4.1 因式分解（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“因式分解”概念及与整式乘法的关系，通过复习整式概念导入，结合“99³－99能否被100整除”问题，对比代数式变形与数值计算两种解法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和活动探究为主，通过实际问题引导学生用数学眼光观察代数式变形，对比整式乘法与因式分解的互逆关系培养推理意识，借助拼图、练一练等活动强化数学表达。如例3通过因式分解结果反推系数，帮助学生深化理解，既提升学生抽象能力和应用意识，又为教师提供清晰的教学路径和丰富实例支持。

4.1 因式分解 第四章 因式分解 北师版 八年级(下) 1.解掌握因式分解的意义，会判断一个变形是否为因式分解.(重点) 2.理解因式分解与整式乘法之间的联系与区别.(难点) 素养目标 概念梳理： 1.单项式：若一个代数式是_______________，这样的代数式叫作________，单独一个数或一个字母也是单项式. 2.多项式：几个单项式的____，叫作多项式. 3.整式：单项式和多项式统称______. 数与字母的乘积 单项式 和 整式 复习导入 活动1：993－99 能被 100 整除吗？ 小明是这样做的： 993－99 = 99×992－99×1 = 99(992－1) = 99×9800 = 99×98×100， 所以 993－99 能被 100 整除． 小亮是这样做的：993－99 = 970299－99 = 970200 = 9702×100， 所以 993－99 能被 100 整除． 问题1：小明和小亮的解法有什么区别？ 探究点一：因式分解的概念 新知探究 问题1：小明和小亮的解法有什么区别？ 小明的解法是先提取公因数“99”，得到99×(992－1)，再通过后续计算，最终体现出结果中含有因数 100，从而判断能被 100 整除．其核心思路是通过代数式变形．小亮的解法是直接算出结果．其核心是通过具体数值计算． 左边式子是差的形式，右边是积的形式． 问题2：993－99 = 99×98×100 和 993－99 = 9702×100 等号两边的式子有什么相同？ 探究点一：因式分解的概念 思考：993－99 还能被哪些正整数整除？与同伴进行交流. 新知探究 探究点一：因式分解的概念 【尝试·交流】你能尝试把 a3 - a 化成几个整式的乘积的形式吗 ? 与同伴交流. 提示：类比 993 - 99 的因数分解 a3 - a = a(a2 - 1) = a(a + 1)(a - 1) 新知探究 活动2：观察下面拼图过程，写出相应的关系式. (1) a m b m c m a+b+c m ________________＝________________ m(a + b + c) ma + mb + mc 【观察·思考】 探究点一：因式分解的概念 新知探究 x x ________________＝________________ (2) 1 x x 1 1 1 x+1 x+1 x2 + 2x + 1 (x + 1)2 探究点一：因式分解的概念 新知探究 联系：等号左右两边是同一多项式的不同表现形式. 区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多 项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的. 问题2：右边一栏表示的正是多项式的 “ 因式分解 ” ，你能根据我们的分析说出什么是因式分解吗 ? 问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系 ? 探究点一：因式分解的概念 新知探究 其中，每个整式都叫作这个多项式的因式. 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解，也可称为分解因式. 因式分解 探究点一：因式分解的概念 新知探究 【练一练】1.下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解： A. x(a﹣b) = ax﹣bx B. x2﹣1 + y2 = (x﹣1)(x + 1) + y2 C. y2﹣1 = (y + 1)(y﹣1) D. ax + by + c = x(a + b) + c E. 2a3b = a2 • 2ab F. (x + 3)(x﹣3) = x2﹣9 √ × × × × × 提示：判定一个等式是因式分解的条件：(1)左边是多项式；(2)右边是积的形式；(3)右边的因式全是整式. 探究点一：因式分解的概念 新知探究 2.根据左边的算式进行因式分解： (1) 3x2-3x = ( )( ) (2) ma+mb-m = ( )( ) (3) m2-16 = ( )( ) (4) y2-6y+9 = ( )( ) 1.计算下列各式： (1) 3x(x - 1) = _________ (2) m(a+b-1) = _______ (3)(m+4)(m-4) = _____ (4)(y-3)2 = _____ 3x2 - 3x ma+mb-m m2 -16 y2-6y+9 3x x-1 m a+b-1 m+4 m-4 y-3 y-3 或 (y-3)2 【操作·交流】 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 新知探究 思考1：由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是什么运算? 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与它有什么不同? 由 a(a + 1)(a - 1) 得到 a3 - a 的变形是整式乘法， 由 a3 - a 得到 a(a + 1)(a - 1) 的变形与上面的变形互为逆过程. 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 新知探究 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 思考2：因式分解与整式乘法有什么联系与区别? 联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形. (多项式)“和” (整式乘积)“积” 整式乘法 因式分解 区别 化“积”为“和” 化“和”为“积” x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 新知探究 例1 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y) (2) 2x(x－3y)＝2x2－6xy (3) (5a－1)2＝25a2－10a＋1 (4) x2＋4x＋4＝(x＋2)2 (5) (a－3)(a＋3)＝a2－9 (6) m2－4＝(m＋2)(m－2) (7) 2πR＋2πr＝2π(R＋r) 因式分解 整式乘法 整式乘法 因式分解 因式分解 整式乘法 因式分解 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 新知探究 例2 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)； ③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 【方法总结】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 新知探究 例3 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为 a(x﹣2)(x + 3)，求 a，b 的值. 解：∵ x2 + ax + b = a(x﹣2)(x + 3) = ax2 + ax - 6a， ∴ a = 1，b =﹣6a =﹣6. 方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可. 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 新知探究 【练一练】 2.下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y) 的是 ( )　　 A．x2﹣y2 B．﹣x2 + y2 C．x2 + y2 D．﹣x2﹣y2 B 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 新知探究 因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫作因式分解，也可称为___________ 其中，每个整式叫作这个多项式的______ 与多项式乘法运算的关系 的变形过程 前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_______ 积 分解因式 因式 相反 多项式 乘积 乘积 新知探究 1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是(　D　) A. (3－x)(3＋x)＝9－x2 B. (y＋1)(y－3)＝－(3－y)(y＋1) C. 4yz－2y2z＋z＝2y(2z－yz)＋z D. －8x2＋8x－2＝－2(2x－1)2 D 当堂反馈 2. 下列变形：①(x－1)(x＋2)＝x2＋x－2； ②a2－a＝a(a－1)；③4b2c3＝4c∙b2c2； ④4x2＋12x＋9＝(2x＋3)2. 其中，是因式分解的为 . ②④　 x2－3x－10　 3. 一个多项式因式分解的结果为(x＋2)(x－5)，则这 个多项式为 . 当堂反馈 解：∵x2＋Ax＋B ＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15， ∴A＝2，B＝－15. ∴3A－B＝3×2＋15＝21. 解：∵x2＋Ax＋B ＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15， ∴A＝2，B＝－15. ∴3A－B＝3×2＋15＝21. 4. 如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的 值. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $