长方体和正方体的认识与展开图（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

本讲义聚焦长方体和正方体的认识与展开图核心知识点，系统梳理长方体（6个面、12条棱分3组、8个顶点，棱长总和公式C=4(l+b+h)）和正方体（特殊长方体，6个面为正方形、12条棱等长，棱长总和公式C=12a）的特征，构建从基本要素到公式应用再到展开图判断的学习支架。 资料通过典型例题（如求棱长总和、辨别面的面积）和高频真题（展开图判断、综合应用），培养学生空间观念与几何直观，易错提醒（如棱长总和计算误区）强化推理意识。课中辅助教师清晰授课，课后助力学生通过方法归纳和真题精练查漏补缺，提升知识应用能力。

人教版五年级下册 第三单元 长方体和正方体 讲义一：长方体和正方体的认识与展开图 【知识精讲 · 典型例题 · 高频真题】 一、知识精讲 ◆ 1. 长方体的认识 长方体是生活中最常见的立体图形之一，如书本、冰箱、砖块等。 长方体由面、棱、顶点三要素构成： 【重点】长方体特征总结 ● 面（6个）：长方体有6个面，都是长方形（特殊情况两个相对的面是正方形）。 相对的两个面完全相同（面积相等、形状相同）。 ● 棱（12条）：面和面相交的线段叫棱。12条棱分为3组，每组4条棱等长。 设长=l，宽=b，高=h，则棱长总和 = 4×(l + b + h) ● 顶点（8个）：棱与棱的交点叫顶点，长方体共 8 个顶点。 ● 交相于同一顶点的3条棱分别叫长、宽、高。 【公式】 棱长总和： C = 4 × (l + b + h) 其中 l 表示长， b 表示宽， h 表示高。 ▲ 长方体三维立体图（标注长、宽、高） ◆ 2. 正方体的认识 正方体是6个面都是正方形的特殊长方体，所有棱长度相等。 【重点】正方体特征总结 ● 面（6个）：6个面完全相同，都是正方形。 ● 棱（12条）：12条棱全部等长，设棱长为 a。 棱长总和 = 12a ● 顶点（8个）：共8个顶点。 ● 正方体是长、宽、高相等（l = b = h = a）的长方体。 C = 12a ◆ 3. 长方体与正方体的关系 ▲ 长方体与正方体的集合关系（正方体是特殊长方体） 【重点】关系理解 正方体是特殊的长方体，因此： ① 正方体具备长方体的所有特征； ② 正方体的长、宽、高三者相等； ③ 判断正方体时可用“是否所有面都是正方形”来检验。 ◆ 4. 长方体和正方体的展开图 把长方体或正方体的6个面按棱剪开后展开，得到的平面图形叫展开图。 ▲ 正方体立体图与展开图对比（同色为相对面） ▲ 长方体展开图（标注上下前后左右各面，l=长，b=宽，h=高） ▲ 合法与不合法展开图示例（打勾为可折成正方体，打叉为不能） 【方法归纳】解题方法总结 【方法1】求棲长总和：4组共12条棱，每组等长 → C = 4(l+b+h) 或 C = 12a 【方法2】数棱/面/顶点：面=6，棱=12，顶点=8（长方体和正方体相同） 【方法3】判断展开图：优先用“相对面不相邻”原则，标注相对面再检验 【易错提醒】高频易错点提醒 【易错1】将棱长总和算成 2(l+b+h)——只算了3条棱，正确应乘以4！ 【易错2】认为正方体不是长方体——正方体是长、宽、高相等的特殊长方体！ 【易错3】凭直觉判断展开图，忽略相对面关系——务必标注相对面再判断！ 【易错4】展开图中混淆相邻面与相对面——相对面折叠后面面相对，中间无公共棱。 二、典型例题 【例题1】 求棱长总和 一个长方体，长 8 cm、宽 5 cm、高 3 cm。 （1）这个长方体共有多少条棱？各组棱分别有几条？ （2）如果用铁丝围成这个长方体框架，至少需要多长的铁丝？ 【解析】 （1）长方体共 12 条棱，分 3 组，每组 4 条。 第1组：4 条长为 8 cm 的棱（长） 第2组：4 条长为 5 cm 的棱（宽） 第3组：4 条长为 3 cm 的棱（高） （2）棱长总和 = 4 × (l + b + h) = 4 × (8 + 5 + 3) = 4 × 16 = 64（cm） 【答】至少需要 64 cm 的铁丝。 【例题2】 辨别长方体的面 一个长方体纸巾盒，量得长 24 cm，宽 12 cm，高 9 cm。 （1）它的 6 个面分别是什么形状，各有几个？ （2）哪些面面积相等？各面面积分别是多少？ 【解析】 （1）6个面全是长方形，分 3 对相对： 前面与后面 × 2、左面与右面 × 2、上面与下面 × 2 （2）相对的面完全相同，面积相等： 前/后面：24 × 9 = 216 cm²（2个） 左/右面：12 × 9 = 108 cm²（2个） 上/下面：24 × 12 = 288 cm²（2个） 【答】前后各 216cm²；左右各 108cm²；上下各 288cm²。 【例题3】 判断展开图能否折成正方体 如右图所示的展开图，折成正方体吗？说明理由。 （展开图为十字形） 【解析】 判断方法：给 6 个面编号，找出 3 对相对。 十字形展开图折叠规律： ▶ 中间行（横向 4 面）：第1面与第3面相对，第2面与第4面相对； ▶ 下方面与上方面相对。 所有相对面均不相邻 → 能折成正方体。 【答】该展开图能折成正方体。 【例题4】 已知棱长总和求棱长 一个正方体框架，所有棱长之和为 60 cm，求这个正方体的棱长是多少厘米？ 【解析】 设正方体棱长为 a cm，则： 正方体棱长总和 = 12a 12a = 60 a = 60 ÷ 12 = 5 【答】这个正方体的棱长是 5 cm。 三、高频真题精练 ◆ 【专项一】 棱、面、顶点数量与棱长计算 1. 一个长方体有（ ）个面、（ ）条棱、（ ）个顶点。 2. 一个长方体，长 6 dm、宽 4 dm、高 2 dm，它的棱长总和是（ ）dm。 3. 一个正方体的棱长总和是 96 cm，则棱长为（ ）cm。 4. 长方体相对的棱（ ）（填“一定”或“不一定”）等长。 5. 一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体长 8 cm、宽 5 cm、高 3 cm，正方体的棱长是多少？ ◆ 【专项二】 展开图判断 6. 下图是一个正方体的展开图（十字形），请在图中用相同颜色标出相对的面。 ◆ 【专项三】 综合应用 7. 一个礼堂长 90 m，宽 55 m，高 22 m，沿四周墙角（地面四边不装）装彩灯，至少需要多长彩灯线？ 8. 用2cm×2cm×3cm的砖铺满长60cm、宽40cm的地面，最少需要多少块砖？ 四、参考答案汇总 【答案一览】参考答案一览 例题1：棱长总和 = 64 cm 例题2：前后各 216cm²；左右各 108cm²；上下各 288cm² 例题3：十字形展开图能折成正方体 例题4：棱长 = 5 cm 真题1：6面，12棱，8顶点 真题2：48 dm 真题3：8 cm 真题4：一定 真题5：长方体4×(8+5+3)=64cm；正方体棱长总和等于64cm，棱长为64÷12= 真题6：十字形中：中间第1与第3相对；第2与第4相对；下面与上面相对 真题7：378 m 真题8：400 块 学科网（北京）股份有限公司 $