精品解析：2026年湖北省荆州市监利市初中毕业年级模拟考试 九年级数学试题

初中毕业年级模拟考试 九年级数学试题 （本试题共6页，满分120分，时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 2. 如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图， 判断这个几何体的俯视图即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，因为，所以，因为，所以，则方程与所有实数根的乘积等于，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴方程与所有实数根的乘积等于， 故选：A． 5. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，利用对顶角的性质和三角形内角和定理可求出，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 B. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 C. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则乙的成绩比甲的稳定 D. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】利用调查方式的选择、方差的意义及概率公式分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，故原说法错误，该选项不符合题意； B、一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次可能有1次中奖，故原说法错误，该选项不符合题意； C、∵，∴则甲的成绩比乙的稳定，故原说法错误，该选项不符合题意； D、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查，故原说法正确，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，概率公式，方差和概率的意义，理解各个概念是正确判断的前提． 7. 如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，作出旋转后的图形，由图可知，的横坐标为的值，的纵坐标为的值，即可得到的坐标．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∵点的坐标是，在第二象限，且绕点顺时针旋转， ∴点在第一象限，，， ∴． 故选：B． 8. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（ ） A. 以内 B. C. D. 以上 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为，根据图象可知反比例函数过点，即可求出解析式，再根据每次充满电需要，可求充电时的充电功率范围． 【详解】解：设新能源电动车充满电所需时间t（单位：）与充电功率P（单位：）的反比例函数为， 代入得，， ∴， ∴， ∵该新能源电动车每次充满电需要， ∴当时，；当时，； ∴充电时的充电功率范围是， 故选：B． 9. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义．根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得是的角平分线，从而得到，再由三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 10. 如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作于点G，由线段中点得，根据折叠可得，，从而得出为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质得到，在中利用即可解答． 【详解】解：如图，过点E作于点G， ∵四边形为矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 根据折叠可得，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴， ∴． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. x减去y不大于，用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 若正比例函数的图象过一、三象限，请写出一个满足条件的k的值______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据，正比例函数的图象经过一，三象限，求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象过一、三象限， ∴， ∴k的值可以为1； 故答案为：1（答案不唯一）． 13. 为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：依题意，把“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题分别记为，，， 列表如下： D D 共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种， 这两个班选择同一主题的概率是， 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的减法，再计算乘法即可解答． 【详解】解：． 故答案为：1 15. 如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是_____，的周长是____． 【答案】 ①. 5 ②. 16 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象．数形结合根据各个关键点的纵坐标得到相应线段的长度是解决本题的关键．根据图象可知点P在上运动时，此时不断增大，而从C向A运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案． 【详解】解：根据图象可知点P在上运动时，此时线段不断增大，由图象可知：点P从B向C运动时， 的最大值为5，即，由于M是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即时，， ∴由勾股定理，得，由于图象的曲线部分是轴对称图形，曲线右端点纵坐标为5， ∴， ∴此时 (三线合一)， ∴， ∴的周长为， 故答案为：5；16． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值．利用算术平方根的定义，零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 17. 如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】；本题考查平行线的性质、 全等三角形判定及性质，运用了转化角的思想与全等证明的方法技巧，解题思路：先由得角相等，再结合已知的角和边，用 证 ，从而得． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ∴（）， ∴． 18. 小明想测扬州大运塔的高度．他在点处测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是米，请聪明的你帮他求出塔的高度．（参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题．证明四边形均为矩形．在和中，根据三角函数的定义列式计算即可解答． 【详解】解：由题意得，， 则四边形均为矩形， 所以米，米， 在中，，则．设米， 在中，， 则，即， 解得：， 所以米， 则（米）． 答：这座高塔的高度为米． 19. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的测试成绩（成绩用表示，单位：分）进行了整理与分析，下面给出了部分信息： 【收集数据】七年级成绩在这一组的数据是： 70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78， 【整理数据】七年级、八年级40名学生成绩的频数分布统计表如下： 年级 七 4 11 a 10 b 八 6 3 c 14 2 【分析数据】七年级、八年级成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 86 八年级 84 76 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________；___________；___________； （2）若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是___________度；本次测试成绩更整齐的是___________年级（填“七”或“八”）； （3）七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 【答案】（1）2；15； （2）135；八 （3）320人 【解析】 【分析】（1）由表格及所给总数，中位数定义即可得出结论； （2）利用圆心角求法、方差的定义即可得出结论； （3）用样本中符合条件的数目占样本容量的百分比估计总体即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， ； 将七年级40名学生成绩从小到大进行排序，排在第20位的是72分，第21位的是73分，因此中位数； 【小问2详解】 解：圆心角为：， ∵， ∴八年级成绩更稳定； 【小问3详解】 解：∵七年级成绩在这一组的数据是：， ∴该组不低于分的人数为人， ∵分数段的人和分数段的人， ∴， 答：七年级能参加第二轮比赛的人数为人． 20. 如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． （1）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． （2）若反比例函数的图象过点．则的值为___________； （3）在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）16 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出； （2）根据，得出，求出，，从而得出，即可得出答案； （3）设点P的坐标为，根据为以点为直角顶点的直角三角形，得出，即可得出， 【小问1详解】 解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； 【小问3详解】 解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ； ∵为以点为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 21. 如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． （1）求证：平分； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关性质结合相似三角形的判定与性质解决问题． （1）连接，利用切线的性质得，结合证，得，再由得，从而证； （2）连接，由直径所对的圆周角是直角得，结合和平分证，利用相似三角形的对应边成比例求出的长，进而求出的半径． 【小问1详解】 证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ，即平分． 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 【答案】任务1：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元；任务2：共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本；方案2：购买20支钢笔，30本笔记本；任务3：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 【解析】 【分析】任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据“钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本，利用总价单价数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数”，即可得出各购买方案； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本，根据兑换后笔记本与钢笔数量相同，可列出关于m，n的二元一次方程，结合“，，且m，n均为整数”，可得出各兑换方案，任取其一即可得出结论． 【详解】解：任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元； 任务2：钢笔最多购买支，笔记本最多购买本， 设购买a支钢笔，b本笔记本， 根据题意得：， ∴， 又∵a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本； 方案2：购买20支钢笔，30本笔记本； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本， 根据题意得：或， 整理得：或， ∵，，m，n均为整数， ∴或， ∴共有两种兑换方案， 方案1：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记本； 方案2：用5张兑换钢笔，2张兑换笔记本． 答：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 23. 已知，在中，，延长至，使，过点作交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）若，将图1中的绕点逆时针旋转到如图2，当时，请求出的长； （3）如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，连接交直线于点，求证：． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用即可证明； （2）作于点H，证明四边形是矩形，得出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出； （3）过点作交于点E，证明，即可得到． 【小问1详解】 证明：如图， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点H， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， 在中，， ∴， 在中，； 【小问3详解】 证明：过点作交于点E，如图， ∴， 由旋转可得：， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，当时，求的值； （3）设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①S关于t的函数解析式为；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，，过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图所示： ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ， 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知：当时，存在2个符合条件的点P． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中毕业年级模拟考试 九年级数学试题 （本试题共6页，满分120分，时间120分钟） ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔． 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 如图，已知直线，三角板的直角顶点C放在直线b上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 B. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 C. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则乙的成绩比甲的稳定 D. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查 7. 如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在电池容量固定且充电功率全程稳定的情况下，某新能源电动车充满电所需时间t（单位：）是充电功率P（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．若该新能源电动车每次充满电需要，则充电时的充电功率范围是（ ） A. 以内 B. C. D. 以上 9. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点E为边的中点，连接，沿折叠，点落在矩形内部，点的对应点为，连接，若，则的长为（　　） A. B. 2 C. 4 D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. x减去y不大于，用不等式表示为___________． 12. 若正比例函数的图象过一、三象限，请写出一个满足条件的k的值______． 13. 为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 14. 计算：______． 15. 如图1，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的长是_____，的周长是____． 三、解答题（共9题，共75分） 16. 计算：． 17. 如图，已知点，，在同一条直线上，，，．求证：． 18. 小明想测扬州大运塔的高度．他在点处测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知小明的眼睛离地面高度是米，请聪明的你帮他求出塔的高度．（参考数据：） 19. 2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况，对七、八年级学生进行了测试，现从七、八年级学生中随机抽取了部分学生的测试成绩（成绩用表示，单位：分）进行了整理与分析，下面给出了部分信息： 【收集数据】七年级成绩在这一组的数据是： 70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78， 【整理数据】七年级、八年级40名学生成绩的频数分布统计表如下： 年级 七 4 11 a 10 b 八 6 3 c 14 2 【分析数据】七年级、八年级成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 七年级 86 八年级 84 76 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________；___________；___________； （2）若将八年级成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是___________度；本次测试成绩更整齐的是___________年级（填“七”或“八”）； （3）七年级有800名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 20. 如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． （1）过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． （2）若反比例函数的图象过点．则的值为___________； （3）在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 21. 如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． （1）求证：平分； （2）若，，求半径的长． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 23. 已知，在中，，延长至，使，过点作交的延长线于点． （1）如图1，求证：； （2）若，将图1中的绕点逆时针旋转到如图2，当时，请求出的长； （3）如图3，将图1中的绕点逆时针旋转，连接交直线于点，求证：． 24. 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点为轴上方抛物线上一动点（点不与点重合），设点的横坐标为． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接，当时，求的值； （3）设以为顶点的四边形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②若取一个具体的数值时，恰好存在两个符合条件的点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $