第7章 认识概率 整合拔尖-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

第7章认识概率 第7章整合拔尖 》“答案与解析”见P7 壁]知识体系构建 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定会发生，这样的事件是必 然事件，必然事件发生的概率为1 必然事件 在一定条件下，有些事件我们事先能确定它一定不会发生，这样的事件是 不可能事件，不可能事件发生的概率为0 不可能事件 在一定条件下，很多事件我们事先不能确定它会不会发生，这样 随机事件 概念。的事件是随机事件 识概率 特点 一般地，随机事件发生的可能性有大有小 我们把用于度量一个随机事件发生的可能性大小的数值，称为 这个事件发生的概率 概率 概念 在多次重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性，可以通过频率来估 计概率 频率与概率 9]高频考点突破 考点一事件的识别 下表： 典例1(2025·徐州)一只不透明的袋子中装 频数 用时 30 35< 40< 45< 合计 有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相 线路 135 t40 t45 t50 同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件 45 265 167 2的 500 的是 59 151 166 124 500 A.至多有1个球是红球 50 50 122 278 500 B.至多有1个球是黑球 早高峰期间，乘坐 (填“A”“B”或“C”) C.至少有1个球是红球 线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过 D.至少有1个球是黑球 45分钟”的概率最大 [变式]一只不透明的袋子中装有3个红球、1个 [变式]某路口交通信号灯的时间设置为红灯 黑球，这些球除颜色外其余都相同.从中任意摸 40秒，绿灯60秒，黄灯4秒，当车辆随机经过该 出2个球，则“摸出的球中至少有1个黑球”是 路口时，遇到 灯的概率最小（填“红” 事件（填“必然”“不可能”或“随机”）. “绿”或“黄”). 考点二概率 考点三频率与概率之间的关系应用 典例2从甲地到乙地有A,B,C三条不同的公 典例3某小组做“当试验次数很多时，用频率 交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公 估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频 交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上 率如下表： 随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班 次 数 200 400 600 800 1000 次的公交车用时t(单位：分钟)的数据，统计如 纷 率 0.21 0.29 0.30 0.32 0.33 29 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 不符合这一结果的试验最有可能是 (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这只不 A.三张扑克牌，牌面分别是5,7,8，背面朝上洗 透明袋子中每次摸到黑球的概率为0.5，则可以 匀后，随机抽出一张，牌面是5 在袋子中增加 个相同的白球或减少 B.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数 个黑球 为3的倍数 提示 C.在玩石头、剪刀、布的游戏中，小明随机出的 (1)观察表格中摸到黑球的频率即可得到； (2)大量重复试验中事件的频率可以用来估计概率， 是剪刀 然后用球的总数乘摸到黑球的概率即可求得黑球的 D.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 个数：(3)使得袋子中黑球和白球的个数相同即可. [变式]在利用正六面体骰子进行频率估计概率 的试验中，小颖同学统计了某一结果出现的频 率，绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果 的试验可能是 忄频率 0.5 0.4 0.3 0.2 [变式]在一个不透明的盒子里装有黑、白两种 0.1 0 颜色的球共40个，小李做摸球试验.她将盒子里 200 400 600次数 面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色， A.朝上的点数是5 然后把它放回盒子中，不断重复上述过程，并绘 B.朝上的点数是奇数 制了如图所示的统计图。 C.朝上的点数大于2 (1)当n足够大时，摸到白球的频率将会接近 D.朝上的点数是3的倍数 假如小李摸一次球，则小李摸到白球 考点四方案设计问题 的概率约为 (均精确到0.1). 典例4(2024·扬州广陵期末)一只不透明的 (2)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多 袋子里装着只有颜色不同的黑、白两种颜色的 少个 球共50个.某学习小组做摸球试验，将球搅匀后 (3)在(2)的条件下，如果要使摸到白球的频率稳 从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋 定在0.6，那么需要往盒子里再放入约多少个白球？ 中，不断重复.下表是该小组统计的数据： 摸到白球的频率 0.55 摸球的 8000 10000 0.5 次数n 1000200030005000 0.45 摸到黑球的 0.45 650 118018903100 4820 6013 次数m 0 406080100摸球的次数 摸到黑球的 频率 0.650.590.630.620.60250.6013 n (1)当n很大时，摸到黑球的频率将会接近 (精确到0.1) (2)试估计袋子中黑球的个数. 30 第7章认识概率 综合素能提升 1.下列事件中，不属于随机事件的是()6.不透明的袋中有若干个红球和黑 A.在一个只装有白球的盒子中，摸出黑球 球，每个球除颜色外无其他差别.现 B.若a是实数，则|a-2>0 从袋中随机摸出1个球，记下颜色 C.两数相加，和是正数 后放回并搅匀.经过大量重复试验，发现摸到 D.任意掷一枚硬币，正面朝上 黑球的频率逐渐稳定在0.4附近， 2.一个不透明的盒子中装有黑球、白球共a个， (1)估计摸到黑球的概率是 小明又放入了4个红球，这些球除颜色外其 (2)如果袋中的黑球有8个，估计袋中共有 余完全相同.从盒子中任意摸出1个球，记下 几个球 颜色后放回并搅匀.经过大量重复试验，若发 (3)在(2)的条件下，又放入n个黑球，再经 现摸出红球的频率在0.2附近摆动，则a的 过大量重复试验，发现摸到黑球的频率逐渐 值约为 稳定在0.8附近，求n的值 A.10 B.16 C.25 D.30 3.新考向·跨学科“八月十五云遮月，正月十五 雪打灯”是一句谚语，意思是如果八月十五晚 上是阴天的话，那么正月十五晚上就下雪.这 句谚语说的是 事件（填“必然”“不可 能”或“随机”) 4.某植物种子在相同的条件下发芽试验的结果 如下表： 每批粒数 50 100 300 400 500 1000 发芽的粒数 45 96 283 380 474 948 该植物种子发芽的概率的估计值是 (精确到0.01). 5.排队时，3个人站成一横排，其中小亮“站在 中间”的概率 小亮“站在两边”的概 率（填“大于”“小于”或“等于”） 31方法归纳 列出所有可能出现的情形 确定事件发生概率的大小 解决这类问题时，往往需要根 据问题条件将问题恰当转化，将这 9个数分别放到3×3的正方形方 格中，满足各行、各列、各对角线上 的3个数之和均为15，从而列出可 能出现的所有情形，确定概率最大 的1个数，即为首先要取走的纸牌 的点数，使问题得以解决 7.3频率与概率 1.B2.A3.0.94.0.50 5.(1)0.9:0.9. (2)①150×0.9=135（次）， .估计他正中靶心的次数为135. ②180÷0.9=200（次），200-150= 50(次). .估计他还需要打靶50次。 6.B解析：15÷0.6=25（个），25一 15=10(个)，'.袋子中白球约有 10个. 7.B解析：30÷0.025=1200（条）， '.估计鱼塘中鱼的条数为1200. 8.1.2cm2解析：根据题意，估计这 个区域内白色部分的总面积为2× 2×(1-0.7)=1.2(cm2). 方法归纳 运用频率估计概率 来估计图形的面积 探求这类不规则图形的面积 问题时，常常用投石子或投大头针 等方法得出击中不规则图形部分 的频率，再利用所得频率来估计事 件发生的概率，进而运用概率的意 义建立各项之间的数量关系，从而 估计不规则图形的面积.值得注意 的是，只有经过大量重复试验之后， 才能用事件发生的频率来估计概率. 9.(1)295:0.62 (2)0.6. (3)360°×(1-0.6)=144°， .标有“手工”区域的扇形的圆心角 大约是144 10.(1)①③. 93 (2)m=300 334 =0.31,n=1000 0.334. 估计随机转动转盘“指针指向黄色区 域”的概率为0.3. (3)答案不唯一，如将1个绿色区域 改为蓝色区域 数学探究摸球试验 1.A解析：由题图可知，随着摸球次 数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定 在0.2附近，∴.估计摸到白球的概率 为0.2..共有4÷0.2=20（个）球 ∴.估计袋子里黑球的个数为20一4=16. 2.D解析：通过多次摸球试验 后，发现摸到红球、黄球的频率分别是 0.2,0.4,∴.摸到白球的频率约为1 0.2一0.4=0.4..袋中白球的个数 约是50×0.4=20. 3.15解析：共摸球200次，其中 有120次摸出白球，∴.白球所占的比 例约为器 0.6..袋子中装有黑球 和白球共25个，.估计袋子中白球 的个数为25×0.6=15. 4.(1)0.83162(2)0.8(3)10 5.(1)0.3. (2)14. (3)由题意可知，白球的个数约为20× 0.3=6,则2元-，解得x=1. .x的值为1. 第7章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C解析：摸出3个球，可能 为3个红球，或2个红球和1个黑球， 或1个红球和2个黑球，∴至少有 1个球是红球 > 「变式]随机 典例2A解析：·样本容量相同， A线路上的公交车用时超过45分钟 的频数最小，'.其超过45分钟的频 率也最小..其从甲地到乙地“用时 不超过45分钟”的概率最大」 [变式]黄 典例3D解析：对于A,三张扑克 牌，牌面分别是5,7,8，背面朝上洗匀 后，随机抽出一张，牌面是5的概率为 ≈0,33，不符合题意.对于B,抛拥 一枚质地均匀的骰子，向上一面的点 数为3的倍数的概率为号=号 0.33,不符合题意.对于C,在玩石头、 剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪 刀的概率为行≈0.33，不符合题意 对于D,抛掷一枚质地均匀的硬币，正 面朝上的概率为7，符合题意。 [变式]D 典例4(1)0.6. (2)估计袋子中黑球的个数为50× 0.6=30. (3)10:10.解析：想使得在这只不 透明袋子中每次摸到黑球的概率为 0.5,则可以使得袋子中黑球和白球的 个数相同.∴.可以在袋子中增加 10个相同的白球或减少10个黑球， [变式](1)0.5：0.5. (2),摸到白球的概率约为0.5， .白球的个数约为40×0.5=20. ∴.黑球的个数约为40一20=20. '.估算盒子里黑、白两种颜色的球分 别有20个、20个 (3)20÷(1-0.6)=50(个)，50- 40=10(个)， ∴.需要往盒子里再放人约10个白球 [综合素能提升] 1.A2.B3.随机4.0.95 5.小于 6.(1)0.4. (2)8÷0.4=20(个)， ∴.估计袋中共有20个球. (3)(20-8)÷(1-0.8)=60(个)， .n=60-20=40. 第8章四边形 8.1平行四边形 第1课时平行四边形的 概念与性质 1.D2.C3.24.25 5.(1).四边形ABCD是平行四 边形， .BC∥AD .∠D=∠FCE ·E是CD的中点， .DE=CE 在△ADE和△FCE中， ∠D=∠FCE, DE=CE ∠AED=∠FEC, ∴.△ADE≌△FCE. (2)△ADE≌△FCE, .AD-FC=5. ,四边形ABCD是平行四边形， .'BC=AD=5. .BF=BC+FC=5+5=10. 6.C解析：四边形ABCD是平行 四边形，∴.∠D=∠B=60°，CD AB=3.由折叠的性质，可知AE AD,CD=CE=3.又点D恰好落 在DC的延长线上的点E处，即D, C,E三点共线，∴.△ADE是等边三 角形.又DE=CD+CE=6, .△ADE的周长为6×3=18. 7.D 8.9解析：四边形ABCD是平行 四边形，BD=8,∴.OA=OC,OB OD=令BD=4.:AC⊥BC, .∠ACB=90°.在Rt△OBC中，由 勾股定理，得BC2+OC2=OB2= 42=16①.：BC+OC=5,.(BC+ OC)2=52,即BC2+2BC·OC+ OC2=25②.由②-①，得2BC· OC=9..BC·AC=9.∴.SaAD= BC·AC=9. 9.30°解析：，四边形ABCD是平 行四边形，∴.∠ABC=∠D=100, AB∥CD.∴.∠DAB=180°-∠D= 80°.AE平分∠DAB, 六∠BAE-号∠DAR=0 :AE=AB,∠ABE=7(180 ∠BAE)=TO°.∴.∠EBC=∠ABC ∠ABE=100°-70°=30°. 10.2√/13解析：.四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC,BD交于 点O,AC=4,AB=5,∴.OD=OB, OC=OA=2AC=2.:AC⊥BC, ..∠ACB=90°..BC= √AB2-AC=√52-4=3. ∴.OB=√BC2+OC=√32+2= √13.∴.BD=2OB=2√13 11.72°解析：如图，过点F作FG∥ AB,交BC于点G,连接EG.:四边 形ABCD是平行四边形，∴.AD= BC,AD∥BC.FG∥AB,∴.四边形 ABGF是平行四边形..FG=AB, AF=BG.:F为AD的中点，.易 知G为BC的中点.：CE⊥AB, ·G=GE=2BC.·∠B ∠BEG.BC=2AB,∴.易知EG= AB=FG.∴.∠FEG=∠EFG. ,AE∥FG,∴.∠EFG=∠AEF= 54°.，.∠FEG=54°...∠AEG ∠AEF+∠FEG=108°.∴.∠B= ∠BEG=180°-108°=72°」 (第11题) 8 12.(1):'四边形ABCD是平行四 边形， ∴.ABCD,AB=CD. F为DC的延长线上的一点， ∴.AB∥DF ∴.∠BAE=∠CFE,∠EBA=∠ECF. ,E是边BC的中点， .'BE=CE. 在△BAE和△CFE中， ∠BAE=∠CFE, ∠EBA=∠ECF, BE=CE, '.△BAE≌△CFE .'BA=CF .CF=CD. (2)由(1)，得CF=CD,△BAE≌ △CFE, ∴.DF=2CD,EA=EF. ·AB=CD, ∴.DF=2AB. .'AD=2AB, ∴.AD=DF. .EA=EF, ∴.DE⊥AF,即∠DEA=90°. AF=10, .EA=EF=5. 在Rt△ADE中，AD=13, ∴.由勾股定理，得DE= VAD2-EA2=12. 13.B解析：如图，取DE的中点O, 连接AO.,四边形ABCD是平行四 边形，，.AD∥BC..∠DAB 180°-∠ABC=105.:AF⊥BC, .AF⊥AD.∴.∠DAE=90. OA=2DE=OD=OE.DE= 2AB,..OA=AB...∠AOB= ∠ABO,∠ADO=∠DAO,∠AED= ∠EAO..∠AOB=∠ADO+ ∠DAO=2∠ADO,∴.∠ABO= ∠AOB=2∠ADO.又.∠AB0+ ∠ADO+∠DAB=180°，∴.∠ADO=