专题05 导数中极值点偏移与双变量问题（6大题型，压轴题专项训练）2026年高考数学(全国通用)

专题05 导数中极值点偏移与双变量问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 加法型极值点偏移问题 题型02 减法型极值点偏移问题 题型03 乘积型、平方型极值点偏移问题 题型04 对称化构造法 题型05 比值代换法 题型06 双变量问题的消元、齐次化与整体代换 模块三、综合实战演练 一、解决双变量问题的优先策略： 优先策略1：定比换元（最通用，首选） 适用于任意双变量场景（尤极值点偏移、含型） 1. 设比例（，不妨设），将代入条件； 2. 消去一个变量，将所有式子转化为仅含t的单变量表达式； 3. 构造关于的函数，用导数求单调性/最值证明不等式/求范围。 优先策略2：对称化构造（极值点偏移专属，次选） 仅适用于，证/（为极值点） 1. 构造辅助函数； 2. 求导判断单调性，结合得符号； 3. 由推与的关系，证得结论。 优先策略3：消元法（条件易解出变量关系，兜底） 适用于能从直接解出的简单场景 1. 由已知条件解出一个变量用另一个表示（如）； 2. 代入双变量不等式/等式，转化为仅含的单变量问题； 3. 按单变量导数题型求解（求导、构造函数、证最值）。 优先策略4：不等式放缩（含对数/指数，速解） 适用于双变量含/型 1. 凑对数平均不等式结构（），直接套用放缩结论； 2. 或用切线放缩/单变量导数放缩，将双变量式子分别放缩后结合。 题型01 加法型极值点偏移问题 1．已知函数的导函数为. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，当时，方程仅有两个不相等的实数根，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过求导求解斜率，结合题干求解切点坐标，再利用直线的点斜式方程求解； （2）对求导，再对导函数分析单调性，结合的初始条件，分类讨论的取值范围，再利用导数判断函数在的单调性来求解； （3）根据的根的情况，可得，构造函数，利用函数的单调性求解。 【详解】（1）当时，， ， 故切线方程为， 化简为. （2）当时，，不符合题意，舍去. 当时，. 令， 当时，，故在上单调递增， 所以，即时，，在上单调递增， 所以成立. 当时，设恒成立， 所以在上单调递增， ， 所以，使， 当时，，即，所以单调递减， ，所以在时成立， 所以在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去. 综上，的取值范围为. （3）证明：， 所以，与仅有两个交点， 所以， 不妨设所以， 因为，所以，所以， 又在上单调递减， 所以， 所以. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论研究函数单调性； （2）将题干恒成立问题转化为，设，利用导数法求得在上单调递增，从而转化为在上恒成立，设，，利用导数法求得，即可求解； （3）将证明转化为证，设，，利用导数法求得单调递减，则有，即可得证. 【详解】（1）函数，其定义域为，∴.     当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增.     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，∴即.     ∵，∴不等式可化为，即.     设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. （3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证.     设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴.     ，即， ∴. 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)1； (3)证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调性. （2）将恒成立转化为恒成立，通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值. （3）先求出的表达式，根据有两个零点得到相关等式，然后通过构造函数利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 4．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令，根据的单调性以及，得出，然后令，， 通过二次求导证明出，结合即可得证. 【详解】（1）依题意，，，则， 而，故所求切线方程为. （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）（3）证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 5．已知函数有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)记，为的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导讨论单调性，结合零点存在定理讨论零点个数即可； （2）左侧构造，结合单调性即可证明；右侧利用，以及与的关系，代入化简整理即可证明. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由已知得，， 设， 可得， 由反比例函数性质得在上单调递减， 由幂函数性质得在上单调递减， 则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 由于，故时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，， 当时， ，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，再区间上单调递增， 所以时，函数有最小值，即， 因为在区间上恒为正，而， 所以 ， 即， 取，则，存在，使， 可得，存在，使，符合题意； 当时，有且只有1个零点，不符合题意； 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 此时单调递减，不会有两个零点； 当时，当时，，单调递增， 而，单调递减，得到， 当时，存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减， 且由对数函数与幂函数增长速度可知，当趋于时，趋于， 则存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减，不会有2个零点； 当时，，， 存在，， 当时，，， 当时，，单调递减，， 则单调递减，在上不会有2个零点； 综上，. （2）由（1）得，， 设， 则， 则，又， 所以，故， 由于，且在上单调递增， 则，即； 设，则， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 则，则， 由于， 则时，， 当时，， 则， 整理得， 则得，， 由于，则， 则； 综上得证. 加法型极值点偏移（，证 或 ） 为 极值点，最经典极值点偏移，优先对称化构造 1. 求导得 单调性，确定极值点 ，设 ； 1. 构造对称函数 （）； 1. 求导判 单调性（恒正/恒负），结合 得 符号； 1. 由 推 ，结合单调性得 ，化简得 。 题型02 减法型极值点偏移问题 1．已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 【答案】(1)的极小值是，无极大值； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导数，确定单调性后得极值； （2）求出，得出是方程的两个相异正根，且，由确定，求出，并把参数都用表示，然后利用导数求得新函数的最小值，从而证出. 【详解】（1）由题意的定义域为， 且， 因为恒成立， 所以在上单调递增， 又，所以时，，时，， 即在上递减，在上递增， 所以的极小值是，无极大值； （2）的定义域为， ， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个相异正根，且， 由得， ， 令， 则， 所以在上单调递减，故， 即. 2．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为． (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，分析函数单调性，根据极值定义即可求解； （2）令，则，令，则，令，则，分析单调性可得，即对任意恒成立．继而可得，由单调性可得，令，利用导数分析单调性可得，即对任意恒成立．可得，继而可得，由即可证明. 【详解】（1）定义域为，， 令，解得或， 当时，；当时，． 的单调递增区间为和，单调递减区间为． 的极大值为，极小值为． （2）证明：由（1）知． 令，则 ． 令，则． 令，则． 在上恒成立，在上单调递增， ，在上恒成立， 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，． 又，． 在上单调递增，，，即． 令，则 ． 在上单调递增， 在上恒成立， 在上单调递增，， 对任意恒成立． ．又． 在上单调递增，且， ．由，得， ，． 3．已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可得出函数的零点个数； （2）由，构造函数并求出其单调性，求得即可证明得出结论. 【详解】（1）由可得， 令，其中， 则函数的零点个数等于直线与函数图象的公共点个数， ，令可得，列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 如下图所示： 当时，函数无零点； 当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点． （2）证明：因为，其中， 所以． 由已知可得， 上述两个等式作差得．要证，即证． 因为，设函数的图象交轴的正半轴于点，则． 因为函数在上单调递增，， 所以． 设函数的图象在处的切线交直线于点， 函数的图象在处的切线交直线于点， 因为，所以函数的图象在处的切线方程为． 联立，可得，即点． 构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，所以， 所以对任意的，当且仅当时等号成立， 由图可知，则，所以． 因为，可得， 函数在处的切线方程为， 联立， 解得，即点． 因为，所以． 构造函数，其中，则． 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增，则， 所以对任意的，当且仅当时，等号成立， 所以，可得， 因此，故原不等式成立． 4．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，结合得到，即在内恒成立，所以在内单调递增； （2），求导，得到函数单调性，得到，构造，求导得到函数单调性，得到，再构造，求导得到函数单调性，得到，两式结合得到答案. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， ， 令，可得，当时，即， ，可知在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. （2）当时，可得， ， 或 故在上单调递增，在上单调递减， 由题意可得：， 因为， 令， 则， 可知在上单调递增， 则，可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递减 则，即； 令， 则， 可知在上单调递增，则， 可得在上恒成立， 因为，则， 且在上单调递增， 则，即； 由和可得. 5．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 【答案】(1) (2)①证明见解析：②证明见解析 【分析】（1）利用导数判断原函数单调性，卡端点列出不等式求解即可. （2）①合理判断有两个零点，构造与的函数，求其单调性即可. ②求出关键点的函数值，结合不等式的运算性质证明不等关系即可. 【详解】（1）若函数在上单调递增，易知， 令，，令，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故原命题等价于求，且，故，解得， 即的取值范围为. （2）①引理：对，必有成立，令， 故，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，故成立， 设，则，即， 可得的最小值为 而，当时，， 且由引理知，故， 由零点存在性定理得有两个零点， 结合可得， 故当时，两个根一定会存在，设是关于的函数，记为， 我们同样可以定义为：对，存在唯一的，使得， 且这个就是关于的方程中的较大根，此时已有， 此时发现是上的函数，则证明在上单调递减即可， 由于， 首先，我们有，，所以，， 其次，我们实际上有，（因为要么，要么）， 所以，若，则，， 然后考虑，显然我们有， 若，则，所以另一根一定小于，从而， 若，由于是关于的较大根，故， 即，解得，但是对任意的时， 关于的方程的较小根都不超过， 要么，解得，要么， 所以是较大根，从而，这表明与关于对称， 所以我们只需要证明在上单调递减， 这里是的较大根，且， 由于，故对，设， 则，， 从而由是较大根，知，， 也意味着位于单调递增区间， 设，由于当时， ， 所以， 而，方程的较小根一定不超过， 这表明的较大根一定成立，所以， 这就证明了在上单调递减，从而一定在上单调递减， 故随着的增大而减小得证. ②由①知有两个零点，且， 由于， 由引理又有， 而根据单调性得，当或时，必有， 所以， 可得 即，原不等式得证. 减法型极值点偏移（，证 或 ） 转化为加法型/比值代换，核心是定变量范围 方法1（转化加法）：将 变形为 ，结合 ，构造 ，求导判单调性证明； 方法2（比值代换）：设 ()，用 表示 ，转化为证 的不等式，构造单变量函数求解。 题型03 乘积型、平方型极值点偏移问题 1．已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明. 【答案】(1)在上单调递增 (2)，证明见解析 【分析】（1）对求导，根据的符号得出的单调性； （2）由题意可知有两解，求出的过原点的切线斜率即可得出的范围，设，根据分析法构造关于的不等式，利用函数单调性证明不等式恒成立即可， 【详解】（1）时，， 故， 在上单调递增. （2）关于的方程有两个不同实根,， 即有两不同实根，，得， 令，， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，得图象如图：.   ，则， 即当时，有两个不同实根，， 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得， 上述两式相除得， 不妨设，要证：， 只需证：,即证， 设，令， 则， 函数在上单调递增，且, ，即， . 2．已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1），对其求导，对实数进行分类讨论进行求解； （2）令，由对任意，存在，使得，得，进行求解； （3）由（1）知，，由，得，要证，即证，即证，即证，令，即证，令，利用导数判断单调性进行证明． 【详解】（1）， 则， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 综上知， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，当时，， 令，则， 则， 由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 得， 由对任意，存在，使得， 得， 即， 得， 因为，所以， 故实数的取值范围为： （3）已知，且，由（1）知，， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， ， 得， 得， 得， 要证，即证， 即证， 即证， 因为，所以， 即证， 即证， 即证， 令， 即证， 令， 得， 则函数在上单调递增， 得， 即得证， 故命题得证． 3．曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为． (1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小； (2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据曲率的定义可求出曲线在点、处曲率，比较大小即可； （2）（i）分析可知有两个不同的解、，参变量分离可知有两个不同的解，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）由方程组得，设，先证，结合分析将所证不等式等价变形为即证，令，即证，构造函数，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）设，其中，则，， 所以，，，， 所以在点处的曲率为. 在点处的曲率为， 所以曲线在点处的曲率小于其在点处的曲率. 曲线在点处的弯曲程度小于其在点处的弯曲程度. （2）（i）因为，其中， 则，， 因为函数的图象上存在两个不同的点、， 使得曲线在、处的曲率均为． 即有两个不同的解、，即有两个不同的解、， 所以， 令，得，令，得， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在单调递减， 所以，，作出直线与函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是； （ii）由得， 不妨设，由（i）可知，先证明， 即证，即证， 令，即证，构造函数，其中， 则对任意的恒成立， 所以函数在上为增函数，则， 故当时，，所以，， 由基本不等式可得，故结论成立. 4．已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由结合参变分离得，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数在不同取值下，函数的零点个数； （2）由题意可得得，要证明，只需证明，设，则，即证即可，令，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 且，由可得， 令，其中，则， 由可得，列表如下： 增 极大值 减 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，的极小值为， 且当时，；当时，. 如下图所示： 当时，即当时，直线与函数只有一个公共点， 当时，即当时，直线与函数有两个公共点， 当时，即当时，直线与函数无交点. 综上所述，当时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. （2）由，即，得， 要证明，只需证明， 而， 令，则，欲证明， 即证明，只需证明即可， 令， 求导得， 令，当时，， 则在单调递增，故， 则，令在时单调递增，则， 因此，即，所以. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【详解】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 取对数转化为加法型，再用对称构造/比值代换 1.乘积型（）：两边取自然对数，得 ，令 ，转化为加法型极值点偏移求解； 2.平方型（）：结合 ，先证加法型 ，再证乘积型 ，联合推导得结论。 题型04 对称化构造法 1．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）借助导数研究函数单调性后即可得其最小值； （2）（ⅰ）解法1：令得，再构造函数，结合导数求出该函数单调性后，利用图象与直线有两个交点即可得解；解法2：求导后，分及进行讨论，再利用导数研究其单调性后结合零点存在性定理即可得；（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2可得、的范围，从而可转化为证明，结合函数单调性，即证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证；证明2：由题意可知，，则，从而只需证明，再构造函数，结合（1）中所得即可得证；证明3：由题意可知，，则，从而只需证明，令，，令，即只需证（），再构造函数，再利用导数研究该函数单调性即可得证. 【详解】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为； （2）（ⅰ）解法1：令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； 解法2：函数的定义域为，， 若时，则，故在上单调递减，不满足题意； 若时，令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 因为函数有两个零点，所以， 即，解得， 此时，， 满足题意，故的取值范围为； （ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，， 要证，即证， 因为，所以， 又在单调递减，即证， 又，即证. 设，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以，函数在单调递增. 当时，，因此，， 因为，所以，故原不等式成立； 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 证明3：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 2．已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导函数的符号来确定函数单调性（要根据导函数零点来分类），即可求解； （2）借助（1）的结论来证明，由单调性可知等价于，即．设，利用导数判断其单调性，即可证明． 【详解】（1）由，得． 若，则，只有一个零点． 若，则当时，；当时，． 所以在单调递减，在上单调递增． 当时，，故，又， 所以在上必存在一个零点； 当时，，则在上必存在一个零点； 故时，存在两个零点． 若，由得或． 若，则，故当时，， 因此在单调递增．在内至多有一个零点； 又当时，所以不存在两个零点． 若，则，故当时，； 当时，． 因此在单调递减，在和上均单调递增． 而，则，此时在内无零点， 而当时，，故上有一个零点； 又当时，，所以不存在两个零点． 综上，的取值范围为． （2）不妨设，由（1）知，， 在单调递减，所以等价于，即． 由于，而， 所以． 设，则． 所以当时，，此时在上单调递减， 而，故当时，． 从而，故． 3．已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】(1)① ；②证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. （2）函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 4．设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）构造函数，求导数，结合函数单调性与导数的关系即可证明结论； （3）先判断的范围，继而将证明转化为证明．从而设，求导数，利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1）由题意得，所以，即， 因为，所以点在切线上，即，所以． （2）由（1）知，切线的方程为，所以要证，即证． 设，则， 当时，此时单调递增： 当时，此时单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立．所以． （3）因为，当时，此时单调递减； 当时，此时单调递增，则的极小值为， 且，且小于0，，；且； 因为存在两根且，所以，且． 要证明：，即证．因为在上单调递减， 所以只要证，结合，即证． 设，则， 当时，，则，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 故，所以． 5．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，判断函数的单调性； （2）首先根据函数解析式的形式，将条件变形，将问题转化为证明，其中，根据所设函数，，证明，再结合函数的单调性，即可证明左边，再将右边转化为证明. 【详解】（1）因为，在定义域内单调递增，，得， 且时，当时， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）. 令，，设，则. 故问题等价于证明：. 不妨设，则. 先证明左边：. 证明：设，. 则， 因为，设 于是. 所以在上单调递增，故，从而在上单调递减，所以，即. 又，且，所以. 又因为，，且在上单调递增， 所以，故. 再证明右边不等式：. 证明：有，可得，，所以. 令，，，其中，. 当时，显然有. 下面讨论的情形. 因为，易知当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 记，，则. 记，则 . 记，则 ， 所以在上单调递增，得，所以，故在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，故，得证. 1.定基：求 ，得极值点 ，设 ，明确 在 和 的单调性； 2.构造：令 （定义域取 ，与 同区间）； 3.求导：判 符号，得 在 的单调性（恒增/恒减）； 4.定号：由 ，得 时 或 ； 5.推导：由 结合 符号，得 与 的大小，再用单调性推 关系，证结论。 题型05 比值代换法 1．设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)（i）单调增区间为，，单调减区间为 （ii）证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间； （ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证. 【详解】（1）， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）（i）， ， ∵时，取得极值，∴，解得， ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， 则 ∴所证不等式等价于， 即， 不妨设，即证， 令，， 则， ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴. 2．已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)求当时，函数在区间上的最小值； (3)若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) (3)①；②证明见解析 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间； （2）利用导数分类讨论函数在区间的单调性，由单调性求最小值； （3）由函数有两个不同的零点，构造函数利用导数研究函数单调性的最值，结合函数图像求实数a的取值范围；把零点代入函数解析式，证明转化为证明，通过构造函数利用导数求最值的方法证明. 【详解】（1）当时，，定义域为， 若，则；若，则； 所以的增区间为，减区间为 （2）函数的定义域是， ． 当时，令则或(舍)． 当，即时，，在上单调递减， 在上的最小值是， 当，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在上的最小值是， 当，即时，，，在上单调递增， 在上的最小值是． 综上，． （3）①有两个不同的零点即有两个不同实根， 得，令，，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图像如图所示： ，所以实数a的取值范围为． ②当时，有两个不同的零点． 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得，不妨设，要证：， 只需证：，即证， 设，令，则， 函数在上单调递增，且． ，即，． 3．已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）在上恒成立，参变分离在上恒成立，构造函数求出的最大值，从而求出的取值范围； （2）由零点得到，令，从而得到，，，构造，求导得到其单调性，从而证明出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 函数是减函数，故在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，且， 故，解得， 故的取值范围是； （2）若有两个零点，则， 得． ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ，即， 故. 4．已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 【答案】(1)有且仅有一个零点 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用导函数与单调性的关系，以及零点的存在性定理求解； （2）根据题意可得有两个不同实根，进而可得，两式相加得，两式相减得，从而有，进而要证，只需证，即证， 构造函数即可证明. 【详解】（1）当时，， 所以函数在上单调递增， 又因为， 所以函数有且仅有一个零点. （2）方程有两个不同实根，等价于有两个不同实根， 得，令，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 由，得当时，； 当的大致图象如图所示，    所以当，即时，有两个不同实根； 证明：不妨设且 两式相加得，两式相减得， 所以， 要证，只需证， 即证， 设，令， 则， 所以函数在上单调递增，且， 所以，即， 所以，原命题得证. 5．已知． (1)当时，讨论函数的极值点个数； (2)若存在，，使，求证：． 【答案】(1)函数的极值点有且仅有一个 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数进行求导，然后分和两种情况对函数的单调性进行研究，即可得到答案； （2）由可得（*），通过证明单调递增，（*）转化为，接着证明成立，即可求解 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 故在上单调递增，不存在极值点； 当时，令，则总成立， 故函数即在上单调递增， 且，，所以存在，使得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 故在上存在唯一极值点， 综上，当时，函数的极值点有且仅有一个． （2）由知， 整理得，（*）， 不妨令，则，故在上单调递增， 当时，有，即， 那么， 因此，（*）即转化为， 接下来证明，等价于证明， 不妨令（）， 建构新函数，，则在上单调递减， 所以，故即得证， 由不等式的传递性知，即． 无场景限制，核心是设比消元，化双为单 1.设序定比：不妨设 ，令 ()，则 ； 2.代换消元：将 代入，消去 ，得到仅含 和 的等式，解出 （用 表示 ）； 3.转化结论：将原双变量结论（如 ）用 表示，转化为仅含 的单变量不等式； 4.单变量求解：构造关于 () 的函数 ，求导判单调性，证 或 ，得结论。 题型06 双变量问题的消元、齐次化与整体代换 1．已知函数，其中． (1)任取，若，证明：； (2)若存在，使得方程存在三个不等实根，且； （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)证明见解析. (2)（i）; （ii）证明见解析. 【分析】（1）通过变量替换将不等式中双变量转化为单变量函数的单调性问题; （2）（i）将方程整理为，其中，需有两个正的极值点，且极小值小于才能满足存在，使得方程有三个不等实根，由此得出的取值范围； （ii）利用（1）的结论得到新的不等式，再通过的取值范围求解不等式，最后证明结论. 【详解】（1）由于，不妨设（当时证明类似），令，则， 将代入不等式左边得，不等式右边得，因此原不等式等价于证明，两边除以，得，整理为， 令，则，因此在上单调递增，且，故在上恒成立，即，从而. （2）（i）将方程整理为， 令，， 对求导得， 令，则两根分别为，， 因为存在时方程有三个不等实根， 所以要有两个极值点，且极值点均为正数，并且极小值 因此，解得. 当，即时，在递减，递增，递减，极小值，代入得 令，则，代入得 令，则求导得，因此在上单调递增，故，即，符合条件， 当，即时，由于在递减，递增，递减，极小值，不符合条件， 综上所述，的取值范围为. （ii）由于方程的三个不等实数根满足，由（i）得， 由（1）的结论，对于，有. 而，即，整理得，代入不等式，得：，化简得，即， 由于，且，因此解出不等式得，即. 由于，所以，而，因此. 2．已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 【答案】(1). (2)证明见详解. 【分析】（1）求导得，结合，列出方程组求解； （2）令，根据导数结合零点存在定理求出单调性，易得的一个根为，再利用零点存在定理找到另一个根的范围即可证明. 【详解】（1）由题意可得， 因为在处的切线方程为， 所以，即，解方程得. （2）令，， 由题意可知方程的两根，即为函数的两个零点，不妨设. 求导，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递增，又，， 根据零点存在定理可知存在唯一的使得. 所以当，，函数在区间上单调递减； 当，，函数在区间上单调递增. 由，得，从而， 又因为，， 所以，故. 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式即可求出切线方程; （2）利用和在上的单调性分析的单调性，结合端点导数值的正负确定的零点，进而划分原函数的增减区间，最终比较端点函数值得出最小值； （3）通过变量替换将双变量不等式转化为单变量函数问题，再构造新函数，利用导数分析其单调性来证明不等式成立. 【详解】（1）由题意得，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由（1）得， 因为在上单调递减，在上也单调递减， 所以在区间上单调递减， 因为，； 所以在上有且只有一个零点，记为， 所以当时，；当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 从而函数的最小值在或上取到， 又因为，而， 所以在区间上的最小值为. （3）由，得. 对任意的，且，令，则 只需证明 设， 则 所以在单调递增，于是. 又因为，当时，，由此可得 ， 所以原不等式得证. 4．已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由函数导函数与单调性的关系等价转化为恒成立问题，从而建立关于参数a的不等式，再利用导数求出最值即可得出结果； （2）的两个极值点，即为的零点，由此建立与参数a的关系，再将所证不等式等价转化为证明，然后构造新函数并利用导数求出最值即可得证. 【详解】（1）易知的定义域为， ， 由，得在上恒成立. 设， 则， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递 减，所以， 所以， 故的取值范围为. （2）证明：由题意可知有两个零点， 即， 不妨设，则， 要证，即证， 即证， 即证， 即证， 令，则，只需证. 设，则， 所以在上单调递增， 则，则， 故. 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 【答案】(1)详解见解析； (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分类讨论含参的函数的单调性即可； （2）由（1）知，，令，利用导数可得在上单调递增，得，进而，结合基本不等式即可证明. 【详解】（1），则， 当时，，函数在R上单调递增； 当时，令，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为方程有两个不等的根，且， 由（1）知，， 令， 则 ， 所以函数在上单调递增， 所以 ， 又在上单调递增， 所以，又， 所以，所以， 又，所以. 适配无 条件的普通双变量问题，按场景选方法，核心是消元/凑齐次/整体换元 1. 消元法（条件易解出变量关系，首选） · 步骤：由已知条件解出 （一个变量用另一个表示），代入双变量式子，转化为单变量函数，求导求解； · 适配：条件为显式等式（如 ），易解变量关系。 2. 齐次化（含 的齐次式，如 ） · 步骤：将式子两边同除以 或 （ 为齐次次数），令 ()，转化为仅含 的单变量不等式，构造函数求解； · 关键：凑齐次→设比→化单变量。 3. 整体代换（含 、、 等整体形式） · 步骤：令 ，（和积代换）或 ()，将双变量式子用 表示，结合已知条件消去一个整体，转化为单变量问题； · 适配：式子含 、 等对称整体，无需拆分单个变量。 1．已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由可得，设，其中，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分析出、，利用不等式的基本性质可判断④. 【详解】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对； 对于②，由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，②错； 对于③，由，两式相加整理可得， 所以，，可得，③对； 对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对. 故选；C. 2．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 【答案】C 【分析】对求导，由极值点的定义可判断A；将转化为，求出的取值范围可判断B；要使有两个零点，则即可判断C；利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证，可判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为， ， 因为，，令，解得：， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以在处取得极小值点，故有1个极值点，故A错误； 对于B，若恒成立，则， 由A选项知，，解得：，故B错误； 对于C，当趋近正无穷，趋近正无穷，当趋近，趋近正无穷， 所以由A选项知要使有两个零点，则， 则，故C正确； 对于D，在和各有一个零点， 所以， 为判断D选项的真伪，下面证明， 要证，即证， 因为，即证， 又因为，故只需证， 即证 即证， 下面证明时，， 设， 则， ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上， ，所以.故D错误. 故选：C. 3．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围. 【详解】由题意可知，当时，，所以； 当时，，所以， 综上，对，有， 由有两个零点，即方程有两个根， 即方程有两个根，不妨设， 易知函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时， 令，因为，所以， 所以，则， 令， ，令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 当时． 所以函数的值域为， 即的取值范围是． 4．已知函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由得，，令，利用导函数研究其单调性和最值即可得到结果. 【详解】因为，若，则， 令，则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 5．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____. ①； ②； ③； ④. 【答案】①②④ 【分析】设，其中，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断②的正误；分析可知，结合基本不等式可判断①的正误；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断③④的正误. 【详解】设，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，， 作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，②对； 因为，则，由图可知，则， 所以，，①对； 令，其中，由图可知， ， 当时，，则，此时函数单调递减， 所以，，即， 因为，，且函数在上单调递减， 所以，，则，故，③错④对. 故答案为：①②④. 6．函数的两个极值点、满足，则的最大值为________. 【答案】 【分析】根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】由得， 由得， 因为函数两个极值点、， 则，可得①， 设，则且，代入①得，， 所以， 设，则， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 从而，所以在单调递增， 所以，所以，故的最大值为. 故答案为：. 7．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在上单调递增，且存在，使得，若，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出导数，根据导数的二次式取值情况讨论a 的取值范围与单调性关系； （2）根据（1）可知时，满足题中要求，根据单调性将转换为，再通过构造函数判断单调性，根据其单调性证明不等式成立. 【详解】（1）由题可知，令， 当，即时，恒成立， 故在上单调递增； 当，即时，令，则或， 令，则 故在上单调递增； 在单调递减； （2）由（1）可知，当且仅当时，在上单调递增，且存在，使得； 故，则， 在上单调递增；且，又， 不妨设，设，且， 设，则, 当时，且， 所以当时，，因此在单调递增， 又，， 则，故在上单调递增； ，， 即， 又在上单调递增，，即得证． 8．已知函数，，其中为自然对数的底数． (1)若有两个极值点，求的取值范围； (2)记有两个极值点为、，试证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求得，令，分析可知有个变号零点，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可； （2）欲证，即证，由已知条件得出，令，解得，，将所证不等式变形为，然后令，其中，利用导数证得即可. 【详解】（1）解：因为，，， 设，则， 若有两个极值点，则有个变号零点． 当时，，在上递增，至多有一个零点，不符合题意，舍去； 当时，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 若使得有个变号零点，则，即，即， 解得，此时，， ， 令，其中，所以，， 所以，函数在上单调递增， 所以，，故， 由零点存在定理可知，函数在、上各有一个变号的零点， 设函数在、上的零点分别为、， 当或时，；当时，. 此时函数有两个极值点，合乎题意. 综上所述，. （2）证明：欲证，即证， 由于、为的零点， 则，可得， 令，则， 解得，， 所以只需证明：，即证：， 构造函数，其中， 则， 所以，函数在上单调递减，则， 所以，即得证，故. 9．已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）当时，由可知函数单调递增，通过反例可说明不合题意；当时，可得单调性，知；构造函数，利用导数可求得，由此可得，知； （2）将已知不等式化为，令，利用导数可求得单调性，易知时成立，当时，采用分析法可知只需证得即可，构造函数，，利用导数可说明，由此可得结论. 【详解】（1）由题意得：定义域为，； ①当时，，在上单调递增， 若，则，时，，不合题意； 若，则，不合题意； ②当时，若，则；若，则； 在上单调递减，在上单调递增，； 若恒成立，， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 又，； 则当时，符合题意； 综上所述：. （2）由得：， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 由得：； ，， 当时，由得：，； 当时，要证，只需证， ，，则只需证， 又，只需证； 令，， 则， 在上单调递减，，， 即，即得证，； 综上所述：成立. 10．已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若有2个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，确定函数单调性，根据单调性可得最值； （2）将代入原函数后做差变形，得到，令，然后构造函数，证明不等式成立. 【详解】（1）当，函数， 则， 可知当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得极小值，也即为最小值， 所以的最小值为； （2）由已知，是的两个零点， 则，， 两式相减，得， 整理得， 欲证明， 只需证明不等式， 即证明，也即证明， 不妨设，令，则， 只需证明，即证明即可， 令，则， 又令，则， 所以，当时，，即单调递减，则， 故当时，单调递增，则， 所以，原不等式成立，故不等式得证． 11．已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 【答案】(1)最大值为，最小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数可求得的单调区间和极值，进而可求得函数在上的最值； （2）对a进行分类讨论，发现当时，在上无零点，符合题意； 在时由零点存在定理知其存在零点，不合题意，舍去，当时，需满足极小值大于0，由此构造函数可求得a的取值范围； （3）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个实根，所以不妨令， 要证，即证，也即证，故构造函数，利用单调性即可证明结论. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∵，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为； （2）∵，， 当时，在上无零点，符合题意； 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 因为当时，，，所以， 当时，，又在上单调递增， 所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去； 当时，由，得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值， 因为当时，，，所以， 当时，， 若函数无零点，则，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则． 综上，a的取值范围为； （3）由（1）得，当时，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为有两个实根，所以不妨令， 则，要证，即证，又因为当时，单调递增，所以 即证，因为，即证， 令， 所以， 所以在上单调递减，故，即， 所以成立，即成立. 12．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. (3)若，其中，，都有，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时， 在单调递减，在单调递增. (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导后，根据以及不同情况下导数的正负，即可得到不同情况下函数的单调性； （2）根据（1）中所求函数单调性，在时，根据判断不满足题意；在时，求解，即可求得参数的范围； （3）根据题意，，通过（2）中所求可知的最小值，以及求导得到的最小值，根据两者的大小关系，即可证明. 【详解】（1），定义域为， ， 当时，，在上单调递减； 当时，令，解得； 在上，， 单调递减；在上，， 单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时， 在单调递减，在单调递增. （2）由（1）知，当时，单调递减，，不符合题意，舍去； 当时，； 令，， ， 单调递增； 又因为，所以，即； 综上， 的取值范围. （3）因为，都有，所以； 因为，由（1）知，； 因为，则 ， 在上，， 单调递减；在上，， 单调递增； 所以 ；注意到； 所以,即，又因为单调递增，所以>0； 即. 13．已知函数，（e为自然对数的底数） (1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值； (2)若，方程有两个根，（），求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题可求得过原点的与相切的直线方程：，后利用切点即在图像上，也在切线上，可求得相应切点横坐标，后由切线斜率为1可求得b； （2）由题可得有两个根，令， 则可得方程有两个根，则.通过令，，可将证明，转化为证明， 后构造函数，，通过其单调性可证明结论. 【详解】（1）当时，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，故切线斜率为1，则切线方程为. 又，，设直线与的切点为，则切线斜率为，切线方程为.因即在图像上，也在切线上，则，又切线斜率为1，则 ； （2）当时，， 则由题可得有两个根， 令，则可得方程有两个根， 则.令，，则， .注意到， 则构造函数，. 因，则在上单调递增，得 . 故命题得证. 14．已知函数，. (1)当时，讨论方程解的个数； (2)当时，有两个极值点，，且，若，证明： （i）； （ii）. 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）方法1，由，可得，后令，利用导数知识可得其值域即可知解的情况；方法2，，利用导数知识可知时，的单调性与零点情况，又利用可知当时，，即可得解的情况； （2）（i）由题可得，由结合单调性可得，后通过构造可证； （ii）由（i）可知，后说明，即可证明结论. 【详解】（1）方法一：，. 设，则. 设，则，单调递减. ，当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. ， 当时，方程有一解，当时，方程无解； 方法二：设，则. 设，则.单调递增 当时，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ，方程有一解. 当时，. 令, 令，则在上单调递增，又 ，则在上单调递减， 在上单调递增，则. 即， 无解，即方程无解. 综上，当时，方程有一解，当时，方程无解． （2）（i）当时，，则， ，是方程的两根. 设，则， 令，解得，在上单调递减，在上单调递增. ，，当时，，，. 由. 令，，，. 等价于. 设，， 则， 单调递增，， ，即，， 综上，； （ii）由（i）知，，. . 由（i）知，， 设，，则. 单调递减，，即. . 设，， 则. 单调递增，又，当时，. ，，即命题得证. 15．已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若是函数的两个零点，证明：； (3)当且时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）分离参数，构造函数，利用导数求其单调性及最值即可； （2）利用比值换元设，将问题转化为证，构造函数求导判定函数的单调性即可证明； （3）利用第一问得出，取，结合放缩法得出，利用累加法计算即可证明. 【详解】（1）由恒成立，有恒成立， 令，有，解不等式可得， 可得函数的增区间为，减区间为， 可得的最大值为， 若函数恒成立，可得实数a的取值范围为； （2）不妨设，设， 由，有，，两式相除，有， 代入，有，有，可得， 可得， 要证，只需证，只需证， 令，有， 可得函数单调递增，有，故有； （3）由（1），取，有（当且仅当时取等号）， 取（其中），有，有， 又由，有，有， 有，有，有， 可得，有， 有，有， 当且时，可得． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数中极值点偏移与双变量问题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 加法型极值点偏移问题 题型02 减法型极值点偏移问题 题型03 乘积型、平方型极值点偏移问题 题型04 对称化构造法 题型05 比值代换法 题型06 双变量问题的消元、齐次化与整体代换 模块三、综合实战演练 一、解决双变量问题的优先策略： 优先策略1：定比换元（最通用，首选） 适用于任意双变量场景（尤极值点偏移、含型） 1. 设比例（，不妨设），将代入条件； 2. 消去一个变量，将所有式子转化为仅含t的单变量表达式； 3. 构造关于的函数，用导数求单调性/最值证明不等式/求范围。 优先策略2：对称化构造（极值点偏移专属，次选） 仅适用于，证/（为极值点） 1. 构造辅助函数； 2. 求导判断单调性，结合得符号； 3. 由推与的关系，证得结论。 优先策略3：消元法（条件易解出变量关系，兜底） 适用于能从直接解出的简单场景 1. 由已知条件解出一个变量用另一个表示（如）； 2. 代入双变量不等式/等式，转化为仅含的单变量问题； 3. 按单变量导数题型求解（求导、构造函数、证最值）。 优先策略4：不等式放缩（含对数/指数，速解） 适用于双变量含/型 1. 凑对数平均不等式结构（），直接套用放缩结论； 2. 或用切线放缩/单变量导数放缩，将双变量式子分别放缩后结合。 题型01 加法型极值点偏移问题 1．已知函数的导函数为. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，，求的取值范围； (3)设，当时，方程仅有两个不相等的实数根，求证：. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 3．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 4．已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 5．已知函数有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)记，为的两个零点，证明： 加法型极值点偏移（，证 或 ） 为 极值点，最经典极值点偏移，优先对称化构造 1. 求导得 单调性，确定极值点 ，设 ； 1. 构造对称函数 （）； 1. 求导判 单调性（恒正/恒负），结合 得 符号； 1. 由 推 ，结合单调性得 ，化简得 。 题型02 减法型极值点偏移问题 1．已知函数，． (1)若，求的极值； (2)若有两个极值点，，当时，证明：． 2．已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若，求证：． 3．已知函数（其中是自然对数的底数）． (1)试讨论函数的零点个数； (2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：． 4．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，若方程有三个不相等的实数根，且，证明：. 5．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求的取值范围. (2)若函数的两个零点分别是，且，证明： ①随着的增大而减小； ②. 减法型极值点偏移（，证 或 ） 转化为加法型/比值代换，核心是定变量范围 方法1（转化加法）：将 变形为 ，结合 ，构造 ，求导判单调性证明； 方法2（比值代换）：设 ()，用 表示 ，转化为证 的不等式，构造单变量函数求解。 题型03 乘积型、平方型极值点偏移问题 1．已知函数. (1)当时，判断函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明. 2．已知函数，记． (1)讨论函数的单调性； (2)已知，对任意，存在，使得，求实数的取值范围； (3)已知，且，求证：． 3．曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲程度越大．记，定义曲线在点处的曲率为． (1)比较曲线在点和处弯曲程度的大小； (2)若函数的图象上存在两个不同的点、，使得曲线在、处的曲率均为． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 4．已知函数. (1)讨论导函数的零点个数情况； (2)若有两个不同极值点、.当时，证明：. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 取对数转化为加法型，再用对称构造/比值代换 1.乘积型（）：两边取自然对数，得 ，令 ，转化为加法型极值点偏移求解； 2.平方型（）：结合 ，先证加法型 ，再证乘积型 ，联合推导得结论。 题型04 对称化构造法 1．已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 2．已知函数有两个零点，. (1)求a的取值范围； (2)证明：. 3．已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 4．设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 5．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设a，b为两个不相等的正数，且，证明：. 1.定基：求 ，得极值点 ，设 ，明确 在 和 的单调性； 2.构造：令 （定义域取 ，与 同区间）； 3.求导：判 符号，得 在 的单调性（恒增/恒减）； 4.定号：由 ，得 时 或 ； 5.推导：由 结合 符号，得 与 的大小，再用单调性推 关系，证结论。 题型05 比值代换法 1．设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 2．已知函数，其中． (1)当时，求的单调区间； (2)求当时，函数在区间上的最小值； (3)若函数有两个不同的零点. ①求实数a的取值范围； ②证明：. 3．已知函数． (1)若函数是减函数，求的取值范围； (2)若有两个零点，且，证明：． 4．已知函数. (1)当时，求函数的零点个数. (2)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明. 5．已知． (1)当时，讨论函数的极值点个数； (2)若存在，，使，求证：． 无场景限制，核心是设比消元，化双为单 1.设序定比：不妨设 ，令 ()，则 ； 2.代换消元：将 代入，消去 ，得到仅含 和 的等式，解出 （用 表示 ）； 3.转化结论：将原双变量结论（如 ）用 表示，转化为仅含 的单变量不等式； 4.单变量求解：构造关于 () 的函数 ，求导判单调性，证 或 ，得结论。 题型06 双变量问题的消元、齐次化与整体代换 1．已知函数，其中． (1)任取，若，证明：； (2)若存在，使得方程存在三个不等实根，且； （i）求的取值范围； （ii）证明：． 2．已知函数在处的切线方程为． (1)求，； (2)设是方程的两根，求证：． （注：…是自然对数的底数） 3．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； (3)函数，当时，求证：对任意的，且，有． 4．已知函数的导函数为. (1)若，求的取值范围； (2)若有两个极值点，证明：. 5．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：． 适配无 条件的普通双变量问题，按场景选方法，核心是消元/凑齐次/整体换元 1. 消元法（条件易解出变量关系，首选） · 步骤：由已知条件解出 （一个变量用另一个表示），代入双变量式子，转化为单变量函数，求导求解； · 适配：条件为显式等式（如 ），易解变量关系。 2. 齐次化（含 的齐次式，如 ） · 步骤：将式子两边同除以 或 （ 为齐次次数），令 ()，转化为仅含 的单变量不等式，构造函数求解； · 关键：凑齐次→设比→化单变量。 3. 整体代换（含 、、 等整体形式） · 步骤：令 ，（和积代换）或 ()，将双变量式子用 表示，结合已知条件消去一个整体，转化为单变量问题； · 适配：式子含 、 等对称整体，无需拆分单个变量。 1．已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．有两个极值点 B．若恒成立，则的取值范围是 C．若有两个零点，则的取值范围是 D．若有两个零点，则 3．已知函数，若有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，若，则的最小值为______. 5．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且，则以下结论正确的是_____. ①； ②； ③； ④. 6．函数的两个极值点、满足，则的最大值为________. 7．已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在上单调递增，且存在，使得，若，证明：． 8．已知函数，，其中为自然对数的底数． (1)若有两个极值点，求的取值范围； (2)记有两个极值点为、，试证明：． 9．已知函数． (1)若恒成立，求实数的值： (2)若，，，证明：． 10．已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若有2个零点，证明：． 11．已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 12．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围. (3)若，其中，，都有，证明：. 13．已知函数，（e为自然对数的底数） (1)当时，恰好存在一条过原点的直线与，都相切，求b的值； (2)若，方程有两个根，（），求证：． 14．已知函数，. (1)当时，讨论方程解的个数； (2)当时，有两个极值点，，且，若，证明： （i）； （ii）. 15．已知函数． (1)若恒成立，求实数a的取值范围； (2)若是函数的两个零点，证明：； (3)当且时，证明：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $