精品解析：内蒙古包头市第八十一中学2025-2026学年高二下学期4月月考检测数学试题

八十一中学高二年级4月月考 数学检测试题 出题人：张玉静 审题人：韩飞 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 3. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 4. 动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ） A. [0，1] B. C. D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 10. 函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有3个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 11. 已知函数有两个零点和，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 有极大值点，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的导函数为．，且满足，则______． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 14. 关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 16. 商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值； (2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 17. 已知函数． （1）若恒成立，求的最小值； （2）证明：． 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，判断函数的零点个数. 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． （1）判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； （2）是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八十一中学高二年级4月月考 数学检测试题 出题人：张玉静 审题人：韩飞 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 2. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案. 【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值， 所以，解得或， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去， 当时，， 令，解得或， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以在处取得极大值，故满足题意 综上. 故选：B 【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案. 3. 已知函数，则的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊点的函数值，用排除法选择正确选项. 【详解】，，， 排除选项ABD. 故选：C. 4. 动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先求得过曲线上的某点且与直线平行的切线方程，再将的最小值转化为两平行直线的距离，即可得到结果. 【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行， 则，所以，解得或（舍）， 即，则切点为， 切线方程为，化简可得， 则的最小值即为切线与直线的距离， 所以. 故选：C 5. 已知函数既有极大值也有极小值，则实数的取值范围为（ ） A. [0，1] B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导得，设，求得，就参数分类讨论函数的单调性，即得函数的极值情况，从而求得参数的范围. 【详解】由可知函数的定义域为，则， 设，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则. ① 当即时，，则在上单调递增，故函数无极大极小值，不合题意； ② 当时，由解得， 因函数既有极大值也有极小值，故，解得. 由可得或；由可得， 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值，在时取得极小值，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为. 故选：D. 6. 已知定义域为的函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，进而利用的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递减， 因为， 所以不等式可变为，即， 所以，即， 所以不等式的解集为. 故选：D. 7. 已知函数，则的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 8. 设，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别令、、，利用导数可求得，，，由此可得大小关系. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即，则； 令，则， 在上单调递减，，即，则； ，即； 令，则， 在上的单调递增，，即， 则，即； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为函数值的大小关系的比较问题，通过导数求得函数的单调性后，即可得到函数值的大小. 二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.） 9. 已知函数，下列判断正确的是（ ） A. 的单调减区间是， B. 的定义域是 C. 的值域是 D. 与有一个公共点，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项. 【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确； 对A，，令可得和， 解得和，故的单调减区间是，，故A正确； 对C，由A可得当和时单调递减， 当时单调递增，且， 作出简图，可得的值域是，故C错误； 对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确； 故选：ABD 10. 函数有两个极值点，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则有3个零点 B. 过上任一点至少可作两条直线与相切 C. 若，则只有一个零点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三次函数性质，对参数的正负进行分类讨论画出其大致图象可知当，则有3个零点，即A正确；显然在极值点处只能作一条直线与相切，可知B错误；若，结合的正负进行分类讨论可知只有一个零点，即C正确；利用三次函数的对称中心以及导函数零点可得，所以D正确. 【详解】根据题意可得，且； 当时，易知时，；时，； 此时在和上单调递增，在上单调递减； 且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于； 利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示： 此时由图象可知有3个零点； 同理当时，易知在和上单调递减，在上单调递增； 且当趋近于时，也趋近于；当趋近于时，也趋近于； 利用三次函数性质可知，当，其函数图象如下图所示： 此时由图象可知有3个零点； 所以若，则有3个零点，即A正确； 由题意知， 所以过或有且仅有一条直线与相切，且切线为水平直线，所以B错误； 当时，由选项A易知在处取得极大值，在处取得极小值，且； 若，则，即； 此时其图象如下图所示： 由图可知，只有一个零点； 同理当时，易知在处取得极小值，在处取得极大值，且； 若，则，即； 此时其图象如下图所示： 由图可知，只有一个零点； 综上可知，若，则只有一个零点，即C正确； 由三次函数性质可知，函数关于成中心对称， 所以满足， 又是方程的两根，则满足； 所以，即，所以D正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：研究三次函数性质时，需要记忆三次函数图象的几种常见模型以及对称中心坐标的表达式，结合极值、极值点等概念综合考虑可判断结论. 11. 已知函数有两个零点和，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 有极大值点，且 【答案】ACD 【解析】 【分析】对求导，分两种情况讨论，求出的极大值，结合题设可得，进而求出的取值范围，可判断A，同时构造函数，其中，利用导数求出的单调区间，结合题设可得，即可判断B、D选项正误，根据条件，可得，， ，即可判断C的正误. 【详解】易知的定义域为，由，可得， 当时，恒成立，所以在区间上单调递增，则最多个零点，与题意不符； 当时，由，解得， 当时，，当时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，，当时，， 又函数有两个零点和，且，则，且， 所以，又，则，故A正确； 因为的极大值为，且， 设，其中，则，则， 所以， 又，， 所以，，当且仅当时，， 所以在区间上单调递减，则， 所以时，，故， 又，则， 又在区间上单调递减，， 所以，即， B，又，所以，所以B错误， C，由题知，即，，可得，， 所以，又，在区间上单调递增， 所以，故C正确， D，因为的极大值点为，且，所以D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的导函数为．，且满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先算出导函数，再将代入求解即可． 【详解】由于，所以， 令，则， ． 故答案为：． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又由函数，可得， 设曲线的切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则有，应用导数研究函数的单调性，将问题化为恒成立，再应用导数求右侧最大值，即可得参数范围. 【详解】由题设， 令，则，且， 令，则， 当，，则在上单调递减， 当，，则在上单调递增， 则，即在R上单调递增， 所以且，故恒成立， 令，则， 当，，则在上单调递增， 当，，则在上单调递减， 则，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于. （1）求的值； （2）求函数的单调区间与极值. 【答案】（1）；（2）单调递增区间，单调递减区间，的极小值为 . 【解析】 【分析】（1）由，而曲线在点处的切线垂直于，所以，解方程可得的值； （2）由（1）的结果知于是可用导函数求的单调区间； 【详解】（1）对求导得， 由在点处切线垂直于直线， 知解得； （2）由（1）知， 则 令，解得或. 因不在的定义域内，故舍去. 当时，故在内为减函数； 当时，故在内为增函数； 由此知函数在时取得极小值. 16. 商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值； (2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【答案】(1)因为时，所以； (2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：； ，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减， 所以当时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 【解析】 【详解】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入,解关于a的方程即可求a.. (2)在（1）的基础上，列出利润关于x的函数关系式， 利润=销售量（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可. 17. 已知函数． （1）若恒成立，求的最小值； （2）证明：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）问题转化为恒成立，令，根据函数的单调性求出的最大值，求出的最小值即可； （2）根据，再令，得到，从而证明不等式成立即可． 【小问1详解】 函数的定义域是， 若恒成立，则恒成立， 令，则， 时，，时，， 故在递增，在递减， 故， 故，的最小值是1； 【小问2详解】 证明：当时，由（1）得，即①， 令②，则，则③， 由①②③得， 故. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）当时，判断函数的零点个数. 【答案】（1）当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 【解析】 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可； （2）对参数范围分类讨论并结合之前的结论得到单调性，再利用零点存在性定理或直接求解零点判断零点个数即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，则 当时，时，，时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，可得， 故在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，令可得或，令可得， 故在和上单调递增，在上单调递减． 综上所述： 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 当时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 当时，， ①当时，由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，而x趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点． ③当时，令，解得，即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当x趋近正无穷时，趋近正无穷，当x趋近0时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点． 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上所述： 当时，函数无零点， 当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2． 19. 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． （1）判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； （2）是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． （3）设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【小问1详解】 时，， 函数在区间上是凹函数． 【小问2详解】 ， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． 【小问3详解】 ， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $