精品解析：河北枣强中学2025-2026学年高二年级下学期第一次月考数学试题

2025-2026学年高二年级下学期第一次月考数学试题 一、单选题 1. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. －1 B. 0 C. －8 D. 1 3. 已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则实数c的值为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 4. “曲线在处切线的倾斜角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. （多选）下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线为； B. 函数有个零点； C. 函数在处取得极大值； D. 函数的图像关于点对称． 11. 已知函数，，则下列说法正确是（ ） A. 在上不是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则 C. 若（），且，则的最大值为 D. 若，，不等式恒成立，则取值范围为 三、填空题 12. 函数在区间上的平均变化率为__________. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 14. 函数有且只有一个零点，则的取值范围是_____. 四、解答题 15. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 16. 已知函数． （1）若，求的单减区间. （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在区间上存在减区间，求的取值范围 （4）若函数在区间上不单调，求的取值范围； 17 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围. 18. 某工厂计划建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：墙面报价每平方米200元，屋顶和地面报价共7200元，总报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元，（）. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）试用表示方案一的总报价，并求的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级下学期第一次月考数学试题 一、单选题 1. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程 . 故所求切线方程为 . 2. 已知函数，则（ ） A. －1 B. 0 C. －8 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求导，解得，得到求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 则， 解得， 则， 所以， 故选：C 3. 已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则实数c的值为 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，当时，或，因为极大值点是，所以，并且，当时，当时，，当时，，所以当是极大值点，，解得，故选D. 考点：导数与极值 4. “曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由，得． 由曲线在处的切线的倾斜角为， 可得，解得或． 故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件． 5. 已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对曲线求导，结合已知求切点横坐标，进而得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值. 【详解】由于直线与曲线相切， 设切点为，且，所以， 所以切点的横坐标，则，即，又，， 所以， 即，当且仅当时取等号，所以的最小值为2. 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，结合根据单调性比较大小即可. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减. 所以在时取到最大值， 因为， 又因为在上单调递增，所以，所以. 故选：B 7. 已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数可得是 函数的极大值点，再利用题意列出不等式组即解. 【详解】由得， ∴当或时，，当时，， 故是 函数的极大值点， 令，即， ∴，或，又函数在区间上有最大值， ∴， 解得. 故选：A. 8. 若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得，即，即． 设，则，因为0，所以在上单调递增，所以，即． 设，则， 当时，，则上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，所以． 二、多选题 9. （多选）下列求导运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D正确； 10. 已知函数，下列命题正确的是（ ） A. 函数的图像在点处的切线为； B. 函数有个零点； C. 函数在处取得极大值； D. 函数的图像关于点对称． 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出的导函数，求出和，利用点斜式求得切线方程，即可判断A；利用导数求出函数的单调性，从而可求得极值点，即可判断C；由函数的单调性以及零点存在定理即可判断B；令，可得为奇函数，结合平移，即可判断D． 【详解】对于选项A：因为，则，且， 所以函数的图像在点处的切线为，即为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，，，， 可知函数在内各有一个零点， 所以函数有个零点，故B正确； 对于选项C：由选项B知函数在处取得极小值，故C错误； 对于选项D：令，则的定义域为， 且，则函数为奇函数，其图像关于原点对称， 将函数的图像向右平移一个单位再向上平移一个单位可得函数， 所以函数的图像关于点对称，故D正确． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上不是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，，且，则 C. 若（），且，则的最大值为 D. 若，，不等式恒成立，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数判断的单调性，结合反例可判断A，利用对数均值不等式可判断B，构造函数，求解导数，利用导数求最值可判断C，把恒成立问题转化，分离参数，结合导数求解最值，可判断D. 【详解】因为，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且； 又因为的定义域，且， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且. 对于选项A：因为，则， 所以在上不是增函数，故A正确； 对于选项B：因为关于的方程有两个不相等的实根，， 可知，，且， 整理可得，即， 结合对数不等式，可得，即， 所以，故B错误； 对于选项C：若（），且， 由图象可知：， 则，即，可得， 且，即，可得， 又因为， 且，，在内单调递增，可得， 则， 构建，，则， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 又因为在内单调递增，可得，则， 构建，，则， 因为，可知： 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，且. 可得，所以的取值范围为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 12. 函数在区间上的平均变化率为__________. 【答案】4 【解析】 【详解】因， 故函数在区间上的平均变化率为. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 14. 函数有且只有一个零点，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题转化为函数图象交点问题，结合相切的临界条件，即可求出的值. 【详解】函数的定义域为. 函数有且只有一个零点等价于只有一个解， 即函数与的图象在上有且只有一个交点. 函数的图象如图，过点，且在上单调递减，在上单调递增. 函数，图象为顶点在，开口向上的V形折线，对称轴为，且沿轴左右平移. 通过观察图象可知，当与在上相切时，有一个交点； 当与在不相交时，有一个交点. 当与在上相切时， ，令，解得，此时切点坐标为， 代入中，可得. 此时当时，函数与在上有1个交点，满足条件； 同理可得，当时，函数与在上有2个交点， 当时，函数与在上有1个交点，在上有1个交点； 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知函数的图象过点，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的单调区间，极值和值域. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间：和，单调减区间： ；极大值为，极小值为，值域为. 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得出，求出、的值，可得出函数的解析式； （2）利用导数分析函数在区间上的单调性，利用函数的极值、最值与导数的关系可求出函数在区间上的极值、最大值和最小值可得答案. 【小问1详解】 因为，则， 由已知条件得，解得， 所以， 【小问2详解】 由（1）知，，， 由可得或，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，函数在区间上的极大值为，极小值为， 又因为，， 故函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以值域为. 16. 已知函数． （1）若，求的单减区间. （2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围； （3）若函数在区间上存在减区间，求的取值范围 （4）若函数在区间上不单调，求的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求单调区间； （2）分析可得：对恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算； （3）分析可得：，使得成立，根据存性问题结合二次函数分析运算； （4）分析可得：，使得成立，根据零点问题结合二次函数分析运算； 【小问1详解】 若，则， 可得的定义域为，且， 令，则 故的单减区间为. 小问2详解】 ∵，则， 若函数在区间上单调递增，等价于对，恒成立， 可得对恒成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）可得：， 若函数在区间上存在减区间，等价于，使得成立， 可得，使得成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. 【小问4详解】 由（2）可得：， 若函数在区间上不单调，等价于，使得， 可得，使得成立， 构建，可知开口向上，对称轴， ∴， 故，解得， 则的取值范围为. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导后根据的取值分类讨论单调性即可. （2）分离参数，构造新函数，分析其单调性和最值，进而得出结果. 【小问1详解】 根据题意，的定义域为，对其求导． 当时，，在上单调递增； 当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 因为在上有两个零点，所以， 由得，令，对求导，得， 又，所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则有极大值，也就是最大值为， 又当时，； 当时，； 当时，， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是． 18. 某工厂计划建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：墙面报价每平方米200元，屋顶和地面报价共7200元，总报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元，（）. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）试用表示方案一的总报价，并求的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】（1）18 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【小问1详解】 宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. 小问2详解】 设底面长为，， 所以墙面面积为，， ，当时取等， 所以，最小值为. 【小问3详解】 对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 而，当且仅当，即时，即时取等号. 所以， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若函数有2个不同的零点． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值． （2）（i）（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，令，求得，得到的单调性，进而求得函数的单调区间，结合极值的概念，即可求解. （2）（i）由题意得，令，求得，得到在单调递增，再令，得到在有2个零点，且，进而得到，求得函数，即可求解； （ii）根据题意，转化为证明，设，得到，令，求得，得到，进而转化为，令，利用导数求得单调性，结合，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，函数，可得， 令，则， 当时，；当，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为时，，则，， 所以当时，；， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 解：（i）由函数， 令，因为，所以在单调递增， 令，即在有2个零点，且， 因为，所以时，，在单调递增， 此时不存在2个零点，所以， 因为时，；时，，所以在单调递减， 在单调递增，因为时，；时，， 所以，所以． （ii）证明：由，可得，即证，即证， 不妨设，因为， 由（i）知，， 令，则且， 又因为，可得，即， 所以，可得，所以， 则， 所以等价于，即， 即为， 令，则， 所以在单调递增，所以， 即，可得，所以，即可得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $