第二十一章 专题特训五 构造中位线解题-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

即△AGD是直角三角形， A D H E (第11题) 专题特训五构造 中位线解题 1.A解析：：AC⊥BC, .∠ACB=90°..BC=6,AC=8, ∴.AB=√BC2+AC=10.:AD∥ BC,∴.∠ADB=∠CBD.:BD为 ∠ABC的平分线，∴.∠ABD= ∠CBD.∴.∠ABD=∠ADB. .AB=AD=10.如图，连接BF并 延长，交AD于点G.AD∥BC, .∠GAF=∠BCF,∠AGF= ∠CBF.:F是AC的中点，∴.AF CF..△AFG2△CFB.∴.GF= BF,AG=CB=6..DG=AD- AG=10-6=4.,E是BD的中点， EF=2 DG=2. G B (第1题) 2.(1)连接BD. E,H分别为边AB,DA的中点， EH/BD,EH-BD. :F,G分别为边BC,CD的中点， :FG/BD,FG-7BD. .EH//FG,EH=FG. ∴.四边形EFGH是平行四边形. (2)连接AC 由(1)知，四边形EFGH是平行四边 形，EH/BD,EH=BD. :G,H分别为边CD,DA的中点， HG//AC,HG-AC, 又AC⊥BD, ∴.EH⊥HG. :Sa海m=EH·HG=号BDX 2AC=BD,AC=子×48=12. ∴.四边形EFGH的面积是12. 3.(1)①如图，连接D℃，AE交于点 P,DC交FN于点Q. :△ABD与△BCE均为等边三 角形， .AB=AD=DB,BE=CE=BC, ∠ABD=∠EBC=60°. .∠ABE=∠DBC. .'.△ABE≌△DBC .AE=DC. M,N,F分别是AD,CE,AC的 中点， .FM/DC,且FM=2DC,FN∥ AE,且FN-=子AE .FM=FN. ②由①知，△ABE≌△DBC, .∠AEB=∠IDCB. .易得∠EPC=∠EBC=6O. 易知∠MFN+∠DQF=180, ∠EPC=∠DQF=60°， ∴.∠MFN=120. (2)如图，过点M作MK⊥CA于 点K. :易知∠DAC=60°，AM= 7AD=2, ∴.易得AK=1,MK=√5. 1 六KF=2X(4+6)-1=4 ∴.MF=√MK2+KF= √/(3)2+4=19 D BF (第3题) +25解析：如图，延长DC 4.2 23 至点P,使CP=DC,连接PF,AP AF.:'M是DF的中点，CP=DC, .CM是△DFP的中位线.∴.PF= 2CM.正方形ABCD、正方形 AEFG的边长分别为4,1，∴.易得 AP=√AD+DP=√4+8= 45,AF=√2.PF≤AP+AF, ∴.PF长的最大值为4V5+2. 一CM长的最大值为 +2√5」 (第4题) 5.B解析：如图，延长AD,交CB 的延长线于点P,延长AG,交BC的 延长线于点Q.:CF,BE分别平分 ∠ACB和∠ABC,∴.∠ACD= ∠PCD,∠ABG=∠QBG.由题意，得 ∠ADC=∠PDC=90°，∠AGB= ∠QGB=90°.∴.∠CAP=∠P, ∠BAG=∠Q.∴.AC=PC=8, AB=QB=9.又BC=7,∴.PQ= QB+PC-BC=9+8-7=10. .AC=PC,CD平分∠ACP,.D 是AP的中点.同理，可得G是AQ的 中点.∴.DG是△APQ的中位线. DG=2 PQ=5. Q B D (第5题) 6.如图，分别延长CE,CD,交AB于 点G,H. ∠ACB=90°，AB=13,BC=5, ∴.在Rt△APC中，AC=VWAB-BC= √132-5=12. .AD平分∠BAC,∠ADC=90°， ∴.AC=AH=12,CD=HD 同理，可得BC=BG=5,CE=GE. 又，AH+BG-AB=GH, ∴.GH=12+5-13=4, CE=GE,CD=HD, DE=2GH=号×4=2 HB (第6题) 7.C解析：如图，取AC的中点N, 连接MN,BN.∴.AN=CN= 7AC=2.:∠BAN=90,AB=3, ∴.BN=√AB2+AN=V32+2 I3.M为AP的中点，N为AC 的中点，MN=号PC=1 :BM≥BN-MN,∴.BM≥√I3 1..BM长的最小值为√3-1. (第7题) 8.如图，取AB的中点D,连接 MD,ND. AE=1,CA=CB,CE=CF, '.易得BF=AE=1. ·M,N分别为AF,BE的中点， ∴.DM为△ABF的中位线，DN为 △ABE的中位线 :DM=BF=,DM∥BF, DN-TAE-T.DN/AE. AE⊥BF, ∴.DM⊥DN. ∴.△DMN为等腰直角三角形 ·易得MIN=VDM+DN-E 2 N (第8题) 9.如图，连接AC,取AC的中点G, 连接FG,EG. ,E,F分别是AB,CD的中点， ∴.FG是△ADC的中位线，GE是 △ABC的中位线， FG//AD.EG/BC,FG-AD- 1.5,6E=7BC=2 ∴.∠FGC=∠DAC,∠AEG=∠B. ,∠CGE=∠GAE+∠AEG, ∴.∠FGC+∠CGE=∠DAC+ ∠GAE+∠AEG. ∴.∠FGE=∠BAD+∠B=9O°. ∴.EF=√FG2+EG=2.5. F D -G E (第9题) 21.3特殊的平行四边形 第1课时矩形的性质 1.D2.2√5 3.(1)A(8,0),C(0,4). (2)设t秒后，P,Q两点与原，点的距 离相等。 .'CP=t,OQ=2t. 0C=4, .∴.OP=4-t. 由题意，得OP=OQ, ..4-t=2t. = “专秒后，P,Q两点与原点的距离 相等 (3)不发生变化. 24 理由：如图，连接OB 1 :S▣边0pQ=S△OpB十S△0aB=2 1 (4-1)·8+2·21·4=16-4+ 4t=16, '.四边形OPBQ的面积不发生 变化. C 0 A (第3题) 4.C解析：，四边形ABCD为矩 形，.∠ABC=∠BAD=90°.在 Rt△BCE中，，F为斜边CE的 1 中点，BF=2CE=5.BG= BF=5.在Rt△ABG中，AB=4, BG=5,由勾股定理，得AG= √/BG2-AB2=3. 5.D解析：由题意，得OE=BF=4. .E(4,0).四边形OABC为矩形， A(9,0),C(0,3),∴.易得B(9,3), F(5,3).在Rt△AOC中，由勾股定 理，得AC=√OC+OA严= √32+9=3√I0.又：易得EF= √(5-4)2+32=√/10，∴.AC· EF=3√/10×√10=30. 6.5解析：如图，连接BD,BF,在矩 形ABCD中，AB=8,AD=6, ∴.BD=√AB十AD=10.:G为 BE的中点，H为EF的中点， ∴.BF=2GH..当BF的长最大 时，GH的长最大.F在边CD上， ∴.当点F与点D重合时，BF的长取 得最大值，为10.∴.GH长的最大值 是5. B (第6题)拔尖特训·数学（人教版）八年级下 专题特训五 构 类型一直接利用中点构造中位线 1.如图，在四边形ABCD中.AC⊥BC,AD∥ BC,BD为∠ABC的平分线，BC=6,AC= 8.若E,F分别是BD,AC的中点，则EF的 长为 ( A.2 B.3 E C.4 D.5 (第1题)》 2.如图，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别 为边AB,BC,CD,DA的中点 (1)求证：四边形EGH是平行四边形 (2)若四边形ABCD的对角线互相垂直，且 它们长度的乘积为48，求四边形EFGH的 面积. B (第2题) 46 造中位线解题 ●“答案与解析”见P23 3.如图，B为线段AC上任意一点，F为线段 AC的中点，分别以AB,BC为边向AC的同 侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE, M,N分别为AD,CE的中点，连接FM, FN. (1)当点B在AC上运动时. ①求证：FM=FN. ②求∠MFN的度数. (2)若AB=4,BC=6,求FM的长. BF (第3题) 类型二倍长图形的边构造中位线 4.如图，正方形ABCD、正方形AEFG 的边长分别为4,1，将正方形AEFG 绕点A旋转，连接DF,M是DF的 中点，连接CM,则线段CM长的最大值为 B (第4题) 类型三与角平分线结合构造中位线 5.如图，在△ABC中，CF,BE分别平分 ∠ACB和∠ABC,过点A作AD⊥ CF,交CF的延长线于点D,作 AG⊥BE,交BE的延长线于点G,连接DG. 若AB=9,AC=8,BC=7,则DG的长为 D (第5题) A.5.5B.5 C.6 D.6.5 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 13,BC=5,AD,BE分别平分∠BAC, ∠ABC,∠ADC=∠BEC=90°，连接DE,求 DE的长 (第6题) 类型四巧取中点构造中位线 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AB=3,AC=4,平面上有一点 P,连接AP,CP,且PC=2,取AP 的中点M,连接BM,则BM长的最小值为 ( A.10 & C.√13-1 (第7题) D.23 第二十一章四边形 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB,E, F分别为CA,CB上的点，且CE=CF,M, N分别为AF,BE的中点.若AE=1,求 MN的长. B (第8题) 9.(2025·南京期中)如图，在四边形ABCD 中，E,F分别是AB,CD的中点，连接EF. 若∠A+∠B=90°，AD=3,BC=4,求EF 的长 (第9题) 47