第2章 一元二次方程 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（浙教版·新教材）

拔尖特训·数学（浙教版）入年级下 第2章整合拔尖 》“答案与解析”见P16 感知识体系构建 一元二次方程 概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程 解（或根）的概念。能使一元二次方程两边相等的未知数的值 般式ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数，a≠0) 一元二次 常见解法，因式分解法、开平方法、配方法、公式法 方程的解法 当b-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 求根公式 根为x=b±-4a 元二次方程 2a 根的判别式 ①b2-4ac>0←今方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 ②b2-4ac=0→方程ax2+bx+c=-0(a≠0)有两个相等的实数根 ③b2-4ac<0←→方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根 元二次方程根 如果，是一元二次方程r+hxtc=0的两个根，那么x=名，x=台 与系数的关系 运用根与系数的关系的条件a≠0，b2-4ac≥0 解决与商品销售相关的问题 元二次方程的应用 解决与平均变化率相关的问题 解决与几何面积相关的问题 9)高频考点突破 考点一一元二次方程的一般形式 考点二一元二次方程的根 典例1易错题已知关于x的一元二次方程 典例2(2024·南充)已知m是方程x2+4x (m一3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含 1=0的一个根，则(m+5)(m-1)的值为 次项，则m的值为 ( ) 、 A.0 B.±3 提示 C.3 D.-3 把x=m代入方程x2十4x-1=0,求出m2十 4m的值，然后利用多项式乘多项式法则计算(m十 提示 把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的 5)(m-1),最后把m2十4m的值代入进行计算即可. 定义、一次项的概念列式计算即可， [变式](2025·宁波期末)若m是一元二次方程 [变式](2025·义鸟期中)若关于x的一元二次 2x2+2x-3=0的一个根，则2m2-。3 方程(a-1)x2+2x十a一1=0的常数项为0， 2m2-6 则a的值为 A.±1 B.1 C.-1 D.0 40 第2章一元二次方程 考点三解一元二次方程 (3)x2+2x+1=4. 典例3★选择合适的方法解下列一元二次 方程： (1)(2x+3)2-25=0. (4)3x2+5x+1=0. (2)x2+4x+2=0. 考点四一元二次方程根的判别式 典例4(2024·潍坊)已知关于x的一元二次 方程x2一m.x-n2十m+1=0,其中m,n满足 (3)2x2-5.x+1=0. m一2m=3,关于该方程根的情况，下列判断中正 确的是 A.无实数根 B.有两个相等的实数根 (4)(x-5)2=(2x-1)(5-x). C.有两个不相等的实数根 D.只有一个实数根 [变式]已知关于x的方程x2一2x一m=0没有 实数根，试判断关于x的方程x2十2m.x+ 提示 m(m+1)=0的根的情况. 1)方程移项，得(2x十3)2=25，用开平方法 解.(2)此方程的二次项系数为1，一次项系数是偶 数，可考虑运用配方法求解(3)此题不可能用开平 方法，方程左边不能用已学过的方法分解因式，因此 也不可能用因式分解法.配方法较复杂，所以选用公 式法.(4)把方程右边整体移到左边后，经过变形可 提取公因式(x一5)，故用因式分解法求解. 变式](2025·杭州期中)解方程： (1)x2-6x=0. (2)4x(3+x)=7(x+3). 41 拔尖特训·数学（浙教版）八年级下 考点五一元二次方程根与系数的关系 ②当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月 典例5(2024·遂宁)已知关于x的一元二次 租金收入为10080元，同时尽可能让利于民？ 方程x2-(m+2)x+m一1=0. (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等 的实数根 (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x十 x2一x1x2=9,求m的值. [变式](2024·淄博)“我运动，我健康 我快乐！”随着人们对身心健康的关注 [变式](2025·浙江期中)已知关于x的方程 度越来越高.某市参加健身运动的人数 x2+(m一1)x十m十3=0的两个根分别为t+1 逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年 和t一3，则t的值为 的50万人. 考点六一元二次方程的实际应用 (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率， 典例6(2025·丽水期中)社区利用一块长方 (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A 形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示. 公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购 已知AD=50m,AB=30m,涂色部分设计为停 买不超过100套，每套售价1600元；若超过 车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道 100套，每增加10套，售价每套可降低40元，但 路.已知铺花砖的面积为800m. 最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司 支付货款24万元，求购买这种健身器材的套数 [xm (典例6图) (1)道路的宽是多少米？ (2)该停车场共有车位50个，据调查分析，当每 个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每 个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车 位.设每个车位的月租金上涨a元. ①求停车场可以租出多少个车位（用含a的代 数式表示). 42 第2章一元二次方程 综合素能提升 1.关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个解是 (1)当x1=-1时，求x2及m的值. x=一2，则k的值为 ( (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. A.2或4 B.0或4 C.-2或0 D.-2或2 2.定义新运算“a*b”:对于任意实数a,b,都有 a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式的右边 是通常的加法、减法、乘法运算.例如：43= (4+3)×(4-3)一1=7-1=6.若x×k=x (k为常数)是关于x的方程，则它的根的情 况为 () A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 7.新情境·日常生活（2025·绍兴新昌 3.若x1,x2是方程x2一x一2026=0的两个实 期末)某农户的西瓜，除了销售到县 数根，则代数式x一2026x1+x的值是 城，消费者还可以直接去农田采摘.该 农户在西瓜上市的第一天共计销售了600千 A.4053 B.4052 克，其中在县城销售了200千克，单价为8元， C.2026 D.1 剩余的部分在农田采摘销售，单价为6元 4.已知关于x的一元二次方程a.x2十2x+2 (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入. (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降 c=0有两个相等的实数根，则三十c的值为 价，据测算，在县城销售的西瓜，单价每降 1元，平均每天可多售出60千克.已知在农 5.如图，AO=B0=50cm,OC是一条射线， 田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该 OC⊥AB,一只蚂蚁由点A以2cm/s的速度 农户一天的销售总收入为4300元，则在县城 沿AB向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O 销售的单价应降低多少元？ 以3cm/s的速度沿OC方向爬行，则 s后，两只蚂蚁所处的位置（视为两 点)与点O组成的三角形的面积为450cm. (第5题) 6.（2025·南充)设x1,x2是关于x的方程 (x一1)(x一2)=m的两根 43依题意，得2(6-m)(2m一8)=1. 整理，得m2一10m+25=0,解得 m1=m2=5. ③当点P在线段AB的延长线上，点 Q在线段CB的延长线上时，m>6. 依题意，得2(m-6)(2m-8)=1. 整理，得m2一10m+23=0,解得 m1=5+√2，m2=5-√2（舍去） 所以m=5+√2 综上所述，经过(5一√2)s,5s,(5十 √2)s,△PBQ的面积为1cm. 专题特训四构建一元二次 方程解决实际问题 1.20解析：设4月、5月两个月的平 均涨价率为x.根据题意，得50(1 10%)(1+x)=64.8,解得x1= 0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍 去).所以4月、5月两个月的平均涨 价率为20%. 2.(1)设2025年7月~9月该国产 品牌新能源汽车销售量的月平均增长 率为x. 由题意，得16(1十x)2=19.36,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题 意，舍去) 答：2025年7月9月该国产品牌新 能源汽车销售量的月平均增长率 为10%. (2)由题意，得10月的销售量为 19.36X(1+10%)=21.296(万辆). 因为16+17.6+19.36+21.296= 74.25675, 所以2025年7月10月该国产品牌新 能源汽车销售总量不能达到75万辆. 3.23或32解析：设原两位数的个 位上的数字是x,则十位上的数字是 5一x.由题意，得[10(5一x)+x]· [10x+（5一x)]=736,解得x1=2, x2=3.所以原来的两位数是23或32. 4.(1)小明的说法不正确. 理由：设小路的宽为ym 根据题意，得(16-2y)(12-2y)= 2×16X12 整理，得y2-14y十24=0，解得y1=2, y2=12. 因为荒地的宽为12m, 所以小路的宽为12m不符合实际情况. 所以y=2. 所以小路的宽为2m. (2)因为小亮的设计方案中的4个相 同扇形的面积之和恰为一个半径为 xm的圆的面积， 1 所以2=2×12X16,解得x≈ ±5.5. 因为x>0, 所以x≈5.5. 所以小亮的设计方案中x的值约 为5.5. (3)方案不唯一，如图： 根据题意，得(16一x)(12-之)= 12×16. 整理，得2一28x十96=0，解得1= 4,x2=24(不合题意，舍去). 所以方案为在荒地的中央修两条互相 垂直的宽为4m的小路 16m 12m m zm (第4题) 5.(1)设y与x之间的函数表达式 为y=kx十b(k≠0). 将(9,33)，(10,30)代入y=kx+b,得 33=9k+b, k=一3， 30=10k+b 解得b=60. 所以y=-3.x+60. 因为销售价不低于成本价，且物价部 门规定这种产品的销售价不得高于 15元/千克， 所以y与x之间的函数表达式为 y=-3.x+60(8x15). (2)根据题意，得(x一8)（一3x+ 60)=96. 整理，得x2-28x+192=0,解得 x1=12,x2=16(不合题意，舍去. 答：售价应定为12元/千克. (3)小杭同学的说法不正确 理由：假设小杭同学的说法正确，根据 16 题意，得(x一8)（一3x+60)= 1200÷10. 整理，得x2-28x+200=0. 因为b2一4ac=(一28)2一4×1× 200=-16<0, 所以原方程没有实数根 所以假设不成立，即小杭同学的说法 不正确。 6.(1)由题意，得AP=21cm,BQ= 4t cm,PB=AB-AP=(10-2t)cm. 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得 PB2+BQ=PQ,即(10-2t)2+ (4t)2=102. 整理，得t2一2t=0,解得t1=2,12=0 (不合题意，舍去). 所以当t=2时，PQ的长为10cm. (2)存在1的值，使得五边形APQCD 的面积等于104cm2. 由题意，得S长方形AD=10X12= 120(cm2),S△Pm=2 PB·BQ= ×(10-2)×4=(-42+20)cm2. 1 所以S五边APQD=S长方形AMD一S△PQ,即 104=120-(-4t2+20t). 整理，得t2-5t十4=0，解得t1=4, t2=1. 当t=4时，BQ=16cm,16>12,不合 题意，舍去 当t=1时，BQ=4cm,4<12,符合 题意 所以存在t的值，使得五边形 APQCD的面积等于104cm,此时t 的值为1. 第2章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1D解析：因为(m-3)x2+ m2x=9x+5,所以(m-3)x2+ (m2一9)x一5=0.由题意，得m一3≠ 0,m2-9=0,解得m=-3. 一易错警示 勿忽视二次项系数不为0的条件 根据一元二次方程各项系数 的要求确定参数的取值时，应同时 考虑二次项系数不为0的条件.本 题若忽视二次项系数m一3≠0这 个条件，则易导致错选B. [变式]C解析：若关于x的一元 二次方程(a-1).x2+2x+a2-1=0 的常数项为0，则a2-1=0,解得a= 士1.因为a-1≠0，所以a≠1.所以 a=-1. 典例2一4解析：因为m是方程 x2+4x一1=0的一个根，所以m2十 4m=1.所以(m+5)(m-1)=m2 m+5m-5=m2+4m-5=1 5=-4. [变式]2解析：因为m是一元二 次方程2x2+2.x一3=0的一个根，所 以2m+2m-3=0.所以2m2=3 2m.所以2m2一6=一2m一3.所以原 3 式=3-2m--3-2m =3-2m+ 3 9-4m2+3-12-4m2 3+2m 3+2m 3+2m 2(2m2-62 2(-2m-3) 2m+3 2m+3 2(2m+3) =2 2m+3 典例3(1)方程移项，得(2x十 3)2=25. 两边开平方，得2x+3=5或2x+ 3=-5,解得x1=1,x2=一4. (2)方程变形，得x2+4x=一2. 配方，得x2十4x+4=一2+4，即 (x+2)2=2. 两边开平方，得x十2=土√2，解得 x1=-2十√2，x2=-2-√2. (3)因为a=2,b=-5,c=1, 所以b2一4ac=(-5)2一4×2×1= 17>0. 所以x=（-5)±7 2×2 所以x,= 5+/17 5-√/17 ,℃2= 4 4 (4)方程变形，得(x一5)2+(2x-1)· (.x-5)=0. 分解因式，得(x-5)(x-5十2x一 1)=0,即(x-5)(3.x-6)=0 所以x-5=0或3.x-6=0,解得 x1=5,x2=2. 方法归纳 根据方程的特征巧选 解方程的方法 开平方法和因式分解法适合 解特殊的一元二次方程，如缺少一 次项的一元二次方程适合用开平 方法求解.公式法和配方法可解任 意的一元二次方程，但当各项系数 均为整数且绝对值较小时首选公 式法.对于含有括号的一元二次方 程，不要急于去掉括号，可根据方 程的特点，选用因式分解法或开平 方法求解」 [变式](1)将方程的左边分解因 式，得x(.x-6)=0, 则x=0或x一6=0，解得x1=0, x2=6. (2)将方程移项，得4x(x十3) 7(x+3)=0. 将方程的左边分解因式，得(x十 3)(4.x-7)=0, 则x+3=0或4x一7=0，解得 2 x1=-3,x2= (3)将方程的左边配方，得(x+ 1)2=4. 开平方，得x+1=2或x+1=一2，解 得x1=1,x2=-3. (4)因为a=3,b=5,c=1, 所以b2-4ac=52-4×3×1=13>0. 所以x=一5±v13 2X3 -5+√/13 -5-w/13 所以x1= 6 典例4C解析：因为m一2m=3,所 以该方程的根的判别式为（一m)2 4(-n2+m+1)=m2+422-4mm 4=(m-2)2一4=32-4=9-4=5>0. 所以原方程有两个不相等的实数根. [变式]因为关于x的方程x2一 2x一m=0没有实数根， 所以(-2)2-4·(-m)=4+4m< 0,解得m<-1. 关于x的方程x2十2mx十m(m+ 1)=0的根的判别式为(2m)2 4m(m+1)=-4m>4, 所以方程有两个不相等的实数根。 典例5(1)关于x的方程x2 17 (m+2)x+m-1=0的根的判别式 为[一(m+2)]2一4×1×(m一1) m2+4m+4-4m+4=m2+8. 因为m2≥0， 所以m2+8>0 所以无论取何值，方程都有两个不 相等的实数根。 (2)由题意，得x1十x2=m十2， x1x2=m-1. 因为x号十x一x1x2=9,即(x1+ x2)2-3.x1x2=9, 所以(m十2)2-3(m-1)=9. 整理，得m2十m-2=0. 解得m1=-2,m2=1. 所以m的值为一2或1. [变式]土3解析：因为关于x的 方程x2十(m一1)x十m十3=0的两 个根分别为t十1和t一3，所以由根与 系数的关系，得t+1十t一3=一m+十 1,(t+1)(t-3)=m+3.所以m= 3-2t,则(t+1)(t-3)=3一2t+3. 整理，得t2=9,解得t=土3. 典例6(1)由题意，得(50一2x)· (30-2x)=800. 整理，得x2-40.x十175=0，解得 x1=35(不合题意，舍去)，x2=5. 答：道路的宽是5米。 (2)①停车场可以租出(50-号)个 车位， ②由题意，得(20+a)(50-号)= 10080. 整理，得a-50a十400=0，解得a1= 10,a2=40. 因为要尽可能让利于民，所以a一10. 所以200十a=210. 答：当每个车位的月租金为210元时， 停车场的月租金收人为10080元，同 时尽可能让利于民. [变式](1)设该市参加健身运动人 数的年均增长率为x. 由题意，得32(1+x)2=50,解得 x1=0.25=25%,x2=-2.25(不合 题意，舍去) 答：该市参加健身运动人数的年均增 长率为25%. (2)设购买这种健身器材m套. 因为240000÷1600=150（套）， 所以m>100. 由题意，得m(1600-m0× 10 40)=240000. 整理，得m2-500m十60000=0，解得 m1=200,m2=300. 当m=200时，1600-m100×40= 10 1600-400=1200>1000,符合题意， 当m=300时，1600-m100×40= 10 1600-800=800<1000,不符合题 意，舍去。 答：购买这种健身器材200套」 [综合素能提升] 1.B解析：把x=一2代人方程 x2+4kx+2k2=4,得4一8k+2k2= 4.整理，得2一4=0，解得1=0， k2=4.所以k的值为0或4. 2.C解析：由题意，得(x十k)(x k)-1=x,即x2-x-k2-1=0.因 为b2一4ac=(-1)2一4(-k2一1)= 4k2+5>0,所以关于x的方程有两 个不相等的实数根。 3.A解析：因为x1x2是方程x2 x一2026=0的两个实数根，所以 x号-x1-2026=0,即x号-2026= x1,且x1十x2=1,x1x2=-2026.所 以x一2026.x1+x=x1(x号 2026)+x号=x号+x号=(x1+x2)2 2.x1x2=1+4052=4053. 4.2解析：因为关于x的一元二次 方程a.x2+2x+2一c=0有两个相等 的实数根，所以a≠0，且方程的根的 判别式为22一4a(2一c)=0.整理 22-4a(2-c)=0,得4a(c-2)= 一4.等式两边同时除以4a,得c一 2=-1,即2+c=2, a a 5.10或15或30解析：设xs后两 只蚂蚁所处位置与点O组成的三角 形的面积为450cm2.有两种情况： ①如图①，当沿AB爬行的蚂蚁在 AO上，即0≤x≤25时，由题意，得 7X3x(⑤0=2x)=450,解得x 15,x2=10:②如图②，当沿AB爬行 的蚂蚁在OB上，即25<x50时，由 题意得2×3x(2x-50)=450,解得 x1=30,x2=一5（不合题意，舍去）. 综上所述，10s或15s或30s后，两只 蚂蚁所处位置与点O组成的三角形 的面积为450cm2. ① (第5题) 6.方程(x-1)(x-2)=m2可化为 x2-3.x+2-m2=0. 因为b2-4ac=(-3)2-4(2-m2)= 4m2+1>0, 所以关于x的方程总有两个不相等 的实数根. 由根与系数的关系，得x1十x2=3, x1·x2=2-m2 (1)当x1=-1时，-1+x2=3, -x2=2-m2. 所以x2=4,则一4=2一m2 所以m=±： (2)(x1-1)(x2-1)=x1·x2 (x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2. 因为m2≥0， 所以-m20,即(x1一1)(x2-1)0. 7.(1)根据题意，得8×200十6× (600一200)=8×200+6×400= 4000(元). 答：该农户这一天销售西瓜的总收人 为4000元 (2)设在县城销售的单价降低x元， 则销售量为(200十60x)千克 根据题意，得(8一x)(200十60x)+ 6×(600-200)=4300 整理，得3x2一14x十15=0，解得 x1=3,x2=3 5 又因为要扩大销售， 所以x=3. 答：在县城销售的单价应降低3元 18 第3章数据分析初步 3.1平均数 第1课时平均数 1.D2.86分 3.(1)C班的平均分为89+94+96 3 93(分). 因为919293， 所以C班的平均分最高， (2)C班的总成绩为 89×2+94×2+96 2+2+1 =92.4(分). 因为90.6<92.492.6， 所以B班第1，C班第2，A班第3. 4.D解析：3千克甲种精果和n千 克乙种糖果混合而成的什锦糖果的售 价为每千克计元 5.1或2解析：因为x=×(4十 4 5十6十5)=子×20=5，所以在数据 4,5,6,5中去掉n个数据，当平均数 没有发生变化时，被去掉的这n个数 据的和为5n.所以若去掉1个数据， 则这个数据为5×1=5：若去掉2个 数据，则这2个数据的和为5×2= 10,即可以去掉数据5,5或者4,6；若 去掉3个数据，则还剩1个数据，不符 合题意.综上所述，符合题意的n的值 是1或2. 6.(1)设笔试成绩的占比为x,则面 试成绩的占比为(1一x). 根据题意，得90.x十85(1-x)=87,解 得x=0.4=40%. 所以1一x=60%. 答：笔试成绩占40%，面试成绩占60%. (2)2号选手的综合成绩为92× 40%+88×60%=89.6(分)，3号选 手的综合成绩为84×40%+86× 60%=85.2(分). 因为89.6>87>85.2， 所以根据综合成缋排名，第一名是2 号选手，第二名是1号选手，第三名是 3号选手. 第2课时分布式计算 1.B2.72.5%3.5.14 4.甲门店总消费：400×40+300× 25=16000+7500=23500(元).