第1章 问题解决策略：反思（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学导学案聚焦“三角形的证明”，核心涵盖等腰三角形性质及全等三角形判定定理的应用。通过复习导入环节回顾等腰三角形性质与全等判定定理，搭建新旧知识衔接的学习支架，引导学生逐步深入探究。 以“特殊化”策略为核心特色，通过合作探究的问题拆解（理解问题、拟订计划、实施计划、回顾反思）及变式训练，培养学生推理能力与几何直观。拓展与逆向探究环节（如中线相等反证等腰三角形），激发创新意识，助力学生用数学思维解决问题，提升分析论证能力。

第一章 三角形的证明 问题解决策略：反思 【素养目标】 1. 经历借助“特殊化”策略解决问题的过程，了解“特殊化”策略的意义、运用情境和一般步骤，体会“特殊化”策略在分析问题、解决问题中的价值，发展推理能力。(重点) 2. 积累利用“特殊化”策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。(难点) 【复习导入】 问题：等腰三角形有哪些基本性质？全等三角形判定定理有哪些？ 【合作探究】 问题 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。 已知：如图，在中，，和分别是边 ， 上的中线。求证： 。 1.理解问题： 已知条件是什么？目标是什么？ 将条件标注到图形中，你发现了哪些相等关系？ 2.拟订计划 (1) 证明两条线段相等有哪些常用的方法？ (2) 以为边的三角形有哪些？以为边的三角形呢？ 其中哪些三角形有可能全等？ (3) 找出两个有可能全等的三角形，要证明这两个三角形全等，已知哪些边或角相等？还需要证明哪些边或角相等？ (4) 整理你的思路，并与同伴进行交流。 3.实施计划 按照下述思路写出证明过程， 并说明每一步的理由。 (1) 通过 ，证明 。 (2) 通过 ，证明 。 4.回顾反思 (1) 比较两种证明方法，你更喜欢哪种方法？说说你的理由。 (2) 根据题目的条件，你还能得到哪些结论？与同伴进行交流。 (3) 适当改变题目的条件，你还能得到哪些结论？ 已知：如图，在中，，和分别是边，上的高。求证：。 (4) 本题证明了等腰三角形两腰上的中线相等。反过来，如果一个三角形两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形吗？你能证明自己结论的正确性吗？ 拓展：如果把原题中的 、 分别是边和上的中线换成 分别是和的角平分线，和还相等吗？ 例1 证明命题 “全等三角形对应边上的中线相等” 已知：如图， 和 分别是边 上的中线。 求证： . 例2 将这10个数字填写到图中10个圆圈内， 使得相邻两数差的绝对值的和最大。 当堂反馈 1. 如图，是等边三角形， ，点 在的延长线上，且 .求证：是等腰三角形。 2. 如图，在中， ，是边的中点， ，垂足分别为 . 求证： . 变式1: 在上图中，若点 分别是 , 边的中点。 与 依然相等吗？ 变式2：在上图中，如果 ， 分别是 ， 的平分线， 与 还有相等的数量关系吗？ 参考答案 【复习导入】 问题：等腰三角形两腰相等、两底角相等、底边上的高， 中线， 角平分线三线合一； 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS、HL. 【合作探究】 1. 理解问题 2. 拟订计划 (1) 证明两条线段所在的三角形全等、 利用等腰三角形的性质(等角对等边)、 利用线段的垂直平分线性质等。 (2) 以为边的三角形： 。 以 为边的三角形： 。 与有可能全等。 与有可能全等。 (3) 与 有可能全等。 已知相等的边或角： (已知)， (公共角), (由及中线定义可得) 不需要再证明其他边或角相等，可根据 “SAS” (边角边) 判定三角形全等。 (4)思路：先根据中线定义和 得出 ，再利用“SAS”证明 ，最后由全等三角形对应边相等得出 。 3.实施计划 (1) 解： 是 边上的中线， ; 是 边上的中线， ; 又 。又 (公共角), (SAS). . (2) 解： 是 边上的中线， ; 是 边上的中线， ； 又 , 。 又 (公共角), (SAS)。 . 回顾反思 (1) 答案不唯一， 比如更喜欢第一种方法。 理由：第一种方法直接利用等腰三角形的边相等以及公共角， 结合中线定义得到全等条件， 步骤相对更简洁直接， 从三角形的“上半部分”直接证明全等，思路更清晰。 (2) 还能得到 , 等结论 (由 ， 全等三角形对应角相等)； 也能得到 (由 , 全等三角形对应角相等)。 (3) 已知：如图，在 中， ， 和分别是边 ， 上的高。求证： 。 证明如下： 是等腰三角形， . , (AAS). . (4) 已知：如图在中， 、 分别是边 和 上的中线， ， 求证：是等腰三角形。 证明： 连接 延长至 ，使 ，连接 . 是边 上的中线， , (SAS). . 是边 上的中线， . . . , (SAS). . 延长 至点 ，使 , . (SAS). , . . (SAS). . 是等腰三角形。 拓展：相等。 理由： 设 相交与点 . . 分别是 和 的角平分线， . . . , . 例1 证明： , . 是 和 上的中线，. . 在 中， . 例2 解： 如图所示 (答案不唯一). 当堂反馈 1. 解： 是等边三角形， , 根据等边三角形的性质， ， . , . . 是等腰三角形。 2. 证明： , . 又 , 是等腰三角形， . 是 边的中点， . (AAS), . 变式1: 证明： 分别为 的中点， 又 . 是边的中点，而为等腰三角形 为 的角平分线。 , . 变式2：证明： 为 的中点。 平分 . 而 分别是 的平分线。 . 在和中， (ASA), . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $