解答题第18、19题34分练 专攻练（1） 三角函数与解三角形 -2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 必刷小卷1解答题第18、19题专攻练[1]三角函数与解三角形 口口题型一教材情境下双曲函数性质的深度探究 1.(2026·安徽六安2月高三学业水平检测，17分)双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定 义基于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为sih(x)=号，双曲余弦函数定义为 cosh(x)= (1)求双曲余弦函数cosh(x)在x=0处的切线方程： (2)令f(x)=cosh(x)-Cosx,讨论f(x)在(0，+∞)的单调性； (3)证明： 2tan吃cosh(告)+3ta晴cosh(待)+…+ntan喷cosh(贵)>n+动-名(n>1,neN) 【解析】已知cosh(x)=,所以cosh(x)=号，则cosh(0)==0,又 cosh(0)=1, 即函数在x=0处的切点为(0,1)，斜率为0因此，C0sh(x)在x=0处的切线方程为y=1 (2)由f(x)=cosh(x)-cosx=生-cosx,xe(0,+oo),所以f(x)=号+sinx, 令F(x)=f(x)=号+sinx,(0,+o),再次求导得F(x)=芒+cosx, 由基本不等式得之V®x,ex=1,当且仅当e*=ex,即x=0时，等号成立，因此，在 (0,+0)上>1故F(x)>1+cosx≥0，得F(x)=f(x)在(0，+o)上单调递 增， 因此f(x)>f(0)=0,可得f(x)在(0，+∞)上单调递增 (3)证明辅助不等式：当xE(0,1)时，sinx>x.号 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 令g(x)=sinx-x+,xe(0,1),求导得g(x)=cosx-1+号， 再令h(x)=g(x)=cosx-1+号，x∈(0,1)，求导得h(x)=-sinx+x, 令p(x)=h(x)=-sinx+xx∈(0,1)，求导得p(x)=-cosx+1>0, 故p(x)=h(x)在(0,1)上单调递增，因此h(x)>h(0)=0, 即h(x)>0,h(x)=g(x)在(0,1)上单调递增，得g(x)>g(0)=0, 故g(x)在(0,1)上单调递增，g(x)>g(0)=0,即six>x-器，xe(0,1) 由(2)知，当x∈(0,1)时，f(x)>f(0)=0,即cosh(x)>cosx, 又x∈(0,1)时，tanx>0,故tanx·cosh(x)>tanx·cosx=sinx, 结合辅助不等式得9@>婴>1-警 令x=青并进一步裂项放缩，令x=分(n>1,nEN),测atan喷csh(贵)=国0>1~品 又京<=是~贵，因此，ntan喷cosh(合)>1-（点-清） 当n≥2，n∈N时，对通项依次放缩 2tan吃cosh(2)>1-言(1-)，3tan3cosh(3)>1-(告-青)， ntan cosh(贵)>1-言（点-贵） 将以上各式相加得 2tan吃cosh(3)+3 tan cosh(待)+…+ntancosh(贵)>1-言(1-)+1-言(3-青)+…+1-言(-贵) 因此，2 tancosh(告)+3 tan cosh(待)+…+ntancosh(a)>n+击(n>1,neN), 得证. 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 00题型二三角形的费马点 2.(2026·湖南长沙阶段检测，17分)正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一.“费马点” 是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与 此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC中的三个内角均 小于120°时，使得LA0B=∠B0C=∠C0A=120°的点O即为费马点；当ABC有一个内角大于或等于 120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：己知ABC的内角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,若csin C-asinA=(c-b)sinB. (1)求A; (2)若bC=2,求ABC的面积； (3)设点P为ABC的费马点，求PA.PB+PB.PC+PC.PA. 【解析】（1)由正弦定理得2-a2=c-bb,即公+c2-a2=bc,所以cos4=+c2-Q-bc-{, 2bc 又4e(0,所以4=号 2》医为4子若c=2.则49C的面积为：9-cs如4-分x2x59 22 (3)易知ABC的三个角都小于120°，由费马点定义可知：∠APB=∠BPC=∠APC=120°， 设PA=x,PB=y,PC=z,由SMPB+SBpc+S4pc=SHBC得： y5】55:x2x,整理得y+z+z=2 +-Z. +-xZ 22 22 =。×2× 22 2 则m丽+丽元+Pmc=（》(》如（》x2=-l ·口题型三三角函数、不等式恒成立与参数最值问题 3.(2026·山百百安第入十五中学一模，17分)已知函数f八到=simn2x。 (1)求f(x)在(0，π)上的最大值； (2)求证：x∈[0，+o),f（x)sr恒成立： (③若xe0到都有f>co恒成立，求a的最大值。 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 【解析】(1)由题知f'(x=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=(1-cosx)(1+2cosx), 当x=2时，"x=0, 3 2π 上单调递增， 2π 2π 当x（时，f(<0,即f在（上单调递减， 所以当x=时，)取最大值)4 2π）-3V5 3 (2)先证：xe[0,+oo),sinx≤x,令g(x)=x-sinx,xe[0,+o）,则g'(x)=1-cosx≥0， 所以函数gx在[0，+o）上单调递增，故gx)≥q(0)=0,即sinr≤x在[0，+o）上恒成立. f(x)=sinx-sin2x=sinx(1-cosx)=2sinx.sin, 2'由sir≤x(x之0)知，sin 22 2 所以=2 i分2r 即兮式，得证 (3)当xe0,时，fx>ax'cosx,即snr-sinr-ar>0,令g)=sinx-sinr-ar, 2 cosx cosx 1 则g(0)=0,g(x)= cos'x -cosr-3ax2,其中g'(0)=0, 1 令hx)=g'(x= ow-3ax,则-c+snm-6a且01-d, 令p-.p1u-产-6a,共中0 cos4x 令1=cme0小，40-子+1-6加，则0-兰+14<0， 故u0-+1-6a在1∈0，山上单调递减，其中u四=3-60 ①若a≤2则p'(xl-6sinr+ 1 +cosx-6a≥ 6sin'x 2 十 +C0sx-3, cosix cos2x cos"x cos'x 令Ug-6cin+2+ox,u)在0 上单调递增，D(x)>v(0)=3, cosx cos2x 所以p'(x)>3-3=0恒成立故p(x=A'(x在x∈0 2 上单调递增，且p(x)='(x)>'(0)=0 所以h(x)=g'(x在x∈0,2 上也单调递增，且h(x=g(x)>g'(0)=0,所以gx>g0)=0, 故f(x)>ax'cosx恒成立. 1 π ②若a>2,则p'0)=3-6a<0,且3m0, 使得当xe(0,m)时，p'(x)<0, 所以函数p(x)在(0，m)上单调递减，故x∈(0，m)时，p(x=h'(x<0, 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题」 所以函数h(x)在(0，m)上单调递减， 所以xe(0,m)时，h(x)=g'(x<0,所以xe(0,m)时，gx<0, 与f(x>axr'cos.x, 02 恒成立矛盾. 综上所述：a的最大值为) 口口题型四三角函数性质与累加型数列不等式 4.(2026·广东东莞3月模拟测试，17分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x. (1)判断∫(x)是否为周期函数，并说明理由； (2)求f(x)的最大值和最小值： (3)）设neN,i证明：sinr+sin2r+sin4r+…+sin2”xs5 n+1. 【解析】(1)f(x)是周期函数， 理由如下：由三角函数周期性知：sin(x+2m)=sinx,sin[2(x+2π门]=sin(2x+4π=sin2x, 因此：f(x+2π=2sinx+2π)+sin2(x+2π)=2sinr+sin2x=f(x), 即2π是(x)的一个周期，故f(x)是周期函数； (2)由(1)可知求f(x)=2sinx+sin2x在0,2π上的最值即可 对f(x)求导得：f'(x=2cosx+2cos2x=2(2cos2x-1+2cosx=2(2cosx-1)(cosx+1), 令f'()=0,得cosr=或c0sr:-1, 在-0,2内.当e0号时.≥0. 兰e]本fo0,当 32π时，f)20 π5π 单调递减， n2π_3V3 32 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 5元，10元3W5 3 -2sin+sin ,f(2π=0， 3 2 所以fx)的最大值为3V5,最小值为-3 2 2 (3)记Sn=sinx+sin2x+sin4x+…+sin2"x, 3v5 由(2)知对任意实数t,都有2sint+sin2t 2 对长=0，ln-l.令1=25x,得：2sin2x+sn24x≤35 , 将上述n个不等式累加，左边整理得： 含(2an2x4sn2"列小-2m+3m2x+3n4r+a2x+5n2x=3双-m-2sn2x右 边为n3y5.因此：38，-5imx-2sin2x≤35n 2 2n,整理得：S。≤V32+Sinx+2sin2”x -n+ 由sinx<1,9in2x≤1，得simr+2sin2”x≤1+2x1=l, 3 3 医此：sinr+sin2x+…+sim2"xs5 n+1,得证 口口题型五三角函数性质、恒成立与正切型数列不等式证明 5.(2026·黑龙江齐齐哈尔一模，17分)已知函数f(x)=2sinx-ax. (1)当a=1时，求函数f(x)在0，π上的值域； π (2)若对任意x0,2,都有)之c0sx,求实数a的取值范围： n 1 1 (3)证明：2n+4 an+tan +tan <tan- 42+…+tan 1 【解析】(1)当a=1时，f(x)=2sinx-x,x∈[0，π，则f'(x)=2cosx-1, 合>0，则co>2,即0<号：合f八到<0，则cosr<分，即昏<x<x 3 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 所以f八)在0 上单调递相，在行上单润速液 又0=0}=5-1=，所以y为-5-引 (2)由f(x)≥xcosx,得2sinr-xcosx-ax≥0， 设hx)=2sinx-xcosx-ax,x∈ 0, 则h(0)=0, h'(x)=2cosx-cosx+xsinx-a cosx +xsinx-a, 设gx)=cosx+xsinx-a,则g'(x)=xcoSx, 所以当x[0引时，gy≥0，所以国在0引上单谓递理， 所以1-a=0s≤[a @当a≥号时.s0(在0 上单调递减，则h(x)≤0，不满足题意； ®当1<a<号时，或0到 使得h(x)=0, 2 当0<x<x时，h'(x)<0,h(x)在(0，xo)上单调递减，则h(x)≤h(0)=0,不满足题意； O当a≤1时，M(20,y在0,2 上单调递增，则h(x)≥h(0)=0,满足题意. 综上可得a≤1，即实数a的取值范围是(-0,1. (3)证明：由（2)得，当a=1时，任意x∈0， ,2sinx-xcosx-x>0恒成立， 即tan'=sinr、x 21+c0sx2' myao 1 所以tan 11 1 所以an2京+an 3+tan- 2+…+tan (n+1)2 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ >){+++…+11=11。 n 233445n+1n+22n+22n+4 合p-是x-ax.0<x<景，则p到= 414c0s2x-π πcos2xπCos2x 存在60到 ,使得p'（x)=0. 则当xe0,时，p)>0:当xe,牙 时，p'(x)<0, 于是p叫到在Q,)上单词递省，在上单调递减，而20)=p日=0， 4 所以px)>0,即当0<x<开时，4x>tanx. 所以tan14 1,1 所以tan27+tan3京+ian家+…+ian m+1)2元(35572n+12n+3, -811）8 π32n+33π 综上所述，2m+41 111 18 <tan+tan 22+tan d2..+tan n+3玩neN). 口口题型六指数三角复合函数与周期区间根的大小比较 6.(2026·江苏南京栖霞区名校联盟一模，17分)己知函数f(x)=e*cosx,gx)=sinx+1. (1)求国在0 内的单调性； (2)若存在x名0，使得-g≥0，求实数a的取值范围： (3)设方程f(x)=8x)在区间 2a+2m+ (n=1,2,,2025,2026)内根从小到大依次为 X,X2,,X2025,X2026,试比较X2026与X2025+2元的大小，并说明理由. 【解析】(1)）f'(x)=e*cosx+e(-sinx=e(cosx-sinx. 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 当0<x<无时，cosx>sinx,f'(x)>0,f(x)单调递增： 当子<x<受时，cosx<snr,f<0,f)单调递减： 4 所以，f在0到上单调港，在任引 上单调递减. (2)由题可知存在x∈ 使得e*cosx≥a(sinx+l成立， [若0，m1[别，做称在名0小 使得s ecosx 1+sinx 令a(x)=COs.x, 其中-亚≤x≤0， 1+sinx 6 cossin)(sin)'cosco)1sin (1+sinx) (1+sinx) 且到不恒为零，放锅数M在0 上单调递减， 则创m=-君=5e,故as5e (3）X2026>x2025+2π. 证明：由f(x)=g(x)可得e*cosx=1+sinx, (x)=e*cosx-sinx-1,(x)=e*(cosx-sinx)-cosx. 图2am+号2n+neN,则smx>osx0, 所以p'y<0,所以两数p(在2n+2m+aeN,)上单洱造减。 2 22 所以，存布唯一的气e2n+2m+引aeN,小，使得p()=0。 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 所以，xm∈ 2nm+号，2m+ e%cosx-sinx-1=0, 同理可得ccos-如x-l=-0,且X-2e2+骨2m+ 因为xnl-2π<Xnl,所以e-2<e, 因为x2nm++2x2n++2，所以cos>0 所以，p(xn1-2π=e-2 cos(+1-2元-sin(xn1-2π-1 =e-2cos-sin-1=-2 cos-cos=2-e)cos=( 因为数p在2n+2nn+ 上单调递减，故x+1-2π>xn,即xn+1>xn+2元， 取n=2025,则x2026>X2025+2元. 口口题型七三角幂指函数与数列放缩不等式深度探究 7.(2026·山东德州-模，17分)已知函数n(x)=sin2 x- +cos2n x-- (1)证明：(n≥2到在0到 上单调递增； (2)记.（到的最小值为a6=28:a,+ 1+1 b+1 ,数列 的前n项积为T, b, (i)求{an}的通项公式； (ii)证明：对任意的neN,In>Vn+1成立. 【解标1(1)质为=2en-吾引e-引-2cs(-引m-到 -2am-到m-m-(--uw-别》 =2x引n-到-we(-》高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 必刷小卷1解答题第18、19题专攻练[1]三角函数与解三角形 ©题型一教材情境下双曲函数性质的深度探究 1.(2026·安徽六安2月高三学业水平检测，17分)双曲正余弦函数是数学中重要的超越函数，其定义基 于指数函数的线性组合：双曲正弦函数定义为sinh=ee,双曲余弦函数定义为cosh(x=)e+e 2 2 (1)求双曲余弦函数coshx在X=0处的切线方程： (2)令fx=cosh(x-cosx,讨论fx)在(0，+∞的单调性； >n+1-7 6n6 n>1,n∈N n n 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©题型二三角形的费马点 2.(2026·湖南长沙阶段检测，17分)正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一.“费马点” 是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其 与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC中的三个内 角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或 等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,若csin C-asin A=(c-b)sinB. (1)求A; (2)若bc=2,求△ABC的面积： (3)设点P为△ABC PA·PB+PB.PC+PC·PA 的费马点，求 规范答题 :. 高考数学解簦题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©题型三 三角函数、不等式恒成立与参数最值问题 3.(2026·山西西安第八十五中学一模，17分)已知函数f(x)=sinr-2si血2x 0)求八在0网上的最大值： 2)求证：e0,+o）,f()2r恒成立： 都有f升x>ar'cosr恒成立，求。的最大值. 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©题型四三角函数性质与累加型数列不等式 4. (2026·广东东莞3月模拟测试，17分)已知函数f(y=2sinr+sin2x. (1)判断/) 是否为周期函数，并说明理由： (2) 求fx, 的最大值和最小值： sinr+sin2x+sin4x+…+sin2"x≤ v3 (3)设n∈N,证明： n+1. 2 规范答题 : 高考数学解簦题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©题型五三角函数性质、恒成立与正切型数列不等式证明 5. (2026·黑龙江齐齐哈尔-模，17分)已知函数f)=2sinr-ar (1)当a=1时，求函数/x在0，元上的值域： (2) 都有fx)≥xcosx,求实数a的取值范围； 8 (3)证明：2n+4 stan 2+tan+tan+tan n+1)3元 n eN 、 规范答题 气““ 高考数学解簦题第18、19题练透压轴题思维无难题！ 心题型六指数三角复合函数与周期区间根的大小比较 6.(2026·江苏南京栖厦区名校联盟一模，17分)已知函数f=cosx,g(x=sinx+1 0. (1)求f(x在2内的单调性； (2)若存在xe-60 使得fx)-agx≥0，求实数a的取值范围： (3)设方程fx)=gx在区间 2nπ+ ，2m 2m=1,22025,2026 内的根从小到大依次为 X,,,5,06,试比较6与2ms+2元的大小，并说明理由. 规范答题 ……”小 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ©心题型七三角幂指函数与数列放缩不等式深度探究 7.(2026·山未德州-模，1分》已如函数国=sin(-香}cos（x-》neN 0 元 (1)证明：fnx)(n≥2)在0,4上单调递增； 2记天的小为=s士+ ∫b+1 数列b,广的前n项积为7 (①)求a的通项公式： ()证明：对任意的n∈N,T,>Vn+l成立. 规范答题 高考数学解答题第18、19题练透压轴题思维无难题！ ⊙题型八·正切函数导数应用与正切型数列不等式证明······· 8.(2026·重庆市礼嘉中学高三下期第二次测试，17分)设函数()=tamr-sinx】 (1)求曲线y=(d在x=0处的切线方程： (2)若函数gx=fx-ar3(aeR)在区间，2上单调递增，求a的最大值： (3)已知数列a满足： a+an 0a,=i1-aa,:②ae>0l≤k≤999，keN且aom<0. 设bn=an a Va+1, 求证：】 4 i1 注：1+2++n 规范答题