精品解析：吉林长春市长春高新技术产业开发区慧仁学校2025-2026学年下学期九年级数学第四次大练习

东北师范大学慧仁实验学校 2025-2026学年上学期九年级第四次大练习 数学学科 日期：3.31 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列算式中，运算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 2. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行，电影2025年9月18日上映，上映三天其总票房超7亿元人民币，累计观影人次1908万，1908万这个数字用科学记数法可表示为（ ） A B. C. D. 3. 下面各图中，（ ）不是正方体平面展开图． A. B. C. D. 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是电杆的一根拉线，且米，测得，则电杆的高为( ) A. B. C. D. 以上都不对 6. 如图，是的直径，，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 8. 如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 二次根式中，字母的取值范围是______． 10. 若单项式与的和仍是单项式，则m的值是________． 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 12. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图所示，这枚古钱币的直径为______． 13. 如图，在中，点、分别为边、的中点，点是上一点，且．若，，则线段的长为___________． 14. 如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 在一个不透明的布袋中有标有数字2，3，4的三个小球，除数字外其余完全相同．小明先从袋中随机地摸取一个，不放回，再随机地摸取一个．用画树状图或列表的方法，求两次摸取的球上数字均为偶数的概率． 17. 机器人是人工智能与机器人技术（Robotics）的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）在图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 19. 如图，在中，，平分交于点，过点分别作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则长为___________． 20. 我校为丰富校园体育活动，成立了足球（A）、篮球（B）、排球（C）、匹克球（D）、羽毛球（E）共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一项），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 全校学生对社团喜爱情况条形统计图 全校学生对社团喜爱情况扇形统计图 （1）参与本次问卷学生共有______人；在扇形统计图中的值是______； （2）求扇形统计图中E所对应的圆心角的度数； （3）补全条形统计图； （4）如果该校共有800名学生，根据调查结果请你估计喜欢打匹克球的学生有多少人？ 21. 综合与实践 【问题背景】某校生物学习小组研究在同一实验条件下同一药物对不同品种植物生长速度的影响． 【实验操作】某校生物学习小组进行如下实验．当他们尝试施用某种药物时，发现会对甲、乙两种植物会产生促进生长的作用，通过实验，甲、乙植物的生长高度与药物施用量x（mg）的关系数据统计如下表： x（mg） 0 2 5 10 12 15 18 20 20 22 25 30 32 35 38 40 10 14 20 30 34 40 46 50 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出甲，乙两种植物的生长高度与药物施用量x的函数图象． 【建立模型】 任务2：猜想甲，乙两种植物的生长高度与药物施用量x（mg）的函数关系，并分别求出函数关系式． 【问题解决】 任务3：当甲，乙两种植物的高度差距不超过6cm时，求该药物施用量x的取值范围． 22. [问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 23. 如图，在矩形中，，，，点P沿运动，将点P绕点E逆时针旋转得到点 （1）平分矩形面积时，直接写出的长； （2）、Q、C三点共线时，求的长； （3）当点P在线段上运动时，证明点Q到的距离为定值； （4）的最小值为______，点Q的路径长为______． 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连接、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线上时，求的值及点的坐标； （3）用含的代数式表示点、的坐标分别为、，的值为________； （4）以、为边构造平行四边形．连接、、、，若与面积和等于面积的一半，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师范大学慧仁实验学校 2025-2026学年上学期九年级第四次大练习 数学学科 日期：3.31 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列算式中，运算结果为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正数的识别，有理数的加减运算，化简多重符号和计算绝对值，计算出每个选项中算式的结果，再根据正数是大于0的数即可得到答案． 【详解】解：A、，运算结果是正数，符合题意； B、，运算结果不是正数，不符合题意； C、，运算结果不是正数，不符合题意； D、，运算结果不是正数，不符合题意； 故选：A． 2. 电影《731》揭露了抗日战争时期日本侵略者惨无人道的人体实验罪行，电影2025年9月18日上映，上映三天其总票房超7亿元人民币，累计观影人次1908万，1908万这个数字用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，满足，n为整数，解题关键是确定a与n的值， 【详解】∵ 万， ∴ 将其改写为科学记数法可得 ， 故选 D， 3. 下面各图中，（ ）不是正方体的平面展开图． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体的展开图，掌握正方体的各组展开图成为解题的关键． 根据正方体的展开图逐项判断即可． 【详解】解：选项B、D属于正方体平面展开图； A属于正方体平面展开图； C不属于正方体平面展开图． 故选： C． 4. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除．根据相关运算法则逐项判断即可求解． 【详解】解：A．，故该选项运算错误； B．，故该选项运算错误； C．，故该选项运算错误； D．，故该选项运算正确； 故选：D． 5. 如图，是电杆的一根拉线，且米，测得，则电杆的高为( ) A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，，米，， ∴， 故选：B． 6. 如图，是的直径，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆周角定理;利用圆周角定理求出可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 如图，已知，，用尺规作图方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 根据作图方法结合垂直平分线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：此线作法为，得不到，故A错误； B：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故B正确； C: 此线作法为，得不到，故C错误； D：此线作法为的垂直平分线，故，因此，故D错误； 故选：B． 8. 如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ） A. 1班 B. 2班 C. 3班 D. 4班 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，设，过四个点作坐标轴的垂线，设1班点为，2班点，3班点为，4班点，依题意得：，，，分别为1班、2班、3班、4班的优秀人数．于是得到结论． 【详解】解：设， 分别过四个点作坐标轴的垂线， 则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数， 由矩形面积可得， 即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 二次根式中，字母的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数即可求解，熟记二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ， ， 故答案为：． 10. 若单项式与的和仍是单项式，则m的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项定义，熟练掌握同类项定义，是解题的关键．两个单项式的和仍是单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴它们是同类项， ∴， 解得：． 故答案为：3． 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，整体代入，掌握相关知识是解决问题的关键．将代入方程得到 的值，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴， 即 ． 则 ． 故答案为 ． 12. 一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图所示，这枚古钱币的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，取圆心，过点作垂直正方形的边长于点，连接，可得，即得，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，取圆心，过点作垂直于正方形的边长于点，连接， 则， ∴， ∴， ∴这枚古钱币的直径为， 故答案为：． 13. 如图，在中，点、分别为边、的中点，点是上一点，且．若，，则线段的长为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的知识是关键． 由题意可知，是的中位线，则．在直角中，是斜边上的中线，因此，从而计算出的长． 【详解】解：∵点、分别为边、的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴， 在直角中，是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：3． 14. 如图，在边长为4的正方形中，对角线相交于点O．点E在线段上．连结，作于点F，交于点P，连接．给出下面四个结论：①；②；③当时，；④．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，则，可得，可得，故③符合题意；将逆时针旋转交于点，由，可得，证明，则在中，，代入即可求证；故④不符合题意. 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∵， ∴ ∴， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴， ∴，故②符合题意； 当时，则， ∴， ∵， ∴，故③符合题意； 如图；将逆时针旋转交于点， ∴，则， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴，即，故④不符合题意； 故答案为：①②③. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，本题难度较大，解题关键在于熟悉各个知识点的相关内容是解本题的关键. 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 16. 在一个不透明的布袋中有标有数字2，3，4的三个小球，除数字外其余完全相同．小明先从袋中随机地摸取一个，不放回，再随机地摸取一个．用画树状图或列表的方法，求两次摸取的球上数字均为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要区分放回实验还是不放回实验．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸取的球上数字均为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案即可． 【详解】解：画树状图如下： （两次数字均为偶数）． 17. 机器人是人工智能与机器人技术（Robotics）的结合体．它不仅仅是能执行重复任务的机械臂，而是具备了“感知、思考、决策、行动”能力的智能体．某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【答案】A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 【解析】 【分析】设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运，根据“A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等”列分式方程，即可求解． 【详解】解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程解， 此时． 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料． 18. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图中，分别在，上画点，，连接，使，且． （2）在图中，以点为位似中心，画出使其与位似，且位似比为． （3）图中，分别在、上画点、，连接，使，且． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形，位似三角形，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）根据相似比取、的中点即可． （2）连接，分别取、、的中点、、，连接，即可． （3）取格点，满足；取格点，满足，，连接，与的交点即为，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 作法：取格点，满足；取格点，满足，， 连接，与的交点即为，连接，即为所求． 理由：， ， ， ． 19. 如图，在中，，平分交于点，过点分别作交于点，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则长为___________． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数、菱形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握三角函数、菱形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得四边形是平行四边形，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）由（1）可知：四边形是菱形，则有，然后可得，则可求出，进而根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可知：四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，由勾股定理得：， 即， ∴（负根舍去）， ∴， ∴， ∴． 20. 我校为丰富校园体育活动，成立了足球（A）、篮球（B）、排球（C）、匹克球（D）、羽毛球（E）共五个社团．为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查（每名学生只能选择一项），并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图： 全校学生对社团喜爱情况条形统计图 全校学生对社团喜爱情况扇形统计图 （1）参与本次问卷的学生共有______人；在扇形统计图中的值是______； （2）求扇形统计图中E所对应圆心角的度数； （3）补全条形统计图； （4）如果该校共有800名学生，根据调查结果请你估计喜欢打匹克球的学生有多少人？ 【答案】（1）60；20； （2）； （3）24； （4）120． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）D社团所的人数除以对应的百分比，即可得参与本次问卷的学生人数；求B 社团的百分比即可得m； （2）求出百分比再乘即可； （3）求出C社团的人数，补全条形统计图即可； （4）用800乘对应的百分比即可． 【小问1详解】 解：参与本次问卷的学生共有（人）； B 社团所占的百分比为：，则； 【小问2详解】 解：E社团所对应的圆心角为：； 【小问3详解】 解：C社团的人数为：（人）， 则条形统计图如下： 【小问4详解】 解：（人）， 答：喜欢打匹克球的学生有120人． 21. 综合与实践 【问题背景】某校生物学习小组研究在同一实验条件下同一药物对不同品种植物生长速度的影响． 【实验操作】某校生物学习小组进行如下实验．当他们尝试施用某种药物时，发现会对甲、乙两种植物会产生促进生长的作用，通过实验，甲、乙植物的生长高度与药物施用量x（mg）的关系数据统计如下表： x（mg） 0 2 5 10 12 15 18 20 20 22 25 30 32 35 38 40 10 14 20 30 34 40 46 50 任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出甲，乙两种植物的生长高度与药物施用量x的函数图象． 【建立模型】 任务2：猜想甲，乙两种植物的生长高度与药物施用量x（mg）的函数关系，并分别求出函数关系式． 【问题解决】 任务3：当甲，乙两种植物的高度差距不超过6cm时，求该药物施用量x的取值范围． 【答案】任务1：见解析；任务2：乙植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为；任务3：当时，甲、乙两种植物的高度差距不超过6cm 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． 任务1：根据表格描点连线即可； 任务2： 分别设出甲，乙两种植物的生长高度与药物施用量x（mg）的函数关系，再将数据代入计算即可； 任务3：分，两种情况根据解析式计算即可． 【详解】任务1：如图： 任务2：甲，乙两种植物的生长高度与药物施用量是一次函数； 设甲植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为； 把代入得：，解得 甲植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为； 设乙植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为； 把代入得：，解得 乙植物的生长高度与药物施用量的函数关系式为； 任务3：当甲，乙两种植物的高度差距不超过6cm时， 由函数图像可知：当时， ，解得， ∴此时满足； 由函数图像可知：当时，，，解得， ∴此时满足； 综上所述：当时，甲、乙两种植物的高度差距不超过6cm． 22. [问题再现]如图①，是的半径，，点在上，将点沿的方向平移到点，使．当点在上运动一周时，可在线段上截取，连结、，由平行四边形的性质即可推出点的运动路径是以点为圆心、5为半径的圆．(不用证明) [变式探究]如图②，是的半径，，点在上，过点作，且点在点的上方，．当点在上运动一周时，判断点的运动路径并证明． [结论应用]如图③，在上述问题的条件下，点在线段上，且，当点在上运动一周时，点的运动路径长为___________ [拓展应用]如图④，在矩形中，，点是平面内一点，，点在点的上方．点是线段上的任意一点，连结．设线长度的最大值为，最小值为，则___________，___________． 【答案】[变式探究]点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]； [拓展应用], 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是应用[问题再现]的方法，作出辅助线． [变式探究]作，截取，可推出四边形是平行四边形，从而，从而得出点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]在上截取，连接，可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆，进而得出结果； [拓展应用]作，截取，可得出点在以上的点为圆心，为半径色圆上运动，连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小，进一步得出结果． 【详解】解：[变式探究]如图， 作，截取， ， ， 四边形是平行四边形， ， 点的运动路径是以为圆心，为半径的圆； [结论应用]如图， 在上截取，连接， 同理可得，点运动路径是以为圆心，为半径的圆， 因为， 故答案为：； [拓展应用]如图， 作，截取， 由上可知：， 点在以上的点为圆心，为半径的圆上运动， 连接，并延长，交于点，连接，交于， 此时最大，最小， 在中，，， 在中，， ， 故答案为：， 23. 如图，在矩形中，，，，点P沿运动，将点P绕点E逆时针旋转得到点 （1）平分矩形面积时，直接写出的长； （2）、Q、C三点共线时，求的长； （3）当点P在线段上运动时，证明点Q到的距离为定值； （4）的最小值为______，点Q的路径长为______． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析 （4）2， 【解析】 【分析】连接，交于点O，射线交于P，此时平分矩形的面积，证明得，进而可求出的长； 可得出，，从而得出，进而得出，从而； 作，作于G，可证得，从而得出，即可得证； 当点P在上时，作，作于G，所在的直线交于，可证得，从而得出，从而得出点Q在过点G且与的距离是3的线段上运动，当点P在B时，点Q在处，进一步得出结果；当点P在上时，作于W，可得出，进一步得出结果． 本题考查了矩形性质，全等三角形的判定和性质，配方法等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【小问1详解】 如图1，连接，交于点O，射线交于P，此时平分矩形的面积， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图2， ，， ， 点P绕点E逆时针旋转得到点Q， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 如图3，作，作于G， ， ，， ， ， ， ， 点Q在过点G且与的距离是3的线段上运动， 点Q到的距离为定值 【小问4详解】 如图， 当点P在上时，作，作于G，所在的直线交于， ，， ，， ， ， ， ， 点Q在过点G且与AD的距离是3的线段上运动，当点Q在处，此时最小， 如图， 当点P在上时，作于W， 同理可得，， 点Q在直线上运动， 当点P在点C处时，点Q在处，， 当点P从点A运动到B处，Q运动的路径长 当点P从点B运动到C处，Q运动路径长， 点Q共运动， 故答案为：2， 24. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点，点、在该抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连接、． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当点在该抛物线上时，求的值及点的坐标； （3）用含的代数式表示点、的坐标分别为、，的值为________； （4）以、为边构造平行四边形．连接、、、，若与面积的和等于面积的一半，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2），点坐标为 （3），， （4） 【解析】 分析】（1）将代入抛物线，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，得到对称轴，再由题意确定，解方程即可得到的值，进而得到点的横坐标，代入函数表达式求出纵坐标即可得到点坐标； （3）由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，将、代入函数表达式即可得到纵坐标，从而确定点、的坐标；过点作，如图所，分别求出，得到是等腰直角三角形，即，从而得到的值； （4）根据题意，当与面积的和等于面积的一半，分当点在内部、当点在外部，两种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线（是常数）经过点 ， ， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 抛物线的对称轴为， 点在该抛物线上，且点的横坐标为，点在该抛物线上，且点的横坐标为， ， 解得， 点的横坐标为， 将代入得，则点坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线对应的函数表达式为， 当时，，即； 当时，，即； 设直线表达式为， 将、代入可得， ， 消去得到， 点的横坐标为，点的纵坐标与点的纵坐标相同， ； 过点作，如图所示： ， ， 则，， 则， 即是等腰直角三角形， ， 则， 故答案为：，，； 【小问4详解】 解：由（3）知，设直线表达式为， 当点在内部时，过点作的垂线，交分别于点、点，如图所示： 在中，， ， ， 则， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线下方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，或， ， ； 设直线表达式为， 将代入，得， 解得， 直线表达式为， 当点在内部时，点在直线上方， 当时，， 对于抛物线，令，得， 解得或， 抛物线开口向上，与轴交点坐标为和， 当时，， ， ； 当点在外部时，如图所示： ，即与面积的和不可能等于面积的一半，此种情况不满足题意，舍去； ， ， 综上所述，若与面积的和等于面积的一半，则的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数综合，综合性强、难度很大，涉及待定系数法其抛物线表达式、抛物线图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值、平行四边形性质、一次函数图象与性质、解一元二次方程、由二次函数图象与性质解不等式、三角形面积公式、平行四边形面积公式、不等式组解集求法等知识，熟练掌握二次函数综合问题的求解方法、熟记相关知识点并灵活运用是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $