1.5 第2课时 三角形的三条内角平分线（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦三角形三条内角平分线的性质及应用，通过情境导入（学校位置问题）激发兴趣，结合复习角平分线性质和判定搭建旧知支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于通过动手活动（画角平分线、量垂线段）培养几何直观（数学眼光），通过逻辑证明（如证三线交于一点）发展推理能力（数学思维），结合例题和分层练习提升应用意识（数学语言）。学生能主动探究，教师可高效开展教学。

1.5 角平分线 第2课时 三角形三条内角的平分线 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 在角平分线的基础上归纳出三角形三条内角的平分线的相关性质。(重点) 2. 能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题。 (难点) 素养目标 在一个三角形居住区内修有一个学校 P，P 到 AB、BC、CA 三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校 P 的位置，P 在何处？ A B C 情境导入 问题：角平分线的性质和判定是什么？ 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 判定：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. 复习导入 例1 如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. (1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长； E D A B C 解：∵ AD 是△ABC 的角平分线， DC⊥AC，DE⊥AB， ∴ DE = CD = 4 cm ( 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )。 ∵ AC = BC， ∴∠B =∠BAC ( 等边对等角 ). ∵∠C = 90°， 探究点：三角形的角平分线 ∴∠B = ×90° = 45°. 新知探究 (2) 求证：AB＝AC＋CD. 证明：由 (1) 的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED (HL). ∴ AC＝AE. ∵ BE＝DE＝CD， ∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD. E D A B C 在等腰 Rt△BDE 中， ∴ BE = DE ( 等角对等边 )。 探究点：三角形的角平分线 新知探究 【练一练】 1. 如图，已知 BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为 E，F，BE，CF 相交于点 D. 若 BD = CD，求证：AD 是∠BAC 的平分线. 证明：∵ BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD =∠CED = 90°. 在 △BDF 和 △CDE 中， ∠BFD = ∠CED， ∠BDF = ∠CDE， BD = CD， ∴△BDF≌△CDE (AAS). ∴ DF = DE. 又 DF⊥AB，DE⊥AC， ∴AD 是∠BAC 的平分线. 探究点：三角形的角平分线 新知探究 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 结论：三角形的三条角平分线相交于一点. 探究点：三角形的角平分线 新知探究 活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？ 结论：过交点作三角形三边的垂线段相等. 你能证明以上两个结论吗？ 探究点：三角形的角平分线 新知探究 点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ A B C P F H D E I G AP 是∠BAC 的平分线 BP 是∠ABC 的平分线 PI = PH PG = PI PH = PG 点 P 在∠BCA的平分线上 探究点：三角形的角平分线 新知探究 例3 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P. 求证：∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 探究点：三角形的角平分线 新知探究 ∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 同理 PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即∠A 的平分线经过点 P. D E F A B C P N M 证明：如图，过点 P 分别作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为 D，E，F. ∵BM 是 △ABC 的角平分线， ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 探究点：三角形的角平分线 新知探究 结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 【归纳总结】 探究点：三角形的角平分线 新知探究 【练一练】 2. 如图，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4， (1) 点 O 到△ABC 三边的距离和 为 . M A B C P O D 温馨提示：不存在垂线段——构造应用 12 E N 探究点：三角形的角平分线 新知探究 解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于点 N，连接 OC. (2) 若 △ABC 的周长为 32，求 △ABC 的面积. M E N A B C P O D 探究点：三角形的角平分线 新知探究 3. 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等． 若∠A＝40°，则∠BOC 的度数为 (　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线， 则∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠CBO＋∠BCO＝70°，∠BOC＝180° － 70°＝110°. 探究点：三角形的角平分线 新知探究 三角形内角 平分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等 应用：位置的选择问题 课堂小结 1. 如图，BO与CO分别是△ABC中∠ABC与 ∠ACB的平分线.若∠BAC＝52°， 则∠BAO＝(　B　) A. 25° B. 26° C. 30° D. 32° 第1题图　　 B 当堂反馈 2. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB平分线的 交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定 是(　C　) A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 C 第2题图 当堂反馈 3. 如图，△ABC的三条角平分线交于点O，且三 边AB，BC，CA的比为4∶6∶7，S△ABO＝8，则 S△CAO＝ ⁠. 14　 当堂反馈 4. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7， BC＝24，AC＝25.点P是△ABC三个内角平分线 的交点，PD⊥BC于点D，求线段PD的长. 当堂反馈 解：如图，过点P作PE⊥AB于E，作PF⊥AC于F. ∵点P是△ABC三个内角平分线的交点，且PD⊥BC， ∴PE＝PF＝PD. 设PD＝x， 则S△ABC＝ BC∙PD＋ AB∙PE＋AC∙PF＝ AB∙BC， 即×24x＋×7x＋×25x＝×7×24，解得x＝3， ∴PD＝3. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $