第3章 问题解决活动最短距离（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦利用轴对称、平移变换解决最短路径问题，通过知识链接“两点间线段最短”等旧知，创设居民区与工厂修地下通道的实际情境，将问题抽象为几何模型，搭建从实际到数学的学习支架。 以实际问题驱动教学，通过旅游项目游船路径、过街天桥等实例培养模型意识，运用平移变换将AC+DB转化为AC+CE实现问题转化，渗透推理意识与几何直观。助力学生提升抽象与应用能力，为教师提供生活化、层次化的教学范例，提升课堂效率。

☆　问题解决活动：最短距离 1.能利用轴对称、平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 2.在将实际问题抽象成几何模型的过程中，提高分析能力、解决问题的能力及渗透数学建模思想． 3.将现实生活数字化、数学生活化，培养学生的抽象能力和应用意识． 重点：体会图形的变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想． 难点：如何利用轴对称、平移变换将最短路径问题转化为线段和最小问题． 知识链接 　　我们以前学过“两点间的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，我们称这种问题为最短路径问题，今天我们将探究新情境下的最短路径问题． 创设情境 　　如图，居民区和工厂分别在一条地铁线路的南北两侧，现要沿着地铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班．已知该地下通道长度为a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路程最短？ 请你用自己的语言将这个实际问题抽象为数学问题．与同伴进行交流． 如图，点A，B在直线l的两侧，在直线l上存在线段CD=a，当CD在什么位置时，AC＋CD＋DB的值最小？ 思考：AC，CD，DB哪些值不确定？什么情况下有最小值？ AC和DB的值不确定，当AC＋DB有最小值时，AC＋CD＋DB的值最小． 思维转化：AC＋CD＋DB的最小值➡AC＋a＋DB的最小值➡AC＋DB的最小值． 问题1：两条线段的和最小，你想到了什么性质？ 两点之间，线段最短． 问题2：怎么使线段AC和DB有公共端点呢？ 如图，把线段DB向左平移a m到CE，此时DB=CE． 思维转化：AC＋DB的最小值➡AC＋CE的最小值．当A，C，E三点共线时，AC＋CE有最小值．此时AC＋CD＋DB的值最小． 问题3：CD应该设计在哪里？ 如图，过点B作BE∥l，使BE=a m，连接AE，AE与直线l的交点就是点C，在直线l上作CD=a m即可使得AC＋CD＋DB的值最小． 两个居民小区A和B在河岸l的同侧，现计划在河岸边建一个长度为s米的绿化带CD，使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置． 解：如图，点C，点D即为所求． 1.某地发展旅游业，下面是该地某村的一个旅游项目．如图①是示意图，游船从湖岸l1的码头D将游客送往亭子M停留观赏，然后将游客送往湖岸l2的码头C，最后再回到码头D．请在图②中画出游船的最短行驶路径，并确定两个码头的位置． 解：作亭子M关于湖岸l1的对称点M′，作亭子M关于湖岸l2的对称点M″，连接M′M″，交湖岸l1，l2于码头D、码头C，则D→M→C→D为游船的最短行驶路径． 2.如图，有一所小学与中学分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥，方便两所学校的交流．已知小学离较近街道的一边距离为200米，中学离较近街道的一边距离为300米，小学与中学的水平距离为500米，街道宽度为700米（街道两边平行）．请问天桥建在何处才能使由小学到中学的路线最短（天桥必须与街道垂直）？请在图中画出修建的位置，并计算出最短路线的距离． 解：如图，线段DF即为天桥的位置．过点C作CH⊥AE交AE的延长线于点H．在Rt△ECH中，∠H=90°，CH=500米，EH=200＋300=500米，∴CE===500米．∴最短路径的长=AD＋DF＋CF=AE＋EC=（700＋500）米． （其他课堂拓展题，见配套PPT） 最短距离→最短路径问题→运用平移、轴对称等构建几何模型（两点之间，线段最短或者垂线段最短） 本节课以实际问题引入，引导学生抽象为数学模型，通过平移等变换解决最短路径问题，学生体会到转化思想的作用．例题练习巩固了几何变换应用，多数能完成作图．后续可增加变式，对比不同变换，提升学生灵活解题的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $