1.2 第2课时 多项式的乘法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“多项式的乘法”，涵盖单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则及应用。通过复习单项式乘单项式的问题与计算导入，衔接前后知识，为新知学习搭建支架。 其亮点在于以操场面积、长方形纸片等情境引导探究，培养数学眼光，通过操作交流、小组讨论推导法则发展数学思维，结合农户土地面积等实际问题强化数学语言。例题分层且当堂反馈及时，助力学生掌握，也方便教师高效教学。

1.2 整式的乘法 第 2 课时 多项式的乘法 第一章 整式的乘除 北师版 七年级(下) 1. 理解单项式乘多项式、多项式乘以多项式的运算法则.(重点) 2. 能够熟练运用单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则进行计算并解决实际问题.(难点) 素养目标 1.单项式乘单项式的实质是什么？ 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 2. 计算： (1) －5xy2·xy； (2) 5x3y·(－3xy)². 解：(1) 原式 = • x2y3 = －x2y3. (2) 原式 = 5x3y • 9x2y2 = 45x5y3. 复习导入 探究点一 单项式乘多项式 (1) 如图，在计算操场面积的问题中，如何计算 A 和 B 组成的长方形区域的面积？你是怎样计算的？ 可以直接计算大长方形的面积，也可以先分别计算 A，B 长方形区域的面积，然后相加. 新知探究 A 操场面积 ：______________ ， B 操场面积 ：______________ ， 两个操场面积之和：___________ 。 整个操场面积 长：， 故大操场面积：___________ 。 宽： 两种方法表示的都是同一个操场的面积，由此可得: 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 【操作与交流】 (1) 你能计算，， 吗？ ＝ab·abc c2·(m＋n－p) ＝c²·m + ab·2x - c²·p + c²·n ＝a²b²c + 2abx ＝c²m + c²n - c²p 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 (2) 一般地，如何进行单项式乘多项式的运算 ? 与同伴进行交流。 ＝ ＝ 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 注意：(1) 依据是乘法分配律； (2) 结果的项数与原多项式的项数相同. 单项式乘多项式的法则 p ( a + b + c ) pb + pc pa + 单项式与多项式相乘，将单项式分别乘多项式的每一项，再将所得的积相加. 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 例1 计算： (1) 2ab (5ab2 + 3a2b)； (2) ( －2ab) · ； 解：原式 = 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b = 10a2b3 + 6a3b2. 解：原式 = 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 (3) 5m2n (2n + 3m－ n2)； (4) 2(x + y2z + xy2z3) · xyz. 解：原式 = 5m2n · 2n + 5m2n · 3m + 5m2n · (－n2) = 10m2n2 + 15m3n－ 5m2n3. 解： 原式 = (2x + 2y2z + 2xy2z3) · xyz = 2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4. 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 例2 先化简，再求值： 5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中 a＝2. 解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2 方法总结：在计算时要注意先化简然后再代值计算． 整式的加减运算实际上就是去括号与合并同类项． 当 a＝2 时，原式＝－82. ＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2 ＝－28a2＋15a， 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 1. 计算：－2x2·( xy + y2 ) － 5x(x2y－xy2). 注意：(1) 将 2x2 与 5x 前面的“－”看成性质符号； (2) 单项式与多项式相乘的结果中，应将 同类项 合并. 解：原式 = (-2x2)·xy + (-2x2)·y2 + (-5x)·x2y + (-5x)·(-xy2) = -2x3y + (-2x2y2) + (-5x3y) + 5x2y2 = -7x3y + 3x2y2. 【练一练】 探究点一 单项式乘多项式 新知探究 探究点二 多项式乘多项式 问题：如图1是一个长和宽分别为 m，n 的长方形纸片，如果它的长和宽分别增加 a，b，所得新长方形的面积怎样用不同形式表示? m n 图 1 m n a b 图 2 你能用不同的形式表示所拼图的面积吗? 新知探究 方法一 用四个小长方形来表示新长方形的面积： m n a b ① (m + a)( n + b) ③ m( n + b) + a( n + b) ② n(m + a) + b(m + a) ④ mn + mb + an + ab 于是得到 (m + a)( n + b)＝n(m + a) + b(m + a) ＝m( n + b) + a( n + b)＝mn + mb + an + ab 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 ＝ mn + mb + an + ab. 或 (m + a)( n + b) ＝ m(n + b) + a( n + b) 方法二 把 (m + a) 和 ( n + b) 看成一个整体，利用乘法分配律： m n a b (m + a)( n + b) ＝(m + a)n + (m + a)b ＝ mn + mb + an + ab. 你能类比单项式与多项式相乘的法则，叙述多项式与多项式相乘的法则吗? 小组讨论得出结果. 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 思考 以 (a + b)(m + n) 为例，能否用字母呈现出多 项式与多项式相乘的法则? 1 2 3 4 (a + b)(m + n) = am 1 2 3 4 + an + bm + bn 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 例3 计算： (1) (1－x)(0.6－x)； (2) (2x + y)(x－y)； 解： (1) 原式= 1×0.6－1×x－x · 0.6 + x · x = 0.6－x－0.6x + x2 = 0.6－1.6x + x2. (2) 原式= 2x·x－2x · y + y · x－ y · y = 2x2－2xy + xy－y2 = 2x2－xy－y2. 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 解：原式= x · x2－x · xy + xy2 + x2y－xy2 + y · y2 = x3－x2y + xy2 + x2y－xy2 + y3 = x3 + y3. 易错归纳： (1) 漏乘；(2) 符号问题；(3) 最后结果应化成最简形式(是同类项的要合并). (3) (x + y)(x2－xy + y2). 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 【观察·思考】 (1) 如图，一幅边长为 a m 的正方形风景画，左右各留有 x m 的长方形空白区域做装饰， 中间画面的面积是多少平方米? 解：中间画面的面积为： a(a－x×2) =a2－ ax. 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 (2) 如图，一幅长为 a m、宽为 b m 的长方形风景画，画面的四周留有空白区域做装饰，其中四角均是边长为 x m 的正方形，正中间画面的面积是多少平方米? 解：中间画面的面积为： (a－2x)(b－2x) =ab－2ax－2bx+4x2. 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 例4 先化简，再求值： (a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)， 其中 a＝－1，b＝1. 解：原式＝ a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) 方法总结：化简求值的题型，一定要注意先化简， 再求值，不能先代值，再计算． 当 a＝－1，b＝1 时，原式＝－8＋2－15＝－21. ＝ －8b3＋2a2b＋15ab2. ＝ a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 探究点二 多项式乘多项式 新知探究 多项式的乘法 单项式乘多项式 单项式乘单项式 多项式乘多项式 (a + b)(m + n) = am + an + bm + bn 转化 转化 课堂小结 1. 计算 a(a－b) 的结果为（　C　） A. －a2－ab B. －a2＋ab C. a2－ab D. a2＋ab 2. 计算 (x－5y)(x＋4y) 的结果是（　C　） A. x2－20y2 B. x2－9xy－20y2 C. x2－xy－20y2 D. x2＋xy－20y2 C C 当堂反馈 3. 若 (x＋k)(x－4) 的积中不含有x的一次项， 则k的值为（　B　） A. 0 B. 4 C. －4 D. 2 B 4. 计算： (1) (2a－b)·(－2ab)＝ ⁠ ⁠； (2) (a＋1)(b＋1)＝ ⁠. 5. (1) 当x＝3 时，x(x＋1)－x2＝ ⁠； (2) 若xy＝12，x＋y＝13，则 (x＋1)(y＋1)＝ ⁠. －4a2b＋2ab2 ab＋a＋b＋1　 3　 26　 当堂反馈 6. 某农户租两块土地种植沃柑.第一块是边长为am 的正方形，第二块是长为 (a＋10) m，宽为 (a＋5) m 的长方形，则第二块比第一块的面积多 m2. (15a＋50)　 7. 计算：(1) －a2b(2a－ab＋3b)；原式＝－2a3b＋a3b2－3a2b2. (2) (x＋1)2－x(x－2). 解：原式＝x2＋x＋x＋1－x2＋2x＝4x＋1. 解：(1) 原式＝－2a3b＋a3b2－3a2b2. (2) 原式＝x2＋x＋x＋1－x2＋2x＝4x＋1. 当堂反馈 8. 先化简，再求值： (a－b)(a＋2b)－(3a＋b)(a－3b)， 其中a＝－2，b＝－1. ＝11. 解：原式＝a2＋2ab－ab－2b2－(3a2－9ab＋ab－3b2) ＝a2＋ab－2b2－3a2＋8ab＋3b2 ＝－2a2＋9ab＋b2. 当 a＝－2，b＝－1 时， 原式＝－2×(－2)2＋9×(－2)×(－1)＋(－1)2 ＝－8＋18＋1＝11. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $