专题07菱形专项训练 (13大题型+题型突破+复习讲义)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

专题07菱形专项训练 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.菱形的判定与证明 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求面积 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与最值问题 题型12.菱形的多结论判断问题 题型13.菱形的存在性问题 解答题6题 . 题型01.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，连接，平分，交于点，若，则的度数为______． 2．小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形中，，点在对角线上，将沿翻折，得到，当____时，、、三点共线． 题型02.利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是________． 5．如图，菱形的对角线交于点O，过点O作于点E，延长交于点F，若，，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 6．如图，在菱形中，，，连接，点E是边上一点，连接，在边的上方取一点F，连接，延长交的延长线于点G，若，，则______． 题型03.利用菱形的性质求面积 7．如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 8．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 9．如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（    ） A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2 题型04.利用菱形的性质证明 10．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．既是中心对称图形又是轴对称图形 11．如图，在菱形中，，经过点A的直线l不经过点C，D，点D关于直线l的对称点为E，连接，连接交直线l于点F，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．连接，则 12．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 题型05.菱形的判定与证明 13．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 14．如图，用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中正确的个数是（    ）． A． B． C． D． 15．如图．在矩形中，点E，F分别在，上，连接，且．在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件使四边形是菱形，这个条件可以是___________． 题型06.由菱形的性质与判定求角度 16．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，▱中，，点是上一点，连接、，且，若，则______． 18．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 19．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 20．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连结．若，，则的长为______． 21．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（    ） A．9.5 B．10 C．10.5 D．11 题型08.由菱形的性质与判定求面积 22．两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______．    23．如图，方格纸中有一个四边形（A，B，C，D均为格点）若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为_____．    24．如图，在菱形中，对角线与交于点，，则菱形的面积是______． 题型09.菱形与折叠问题 25．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕_______． 26．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 27．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 28．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 题型10.菱形与动点问题 29．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 30．如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 31．如图，在菱形中，分别为线段上的动点，且始终满足，将绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为______． 题型11.菱形与最值问题 32．如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为________． 33．如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为________． 34．如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 35．如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 题型12.菱形的多结论判断问题 36．如图，在菱形中，，为上一点，为的延长线上一点，且．连接，交于点．下列结论：；；；若，则，其中结论正确的序号有（    ） A． B． C． D． 37．如图，在菱形中，连接，，点E、F分别是上的点，且，连接交于点H，连接交于点O． 则下列结论： ①；②； ③平分； ④若，则．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 38．如图，菱形的边长为6，对角线相交于O，垂直平分，垂足为E；另有一动点P在上运动，过点P作垂直交于点M，垂直交于点N，连接，．下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号） ①； ②菱形的面积为； ③； ④的最小值为．    题型13.菱形的存在性问题 39．如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件______时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 40．如图，在四边形中，，，平分交于点E，平分交于点F， (1)求证：． (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 41．如图，的对角线相交于点，分别是，的中点． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 解答题 42．如图，在平行四边形中，点P是上的一个动点，连接，是边上的高． (1)若四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，，求的长； (3)过点P作交线段于点F，过点B作于点H，交于点N．若，，，求证：． 43．如图，矩形中，对角线相交于点，点是线段上一动点（不与点重合），的延长线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，点从点出发，以的速度向点匀速运动．设点运动的时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 44．如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 45．已知，如图，在中，， ，． 求证：四边形是菱形． 46．下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． (1)使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； (2)补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 47．如图，在中，，D为边的中点，，． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，则四边形的周长为____，四边形的面积为____．（直接写出答案） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形专项训练 题型01.利用菱形的性质求角度 题型02.利用菱形的性质求线段长 题型03.利用菱形的性质求面积 题型04.利用菱形的性质证明 题型05.菱形的判定与证明 题型06.由菱形的性质与判定求角度 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 题型08.由菱形的性质与判定求面积 题型09.菱形与折叠问题 题型10.菱形与动点问题 题型11.菱形与最值问题 题型12.菱形的多结论判断问题 题型13.菱形的存在性问题 解答题6题 . 题型01.利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，连接，平分，交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线的定义，由角平分线的定义得，再根据菱形的对角线平分对角即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 2．小美同学按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；（3）分别以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴， ∴ ∴． 3．如图，菱形中，，点在对角线上，将沿翻折，得到，当____时，、、三点共线． 【答案】或 【分析】当、、三点共线时，分两种情况：当在线段上时，连接，当在延长线上时，连接，；由轴对称的性质易证得，则；设，由菱形的性质及容易求得菱形内各个角的度数；然后，根据用表示的各个角之间的等量关系列方程求解，即可分别求得两种情况下的度数． 【详解】解：当、、三点共线时，分两种情况： 当在线段上时，如图，连接， 为关于的对称点， ，，， ， ， 设， 四边形为菱形，且， ，， ， ， ， ， ， 在菱形的对角线上， ， ， 又， 而， ， ； 当在延长线上时，如图，连接，， 同上，设， ， ， 又在菱形的对角线上， ， ， ， 又， ， ； 当或时，、、三点共线， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识点，用解方程的思想解决问题是解题的关键． 题型02.利用菱形的性质求线段长 4．如图，菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长是________． 【答案】24 【分析】根据三角形中位线的性质可求得的长度，然后由菱形的边长相等即可求得周长． 【详解】解：∵E、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴菱形的周长是． 5．如图，菱形的对角线交于点O，过点O作于点E，延长交于点F，若，，则的值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质求出对角线的一半长，利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积公式（对角线乘积的一半等于底乘以高）即可求出的长． 【详解】解：∵ 四边形 是菱形， ∴， 在 中，由勾股定理得：， ∵，且 ， ∴，即 为菱形 边上的高， ∵， ∴， ∴． 6．如图，在菱形中，，，连接，点E是边上一点，连接，在边的上方取一点F，连接，延长交的延长线于点G，若，，则______． 【答案】3 【分析】证明，得到，则，进一步证明，得到，设，则，过点作于点，则，求出，，在中，根据勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 过点作于点，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即． 题型03.利用菱形的性质求面积 7．如图，菱形的面积为6，E，F，G，H分别为边，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A．3 B．3.5 C．5 D．5.5 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理得，，，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是，故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ， ∵点、、、分别是边、、和的中点， ，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ， ∴， ∵，， ， ， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ， ， ∴四边形的面积为3． 8．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 【答案】96 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求得，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（    ） A．8 cm 2 B．8.5 cm 2 C．9 cm 2 D．9.5 cm 2 【答案】B 【分析】先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可． 【详解】解：如图，连接FH， ∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E， ∴， ∴， ∴， ∴和同底等高， ∴， ∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2， ∴（cm2）， ∴（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法． 题型04.利用菱形的性质证明 10．关于菱形的性质，以下说法不正确的是（   ） A．四条边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．既是中心对称图形又是轴对称图形 【答案】B 【分析】根据菱形的性质逐一判断各选项正误，即可找出说法不正确的选项． 【详解】解：∵菱形的基本性质为：四条边相等，对角线互相垂直平分，菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴A选项 四条边相等，说法正确，不符合题意； ∴B选项 菱形的对角线不一定相等，只有特殊菱形（正方形）对角线才相等，该说法错误，符合题意； ∴C选项 对角线互相垂直，说法正确，不符合题意； ∴D选项 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，说法正确，不符合题意． 11．如图，在菱形中，，经过点A的直线l不经过点C，D，点D关于直线l的对称点为E，连接，连接交直线l于点F，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．连接，则 【答案】D 【分析】根据轴对称的性质和菱形的性质即可判断A；以A为圆心，为半径作圆，则D、E在圆上，根据轴对称的性质可知，再根据圆周角定理得到，即可判断B、C；证明，得到，即可判断D． 【详解】解：∵点D关于直线l的对称点为E， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； 连接， ∵， ∴以A为圆心，为半径作圆，则D、E在圆上， ∵点D关于直线l的对称点为E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，故B、C正确，不符合题意； ∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 12．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明是等边三角形，求出EF，同理可证都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可． 【详解】解：如图，连接BD，AC， ∵四边形ABCD是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 同法可证，都是等边三角形， ∴，， ∴四边形EFGH的周长为． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型05.菱形的判定与证明 13．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题关键． 根据对角线互相垂直或邻边相等的平行四边形是菱形，逐项判断是否能使得对角线垂直或邻边相等即可． 【详解】解：A：由等角对等边，可知邻边相等，可以说明是菱形； B：，故由图中数据可知对角线垂直，可以说明是菱形； C：根据图中数据，只能说明对边平行，不能说明是菱形； D：通过平行四边形的性质，可以推出所给角的内错角也为，即由对角线分成的两个三角形为等边三角形，故邻边相等，可以说明是菱形， 故选：C． 14．如图，用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中正确的个数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据尺规作图、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：①、由作图可知，垂直平分，即，，，， ∴， 如图， ∵平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴四边形是菱形； ②、由作图可知， 即， ∵平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形； ③、由作图无法得到四边形是菱形； ④、由作图可知， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 同①可知， 即， ∴四边形是菱形． 15．如图．在矩形中，点E，F分别在，上，连接，且．在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件使四边形是菱形，这个条件可以是___________． 【答案】，答案不唯一 【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，即AF∥CE，推出四边形AECF是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】：这个条件可以是AE=AF， 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， 即AF∥CE， ∵AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AE=AF， ∴四边形AECF是菱形， 故答案为：AE=AF． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 题型06.由菱形的性质与判定求角度 16．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，再分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了本题主要考查了菱形的判定、尺规作图、菱形的性质．根据尺规作图可知，根据四条边都相等的四边形是菱形可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得． 【详解】解：由作图可知， 四边形是菱形， ． 故选：A ． 17．如图，▱中，，点是上一点，连接、，且，若，则______． 【答案】/15度 【分析】首先证明四边形是菱形，然后根据等腰三角形的性质可得，利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：在▱中， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质． 18．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H，连接EF，GH，BD与EH相交于P，若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠GEF=（    ）度． A．25 B．30 C．45 D．35 【答案】A 【分析】先证四边形EGFH是平行四边形，再证四边形EGFH是菱形即可，由，，可求，利用平角定义可求，于是，利用菱形性质求，从而求出． 【详解】解：E、G分别是AD、BD 的中点，F H分别是BC、AC的中点， ， ， 同理：， 四边形EGFH是平行四边形， AB=CD， GE=GF， 四边形EGFH是菱形 ∠ABD= 20°，∠BDC= 70°，， ，， ， ， ， FE平分 ，    故选:： A． 【点睛】本题考查菱形判断与性质，求菱形内角，掌握菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键． 题型07.由菱形的性质与判定求线段长 19．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（   ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为， 故选：． 20．如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连结．若，，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据作图痕迹得出为的平分线，且，根据平行四边形性质和平行线的性质可证明四边形是菱形，得出，再根据勾股定理求出长度，即可求出长度． 【详解】解：由作图可知：，为的平分线，即， 在中 ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，即 在中， , ． 故答案为：16． 【点睛】本题考查尺规作图作角平分线、平行四边形的性质、平行线的性质、菱形的判定与性质、等角对等边、勾股定理等知识点．通过尺规作图步骤识别出角平分线，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 21．如图是以KL所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形EFGHLK的各个内角相等，记四边形HCH′L、四边形EKE′A、△BGF的周长分别为C1、C2、C3，且C1＝2C2＝4C3，已知FG＝LK，EF＝6，则AB的长是（    ） A．9.5 B．10 C．10.5 D．11 【答案】D 【分析】根据六边形EFGHLK的各个内角相等，即可得出△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形，由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形，再根据C1=2C2=4C3，FG=LK，EF=6，即可得到AB． 【详解】解：∵六边形EFGHLK的各个内角相等， ∴该六边形的每个内角为120°，每个外角都是60°， ∴△BFG，△AEK，△CHL都是等边三角形， ∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°，BF=FG，AE=AK，CL=HL， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，即BF+FE+AE=AK+KL+CL， 又∵BF=FG=KL， ∴EF=CL=6=CH， 由轴对称可得，四边形HCH′L、四边形EKE′A都是菱形， ∵C1=2C2， ∴AE=CH=3， 又∵2C2=4C3， ∴C3=C2=×12=6， ∴BF=×6=2， ∴AB=BF+EF+AE=2+6+3=11， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称性质，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形． 题型08.由菱形的性质与判定求面积 22．两张全等的矩形纸片，按如图方式交叉叠放在一起，，，若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为______．    【答案】/ 【分析】先证四边形是菱形，再根据全等，得到．在中，根据勾股定理求出的长度，即可解决问题． 【详解】解：设交于点G，交于点H，   四边形是矩形，四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， 四边形和四边形是全等的矩形， ， 在和中，， ， ， ∴平行四边形是菱形， ， ， 设，， 在中， ， ， 解得：， 菱形的面积：． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用勾股定理求解线段的长度是解题的关键． 23．如图，方格纸中有一个四边形（A，B，C，D均为格点）若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该四边形的面积为_____．    【答案】12 【分析】先证明四边形是菱形，再由图可知菱形的两对角线分别为6、4，根据菱形的面积计算公式可求解． 【详解】由网格图可知， 即四边形是菱形， 由图可得，菱形的两对角线长分别为6、4，则该菱形的面积为． 故答案为：12． 【点睛】主要考查菱形的面积公式：对角线的积的一半，还考查了学生的读图能力． 24．如图，在菱形中，对角线与交于点，，则菱形的面积是______． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握菱形的面积公式． 利用菱形的面积和勾股定理求得，再利用菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， , ∴由勾股定理得 ， ∴菱形的面积为, 故答案为：． 题型09.菱形与折叠问题 25．如图，已知平行四边形，，，，M、N分别是、上的点，将四边形沿对折，使B点和D点重合，则折痕_______． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质、勾股定理、折叠的性质、含30度直角三角形的性质及菱形的性质与判定是解题的关键；过点B作于点E，连接，与交于点O，由折叠的性质可知：，垂直平分，即，由题意易得，则有，，然后可得四边形是菱形，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点B作于点E，连接，与交于点O，如图所示： 由折叠的性质可知：，垂直平分，即， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴； 故答案为． 26．如图，在菱形纸片中，，为的中点．折叠菱形纸片，使点落在所在直线上的点处，得到经过点的折痕，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 连接，由菱形的性质及，得到三角形为等边三角形，为的中点，利用三线合一得到为角平分线，得到，，进而求出，由折叠的性质得到，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接：    ∵四边形为菱形，， ∴为等边三角形，， ， ∵为的中点， ∴为的平分线，， ∴， ∴由折叠的性质得到，在中，． 故选：C． 27．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质． 连接、，根据四边形是菱形，可得，，是等边三角形，又点M恰好为边的中点，得，在中，，设，则，在中，有，即可解得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∵点M恰好为边的中点， ∴， 在中，， 设，则， ∵沿翻折得到， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 故选：A． 28．综合与探究 问题情境：如图菱形中，，，点为的中点，点为边上的动点，连接，将四边形沿折叠，对应边为，直线分别交，于点，． 猜想证明：（1）如图1，当与在同一直线上时，猜想与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（2）如图2，在点运动过程中，当于点时，连接，则四边形为矩形，请证明． （3）在（2）的条件下，直接写出的长度． 【答案】（1）理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理． （1）根据菱形的性质结合已知条件可得，根据折叠的性质得出，则，根据等角对等边，即可得证； （2）连接，证明是等边三角形，可得，根据菱形的性质可得，结合，即可证明，从而得证； （3）先求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解即可求解． 【详解】（1）解： 理由如下： 四边形 是菱形， ，， 由折叠得： ， ； （2）证明：如图，连接 四边形 是菱形 ， 是等边三角形 为的中点 于点 四边形是矩形； （3）解：∵为的中点，， ∴ ∵折叠， ∴ 又∵ ∴，则 ∴ ∴ ∵四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴，则 在中， 设，则， 又∵ ∴ 解得： ∴． 题型10.菱形与动点问题 29．如图，在面积为96的菱形中，对角线，点是线段上的动点，于，于．则（   ） A．9.6 B．4.8 C．19.2 D．5.6 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及面积公式．连接交于点，延长交于点，根据菱形面积公式可得，由菱形的性质结合勾股定理可得，根据菱形的对称性得，则，根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，延长交于点， 在面积为96的菱形中，对角线， ， ， 由菱形的性质可知：，，， ， 根据菱形的对称性得：， ， 根据菱形的面积公式：， ， 解得：， 即． 故选：A． 30．如图，菱形边长为，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，则长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，连接，可得和是等边三角形，进而证明得到，进而得到，延长交于，则在射线上运动，由等边三角形三线合一可得，即得到当点与重合时，取最小值，据此即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 延长交于，则在射线上运动， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 当点与重合时，取最小值，如图， 此时，， 故选：． 31．如图，在菱形中，分别为线段上的动点，且始终满足，将绕点逆时针旋转至，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作射线，然后证明，确定点G的运动轨迹，然后作作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值，可知点H在的延长线上，且，再过点B作交的延长线于点P，利用勾股定理计算即可解题． 【详解】解：作射线， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， 作点C关于的对称点H，连接，，则即为和的最小值， ∵， ∴点H在的延长线上，且， 过点B作交的延长线于点P， 则， ∴，， ∴， ∴， 故和的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 题型11.菱形与最值问题 32．如图，在菱形中，，，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作于点M，连接，则线段的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，连接交于点取的中点连接，由菱形的性质可得，得出都是等边三角形，从而得出再由勾股定理求得，得出 最后得出即可求解． 【详解】如图，连接交于点取的中点连接， 直线将菱形分成面积相等的两部分， 直线经过点 四边形是菱形， ， 都是等边三角形， 的最大值为 故答案为： 33．如图，菱形中，，，点在对角线上，连接，，点为直线上一动点．连接，以、为邻边构造平行四边形，连接，则最小值为________． 【答案】/ 【分析】过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，由直角三角形的性质求出，令，得到，因此，求出的值，得到的值，即可求出的值，由，即可解决问题． 【详解】解：过作，过点作于，交于，过点作于，过点作于，如下图， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、垂线段最短等知识，解题关键是通过作辅助线，构造直角三角形，由直角三角形的性质求出的长，由即可求出的最小值． 34．如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的性质和平行线的性质可得，过作于，则，，当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高，求解即可． 【详解】过作于，过作于，    ∵菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当、、三点共线且与垂直时最小，最小值为菱形的高， ∵，， ∴, ∵，， ∴ ∴， 即 ∴的最小值是， 故选：C． 35．如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练运用轴对称的性质和平行四边形的性质以及勾股定理是解题的关键． 连接交于O，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 题型12.菱形的多结论判断问题 36．如图，在菱形中，，为上一点，为的延长线上一点，且．连接，交于点．下列结论：；；；若，则，其中结论正确的序号有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积，由四边形是菱形，可得为等边三角形，，进而可得，由即可证明；连接，证明，得到，，进而可得为等边三角形，即可判断；由可得，即可判断；掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴，故正确； ∴，， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 即， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∴结论正确的序号有， 故选：． 37．如图，在菱形中，连接，，点E、F分别是上的点，且，连接交于点H，连接交于点O． 则下列结论： ①；②； ③平分； ④若，则．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆计算判断即可． 【详解】∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 过点A作于点M， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 故④正确； ∵菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴A、H、C、D四点共圆， ∴， 故平分； 故③正确； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，熟练掌握相关知识是解题的关键． 38．如图，菱形的边长为6，对角线相交于O，垂直平分，垂足为E；另有一动点P在上运动，过点P作垂直交于点M，垂直交于点N，连接，．下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号） ①； ②菱形的面积为； ③； ④的最小值为．    【答案】①②③④ 【分析】先根据菱形，得，，，，，再根据垂直平妥线的性质可证得是等边三角形，得，从而可得出，查判定①正确；根据菱形的性质与勾股定理求得，则，根据菱形的面积公式可得，或判定②正确； 证明是的中位线，得，证明四边形是矩形，得 ，则，可判定③正确；根据动点P在上运动，所以当时，此时最小，利用面积法可求出最小值是，再根据矩形的性质知，所以当最小时，最小， 即可求得的最小值为，可判定④正确． 【详解】解：∵菱形， ∴，，，，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵菱形的边长为6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，故②正确； ∵垂直平分， ∴是的中位线， ∴， ∵垂直交于点M，垂直交于点N， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∴，故③正确； ∵动点P在上运动， ∴当时，此时最小， 在中， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴当最小时，最小， ∴的最小值为，故④正确． 综上，正确的有①②③④共4个， 故答案为①②③④． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质，三角形中位线性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，此题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 题型13.菱形的存在性问题 39．如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件______时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 【答案】（或） 【分析】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 可根据等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当满足条件AB=AC或时，四边形是菱形． 【详解】解：要使四边形是菱形，则应有， ∵，分别为，的中点 ∴，， ∴， ∴应是等腰三角形， ∴应添加条件：或 则当△ABC满足条件或时，四边形AEDF是菱形． 故答案为：（或）． 40．如图，在四边形中，，，平分交于点E，平分交于点F， (1)求证：． (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明见解析 (2)添加，可使四边形是菱形（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得证； （2）添加，可使四边形是菱形，理由：先根据平行线的判定与性质可得，再证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：添加，可使四边形是菱形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 41．如图，的对角线相交于点，分别是，的中点． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，线段中点的性质，全等三角形的判定，菱形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质和线段中点的性质得出相等的边和角，然后利用边角边即可证明三角形全等； （2）利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ， 又∵分别是，的中点， ， ∴， 在和中， ； （2）解：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵分别是，的中点， ， ∴， ∴四边形为平行四边形， 添加， 则平行四边形为菱形． 解答题 42．如图，在平行四边形中，点P是上的一个动点，连接，是边上的高． (1)若四边形是菱形，，求的度数； (2)若，，，，求的长； (3)过点P作交线段于点F，过点B作于点H，交于点N．若，，，求证：． 【答案】(1)； (2)5； (3)证明过程见详解． 【分析】（1）利用菱形性质和已知条件得度数，及，再根据平行线性质即可求解； （2）根据题意，利用勾股定理求线段长即可； （3）连接，根据题意可证，得线段间的关系，再证，得，等量代换即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，， ，， ， ； （2）是边上的高， ， 由勾股定理可得， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，解得：， ， ； （3）证明：连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 43．如图，矩形中，对角线相交于点，点是线段上一动点（不与点重合），的延长线交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，点从点出发，以的速度向点匀速运动．设点运动的时间为，问四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能，运动时间t为时，四边形是菱形 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据菱形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵在矩形中， ∴， ∴， 在和中，     ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由题意得：， 则 当四边形是菱形时，得， ∵四边形是矩形    ∴． ∵在中，    ∴    解得 ∴运动时间为时，四边形是菱形． 44．如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理． （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，，．在中，利用勾股定理计算的长度，进而得到的长度．利用菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ． ． ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形， ，． 在中，由勾股定理得：． ． ， ． 45．已知，如图，在中，， ，． 求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，再结合，得出，最后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 46．下面是小丽设计的“作已知角的平分线”的尺规作图过程． 已知：． 求作：的平分线． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②分别以，为圆心，以的长为半径作弧，两弧交于内部一点； ③作射线． 则射线即为所求角平分线． 根据小丽设计的尺规作图过程，完成下列问题． (1)使用直尺和圆规作图，补全图形（保留作图痕迹）； (2)补全下面的证明过程． 证明：连接，． ， 四边形是______________形（_________________）（填推理依据） 平分（_________________）（填推理依据） 【答案】(1)见解析 (2)菱形；四条边都相等的四边形是菱形；菱形的每条对角线平分一组对角 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质等知识． （1）根据作法补全图形即可； （2）证明四边形是菱形，再根据菱形的性质“菱形的每条对角线平分一组对角”即可得到结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： （2）证明：连接， ， 四边形是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 平分（菱形的每条对角线平分一组对角）． 47．如图，在中，，D为边的中点，，． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，则四边形的周长为____，四边形的面积为____．（直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2)8； 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键． （1）先证出四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得，然后根据菱形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质可得的长，从而可得的长，再根据菱形的性质求出四边形；根据菱形性质得出，根据为边的中点得出，从而得出，即可得出，进而求出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，，为边的中点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∵为边的中点， ∴， 则四边形的周长为； ∵四边形为菱形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $