8.1.1 棱柱、棱锥和棱台 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥和棱台 学习目标： 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征（数学抽象）. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系（逻辑推理）. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构（直观想象）. 　　观察下面的图片，这些图片你都不陌生吧.小到精巧的家居装饰，大到宏伟庞大的建筑；从远古的金字塔，到现代的国家大剧院、埃菲尔铁塔，设计师、建筑师们匠心独具，为我们留下了精美绝伦的建筑物，每当看到这些建筑物都会给人以震撼的美. 情境导入 问题1　观察下列物体，它们有什么特点？ 提示：可以发现，纸箱、金字塔、茶叶罐、水晶萤石、储物箱等物体有相 同的特点：围成它们的每个面都是平面图形，并且都是平面多边形；纸 杯、腰鼓、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体也有相同的特点：围成它们 的面不全是平面图形，有些面是曲面. 情境导入 空间几何体：若只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体. 知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义 共同特点： 围成它们的每个面都是平面多边形. 我们把这种由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. 共同特点： 围成它们的面不全是平面图形，有些面是曲面. 我们把这种由封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体. 知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体． 两个面的公共边 围成多面体的各个多边形 棱与棱的公共点 知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义 （1）多面体由平面多边形围成，这里的多边形包括它内部的平面部分； （2）多面体至少有4个面； （3）各个面是相同的正多边形的多面体叫做正多面体，正多面体有以下五种—— 一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体． 常见的旋转体 知识点一|空间几何体、多面体、旋转体的定义 探究一：分组发放棱柱（三棱柱、四棱柱、六棱柱），引导学生观察底面、侧面、棱的数量及位置关系。完成表格。 几何体 底面形状 侧面形状 棱的特点 立体图形 棱柱 两个平行的全等多边形 平行四边形 侧棱平行 且相等 知识点二|棱柱的结构特征 思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？ 提示：不一定.“其余各面都是平行四边形”并不能保证“相邻两个四边形的公共边都互相平行”，如图所示的几何体就不是棱柱. 知识点二|棱柱的结构特征 思考2：底面是长方形的棱柱一定是长方体吗？ 棱 柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面. 直棱柱：侧棱与底面垂直. 知识点二|棱柱的结构特征 五棱柱：底面是五边形. 斜棱柱：侧棱不垂直于底面. (1) 按棱柱底面边数分类: 三棱柱，四棱柱，五棱柱......； 四棱柱：底面是四边形. 三棱柱：底面是三角形. 直棱柱：侧棱与底面垂直. 直棱柱，斜棱柱； (2) 按棱柱底面与侧棱的位置关系分类 知识点二|棱柱的结构特征 (3) 正棱柱: 正五棱柱 正四棱柱 正三棱柱 (4) 平行六面体: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体. 知识点二|棱柱的结构特征 【例1】　如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1. （1）这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ 解： 是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. 知识点二|棱柱的结构特征 （2）用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是 棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用字母表示；如果不是，请说明理由. 解： 是棱柱，截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方 部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 知识点二|棱柱的结构特征 【规律方法】 辨析棱柱的方法 根据棱柱的三个结构特征判定，也可利用等价命题判定：即①有两个面互 相平行（底面）；②所有侧棱互相平行. 知识点二|棱柱的结构特征 训练1　（1）设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}， Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是（　B　） A. P⊆N⊆M⊆Q B. Q⊆M⊆N⊆P C. P⊆M⊆N⊆Q D. Q⊆N⊆M⊆P 解析： 根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的 长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方 体}⊆{直四棱柱}.故选B. B 知识点二|棱柱的结构特征 （2）〔多选〕下列关于棱柱的说法正确的有（　CD　） A. 所有的面都是平行四边形 B. 每一个面都不会是三角形 C. 两底面平行，并且各侧棱也平行 D. 被平面截成的两部分可以都是棱柱 解析： A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. CD 知识点二|棱柱的结构特征 探究二：分组发放棱锥（四棱锥、正三棱锥）模型，引导学生观察底面、侧面、棱的数量及位置关系。完成表格。 几何体 底面形状 侧面形状 棱的特点 立体图形 棱锥 知识点三|棱锥的结构特征 多边形 三角形 侧棱交 于顶点 棱 锥 棱锥 定义 一般地，有一个面是 ，其余各面都是有一个公共顶点 的 ，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 相关概念 棱锥的底面： 面； 棱锥的侧面：有公共顶点的各个 面； 棱锥的侧棱：相邻侧面的 ⁠； 棱锥的顶点：各侧面的 ⁠ 结构特征 （1）有一个面是多边形，其余各面都是三角形； （2）各侧面三角形有一个公共顶点 多边形　 三角形　 知识点三|棱锥的结构特征 多边形　 三角形　 公共边　 公共顶点　 (1) 按棱锥底面边数分类: 三棱锥，四棱锥，五棱锥......； 五棱锥：底面是五边形. 四棱锥：底面是四边形. 三棱椎：底面是三角形. 三棱锥又叫四面体. (2) 正棱锥: 底面是正多边形，并且顶点与底面中心 的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥. 知识点三|棱锥的结构特征 【例2】　说出图中几何体的名称， 并用字母表示出该几何体，同时指出其顶点、 侧面、底面及侧棱. 解：该几何体为五棱锥；用字母可表示为五棱 锥P-ABCDE；顶点为点P，点A，点B，点C，点D，点E；侧面为△PAB，△PBC，△PCD，△PDE，△PAE；底面为五边形ABCDE；侧棱为PA，PB，PC，PD，PE. 知识点三|棱锥的结构特征 棱锥的辨析方法 （1）直接法（扣定义）：①看面：即观察这个多面体有一个面是多边 形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形；②看线：即观察侧棱是否相 交于一点； （2）举反例. 知识点三|棱锥的结构特征 训练2　（1）〔多选〕下列说法中正确的有（　AB　） A. 棱锥的各个侧面都是三角形 B. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C. 棱锥的侧棱平行 D. 有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 解析： 由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四 面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以 作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误； 棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错误. AB 知识点三|棱锥的结构特征 （2）下列说法中正确的是（　D　） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C. 各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D. 底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 D 知识点三|棱锥的结构特征 解析： 对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；对于B，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；对于C，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长均为侧棱长，C错误；对于D，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确. 知识点三|棱锥的结构特征 问题4　如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的 下部分具有怎样的特点？ 提示：截得的下部分上、下两个面互相平行且相似，各侧面为梯形. 知识点四|棱台的结构特征 原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间那部分多面体叫做棱台. 定义: 底面： 侧面： 侧棱： 顶点： 侧面与上下底面的公共顶点. 除上下底面以外的其余各面，它们都是梯形； 相邻侧面的公共边； 表示： 棱台用表示上下底面的各顶点的字母表示. 例如图中的棱台记作：棱台ABCD-A′B′C′D′. 知识点四|棱台的结构特征 知识点四|棱台的结构特征 (1) 按棱台底面边数分类: 五棱台：由五棱锥截得的棱台. 四棱台：由四棱锥截得的棱台. 三棱台：由三棱锥截得的棱台. 三棱台，四棱台，五棱台......； (2) 正棱台: 由正棱锥截得的棱台，上下底面都是正多边形，侧面都是全等的等腰梯形的棱台叫做正棱台. 判断一个台体是棱台的依据是：看台体的各侧棱延长是否交于一点. 知识点四|棱台的结构特征 　　提醒：棱柱、棱锥、棱台之间的变化关系为：当棱台的上底面与下底 面相同时，棱台就转化为棱柱；当棱台的上底面收缩为一个点时，棱台就 转化为棱锥.如图所示. 知识点四|棱台的结构特征 【例3】　下面四个几何体中为棱台的是（　　） 解析：　A项中的几何体的两个底面不平行，不是棱台；B项中的几何体 是棱锥；C项中的几何体符合棱台的定义，是棱台；D项中的几何体的棱 AA'，BB'，CC'，DD'的延长线没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台. √ 知识点四|棱台的结构特征 判断棱台的一般思路 （1）举反例法：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某 些说法不正确； （2）直接法：①定底面，两个互相平行的面，即为底面（两个多边形相 似）；②看侧棱，延长后相交于一点. 知识点四|棱台的结构特征 训练3　〔多选〕下列选项中，不正确的是（　　） A. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B. 有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D. 棱台的侧棱延长后必交于一点 √ √ √ 解析：A中的平面不一定平行于底面，故A错误； B、C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B、C错误；由棱台的定义知，D正确. 知识点四|棱台的结构特征 多面体 活动1： 将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来： 多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体. 棱锥 四面体 棱台 直棱柱 平行六面体 棱柱 长方体 提能点|合作探究 活动2：某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为 ( 　) 剪开的相邻面在展开图中可以不相邻,但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻. 相同的图案是盒子上相对的面,展开后不能相邻. 提能点|合作探究 √ 变式1 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是 (　　) A．1 B．9 C．快 D．乐 提能点|合作探究 √ 2. 棱柱、棱台、棱锥之间有什么关系吗？ 1. 棱柱、棱台、棱锥定义是怎样的？ 课堂小结 1. 有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体 为（　　） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 解析：　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥. √ 课堂达标检测 2. 下面多面体中，是棱柱的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解析：　根据棱柱的定义进行判定，知这4个多面体都是棱柱. √ 课堂达标检测 3. 〔多选〕下列说法不正确的是（　　） A. 棱台的两个底面相似 B. 棱台的侧棱长都相等 C. 棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 解析： 　由棱台的定义知A正确，B、C不正确；棱柱的侧棱都相等且 互相平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确. √ √ √ 课堂达标检测 4. 下列几何体中， 是棱柱， 是棱锥， 是棱台（仅 填相应序号）. ①③④　 ⑥　 ⑤　 课堂达标检测 谢谢大家！ $