10.1.1 有限样本空间与随机事件（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“有限样本空间与随机事件”，涵盖随机试验、样本点、样本空间及事件分类等核心知识。课堂从抛硬币、彩票中奖等生活实例导入，通过问题链区分随机与必然现象，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以互动探究（如小组用不同方法表示样本空间）发展数学抽象素养，用集合语言和Venn图体现数学语言精确性，典例与分层练习结合培养有序思考。既助学生建立概率思维，又为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第十章 概率 10.1随机事件与概率 第1课时有限样本空间与随机事件 学 习 目 标 1 2 理解随机现象、随机试验的概念，能准确判断生活中的随机现象 掌握样本点、样本空间的概念，能用集合语言表示有限样本空间 理解随机事件、基本事件、必然事件、不可能事件的概念及相互关系 能正确写出简单随机试验的样本空间，并能用样本空间的子集表示随机事件 经历从具体实例抽象出数学概念的过程，发展数学抽象素养 通过样本空间的构建，体会分类讨论和有序思考的数学思想 通过集合语言描述随机事件，感受数学语言的精确性和简洁性 新课引入 同学们，在我们的日常生活中，充满了各种各样的“不确定”与“确定”： 抛一枚硬币， 可能正面朝上，也可能反面朝上， 我们事先无法确定结果； 掷一颗骰子， 可能出现1到6中的任意一个点数， 同样无法提前预知； 但我们知道，三角形的内角和一定是180°，太阳每天一定会从东方升起。 新课引入 情境归类 现象类型 特征 例子 确定性现象 结果事先确定 随机现象 结果事先不确定 🎲 情境问题 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上还是反面朝上？ 2. 明天早上7:00，你所在城市的温度是多少？ 3. 在标准大气压下，水加热到100°C会沸腾吗？ 4. 从装有红球、白球的袋中随机摸一球，会摸到什么颜色？ 现象3是必然现象（条件确定，结果确定） - 现象1、2、4是随机现象（条件确定，结果不确定） 新课引入 彩票中奖的奥秘 问题 某彩票从1-33中选6个红球，从1-16中选1个蓝球。小明认为：“我随机选一组号码，和不选有什么区别？反正都是碰运气。” 思考 选号和不选号，中奖概率真的相同吗？ 要回答这个问题，我们需要先弄清楚：这个随机试验有多少种可能的结果？ 今天我们就来学习如何用数学语言描述随机现象，走进概率的世界——《10.1.1 有限样本空间与随机事件》，一起揭开随机现象的数学面纱。 互动探究 认识样本空间 有限样本空间与随机事件 探究任务：抛掷一枚硬币，观察落地时朝上的面 问题链 1. 这个试验可能出现哪些结果？ 2. 能否用数学符号表示这些结果？ 3. 所有可能结果组成一个集合，这个集合是什么？ 共同归纳 样本点(ω)：随机试验的每一个可能的基本结果 样本空间(Ω)：全体样本点组成的集合 符号规范： 样本点：小写希腊字母 ω（omega） 样本空间：大写希腊字母 Ω（Omega） 互动探究 构建复杂样本空间 有限样本空间与随机事件 探究任务：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，观察落地时朝上的面 小组活动：用不同方法表示所有可能结果 方法 表示 评价 文字描述 两个正面；第一正第二反；第一反第二正；两个反面 繁琐，不精确 符号表示 (正,正), (正,反), (反,正), (反,反) 清晰，但书写慢 数学符号 (1,1), (1,0), (0,1), (0,0) 简洁，便于运算 关键提问：(正,反)和(反,正)是同一个结果吗？ 结论：两枚硬币有区别（第一枚、第二枚），所以(正,反) ≠ (反,正) 样本空间：Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} 或记为：Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}共有 4个样本点 互动探究 用集合表示随机事件 有限样本空间与随机事件 承接探究二：在”同时抛掷两枚硬币”的试验中 定义以下事件： 事件A：“至少一枚正面朝上” 事件B：“两枚硬币朝上的面相同” 事件C：“第一枚正面朝上” 探究方向 1. 用样本点的集合表示各事件 2. 在Venn图中表示这些事件 解答 事件A = {(正,正), (正,反), (反,正)} —— 包含3个样本点 事件B = {(正,正), (反,反)} —— 包含2个样本点，事件C = {(正,正), (正,反)} —— 包含2个样本点 Venn图示意（Ω为矩形）： 知识讲解 随机试验 对随机现象的实现和观察称为随机试验，简称试验，通常用字母E表示。一个试验要成为随机试验，需满足以下三个特征（缺一不可）： 可重复性：试验可以在相同条件下重复进行； 明确性：试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 不确定性：每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个。 有限样本空间与随机事件 知识讲解 样本点与有限样本空间 有限样本空间与随机事件 概念 定义 符号表示 关键点 样本点 随机试验 的每一个可能的基本结果 试验不可再分的最小结果 样本空间 全体样本点组成的集合 包含试验所有可能结果 有限样本空间 样本点个数为有限个的样本空间 本节课重点研究对象 注意：样本空间的表示要简洁、规范，通常用集合表示，所有样本点不重复、不遗漏。 知识讲解 样本空间的表示方法 有限样本空间与随机事件 试验类型 表示方法 示例 单一操作 列举法 抛硬币：Ω = {正, 反} 两次操作 有序对 掷两骰子：Ω = {(i,j) | i,j∈{1,2,3,4,5,6}} 有放回抽取 有序对 有放回摸两球：Ω = {(颜色₁, 颜色₂)} 无放回抽取 树状图/列表 无放回摸两球：需排除相同元素对 知识讲解 事件的分类 有限样本空间与随机事件 事件类型 定义 集合表示 实例 随机事件 可能发生也可能不发生 Ω的非空真子集 A = {点数大于3} 基本事件 只含一个样本点的事件 单元素子集 Aᵢ = {点数为i} 必然事件 一定发生 Ω本身 “点数大于0” 不可能事件 一定不发生 ∅（空集） “点数为7” 补充说明 必然事件和不可能事件是随机事件的特殊情况，它们的发生具有确定性；只包含一个样本点的事件，称为基本事件（如掷骰子试验中，“出现3点”就是一个基本事件）。 典例分析 题型1 写出随机试验的样本空间 例1.写出下列随机试验的样本空间，并判断样本空间是否为有限样本空间： （1）E₁：从装有3个红球（记为R₁, R₂, R₃）和2个白球（记为W₁, W₂）的袋子中，随机抽取1个球，观察球的颜色和编号； （2）E₂：连续抛两枚质地均匀的硬币，观察每枚硬币朝上的面。 解：（1） 试验E₁的所有可能结果为：R₁, R₂, R₃, W₁, W₂，因此样本空间Ω₁={R₁, R₂, R₃, W₁, W₂}， 样本点个数为5，是有限样本空间； 解：（2） 试验E₂的所有可能结果为：（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面），因此样本空间Ω₂={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 样本点个数为4，是有限样本空间。 规律总结：写样本空间时，要按照一定顺序列举，避免重复或遗漏；若样本点有顺序（如连续抛两枚硬币），需体现顺序差异。 典例分析 题型1 写出随机试验的样本空间 例2.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。 (1) 写出这个试验的样本空间； (2) 用集合表示事件”点数之和大于8”； (3) 用集合表示事件”点数之积为12”。 (1)   1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (2) 事件”点数之和大于8” 设事件A = “点数之和大于8”，即 i + j > 8,逐一检验A={(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共 10个样本点 (3) 事件”点数之积为12”设事件B = “点数之积为12”，即 i × j = 12分解因数对：(i,j) 满足 i×j=12，且 i,j∈{1,2,3,4,5,6} - 2×6=12 → (2,6), (6,2) - 3×4=12 → (3,4), (4,3) B={(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)} 共 4个样本点 典例分析 题型2 判断事件类型 例3.袋中有3个白球（编号1,2,3）和2个黑球（编号4,5），从中随机摸出2个球。 (1) 写出这个试验的样本空间； (2) 判断下列事件类型： ① “摸出的两球都是白球” ② “摸出的两球颜色不同” ③ “摸出的两球编号之和为3” ④ “摸出的两球至少有一个黑球” (1) 样本空间 由于摸球无顺序（同时摸出或摸出后不放回且不考虑顺序），用集合表示： Ω={{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}} 样本点总数：C(5,2) = 10个 (2) 事件判断 事件 样本点集合 类型 说明 ① 两球都是白球 {{1,2}, {1,3}, {2,3}} 随机事件 可能发生（3种情况） ② 两球颜色不同 {{1,4}, {1,5}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}} 随机事件 可能发生（6种情况） ③ 编号之和为3 {{1,2}} 随机事件/基本事件 仅一种情况，也可视为基本事件 ④ 至少一个黑球 {{1,4}, {1,5}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}} 随机事件 可能发生（7种情况） 典例分析 题型3 事件的表示 例4. 同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)． (1)写出这个实验的样本空间； (2)求这个实验包含的样本点的总数； (3)用集合表示下列事件： ①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”； ③T＝“xy＝4”． (1)(2) Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．样本点16个 (3) “x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)． 所以M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)} “x<3，且y>1”包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)． 所以N＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)} “xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)． 所以T＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)} 当堂练习 1. 判断下列现象是随机现象还是必然现象： (1) 某电话交换台在单位时间内收到呼叫的次数 (2) 检查流水线上一件产品，是合格品还是次品 (3) 三角形内角和为180° (4) 导体通电时发热 答案：(1) 随机现象；(2) 随机现象；(3) 必然现象；(4) 必然现象 2. 写出下列随机试验的样本空间： (1) 从装有红、白、黑三个球的袋中任取一球，观察颜色； 答案：Ω = {红, 白, 黑} (2) 从1,2,3,4四个数中任取两数（不放回），观察这两个数； 答案：Ω = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)} （注意：由于不放回且不考虑顺序，(1,2)与(2,1)视为同一结果） 当堂练习 3.袋中有4个球：1个白球（记为W），3个红球（分别记为R₁, R₂, R₃）。从中随机摸出2个球。(1) 写出该试验的样本空间； (2) 用集合表示事件”摸出的两球都是红球”； (3) 该事件包含多少个样本点？ 答案： (1) Ω = {WR₁, WR₂, WR₃, R₁R₂, R₁R₃, R₂R₃}（共6个样本点） (2) 事件C = {R₁R₂, R₁R₃, R₂R₃} (3) 3个样本点 4. 同时转动如图所示的两个转盘（转盘A分为3等份，标号1,2,3；转盘B分为2等份，标号1,2），观察指针所指的数字。 (1) 写出该试验的样本空间； (2) 用集合表示事件”两个转盘指针所指数字之和为4”； (3) 这个事件包含的样本点占样本空间的比例是多少？ 答案： (1) Ω = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}（共6个样本点）(2) 设事件D = “数字之和为4”，则D = {(2,2), (3,1)} - (3) 事件D包含2个样本点，样本空间共6个样本点，比例为 当堂练习 5. 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义. (1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}； (2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}； (3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}. 解：(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”. (2)事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”. (3)事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”. 当堂练习 6.如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象,视察这个电路中各元件是否正常. (1)写出实验的样本空间; (2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”; N=“电路是通路”;T=“电路是断路”. 解 (1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态, 则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示. 进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态, 则样本空间Ω={(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}. 如图,还可以借助树状图帮助我们列出实验的所有可能结果. 当堂练习 6.如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看作一个随机现象,视察这个电路中各元件是否正常. (1)写出实验的样本空间; (2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”; N=“电路是通路”;T=“电路是断路”. 解 (2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,且x1,x2,x3中恰有两个为1, 所以M={(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}. “电路是通路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1, 所以N={(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}. 同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3)∈Ω,x1=0,或x1=1,x2=x3=0. 所以T={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}. 当堂练习 7.已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标. (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验样本点的总数； (3)写出“第一象限内的点”所包含的样本点. 学海拾贝 核心知识点梳理 （1）三个核心概念：随机试验（三个特征）、样本点（基本结果）、样本空间（全体样本点的集合），重点掌握有限样本空间的表示方法； （2）三类事件：随机事件（样本空间的子集，可能发生）、必然事件（Ω，一定发生）、不可能事件（∅，一定不发生），关键是通过样本点判断事件类型； （3）核心关系：随机事件是样本空间的子集，基本事件是只含一个样本点的随机事件，必然事件和不可能事件是特殊的随机事件。 学海拾贝 易错点提醒 写样本空间时，要注意“不重复、不遗漏”，若试验结果有顺序，需体现顺序差异； 判断事件类型时，不能仅凭生活经验，要结合样本空间的子集定义判断； 不可能事件的集合表示是空集∅，必然事件的集合表示是样本空间Ω。 学海拾贝 学习感悟 本节课我们从生活中的随机现象出发，通过试验、互动，将随机现象转化为数学语言（样本空间、事件），实现了“从具体到抽象”的思维提升。概率知识源于生活、用于生活，后续我们将进一步学习随机事件的概率计算，希望同学们能结合本节课内容，多观察生活中的随机现象，主动用数学思维分析问题。 感谢聆听! 解：(1)Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(5，－2)，(6，－2)，(－4,3)，(5,3)，(6,3)}. (2)试验样本点的总数是12. (3)“第一象限内的点”所包含的样本点为：(3,5)，(3,6)，(5,3)，(6,3). $