第7章 计数原理(单元复习课件)高二数学苏教版选择性必修第二册

单元复习课件 第七章 计数原理 苏教版2019选择性必修第二册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1. 了解分类计数原理、分步计数原理及其意义，能利用两个计数 原理分析和解决一些简单的实际应用问题． 3. 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 2. 理解排列、组合的概念；掌握二项式定理的正用和逆用；二项 式系数的性质与各项的和． 单元学习目标 两个原理 分类加法计算原理 分步乘法计算原理 排列与组合 二项式定理 二项式定理 二项展开式的系数 的意义及计算 组合数的性质 排列 组合 的意义及计算 单元知识图谱 完成一件事 分类问题：用任何一类中的任何一种方法都可以完成这件事； 分步问题：只有依次完成每一个步骤，才能完成这件事。 有n类办法 需要m个步骤 N ＝m1＋m2＋· · · ＋mn N ＝m1 • m2 • · · · • mn 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 思考：两个计数原理有什么联系与区别？ (一)两个计数原理 考点串讲 例1 (1)现有4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) A．144 种     B．2 种   C．64 种     D．84 种 (一)两个计数原理的应用 ④ ② ① ③ D 解析 根据所用颜色的种数分类： 第一类：用 4 种颜色涂，有 第二类：用 3 种颜色涂，必须有一条对角区域涂同色，有 第三类：用 2 种颜色涂，对角区域各涂一色，有 共有24＋48＋12＝84(种) A4 ＝4×3×2×1＝24(种) 4 A4 ＝4×3＝12(种) 2 1 2 C2C4 A3 ＝48(种) 1 题型剖析 (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ (一)两个计数原理的应用 钳工5 车工4 2 分析 怎样完成事件 选择操作对象 (人物或目标位置) 分类或分步 题型剖析 (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ (一)两个计数原理的应用 解法一 以钳工为主线，设 A，B 代表两名老师傅 A，B 中有 0 人当钳工，有 A，B 中有 1 人当钳工，有 A，B 中有 2 人当钳工，有 所以共有75＋100＋10＝185(种) 4 C5C6 ＝75(种) 4 1 C2C5 C5＝100(种) 3 4 2 C2C5 C5＝10(种) 2 4 钳工5 车工4 2 题型剖析 (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ (一)两个计数原理的应用 解法二 以车工为主线 A，B 中有 0 人当车工，有 A，B 中有 1 人当车工，有 A，B 中有 2 人当车工，有 所以共有35＋120＋30＝185(种) 4 C4C7 ＝35(种) 4 1 C2C4 C6＝120(种) 3 4 2 C2C4 C5＝30(种) 2 4 钳工5 车工4 2 题型剖析 利用两个计数原理解题，搞清两个原理的含义及区别，解题时，通过数学逻辑推理，知道是利用哪个原理去解题，关键是分类还是分步，进而通过正确的数学运算求解。 用两个计数原理解决计数问题的方法是什么？ 小结 练习1 生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有(　　) A．24 种   B．36 种   C．48 种   D．72 种 (一)两个计数原理的应用 解析 分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12(种)； ②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24(种)． 所以共有12＋24＝36(种)． B 针对训练 练习2 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有_____个(用数字作答)． 第一类：有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．　 第二类，有两条公共边的三角形共有8个． 由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)． 40 (一)两个计数原理的应用 解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类： 针对训练 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素， 若按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与顺序有关(是选择后排序的结果) 组合与顺序无关(仅是选择的结果) 注意 定义 (二)排列、组合 考点串讲 排列数公式 ① ② 规定： An ＝1 0 当m＝n时， ，其中， An ＝n!， n 0！＝1 (二)排列、组合 考点串讲 组合数公式 规定： Cn ＝1 0 组合数性质： (二)排列、组合 考点串讲 (二)排列与组合的综合应用 例2 在高二一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 解析 第一步先将 4 个舞蹈节目捆绑起来，看成 1 个节目， 与 6 个演唱节目一起排，有 排法； 第二步再松绑，给 4 个节目排序，有 排法 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24＝120960(种)安排顺序 A7 ＝5040(种) 7 A4 ＝24(种) 4 捆绑法 题型剖析 (二)排列与组合的综合应用 例2 在高二一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ 解析 第一步将 6 个演唱节目排成一行(如图中的□)， 第二步再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(如图中的▲) 这样相当于 7 个▲选 4 个来排，一共有 排法 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604800(种)安排顺序 A7 ＝840(种) 4 插空法 □ □ □ □ □ □ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ ▲ A6 ＝720(种) 6 一共有 排法 题型剖析 解析 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有 排法； 但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出顺序有 (二)排列与组合的综合应用 例2 在高二一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗歌朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目安排顺序？ 定序问题用除法 A12 种 12 A12 12 A10 10 ＝ ＝132(种) A12 2 题型剖析 ①解排列组合的综合问题，首先要认真审题，分清时排列还是组合问题，再注意结合分类与分步两个原理，要按元素的性质确立分类的标准，按事情的发生过程确定分步的顺序。 ②解排列组合的综合问题应遵循三大原则：先特殊后一般，先分组后排序，先分类后分步。 解答排列、组合综合问题的思路及注意点有哪些？ 小结 (二)排列与组合的综合应用 练习1 从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是______． 24 解析 从4本书中选3本有 选法， 把选出的3本送给3名同学，有 送法， 所以不同的送法有 ＝4×6＝24(种)． C4 ＝4(种) 3 A3 ＝6(种) 3 C4A3 3 3 针对训练 练习2 学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买，其他水果数量充足．甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有______种． 600 (二)排列与组合的综合应用 解析 依题意，就西梅是否有同学购买进行分类： 第一类，4位同学中有一位购买了西梅，有 情况； 第二类，4位同学均没有购买西梅，有 情况． 由分类加法计数原理得，满足题意的有240＋360＝600(种)． C4C5C3A2 ＝240(种) 1 2 2 2 C5C4A2 ＝360(种) 3 2 3 针对训练 练习3 A，B，C，D，E，F同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D必须相邻，这样的排队方法有____种． 72 (二)排列与组合的综合应用 解析 分三步： 第一步 先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有 方法； 第二步 排好之后现在有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法； 第三步 将B，C插入剩余三个空位，有 方法； 由分步乘法计数原理，共有 排队方法 A3 种 3 A3 种 2 A3×2×A3＝72种 3 2 针对训练 二项式定理 (a＋b)n＝Cn an＋Cn an-1b1＋…＋Cn an－rbr＋…＋Cn bn 0 1 r n Cn r 二项式系数  (n＝0，1，2，…，n) 二项式通项 Cn an－rbr r Tk＋1＝ 二项式系数性质 ③ ① ② ④当 n 是偶数时，中间的一项 取得最大值； 当 n 是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值 (三)二项式定理 考点串讲 (三)二项式定理及其应用 例3 已知(1－2x)n展开式中只有第5项的二项式系数最大， (1)求展开式中含x2的项； (2)设(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2…＋ anxn，求a1＋a2＋a3…＋ an的值. 解析 (1)因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以n＝8 Tr+1＝C8 (－2)r xr，r＝0，1，2，…，8, r 所以当r＝2时， T2+1＝C8 (－2)2 x2＝112x2. 2 (2)令x＝1时，得a0＋a1＋a2＋a3…＋ a8＝1 令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋a3…＋ a8＝0 题型剖析 (1)求二项展开式中特定项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数； (2)求二项展开式各项系数的和差：赋值代入； (3)确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质。 小结 对于二项式定理的考查常有以下几类问题： (三)二项式定理及其应用 练习1 (1＋x)6展开式中x2的系数为(　　) A．15         B．20            C．30             D．35 解析 (1＋x)6展开式的通项 Tr+1＝C6 xr， r 所以 (1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C6＋1×C6＝30 2 4 C 针对训练 (三)二项式定理及其应用 练习2 在 展开式中，x的幂指数是整数的项共有( 　) A．3 项         B．4 项            C．5 项             D．6 项 故当r＝0，6，12，18，24时，幂指数为整数，共5项。 C 解析 的展开式的通项为 Tr+1＝ 针对训练 (三)二项式定理及其应用 解析 令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝-5 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋ a11＝(32＋1)(3－3)9＝0 所以a1＋a2＋a3＋…＋ a11＝－a0＝5 练习3 若(x2＋1)(x－3)9＝a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋ …＋ a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3…＋ a11的值为 5 针对训练 （1）本节课我们复习了哪些知识点及公式？ （2）你有哪些收获和困惑？ 课堂总结 感谢聆听! $