7.3 频率与概率+数学探究 摸球试验-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（苏科版·新教材）

拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 7.3 频 自基础进阶 1.关于频率和概率的关系，下列说法中正确 的是 ( A.频率等于概率 B.当试验次数很大时，频率稳定在概率附近 C.当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 D.试验得到的频率与概率不可能相等 2.数学课上学生们做“用频率估计概率”的试 验：不透明袋子中共有10个球，其中有4个 白球、3个红球、2个黑球和1个黄球，这些球 除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一 个球，记下颜色后放回摇匀.不断重复上述过 程后某一颜色的球出现的频率如图所示，则 该球的颜色最有可能是 个频率 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.0 0 100200300400500600700次数 (第2题) A.黑色B.红色C.黄色D.白色 3.2025年3月12日是我国第47个植树节，某 林业部门为了研究某种幼树在一定条件下的 移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行 大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树 移植过程中的一组统计数据： 移植的棵数n 200 500 800 20008000 成活的棵数m 187 446 730 1790 7224 成活的频率 0.9350.8920.91250.8950.903 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 (精确到0.1). 4.当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概 率历史上一位数学家曾抛掷一枚质地均匀的 硬币24000次.若正面朝上的次数是12012， 26 率与概率 》“答案与解析”见P7 频率为0.5005，则估计抛掷一枚质地均匀的硬 币，正面朝上的概率是 (精确到0.01). 5.某运动员进行打靶训练，对该运动员打靶正 中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所 示的统计图，请根据图中信息回答问题 (1)该运动员正中靶心的频率在 附近 摆动，他正中靶心的概率估计值为 (2)某次练习时该运动员一共打靶150次. ①试估计他正中靶心的次数， ②如果他想要在这次练习中打中靶心 180次，请估计他还需要打靶多少次， 频率 1 0.9 0.8 00 20406080100打靶次数 (第5题) 幻素能攀升 A 6.在一只不透明的袋子中放入15个红球和若干 个白球（球除了颜色不同外其余都相同）.若从 袋子中摸出1个球记录下颜色后放回并摇匀， 经过多次重复试验后，发现摸出红球的频率 稳定在0.6附近，则袋子中白球约有() A.5个B.10个C.15个D.25个 7.为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘 中捕捞30条鱼，在每条鱼身上做好标记后把 这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中捕 捞鱼.通过多次重复试验后发现捕捞的鱼中 被标记的鱼的频率稳定在0.025附近，则估 计鱼塘中鱼的条数为 A.600B.1200C.2200D.3000 8.★当今大数据时代，二维码被广回回 泛应用于我们的日常生活中.某 兴趣小组对二维码开展数学试问2忽 验活动.如图，在边长为2cm的 (第8题) 正方形区域内通过计算机随机掷，点，经过大 量重复试验，发现点落在区域内黑色部分的 频率稳定在0.7附近，据此可以估计这个区 域内白色部分的总面积为 9.新情境·现实生活某班在义卖活动中设立了 一个可以自由转动的转盘（如图），规定：顾客 购物花费20元以上就能获得一次转动转盘 的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就 可以获得相应的奖品.此次活动中的一组统 计数据如下表： 转动转盘的 100 200 300 400 500 1000 次数n 落在“书画” 60 122 180 248 a 604 区域的次数m 落在“书画”区 域的频率 0.60.610.6 6 0.590.604 (1)表中a= ,b= (2)假如你去转动该转盘一次，你获得“书 画”奖品的概率约是 (精确到0.1). (3)在该转盘中，标有“手工”区域的扇形的 圆心角大约是多少度？ 书画 手工 (第9题)》 第7章认识概率 爷思维拓展 0.如图所示为一个可以自由转动的 转盘，它被分成了6个面积相等的 扇形区域.某数学小组的学生做试 验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指 针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获 得的数据如下表： 转动转盘的 转到黄色 转到黄色 次数 区域的频数 区域的频率 200 72 0.36 300 93 m 400 130 0.325 1000 334 n 1600 532 0.3325 2000 667 0.3335 (1)有下列说法：①转动转盘8次，指针都 指向绿色区域，则第9次转动时指针一定指 向绿色区域；②转动转盘15次，指针指向 绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域 的次数；③转动转盘60次，指针指向蓝色 区域的次数一定为10.其中，错误的是 (填序号) (2)求表中m,n的值，并估计随机转动转盘 “指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）. (3)修改转盘的颜色分布情况，使指针指向 每种颜色的概率相同，写出一种方案， 绿色 黄色 黄色 绿色 绿色 蓝色 (第10题) 27 拔尖特训·数学（苏科版）八年级下 数学探究 1.一只不透明的袋子里装有4个白球和若干个 黑球，这些球除颜色外相同.从袋子中随机 摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上 面的过程，并绘制了如图所示的统计图.估计 袋子里黑球的个数为 +摸到白球的频率 0.3 0.2 0.1 0 10002000300040005000摸球次数 (第1题) A.16 B.18 C.20 D.22 2.一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红 球、黄球、白球共50个.通过多次摸球试验 后，发现摸到红球、黄球的频率分别是0.2， 0.4,则袋中白球的个数约是 ( A.10B.15C.25 D.20 3.一只不透明的袋子中装有黑球和白球共 25个，它们除颜色不同外，其余均相同.从袋 子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回 袋子中摇匀，重复200次，其中有120次摸出 白球，由此估计袋子中白球的个数为 4.在一只不透明的口袋里，装有若干个除颜色 外均相同的小球，某数学实践小组做摸球试 验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜 色，再把它放回袋中，不断重复.试验进行中 的一组统计数据如下表： 摸球的 100 150 200 600 10002000 次数n 摸到红球的 83 123 483 803 1602 次数m 6 摸到红球的 频率少 0.820.810.8050.8030.801 (1)上表中a= ,6= 28 摸球试验 ●“答案与解析”见P7 (2)“摸到红球”的概率的估计值是 (精确到0.1) (3)如果袋中有40个红球，那么袋中除了红 球外，大约还有 个其他颜色的小球. 5.在一个不透明的盒子里装有黑、白 两种颜色的球共20个，这些球除颜 色外其余完全相同.为了估计黑球 和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随 机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中， 多次重复上述过程，得到的一组统计数据如 下表： 摸球的 50 100 300 500 800 10002000 次数n 摸到 白球的 14 33 96 155 244 298 602 次数m 摸到 白球的 0.280.330.320.310.3050.2980.301 频率” n (1)请你估计，当n很大时，摸到白球的频率 将会接近 (精确到0.1). (2)若先从袋子中取出x(x>1)个黑球，再 从袋子中随机摸出1个球.若“摸出白球”为 必然事件，则x= (3)若先从袋子中取出x个白球，再放入 x个一样的黑球并摇匀，则随机摸出1个白 球的概率为，求x的值方法归纳 列出所有可能出现的情形 确定事件发生概率的大小 解决这类问题时，往往需要根 据问题条件将问题恰当转化，将这 9个数分别放到3×3的正方形方 格中，满足各行、各列、各对角线上 的3个数之和均为15，从而列出可 能出现的所有情形，确定概率最大 的1个数，即为首先要取走的纸牌 的点数，使问题得以解决 7.3频率与概率 1.B2.A3.0.94.0.50 5.(1)0.9:0.9. (2)①150×0.9=135（次）， .估计他正中靶心的次数为135. ②180÷0.9=200（次），200-150= 50(次). .估计他还需要打靶50次。 6.B解析：15÷0.6=25（个），25一 15=10(个)，'.袋子中白球约有 10个. 7.B解析：30÷0.025=1200（条）， '.估计鱼塘中鱼的条数为1200. 8.1.2cm2解析：根据题意，估计这 个区域内白色部分的总面积为2× 2×(1-0.7)=1.2(cm2). 方法归纳 运用频率估计概率 来估计图形的面积 探求这类不规则图形的面积 问题时，常常用投石子或投大头针 等方法得出击中不规则图形部分 的频率，再利用所得频率来估计事 件发生的概率，进而运用概率的意 义建立各项之间的数量关系，从而 估计不规则图形的面积.值得注意 的是，只有经过大量重复试验之后， 才能用事件发生的频率来估计概率. 9.(1)295:0.62 (2)0.6. (3)360°×(1-0.6)=144°， .标有“手工”区域的扇形的圆心角 大约是144 10.(1)①③. 93 (2)m=300 334 =0.31,n=1000 0.334. 估计随机转动转盘“指针指向黄色区 域”的概率为0.3. (3)答案不唯一，如将1个绿色区域 改为蓝色区域 数学探究摸球试验 1.A解析：由题图可知，随着摸球次 数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定 在0.2附近，∴.估计摸到白球的概率 为0.2..共有4÷0.2=20（个）球 ∴.估计袋子里黑球的个数为20一4=16. 2.D解析：通过多次摸球试验 后，发现摸到红球、黄球的频率分别是 0.2,0.4,∴.摸到白球的频率约为1 0.2一0.4=0.4..袋中白球的个数 约是50×0.4=20. 3.15解析：共摸球200次，其中 有120次摸出白球，∴.白球所占的比 例约为器 0.6..袋子中装有黑球 和白球共25个，.估计袋子中白球 的个数为25×0.6=15. 4.(1)0.83162(2)0.8(3)10 5.(1)0.3. (2)14. (3)由题意可知，白球的个数约为20× 0.3=6,则2元-，解得x=1. .x的值为1. 第7章整合拔尖 [高频考点突破] 典例1C解析：摸出3个球，可能 为3个红球，或2个红球和1个黑球， 或1个红球和2个黑球，∴至少有 1个球是红球 > 「变式]随机 典例2A解析：·样本容量相同， A线路上的公交车用时超过45分钟 的频数最小，'.其超过45分钟的频 率也最小..其从甲地到乙地“用时 不超过45分钟”的概率最大」 [变式]黄 典例3D解析：对于A,三张扑克 牌，牌面分别是5,7,8，背面朝上洗匀 后，随机抽出一张，牌面是5的概率为 ≈0,33，不符合题意.对于B,抛拥 一枚质地均匀的骰子，向上一面的点 数为3的倍数的概率为号=号 0.33,不符合题意.对于C,在玩石头、 剪刀、布的游戏中，小明随机出的是剪 刀的概率为行≈0.33，不符合题意 对于D,抛掷一枚质地均匀的硬币，正 面朝上的概率为7，符合题意。 [变式]D 典例4(1)0.6. (2)估计袋子中黑球的个数为50× 0.6=30. (3)10:10.解析：想使得在这只不 透明袋子中每次摸到黑球的概率为 0.5,则可以使得袋子中黑球和白球的 个数相同.∴.可以在袋子中增加 10个相同的白球或减少10个黑球， [变式](1)0.5：0.5. (2),摸到白球的概率约为0.5， .白球的个数约为40×0.5=20. ∴.黑球的个数约为40一20=20. '.估算盒子里黑、白两种颜色的球分 别有20个、20个 (3)20÷(1-0.6)=50(个)，50- 40=10(个)， ∴.需要往盒子里再放人约10个白球 [综合素能提升] 1.A2.B3.随机4.0.95 5.小于