1.1 第4课时 同底数幂的除法（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年七年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦“同底数幂的除法”，涵盖法则推导、零次幂、负整数次幂及科学记数法表示小数。通过复习同底数幂乘法引入除法问题，结合杀菌剂杀菌情境，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以猜想验证、归纳推导培养数学思维，如通过具体幂的运算归纳法则，结合实际问题发展数学眼光，用科学记数法表达小数强化数学语言。学生能提升运算与推理能力，教师可借助清晰环节高效教学。

第4课时 同底数幂的除法 1 幂的乘除 第一章 整式的乘除 北师版 七年级(下) 1. 经历探索同底数幂除法运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的表达能力；(重点) 2. 了解同底数幂的除法的运算性质，会进行同底数幂的除法，并能解决一些实际问题；(重点) 3.通过对整式的除法运算法则学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值. (难点) 素养目标 计算： (1) 102×103 =______； (2) a4·a5 = ； (3) am·an = (m，n 都是正整数). a9 105 am+n 填空：(1) ×103 = 105 (2) a4· = a9 这两个问题都是已知积和其中一个因式，求另一个因式，你想到该如何计算了吗? (1) 105÷103 =______；(2) a9÷a4 = . 102 a5 复习导入 一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现 1 滴杀菌剂可以杀死 109 个此种细菌.要将 1 升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？ 情境导入 1012÷109. (2) 观察这个算式，它有何特点？ 我们观察可以发现，1012 和 109 这两个幂的底数相同，是同底数的幂的形式. 所以我们把 1012÷109 这种运算叫作同底数幂的除法. (1) 怎样列式？ 复习导入 探究点一 同底数幂的除法 【尝试·思考】 计算下列各式，并说明理由(m＞n). (1) 1012÷109； (2) 10m÷10n； (3) (－3 )m÷( －3 )n. (1) 1012÷109 ＝1000＝103 新知探究 (2) 10m÷10n n 个 10 m 个 10 ＝10m－n ＝10×10×···×10 (m－n)个10 (3) (－3)m÷(－3)n m 个 (－3) n 个 (－3) ＝(－3)×(－3)×···×(－3) (m－n) 个 (－3) ＝(－3)m－n 探究点一 同底数幂的除法 新知探究 提问 观察上面算式，底数有什么特点? 追问 1 上面算式中，等号左边是什么运算? 追问 2 等号左右两边的指数有什么关系? 【议一议】总结一下你发现了什么规律，能否用符号语言表示出来 ? 小组讨论得出结论. 底数相同. 除法运算. 等号右边的指数等于等号左边指数的差. am÷an = am－n (m＞n). 探究点一 同底数幂的除法 新知探究 运算法则： am÷an = m 个 a n 个 a = a · a · … · a (m－n) 个 a = am－n. (a≠0，m，n 是正整数，且 m＞n). am÷an = am－n 同底数幂相除，底数_____，指数_____. 文字说明： 不变 相减 【证一证】你能证明你们发现的猜想吗? 探究点一 同底数幂的除法 新知探究 例1 计算： (1) a7÷a4 ； (2) (－x)6÷(－x)3； (3) (xy)4÷(xy)； (4) b2m+2÷b2. (1) a7÷a4 = a7－4 = (－x)3 (3) (xy)4÷(xy) = (xy)4－1 (4) b2m+2÷b2 解： = a3. (2) (－x)6÷(－x)3 = (－x)6－3 =－x3. = (xy)3 = x3y3. = b2m+2－2 = b2m. 探究点一 同底数幂的除法 新知探究 已知：am = 8，an = 5. 求： (1) am－n 的值； (2) a3m－3n 的值. 解：(1) am－n = am÷an = 8÷5 = 1.6. (2) a3m－3n = a3m÷a3n = (am)3÷(an)3 = 83÷53 = 512÷125 = 同底数幂的除法可以逆用：am－n = am÷an. 这种思维叫作逆向思维(逆用运算性质). 探究点一 同底数幂的除法 新知探究 探究点二 零次幂与负整数次幂 假设把 am÷an = am-n (a≠0，m，n 是正整数，m＞n) 中的 m＞n 这个条件去掉， am÷an = am-n 还成立？ 【思考·交流】 (1) 计算：23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5. 23÷23 23÷25 a3÷a3 a3÷a5 新知探究 (2) 假设 m＝n 或 m＜n 时， am÷an = am-n(a≠0，m，n 是正整数) 仍然成立，那么(1)中各式的结果用幂的形式又该如何表示? 23÷23，23÷25，a3÷a3，a3÷a5 23÷23＝23－3＝20 23÷25＝23－5＝2－2 a3÷a3＝a3－3＝a0 a3÷a5＝a3－5＝a－2 探究点二 零次幂与负整数次幂 新知探究 (3) 比较 (1) (2) 各式的对应结果，你有什么发现 ? 与同伴进行交流. 23÷23＝1 23÷25 a3÷a3＝1 a3÷a5 23÷23＝23－3＝20 23÷25＝23－5＝2－2 a3÷a3＝a3－3＝a0 a3÷a5＝a3－5＝a－2 探究点二 零次幂与负整数次幂 新知探究 我们规定： 【知识要点】 (a≠0，p 是正整数). 即用 a-p 表示 ap 的倒数. 即任何不等于零的数的零次幂都等于 1. 有了这个规定后，已学过的同底数幂的乘法和除法运算性质中的 m， n 就从正整数扩大到全体整数了，即 am · an = am+n，am÷an = am-n(a≠0，m，n 是整数) 探究点二 零次幂与负整数次幂 新知探究 例2 用小数或分数表示下列各数 ： 解： （1）10－3； （2）70×8－2； （3）1.6×10－4. （1）10－3 （2）70×8－2 注意：a0 =1 （3）1.6×10－4 = 1.6×0.0001 = 0.00016. 归纳总结 (a≠0，n 是整数). 探究点二 零次幂与负整数次幂 新知探究 例3 计算： (1) 7－3÷7－5； (2) a－4÷a6； (3) 30÷3－3. 解：(1) 7－3÷7－5 = 7－3－(－5) (2) a－4÷a6 = a－10. (4) (bc)－4÷(bc)－8. (3) 30÷3－3 = 30－(－3) = 33. = 72. = a－4－6 (4) (bc)－4÷(bc)－8 = (bc)－4－(－8) = (bc)4 = b4c4. 探究点二 零次幂与负整数次幂 新知探究 填一填 0.000001 = ( ) ＝( )； 0.000000001 = ( ) ＝( )； 0.000 000 000 000 000 000 000 000 026 57 = ( ) ＝( )； 议一议 指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？ 探究点三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 新知探究 指数与运算结果的 0 的个数的关系： 0.00···01 ＝1×10－n n 个 0 10 的 -n 次幂，在 1 前面有_____个 0. -n 一般地， 1 前面有 n 个 0就是10 的_____次幂. n 科学记数法表示较小的数：一个小于 1 的正数可以表示为 a×10-n 的形式，其中 1≤a＜10，n 是负整数. 探究点三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 新知探究 利用 10 的负整数次幂，可以把一个绝对值小于 1 的数表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10，n 等于原数第一个非零数字前所有零的个数（特别注意：包括小数点前面那个零）. 用科学记数法表示一些绝对值小于 1 的数的方法： 大于 －1 的负数也可以用类似的方法表示. 如：－0.000 002 56＝ . －2.56×10-6 探究点三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 新知探究 例4 实验表明，人体内某细胞的形状可以近似地看成球状，并且它的直径为 0.00000156 m，则这个数可用科学记数法表示为( ) A. 0.156×10－5 m B. 0.156×105 m C. 1.56×10－6 m D. 1.56×106 m C 探究点三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 新知探究 1. 用科学记数法表示下列各数： (1) 0.000 000 000 1； (2) 0.000 000 000 002 9； (3) 0.000 000 001 295； 解：(1) 0.000 000 000 1＝1×10－10. (3) 0.000 000 001 295＝1.295×10－9. (2) 0.000 000 000 002 9＝2.9×10－12. 【练一练】 探究点三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 新知探究 2. 中国科学技术大学完成的“祖冲之二号”和“九章二号”量子计算优越性实验入选国际物理学十大进展. 人们发现全球目前最快的超级计算机用时 2.3 秒的计算量，“祖冲之二号”大约用时仅为 0.000 000 23 秒，将数字 0.000 000 23 用科学记数法表示为( ) A. 23×10－8 B. 2.3×10－7 C. 0.23×10－9 D. 2.3×10－6 B 探究点三 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数 新知探究 1. 计算a8÷a2 的结果是（　B　） 2. 计算 (π－3)0 的结果是（　B　） B B A. 0 B. 1 C. 3－π D. π－3 A. a8 B. a6 C. a4 D. a2 当堂反馈 3. 我国宣布研制成功首台氟化氩光刻机，实现套刻精度小于或等于8nm技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展.已知8nm＝0.000000008m，数据0.000000008用科学记数法可表示为(　B　) A. 8×109 B. 8×10－9 C. 8×1010 D. 8×10－10 B 当堂反馈 5. (1) 若 (x－2)0 有意义，则x ⁠； (2) 已知 am÷a5＝a2，则m＝ ⁠. 6. 已知 0.003×0.005＝1.5×10n，则n的值是 ⁠ ⁠. ≠2　 7　 －5 4. 若am＝15，an＝5，则am－n等于（　A　） A. 3 B. 5 C. 15 D. 75 A 当堂反馈 7. 计算： (1)(－m)7÷m4； 解：原式＝－m7÷m4＝－m3. (2)(a3)3÷(a3·a3)－(3a)3； 解：原式＝a9÷a6－27a3＝a3－27a3＝－26a3. (3)30－2－3＋(－3)2－()－1. 解：原式＝1－ ＋9－4＝ . 解：原式＝－m7÷m4＝－m3. 解：原式＝a9÷a6－27a3＝a3－27a3＝－26a3. 解：原式＝1－ ＋9－4＝ . 当堂反馈 1. 同底数幂的除法法则： 同底数幂相除， 底数不变，指数相减. (a≠0， m、n 为任意整数). 2. 任何不等于零的数的零次幂都等于 1. 3. 负整数指数幂： (a≠0，n 为正整数). 当堂反馈 0.00…01 (n 为正整数). n 个 0 利用 10 的负整数次幂，我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a×10-n 的形式，其中 n 是正整数，1≤|a|＜10. 这里用科学记数法表示时，关键是掌握其中的规律： 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $