1.3 第1课时 直角三角形的性质与判定（word导学案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

第一章 三角形的证明

1.3 直角三角形

第1课时 直角三角形的性质与判定

【素养目标】

1. 复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三角形的性质和判定。 (难点)

2. 学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题.(重点)

3. 理解逆命题、互逆命题的概念，能准确写出命题的逆命题，判断其真假，通过实例体会互逆命题的应用，提升逻辑推理能力

4. 能从实际问题中抽象出几何模型以及发现内在的数量关系，发展抽象能力，培养用数学眼光观察世界的习惯。

【复习导入】

问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？

 

 

 

【合作探究】

探究点一、利用角判定直角三角形

问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？                  

已知： 是直角三角形， .

求证： .

 

 

 

 

 

 

问题2: 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？      

已知：在 中， .

求证：是直角三角形。

 

 

 

 

 

【知识要点】

定理 直角三角形的两个锐角互余。 ①

定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 ②

上面两个定理的条件和结论有什么关系？

 

 

 

探究点二、利用三边数量关系判定直角三角形

我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。

勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 即 .

 

 

 

 

 

勾股定理的证明：

如图，在 中，分别以Rt 的三边为边长作正方形 , CBFG. 连接 . 过点作的垂线，分别交 和于点 .

 

 

 

 

 

 

 

证法 赵爽弦图

大正方形的面积可以表示为_______ ;                

也可以表示为 ___________ .

 

 

 

 

 

 

 

勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？

 

 

 

 

【典例精析】

例1 证明此命题：

已知：如图，在中， . 求证：是直角三角形。

 

 

                      

 

 

 

 

 

【知识要点】

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 ③

定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。④

上面两个定理的条件和结论有什么关系？

 

 

 

 

【练一练】

1.如图，在四边形中， , ，求四边形 的面积。