21.1 四边形及多边形-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第二十一章四边形 21.1四边形及多边形 ◆“答案与解析”见P15 ☑基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·商丘睢阳期末)若一个多边形的外角 5.要使八边形木架不变形，至少要钉上木条 和与它的内角和相等，则这个多边形是( () A.三角形B.五边形C.四边形D.六边形 A.4根B.5根C.6根D.7根 2.(2025·泉州鲤城期中)如图，从三角形纸片6.如图，在七边形ABCDEFG中，AB,ED的 ABC中剪去△CDE,得到四边形ABDE.如 延长线交于点O.若∠1，∠2，∠3，∠4的邻补 果∠1+∠2=240°，那么∠C的度数为( 角的和等于215°，则∠BOD的度数为() 0 (第2题) A.40°B.60° C.50° D.55° (第6题) A.20° B.35 3.如图，BC∥DE,∠3=85°，则∠1+∠2+ C.40° D.45° ∠3十∠4的度数是 7.(2025·淄博张店段考)若一个多边形截去一 个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边 数可能为 () A.14或15 B.13或14 (第3题) C.13或14或15 D.14或15或16 4.(2025·安阳期末)如图，在四边形ABCD 8.把正三角形、正方形、正五边形按如图所示的 中，∠ACD与∠CDB的平分线相交于P,且 方式摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3的度 ∠A=70°，∠B=80°，求∠P的度数， 数为 )120 (第4题) 1050 A (第8题) (第9题) 9.如图，∠A+∠B+∠C+∠D的度 数为 10.新考法规律探究如图，三角形的对角线有 0条，四边形的对角线有2条，五边形的对 角线有5条，六边形的对角线有9条. (1)十边形的对角线有多少条？ (2)n边形(n为不小于3的整数)的对角线 36 第二十一章四边形 有多少条（用含n的代数式表示）？ 箭思维拓展 12.(2025·抚顺新宾期末)在四边形ABCD 中，∠A=100°，∠B=120°，E,F分别是边 (第10题) AD,BC上的点，P是一动点，连接PE, PF,记∠PED=∠1，∠PFC=∠2， ∠EPF=∠a. 初探： (1)如图①，若点P在线段CD上运动，试 探究∠1+∠2与∠α之间的关系，并说明 理由. 11.小明对几何推理问题的证明很感 再探： 兴趣，他从五个角均相等的五角星 (2)如图②，若点P在线段DC的延长线上 开始探究 运动，试探究∠1，∠2，∠a之间的关系，并 (1)他画出了如图①所示的五角星，并利用 说明理由， 所学的知识很快得出每个角的度数，此度数 (3)若点P运动到四边形ABCD的内部， 为 在备用图中画出此时的图形，并直接写出此 (2)如图②，小明改变了这五个角的度数， 时∠1，∠2，∠a之间的关系： 使它们均不相等，小明发现∠A,∠B,∠C, ∠D,∠E的和是一个定值并进行了证明， 请你猜想出结果并加以证明， (3)如图③，小明将点A落在BE上，点C 落在BD上，则∠CAD,∠B,∠ACE,∠D, ∠E之间存在怎样的数量关系？请直接写 出结果 备用图 (第12题) (第11题) 37又CO=CO,'.△CBO2△CEO. .BO=EO.BE=3,∴.BO= EO=1.5.∠BCO=30°，∠COB= 90,0B=2BC.C=3 .∠CBD=90°，∠DCB=30°， ·BD=2CD.设BD=x,则CD 2x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BD2+BC2=CD2,即x2+32= (2x)2,解得x=√或x=一√5（不合 题意，舍去)..2x=2√3，即CD的 长为25. 4455智 6.(1):四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC=CD=DA,∠BAD= ∠B=∠C=∠D=90°. 由折叠的性质可知，AD=AM,CF DF=MF=号cD=2,∠D ∠AMF=90°，∠DAF=∠MAF, .AB=AM,∠AMP=90°. 又.AP=AP, ,.Rt△ABP≌Rt△AMP .∠BAP=∠MAP,BP=MP. .∠PAF=∠MAP+∠MAF= ∠BAM+Z∠DM=7∠BAD 1 45. 设BP=x,则PC=4-x,PF= PM+MF=x+2. ,.在Rt△PCF中，CF2+PC2= PF2,即2+(4-x)2=(x+2)2,解 得 BP的长为3 4 (2)由折叠的性质可知，AM=AB= 6,6≠8， .AM≠AD. 如图①，若AM=DM,则易得点M在 AD的垂直平分线上. 过点M作EF⊥AD于点E,交BC于 点F,则易得EF⊥BC :易得AE=2AD=4 '.在Rt△EMA中，由勾股定理，得 EM=√JAM2-AE2=2√5」 易知EF=AB=6,AE=BF=4. ∴.MF=EF-EM=6-25. 设BP=a,则PM=a,PF=4-a. 在Rt△PMF中，由勾股定理，得 PM=PF2+MF2,即a2=(4 a)2+(6-2√5)2，解得a=9-35. '.BP的长为9一3W5」 如图②，若AD=DM,过点M作 EF⊥AD于点E,交BC于点F,则易 得EF⊥BC 在Rt△AME和Rt△MDE中，由勾 股定理，得EM2=AM-AE, EM2=DM2-DE2, .AM-AE2=DM-(AD-AE)2. ∴.62-AE2=82-(8-AE)2,解得 AE-4 9 ·EM=VAM-AE-3 4 9 易知EF=AB=6,AE=BF= ·MF=EF-EM=6-3V质 4 设BP=y,则PM=y,PF=9 4 在Rt△PMF中，由勾股定理，得 PM=PF2+MF2,即y2= (-)°+(634)》 ,解得y= 4 16-2√55， ∴.BP的长为16-2√55 综上所述，BP的长为9-3√5或16 2√55. ① 15 M BPF ② (第6题) 第二十一章 四边形 21.1四边形及多边形 1.C2.B3.265 4.∠ACD与∠CDB的平分线相 交于点P, :∠PCD=2 ∠ACD,∠PDC= ∠CDB. ∴.∠P=180°-∠PCD-∠PDC= 180°- 2 ∠ACD- ∠CDB= 1 180°- 2 ·(∠ACD+∠CDB)= 180°- 1 (360°-∠A-∠B)= 180°7X(360°=70°-80)=75. 5.B6.B 7.C解析：如图所示为n边形 A1A2A3…Am,N,M分别为边 A1A2,A2A3上的点.若沿着直线 A,A截去一个角，所得到的多边形 比原来的多边形的边数少1：若沿着 直线A,M截去一个角，所得到的多 边形与原来的多边形的边数相等：若 沿着直线MN截去一个角，所得到的 多边形比原来的多边形的边数多1. 因此将一个多边形截去一个角后，变 成十四边形，则原来的多边形的边数 可能为13或14或15. (第7题) 8.32 9.225解析：如图，连接AD,BC. 在四边形ABCD中，∠DAB十 ∠ABC+∠BCD+∠CDA=360. :∠DEA+∠EAD+∠ADE= 180°，∠DEA=105,.∠EAD十 ∠ADE=180°-105°=75°. .∠CFB+∠FCB+∠FBC=180°， ∠CFB=120°，∴.∠FCB+∠FBC= 180°-120°=60°.∴.∠EAB+ ∠ABF+∠DCF+∠EDC=360° (∠EAD+∠ADE)-(∠FCB+ ∠FBC)=360°-75°-60°=225. D h05E 4 (第9题) 10.1)10Xg0-3》=35(条). 2 ∴.十边形的对角线有35条. (2n边形的对角线有”，3》条 2 11.(1)36 (2)∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180. 如图，：∠1=∠A十∠C,∠2= ∠B+∠D,∠1+∠2+∠E=180°， ∴.∠A+∠C+∠B+∠D+∠E= 180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+ ∠E=180° (3)∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+ ∠E=180. R D (第11题) 12.(1)∠1+∠2=40°+∠a 理由：由题意知，∠A十∠B+(180°一 ∠2)+∠a+(180°-∠1)=540°. .∠A=100°，∠B=120, ∴.∠1+∠2=40°+∠a. (2)∠1-∠2=∠a+40° 理由：如图①，记PE与BC的交点 为H. 由题意知，∠BHE=∠2十∠a. :∠A+∠B+∠BHE+(180° ∠1)=360°， ∴.100°+120°+∠2+∠a+(180° ∠1)=360°，即∠1-∠2=∠a+40 (3)如图②所示。 ∠1+∠2=40°+∠a. B E H ① A E ② (第12题) 21.2平行四边形 第1课时平行四边形及其性质 1.B2.C 3.9解析：：四边形ABCD是平 行四边形，.OB=OD,AB=CD, AD=BC.□ABCD的周长为18， ∴.AB+AD=9.OE⊥BD,.OE 是线段BD的垂直平分线.∴.BE= ED.∴.△ABE的周长=AB+BE+ AE=AB+ED+AE-AB+AD-9. 4.(1).四边形ABCD是平行四 边形， '.AD∥BC,AD=BC. ∴.∠EAD=∠AEB. 又AB=AE, ∴.∠B=∠AEB. ∴.∠B=∠EAD. '.△ABC≌△EAD (2)由(1)知，∠B=∠AEB. ∠B=65°， 16 '.∠BAE=180°-65°-65°=50° '.∠BAC=∠BAE+∠EAC=50°+ 25°=75. :△ABC≌△EAD, .∠BAC=∠AED=75. 5.C解析：①，四边形ABCD是 平行四边形，且AB=6,AD=9, .CD=AB=6,BC=AD=9,AD/ BC,AB∥CD.∴.∠DAE=∠BEA. AE平分∠BAD,.∠BAE= ∠DAE..∠BAE=∠BEA. .EB=AB=6...CE=BC-EB= 9-6=3.同理，可证CF=CD=6. .BF=BC-CF=9-6=3. ∴.BF=CE.故①正确.②.AB∥ CD,.∠BAD+∠ADC=180, AE平分∠BAD,DF平分 ∠ADC,&∠OAD=∠BAD, ∠ODA=2∠ADC.·∠OAD+ ∠ODA=2(ZBAD+∠ADC)= 90°.在△OAD中，∠AOD=180° (∠OAD+∠ODA)=90°..AE⊥ DF.故②正确.③.AB∥CD, .S△ADF=S△DAB..S△AOF+ S△OAD=S△OE+S△OAD..S△AOF= S△or.故③正确.④：BF=CE=3, BC=9,..EF=BC-(BF+CE)= 9-(3十3)=3.故④错误.综上所述， 正确的有①②③，共3个 6.B解析：：☐ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,.BO=DO, AO=CO..AB⊥AC,.∠BAC= 90°.AB=2,∠ACB=30°， .'BC 2AB 4..AC √BC-AB=√4-22=2√3. A0=2A=5.B0= √AB2+A02=√22+(3)2=√7. .BD=2BO=27. 7.B解析：四边形ABCD是平行