫做平面 α的垂线，平面α叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时， 它们唯一的公共点α叫做垂足. 思考 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否 与这个平面垂直? 不一定 任务 一 探究直线与平面垂直的定义 说一说 你能举出生活中可以抽象成直线与平面相交但不垂直的例子吗? 探究新知 任务二 探究直线与平面垂直的相关结论. 思 考 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一 结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么? 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报 点在面内 点在面外。 1.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 2.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到 该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离. 探究新知 任务三 探究直线与平面垂直的判定. 思考 根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有 直线都垂直.类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂 直的简单、易行的方法? 要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报 ◎提示 如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直? 如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直? C₁ A B 探究新知 任务三 探究直线与平面垂直的判定. 探 究 如图，准备一块三角形的纸片ABC, 过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到 折痕AD, 将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC 与桌面接触). A A B D C a 合作探究： 1.先独立思考，动手操作，再小组内讨论； 2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果； 3.讨论时间2分钟. B D B D 折痕AD 与桌面垂直吗? 如何翻折才能使折痕AD 与桌面垂直? 为什么? 探究新知 AD 与平面α内的两条相交直线BD,DC 都垂直 翻折后 垂直关系不变 当AD 为高时 符号语言 “线线垂直” →“线面垂直” 若mCa,nca,l⊥m,lIn,mnn=P, 则Z⊥α.一垂，二垂，三相交 ①两线面内②线线垂直③两线相交 缺 一 不 可 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 那么该直线与此平面垂直. 任务三 探究直线与平面垂直的判定. 探究新知 C 如图：两相交直线a,b 确定平面α,l⊥m,lln 结合平面向量基本定理可知，平面内的任意一个向量可以由两相交直 线a,b 的方向向量m,n 线性表示， 可得直线l 垂直于平面α内任意一个向量， 进而垂直于平面α内任意一条直线， 由直线与平面垂直的定义可得l lα . 任务三 探究直线与平面垂直的判定. 思 考 你能结合向量知识解释直线与平面垂直的判定定理吗? 探究新知 m— P α u ① 平 行→ 同左侧情况→ 不垂直 无数条直线- ②不都平行一→相 交 垂直 直线与平面垂 直的判定定理 任务三 探究直线与平面垂直的判定. 思 考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面， 那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗?你能从 向量的角度解释原因吗?如果改为“无数条直线”呢? 若把“两条相交直线”改为“两条平行直线”若把“两条相交直线”改为“无数条直线” 平面内与b平行或重 合的直线与I垂直( 并 不是所有直线) 探究新知 u=λm 99- α 一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这 条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做 斜足. 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO, 过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射 影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫 做这条直线和这个平面所成的角. 1.如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角 . 2.如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角. 直线与平面所成的角的取值范围是多少? [0°,90°] 任务四 探究直线与平面所成的角. 探 究 请你尝试给出直线与平面所成角的定义. 探究新知 解：作OB⊥A B于点B , 连接PB. ∵PO是平面α的垂线，∴PO⊥AB. 又OB∩PO=0, ∴AB⊥ 平面PBO. ∴ABl PB. 于 是 ， 显然，PB>PO , 所以sin∠PAB>sinθ . 而∠PAB,θ 都是锐角，所以∠PAB>θ . 探究直线与平面所成的角. 如 图 ，AB 是平面α内一条不与直线AO重合的直线，那么直线PA与直 线AB 所成的角和直线PA 与这个平面所成的角的大小关系是什么? 总结 直线与平面相交时(不包含垂直),直线与平面所成的角，是直线与 平面内经过斜足的直线所成角中最小的角. 任务四 思 考 探究新知 证明：在平面内取两条相交直线b⊥α . ∵直线a ⊥α,∴alm,aln, ∵b//a,∴b⊥m,b⊥n, 又m Cα,n Cα,m,n是两条相交直线 ∴blα . ◎ 应用举例 ilN 例 1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另 一条直线也垂直于这个平面. 已知：alα,a//b. 求证：b⊥α . 追问1:你能根据条件于结论画出示意图，写出已知、求证吗?|a 追问2:结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么? 用直线与平面垂直的定义证明这个例题 追问3:你还有不同的证明方法吗? 例 2 如图所示，Rt△ABC 所在平面外一点S,SA=SB=SC, 点D 为斜边AC 的 中点，求证：直线SDI 平面ABC. ◎ 提 示 证明线面垂直的突破口是什么? 找到线线垂直 解：连接BD, ∵SA=SC, 点D为AC的中点，∴SD⊥AC. 在Rt△ABC 中，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=AD. 在△SAD与△SBD中 ∴△SAD≌△SBD(SSS), ∴∠SDB=∠SDA=90°, ∴SD⊥BD, 又SD⊥AC,BD∩AC=C,BD 、AC 都在平面ABC中， ∴SD1平面ABC. 总结 应用判定定理证明线面垂直 的步骤 ①找：在平面内找到或作出两条 与已知直线垂直的直线； ②证： 证明已知直线垂直于找到 (作出)的直线； ③结论：由判定定理得出结论. ◎ 应用举例 解：由题意知，A 是M 在平面ABC 内的射影， ∴MA⊥平面ABC.∴MC 在平面CAB内的射影为 AC. ∴∠MCA 即为直线MC 与平面CAB 所成的角. 又∵在Rt△MBC中，BM=5,∠MBC=60°, 在Rt△MAB中，MA=√MB²-BA²=√5²-4²=3 在Rt△MAC 中， B 总 结求斜线和平面所成的角 的步骤 ①寻 找过直线上一点与平面垂 直的直线； ②由垂足和斜足出射影，确定 出所求角； ③把该角放入三角形中计算. ∠MBC=60°, 求MC 与平面CAB 所成角的正弦值. ◎提 示 如何快速找到线面所成角呢?找到过这点的垂线 il 例 3 如图所示，Rt△BMC中，斜边BM-5, 它在平面ABC上的射影AB 长为4, ◎ 应用举例 解：连接BC₁,B₁C , 相交于点O, 连接A₁O. 设正方体的棱长为a. ∵A₁B₁⊥B₁C1,A₁B₁⊥B₁B,B₁C₁∩B₁B=B₁, ∴A₁B₁⊥ 平面BCB₁C1.∴A₁B₁⊥BC₁ . 又BC₁⊥B₁C,∴BC₁⊥ 平面A₁DCB₁ . ∴A₁O 为斜线A₁B 在平面A₁DCB₁ 上的射影， ∠BA₁ O 为A₁ B 和平面A₁DCB₁ 所成的角 . 在Rt△A₁BO 中 ，A₁B=√2a, ∴∠BA₁O=30°. ∴直线A₁ B 和平面A₁DCB₁ 所成的角为30° . 总结 求斜线和平面所成的角的步骤 ①寻找过直线上一点与平面 垂直的直线； ②证明某平面角就是斜线和 平面所成角； ③把该角放入三角形中计算. ◎ 应用举例 ilN94 如图在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₂ 中，求直线A₁B 和平面A₁DCB₁ 所成的角。 ◎ 提 示 如何构造线面所成角呢? 过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足 C B 解：取AA₁的中点M, 连接EM,BM. 是DD₁ 的中点，四边形ADD₁A₁ 为正方形， 以EM//AD. 又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中， AD⊥平面ABB₁A₁, 所以EM⊥平面ABB₁A₁, 从而BM 为直线BE 在平面ABB₁A₁ 上的射影，∠EBM 即 为直线BE 与平面ABB₁A₁ 所成的角，设正方体的棱长为2, 则EM=AD=2,BE=√2²+2²+1²=3 于是在Rt△EBM 中， 即直线BE 与平面ABB₁A₁ 所成的角的正弦值为3 C 总结 求斜线和平面所成的角的步骤 ①作出一点与平面垂直的直线； ②连接垂足和斜足得出射影， 确定出所求角； ③把该角放入三角形中计算. ◎ 应用举例 ilN 例95如图所示，在正方体ABCD=A₁B₁C₁D₁ 中 ，B 是棱DD₂ 的 中 点 求直线BE 与平面ABB₁A₁ 所成的角的正弦值. D₁ 画法 直线与平面垂直的定义 重要结论 直线与平面垂直的判定定理 直线与平面所成的角 求法 ◎ 归纳总结 应用判定定理证明线面垂直的步骤 求斜线和平面所成的角的步骤 总 结 回顾本节课的探究过程，你学到了什么? 图形语言 符号语言 应用 直线与平面垂直 应用 $