第九章 图形的变换重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

该初中数学第九章“图形的变换”重难点检测卷通过多样化题型系统构建知识体系，涵盖轴对称、中心对称、平移、旋转等核心内容，以选择、填空、解答题递进呈现概念识别、性质应用、综合探究，清晰呈现知识内在联系与重难点分布。 试卷亮点在于“问题情境化”练习设计，如最短路径问题（第26题）、小球反弹规律（第7题）等，培养几何直观与推理意识，分层设置基础题（如识别轴对称图形）与压轴题（坐标循环对称），助力不同学生提升，为教师精准教学和学生自主复习提供有效支持。

第九章 图形的变换重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：图形的变换全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖北荆门·月考）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，用平移的方法说明平行四边形的面积公式时，将沿直线平移到处，且，，则平移的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移6个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移6个单位，得到长方形，……第n次平移将长方形沿的方向向右平移6个单位，得到长方形，若的长度为2024，则n的值为（    ） A．336 B．337 C．338 D．339 6．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·上海松江·期末）如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 10．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，在三角形中，已知，，，将三角形沿方向平移得到三角形，则四边形的周长为______cm． 11．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是_________． 12．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号_________的小正方形涂阴影． 13．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是___． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如下图是四种基本尺规作图，其中图①是作一个角的平分线；图②是作一条线段的垂直平分线；图③是过直线外一点P作已知直线的垂线；④过直线上一点P作已知直线的垂线．比较这些作图的方法，发现有一个共同点，原图（角、线段和直线）都是轴对称图形，而所作的图形都是原图形的_________． 15．（25-26八年级上·安徽池州·开学考试）在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则_________°． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则______°． 16．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26七年级下·甘肃定西·月考）如图，平移三角形，使点移动到点，画出平移后的三角形． 18．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）下列各图中的两个三角形成轴对称吗？如果成轴对称，请画出对称轴；如果不成轴对称，请说明理由． 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线． (2)如图③，已知：为入射光线上一点，为反射光线上一点．求作：入射点．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别是、． （1）若边恰好经过点，如图1，求的大小； （2）当时，如图2，设与交于点，求证：是中点． 21．（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 22．（24-25七年级下·吉林长春·期末）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出长方形的一条对称轴，保留作图痕迹； （2）如图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、、、在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． ①如图2，画出四边形的对称轴； ②如图3，过点作直线． （思路提示：可先画出线段的对称轴，再作点关于此轴的对称点） 23．（25-26七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果． 24．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 26．（25-26八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 27．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为，其边长为就是原边长为小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为，其边长 ① 就是原边长为的小正方形的对角线长； 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为平方米，将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸…，如图2． 将纸按如图所示的方式折叠，则纸的长：宽= ② ． 请根据材料回答下列问题： (1)补全材料一、材料二探究过程中①②所缺内容； (2)按照图2的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比； (3)估算面积为1平方米的纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 图形的变换重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共27题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：图形的变换全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（8小题，每小题2分，共16分） 1．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； B.既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； C.不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形而是中心对称图形，不符合题意． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 3．（24-25七年级下·湖北荆门·月考）如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的定义和性质，掌握中心对称的定义“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心”，是求解本题的关键．利用中心对称的定义和性质求解即可． 【详解】A、与关于点O成中心对称， 点A与是一组对称点，故A正确，不符合题意； B、由中心对称的性质可知：对应点到对称中心的距离相等， ，故B正确，不符合题意； C、与不是对应角， 不成立，故C错误，符合题意； D、与是对应线段， ，故D正确，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）如图，用平移的方法说明平行四边形的面积公式时，将沿直线平移到处，且，，则平移的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据将沿直线平移到处，则点与点重合，根据平移的性质，即可求解． 【详解】解：平移后点与点重合， 则平移的距离； 故选：B． 5．（25-26七年级下·四川宜宾·月考）如图，长方形中，，第一次平移长方形沿的方向向右平移6个单位，得到长方形，第2次平移将长方形沿的方向向右平移6个单位，得到长方形，……第n次平移将长方形沿的方向向右平移6个单位，得到长方形，若的长度为2024，则n的值为（    ） A．336 B．337 C．338 D．339 【答案】A 【分析】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出平移间距离的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，，进而求出和的长，然后根据所求得出数字变化规律，进而得出求出n即可． 【详解】解： ，第1次平移将矩形沿的方向向右平移6个单位，得到矩形，第2次平移将矩形沿的方向向右平移6个单位，得到矩形… ，，， ， 的长为：； ，， ， 解得：． 故选：A． 6．（25-26七年级上·山东东营·期末）如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把小河和菜田看成直线，要找一条最短路线，可根据两点之间线段最短的规律来分析解答即可． 【详解】解：要找一条最短路线，分别作点A关于OB，OC的对称点，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下： 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称--最短路线问题，线段的性质：两点之间线段最短，关键是过一点作直线的对称点． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 8．（25-26七年级上·上海松江·期末）如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（    ）    A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到 B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到 C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到 D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质与旋转的性质：根据平移的性质与旋转的性质，等积変化逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意； C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意； D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 9．（25-26七年级下·四川眉山·期末）下列图形中的五边形都是正五边形，则这些图形中的轴对称图形有________个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．直接利用轴对称图形的性质画出对称轴得出答案． 【详解】解：如图所示：直线即为各图形的对称轴． 故轴对称图形有4个． 故答案为：4． 10．（24-25七年级下·吉林·月考）如图，在三角形中，已知，，，将三角形沿方向平移得到三角形，则四边形的周长为______cm． 【答案】12 【分析】本题考查了平移的性质；利用平移的性质得，再由四边形的周长为即可求解． 【详解】解：由平移的性质得， 四边形的周长为 ； 故答案为：12． 11．（25-26八年级上·山西长治·期末）如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是_________． 【答案】18厘米． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据△ABD的周长得出AB+BC=13厘米，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA=DC， ∵△ABD的周长等于13厘米， ∴AD+BD+AB=CD+BD+AB=13厘米， 即AB+BC=13厘米， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+5=18（厘米）， 故答案为：18厘米． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 12．（25-26七年级下·河南濮阳·期中）如图所示为一个的正方形网格，请在其中标有数字编号的小正方形中选取一个进行阴影标注，使得网格中的阴影部分形成一个中心对称图形．那么应该选择编号_________的小正方形涂阴影． 【答案】④ 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：只有选取④进行阴影标注，使得网格中的阴影部分能形成一个中心对称图形， 故答案为：④． 13．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如图，将绕点顺时针旋转得到，则点的坐标是___． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化一旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标，先根据旋转的性质得到点A的对应点为点，点的对应点为点，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段的垂直平分线，也在线段的垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心． 【详解】解：将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到， 点的对应点为点，点的对应点为点， 作线段和的垂直平分线，它们的交点为， 旋转中心的坐标为． 故答案为： 14．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如下图是四种基本尺规作图，其中图①是作一个角的平分线；图②是作一条线段的垂直平分线；图③是过直线外一点P作已知直线的垂线；④过直线上一点P作已知直线的垂线．比较这些作图的方法，发现有一个共同点，原图（角、线段和直线）都是轴对称图形，而所作的图形都是原图形的_________． 【答案】对称轴 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：一个角的平分线所在的直线是角的对称轴，线段的垂线平分线是线段的对称轴，一条直线的垂线是这条直线的对称轴，所以所作的图形都是原图形的对称轴． 故答案为：对称轴． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 15．（25-26八年级上·安徽池州·开学考试）在四边形纸片中，，， 将纸片沿折叠得到如图所示图形． （1）若， 则_________°． （2）将图1中的四边形纸片沿折叠得到如图2所示图形， 若，则______°． 【答案】 45 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角性质，折叠的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键． （1）根据折叠得出，，根据平行线的性质求出，再根据角度间关系求出结果即可； （2）根据折叠可知：，结合对顶角性质得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：（1）根据折叠可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：80； （2）根据折叠可知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：45． 16．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 三、解答题（11小题，共68分） 17．（25-26七年级下·甘肃定西·月考）如图，平移三角形，使点移动到点，画出平移后的三角形． 【答案】见解析 【分析】连接，过点B、C分别作的平行线，再在对应的平行线上分别截取，，再顺次连接即可． 【详解】解：如图所示，三角形即为所求： 18．（24-25七年级下·江苏南京·课后作业）下列各图中的两个三角形成轴对称吗？如果成轴对称，请画出对称轴；如果不成轴对称，请说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了成轴对称图形的识别，根据成轴对称图形的定义逐个分析即可，一个图形沿着一条直线对折后与另一个图形能够互相重合，那么这两个图形就叫做成轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：②③④均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以不是成轴对称图形， ①能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的图形能够完全重合，所以是成轴对称图形． 如图， 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线． (2)如图③，已知：为入射光线上一点，为反射光线上一点．求作：入射点．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和垂线的尺规作图，线段的尺规作图，正确理解题意是解题的关键． （1）根据入射角等于反射角可知，发现法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （2）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解；如图所示，射线即为所求； 作的角平分线，则射线即为所求； （2）解：如图所示，过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求； 由对称性可得，而， ∴， 再根据等角的余角相等可得点O即为所求． 20．（25-26八年级上·福建泉州·期末）在中，，，将绕点顺时针旋转一个角度得到，点、的对应点分别是、． （1）若边恰好经过点，如图1，求的大小； （2）当时，如图2，设与交于点，求证：是中点． 【答案】（1）18°；（2）见解析． 【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余，CB=CE构成的等腰三角形，用其性质求解即可； （2）运用等腰三角形的性质和判定求解即可． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：设与交于点，连接（如图2）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即是中点． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握旋转的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 21．（25-26八年级下·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出； (2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出； (3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)旋转中心的坐标为，旋转角的度数为 【分析】（1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案． 本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P， 则可由绕点P逆时针旋转得到， ∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为． 22．（24-25七年级下·吉林长春·期末）（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出长方形的一条对称轴，保留作图痕迹； （2）如图2、图3均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边所在直线称为格线，点、、、在格点上，点在格线上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求画图，保留作图痕迹． ①如图2，画出四边形的对称轴； ②如图3，过点作直线． （思路提示：可先画出线段的对称轴，再作点关于此轴的对称点） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】本题考查了尺规作图、轴对称的性质，利用轴对称的性质正确作图是解题的关键． （1）作长方形边长的垂直平分线，即可得到对称轴； （2）①根据轴对称图形的性质即可作图；②先画出线段的对称轴，连接交对称轴于点，延长交格线于点，则直线即为所求． 【详解】解：（1）如图1，长方形的一条对称轴即为所求： （2）①如图2，四边形的对称轴即为所求： ②如图3，先画出线段的对称轴，连接交对称轴于点，延长交格线于点， ∵点在线段的对称轴上， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴直线即为所求． 23．（25-26七年级下·山西朔州·期中）综合与实践 在综合实践课上，白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． 数学思考：（1）求图1中草地的面积． 深入探究：（2）白老师让同学们开发想象并完成本组的设计，并让小组成员提出相关的问题 ①“善思小组”提出问题：设计方案如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积，请你解答此问题． ②“智慧小组”提出问题：设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．请你思考此问题，并直接写出结果． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题结合图形的平移考查有关面积的问题，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变，熟练掌握平移的性质和长方形的面积公式是解题的关键． （1）结合图形，利用面积公式求解即可； （2）结合图形，利用平移的性质求解； （3）结合图形，利用平移的性质求解． 【详解】（1）根据题意草地的面积为：(平方米)； 故答案为：； （2）小路往、边平移，直到小路与草地的边重合， 则草地的面积为：(平方米)； （3）将小路往、、边平移，直到小路与草地的边重合， 则所走的路线(图中虚线)长为：(米)． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 25．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）【综合实践】：如图，在的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B均在格点上，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中点O在格点上，画出线段关于点O对称的线段（A对应C）； (2)在图2中点P在格点上，画出线段绕点P逆时针旋转所得到的线段（A对应E）； (3)在图3中，若每个小正方形边长为1，找格点G，H，使四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此时四边形的面积是　　． (4)【知识拓展】在图4中线段关于点O中心对称的线段（A对应C，B对应D）；点P是平面内任一点，请仅用无刻度的直尺作出点P关于点O中心对称的点Q（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色签字笔描深痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)图见详解， (4)见详解 【分析】本题考查了画已知图形关于某点对称的图形，旋转作图，轴对称图形与中心对称图形等，掌握中心对称作图、旋转作图的作法，理解轴对称图形与中心对称图形的定义是解题的关键． （1）按画已知图形关于某点对称的图形的作法作图，即可求解； （2）要求进行旋转作图，即可求解； （3）四边形是正方形时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，用割补法求面积，即可求解； （4）连接、交于点，作射线，截取，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段为所求作； （2）解：如图，线段为所求作； （3）解：如图，四边形为所求作； 四边形的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，点为所求作． 26．（25-26八年级下·广东深圳·期末）【综合实践活动】 【问题背景】如图，，表示两个村庄，要在，一侧的河岸边建造一个抽水站，使得它到两个村庄的距离和最短，抽水站应该修建在什么位置？ 【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决，他先将实际问题抽象成如下数学问题： 如图，，是直线同侧的两个点，点在直线上．在何处时，的值最小． 画图：如图，作关于直线的对称点，连结与直线交于点，点的位置即为所求． 证明：和关于直线对称 直线垂直平分 ________， 根据“________”（填写序号：①两点之间，线段最短；②垂线段最短；③两点确定一列条直线．）可得最小值为________（填线段名称），此时P点是线段和直线的交点． 【问题拓展】如图4，村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库（河流两侧河岸平行，即），为了方便渡河，需要在河上修建一座桥（桥的长度固定不变，等于河流的宽度且与河岸方向垂直），请问桥修建在何处才能使得到的路线最短？请你画出此时桥的位置（保留画图痕迹，否则不给分）． 【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示，四边形为花海景区，，米，米，长方形为人工湖景区，为了方便市民观景，公园决定修建一条步行观光路线（折线），为起点，终点在上，米，为湖边观景台，长度固定不变米），且需要修建在湖边所在直线上，步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化，请直接写出步行观光路线的最短长度． 【答案】【数学建模】， ① ，；【问题拓展】见解析【迁移应用】米 【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法． 【数学建模】由垂直平分线的性质得，由两点之间线段最短得； 【问题拓展】解过作垂直于河岸，使得，连接交另一河岸于，过 作垂直河岸于，即为所求； 【迁移应用】过作，使得，作关于直线对称点，连接交直线于，此时使得最短，最后由勾股定理求解即可． 【详解】，①，； 解：【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短； 解：【迁移应用】如图所示， 过作，使得，作关于直线对称点，延长交于，连接交直线于，此时使得最短， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于直线对称点， ∴，，, ∴， 在△中，由勾股定理得 ， ∴， 故步行观光路线的最短长度为米． 27．（24-25七年级下·福建福州·期中）阅读下列材料： 材料一：如图1，我们知道，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，得到的大正方形面积为，其边长就是原边长为1小正方形的对角线长．把两个边长为2的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为，其边长为就是原边长为小正方形的对角线长，…，以此类推，若把两个边长为的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为，其边长 ① 就是原边长为的小正方形的对角线长； 材料二：按照国际标准，系列纸为长方形，其中纸的面积为平方米，将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸；将纸沿长边对折、剪开，便成纸…，如图2． 将纸按如图所示的方式折叠，则纸的长：宽= ② ． 请根据材料回答下列问题： (1)补全材料一、材料二探究过程中①②所缺内容； (2)按照图2的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比； (3)估算面积为1平方米的纸的长与宽各是多少毫米？（结果取整数，，） 【答案】(1)①；②； (2)； (3)纸的长为，宽为． 【分析】本题考查了整式的应用，合理从题中获取相关信息是解题的关键． （1）①理解题意解答即可；根据图中的折叠信息获取长和宽的值作比即可； （2）设纸的长为，宽为，则纸的长：宽，根据比值关系列式求解即可． （3）设纸的宽为，则长为，则，运算求解即可． 【详解】（1）①解把两个边长为的小正方形用同样方法剪接，所得到的大正方形面积为，其边长为就是原边长为的小正方形的对角线长； ②由图可得折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，若折叠时正方形的边长为，则斜边为，因此这个矩形的长为，宽为，则长：宽； 故答案为：①；②； （2）设纸的长为，宽为，则纸的长：宽 由系列纸生成过程可知，纸长为，宽为，纸的长为，宽为． 所以纸的长：宽； （3）设纸的宽为，则长为， 依题意得， ， ∵， ∴， ∵（负的不合题意，舍去） ∴ ∴ 答：纸的长为，宽为． 学科网（北京）股份有限公司 $