1.3 第1课时 平方差公式的认识（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦平方差公式的推导与应用，通过复习多项式乘法法则及彩纸面积比较情境导入，搭建从已有运算知识到新公式的学习支架，帮助学生建立前后知识联系。 其亮点在于通过探究活动引导学生观察算式特征归纳公式，培养抽象能力与创新意识，例题练习层次分明，结合化简求值等综合应用提升运算能力和推理意识，情境导入联系生活实际增强模型意识，助力学生理解公式本质，也为教师提供清晰教学路径。

1.3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 第一章 整式的乘除 北师版 七年级(下) 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简 单的运算.（难点） 素养目标 2. 计算： (x＋1)(y－5)＝ ； (x＋1)(x－5)＝ ； (x＋1)(x－1)＝ . 1. 多项式乘以多项式的计算法则是什么? xy－5x＋y－5 x²－5x＋x－5＝x2－4x－5 x²－x＋x－1＝x2－1 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 复习导入 (a + 4)(a − 4) 绘画课上，老师拿来了两张彩纸，一张是边长 a cm 的正方形彩纸.另一张是长为 (a + 4) cm ，宽为 (a - 4) cm 的长方形彩纸. 两张彩纸面积相等吗？ (a + 4) (a - 4) = a2 − 4a + 4a − 42 = a2 − 42 答： 两张彩纸面积不相等. 4 解：正方形彩纸面积为 a2 ＜a2 情境导入 探究 计算下列各式： (1) (x + 2)(x - 2)； (2) (1 + 3a)(1 - 3a)； (3) (x + 5y)(x - 5y)； (4) (2y + z)(2y - z)。 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现?你能再举一些类似的例子吗? 与同伴进行交流。 探究点：平方差公式的认识 新知探究 ① (x＋ 2)( x－ 2)； ② (1＋3a)(1－3a)； ③ (x＋5y)(x－5y)； ④ (2y＋z)(2y－z). ＝ x2－ 22 ＝ 12－(3a)2 ＝ x2－(5y)2 x2－4 1－9a2 x2－25y2 4y2－z2 ＝(2y)2－z2 两数的___ 两数的___ 和 差 两数____的差 平方 思考 观察相乘的两个多项式有什么特点 ? 最终结果又有什么特点? 探究点：平方差公式的认识 新知探究 两数的和×两数的差 = 两数平方的差 归纳 你能用字母来表示一下发现的规律吗? (a＋b)( a－b)＝a²－b². 探究点：平方差公式的认识 新知探究 文字语言： 两个数的和×两个数的差＝这两个数的平方差. 符号语言： (a＋b)( a－b)＝a²－b². 平方差公式： 代数验证： (a + b)(a − b)＝ ＝ . a2 − b2 a2 − ab + ab − b2 探究点：平方差公式的认识 新知探究 a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 (0.3x)2－12 (a - b)(a + b) (1 + x)(1 - x) (-3 + a)(-3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)(-1 + a) 【填一填】根据平方差公式填写下表： 探究点：平方差公式的认识 新知探究 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)； (3) (－m＋n)(－m－n). 解：(1) (5＋6x)(5－6x) 相同看作 a 相反看作 b ＝52－(6x)2 ＝25－36x2. (2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. (3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2. 探究点：平方差公式的认识 新知探究 【方法归纳】 (1) 左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2) 右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3) 公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式． 应用平方差公式计算时，应注意： (2) 符号相同看作 a ，符号相反看作 b，套用公式. 中的各项，除符号外是否完全相同)； (1) 观察该运算是否符合平方差公式 (两个多项式 探究点：平方差公式的认识 新知探究 例2 利用平方差公式计算： (1) ； (2) (ab + 8)(ab－8). 解：(1) 原式 = (2) 原式 = (ab)2－82 = a2b2－64. 探究点：平方差公式的认识 新知探究 (1) (－7m＋8n)(－8n－7m)； (2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2. (2) 原式＝(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16. 【练一练】 1. 利用平方差公式计算： 探究点：平方差公式的认识 新知探究 回答下列各题： (l) (－a + b)(a + b) =_________. (2) (a－b)(b + a) = __________. (3) (－a－b)(－a + b) = ________. (4) (a－b)(－a－b) = _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 【想一想】 探究点：平方差公式的认识 新知探究 例3 先化简，再求值： (2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当 x＝1，y＝2 时，原式＝5×12－5×22＝－15. 探究点：平方差公式的认识 新知探究 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：(a + b)(a－b) = a2－b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 课堂小结 2. 下列多项式的乘法中，不能运用平方差公式计算 的是（　B　） A. (a＋1)(a－1) B. (2x－3)(－2x＋3) C. (2y－ )( ＋2y) D. (3m－2n)(－3m－2n) B 1. 计算(a＋4)(a－4)的结果是(　D　) A. 8－a2 B. a2－8 C. 16－a2 D. a2－16 D 当堂反馈 3. 若M(2x－5y)＝4x2－25y2，则M表示的式子为( 　) A. (－2x＋5y) B. (2x－5y) C. (－2y－5x) D. (2x＋5y) D 4. (1)若x－y＝4，x＋y＝7，则x2－y2＝ ⁠； (2)若(x＋3)(x－m)＝x2－9，则m的值是 ⁠. 28　 3　 当堂反馈 5. 计算： (1) (－c＋ab)(－c－ab)；＝（－c）2－（ab）2＝ (2) (3a－ b)(－3a－ b).. 解：(1) 原式＝(－c)2－(ab)2＝c2－a2b2. (2) 原式＝(－ b＋3a)(－ b－3a) ＝(－ b)2－(3a)2＝ b2－9a2. 当堂反馈 6. 先化简，再求值： (2x－3y)(3y＋2x)－(4y－3x)(3x＋4y)， 其中x＝2，y＝1. 解：原式＝4x2－9y2－（16y2－9x2）＝4x2－9y2－ 16y2＋9x2＝13x2－25y2. ∵x＝2，y＝1， ∴原式＝13×22－25×12＝27. 解：原式＝4x2－9y2－(16y2－9x2) ＝4x2－9y2－16y2＋9x2＝13x2－25y2. ∵x＝2，y＝1， ∴原式＝13×22－25×12＝27. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $