20.2 勾股定理的逆定理及其应用-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级下 20.2勾股定理的 第1课时勾股 白基础进阶 1.(2025·重庆渝北期中)下列各组数中，属于 勾股数的是 () A.1,2,3B.4,5,6C.6,8,10D.8,15,16 2.(2025·东方期末)五根木棒的长度（单位： cm)分别为5,9,12,15,17.从其中选出三根 将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直 角三角形的是 A.5,9,12 B.5,15,17 C.12,15,17 D.9,12,15 3.(2024·北京西城期中)如图，网格内每个小 正方形的边长都是1个单位长度，点A,B, C,D都在格点（网格线的交点）上，AB与 CD相交于点P,则∠BPD的度数为 (第3题) 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,BD 9,BC=15,AC=20. (1)求CD的长， (2)求AB的长， (3)判断△ABC的形状. (第4题) 26 逆定理及其应用 定理的逆定理 >“答案与解析”见P10 幻素能攀升 5.如图，在△ABC中，AB=5,BC=4,AC=3, I为△ABC各内角平分线的交点，过点I作 AB的垂线，垂足为H,则IH的长为() A.1 B.2 C.2 (第5题) D.2 6.★(2025·南阳内乡期末)在△ABC中，∠A, ∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,下列说法 错误的是 ( ) A.如果a:b:c=7:24:25,那么∠C=90 B.如果∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么 △ABC是直角三角形 C.如果a,b,c分别为6,8,10，那么a,b,c 是一组勾股数 D.如果∠A-∠B=∠C,那么△ABC是直 角三角形 7.如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的 正方形)中，以AB为一边作直角三角形 ABC,要求顶点C在格点上，则图中不符合 条件的点是 C4 +C B (第7题) A.CI B.C2 C.Ca D.C 8.(2025·扬州)清代数学家罗士琳痴迷于勾股 定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法 则”.该法则的提出，不仅简化了勾股数的生 成过程，也体现了我国传统数学在数论领域 的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数： ①3,4,5：②5,12,13；③7,24,25；④9,40， 41…根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 9.如图，在四边形ABCD中，∠ABC 90°，AB=3,BC=4,CD=5,AD= 5√2，则BD的长为 (第9题) 10.发现：如果两个连续的正整数的和可以表示 成某一个正整数的平方，那么以这三个正整 数为边长的三角形是直角三角形 验证：如12+13=25=52，请判断以12,13， 5为边长的三角形是直角三角形， 探究：设两个连续的正整数m和m+1的和 可以表示成正整数n的平方，请证明“发现” 中的结论. 应用：寻找一组含正整数9，且满足“发现” 中的结论的数. 第二十章勾股定理 1.如图，在四边形ABCD中，∠DAB 30°，E为AB的中点，DE⊥AB于 点E,DE=3,BC=2,CD= 4.求： (1)∠ABC的度数， (2)CE的长. D E (第11题) 物思维拓展 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB 90°，CD⊥AB于点D,设AC=b BC=a,AB=c,CD=h(a,b,c,h 均大于0)： (1)求证：a+b<c+h. (2)判断以a十b,h,c十h为边长的三角形 的形状，并说明理由. A (第12题) 27 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 第2课时 勾股定理 自基础进阶 1.(2025·宣城宁国期中)如图，将一根长18cm 的木棒置于底面直径为12cm,高为9cm的 圆柱水杯中.若木棒露在水杯外部的长度为 hcm,则h的取值范围是 ( A.h≤9 B.3≤h≤9 C.4≤h≤9 D.5≤h≤9 (第1题)》 (第2题) 2.(2025·西安期中)如图，某茅屋的屋顶剖面 呈等腰三角形，如果屋檐AB=AC=10米， 横梁BC=16米，那么从梁BC上的任意 点D(不与点B,C重合)支一根木头顶住屋 顶A处（连接处的损耗不计），这根木头的长 度可能是 () A.5米B.12米C.8米D.16米 3.现有两根铁棒，它们的长分别为2m和3m. 如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根 铁棒的长为 m. 4.小明计划制作一架小型飞机模型，如图所示 的四边形材料是飞机的垂直尾翼，小明测量 后发现AB=13cm,AD=5cm,∠DBC= 90°，BC=16cm,CD=20cm.根据设计要求 需保证AD∥BC.请判断该尾翼是否符合设 计要求，并说明理由， (第4题) 28 及其逆定理的应用 “答案与解析”见P11 素能攀升 5.(2025·邵阳新邵期中)一艘轮船以16海里 时的速度离开港口O(如图)，向北偏东40°方 向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速 度向北偏西某一角度的方向航行，已知它们 离开港口1.5小时后相距30海里（即BA= 30海里)，则另一艘轮船航行的方向是北 偏西 A.40° B.45° C.50°D.55 北 D 0 东 B (第5题) (第6题) 6.如图，有A,B,C,D四个城镇(A,D,C三个 城镇在同一条直线上)，它们之间（除B,C两 个城镇外)都有笔直的公路连接，公共汽车行 驶于城镇之间，其票价与路程成正比.已知各 城镇之间的公共汽车票价为A-B:10元； A-C:12.5元；A-D:8元；B-D:6元；CD: 4.5元.为了使B,C两个城镇之间的交通更 为便捷，有关部门打算在它们之间建设笔直 的公路，则按上述标准，B,C两个城镇之间 的公共汽车票价为 元 7.(2025·开封祥符期末)如图，A,B两块试验 田相距200m,C为水源地，AC=160m, BC=120m,为了方便灌溉，现有两种修筑水 渠的方案 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别 到A,B; 乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H,先 从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上 的H处，再从H处分别向A,B两块试验田 进行修筑. (1)请判断△ABC的形状（要求写出推理 过程). (2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较 短？请通过计算说明 (第7题) 8.(2025·惠州惠阳期中)在△ABC中，BC= m-n(m>n>0),AC=2/mn ,AB=m+n. (1)求证：△ABC是直角三角形 (2)当∠A=30时，求m,n满足的关系式 第二十章勾股定理 舒思维拓展 9.设a,b,c是一个三角形三条边的 长，且a是最长边的长，我们可以利 用a,b,c之间的关系来判断这个三 角形的形状：①若a2=b2十c2,则该三角形 是直角三角形；②若a>b2十c2,则该三角 形是钝角三角形；③若a2<b2十c2,则该三 角形是锐角三角形.例如：若一个三角形的三 边长分别是4,5,6，则最长边的长是6，由于 62=36<4+52,故由上面③可知，该三角形 是锐角三角形.请根据上述内容，解答下列 问题 (1)若一个三角形的三边长分别是6,7,8，则 该三角形是 三角形 (2)若一个三角形的三边长分别是5,12，x, 且这个三角形是直角三角形，则x的值为 (3)若一个三角形的三边长分别是m2一n2, 2mn,m2十n2,请判断这个三角形的形状，并 说明理由， 29.'AE=12 m,OM=OF+FM= 15m. 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 OA=√/AE2+OE2=13m .易得ON=OA=13m ∴.MN=OM-ON=15-13=2(m). ∴.机器人在荡绳索的过程中，最低点 离地面的高度MN是2m. B (第10题) 方法归纳 运用勾股定理解决实际 问题的步骤 (1)从实际问题中抽象出几何 图形 (2)确定要求的线段所在的直 角三角形 (3)找准直角边和斜边 (4)根据勾股定理建立等量关 系求得结果 20.2勾股定理的逆定理 及其应用 第1课时勾股定理的逆定理 1.C2.D3.135 4.(1)在△BCD中，CD⊥AB, .BD2+CD2=BC2. .CD2=BC2-BD2=152-92 144. .CD=12. (2)在△ACD中，CD⊥AB, .∴.CD2+AD2=AC2」 ∴.AD2=AC2-CD2=202-122= 256. .AD=16. .AB=AD+BD=16+9=25. (3):BC2+AC2=152+202=625, AB2=252=625, .AB2=BC2+AC2 ..△ABC是直角三角形 5.A解析：如图，过点I作IE⊥ AC,垂足为E,过点I作ID⊥BC,垂 足为D,连接CI,AI,BL.I为 △ABC各内角平分线的交点，ID⊥ BC,IE⊥AC,IH⊥AB,∴.IE= IH=ID..AB=5,BC=4,AC=3, .AC2+BC2=32+4=25,AB2= 5=25.∴.AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形，∠ACB= 90°.，△ABC的面积=△ACI的面 积+△BCI的面积+△ABI的面积， 令AC·BC=号AC·E+ 2BC·D+合AB·H.AC· BC=AC·IE+BC·ID+AB· IH.∴.3×4=3IE+4ID+5IH. .IH=1. E/D A (第5题) 6.B解析：A.a:b:c=7: 24:25,.设a=7k,b=24k,c=25k (k>0..a2+b2=(7k)2+ (24k)2=625k2,c2=(25k)2=625k2, .a2+b2=c2..∠C=90°.故选项 A正确，不符合题意.B.∠A ∠B:∠C=3：4:5,∠A+∠B+ ∠C=180°，.∠C=180°× 3+4+5=75”△ABC不是直角 5 三角形.故选项B错误，符合题意 C.:a,b,c分别为6,8,10，∴.a2+ b2=c2.又a,b,c都是正整数， .a,b,c是一组勾股数.故选项C正 确，不符合题意.D.∠A一∠B= ∠C,∴.∠B+∠C=∠A.又.∠A+ ∠B+∠C=180°，∴.2∠A=180°. .∠A=90°.∴.△ABC是直角三角 10 形.故选项D正确，不符合题意， 一方法归纳 判断直角三角形的方法 (1)利用定义：如果已知条件 与角度有关，那么可利用三角形的 内角和定理判断，看能否得出其中 一个角的度数为90°. (2)若已知条件与边有关，则 可通过计算得出三边的数量关系， 看是否符合较短两边的平方和等 于最长边的平方， 7.D 8.11,60,61解析：通过观察得，第 ①组勾股数分别为2×1+1=3,2× 1+2×1=4,2×12+2×1+1=5:第 ②组勾股数分别为2×2+1=5,2× 22+2×2=12,2×22+2×2+1=13: 第③组勾股数分别为2×3十1=7， 2×32+2×3=24,2×32+2×3+1= 25;第④组勾股数为2×4十1=9,2× 4+2×4=40,2×4+2×4+1=41: 所以第⑤组勾股数为2×5十1=11， 2X52+2×5=60,2×52+2X5+ 1=61. 9.√65解析：如图，过点D作 DM⊥BC,交BC的延长线于点M,则 ∠M=90°.，∴.∠DCM+∠CDM= 90°..∠ABC=90°，AB=3,BC=4, .AC2=AB2+BC2=25..'.AC= 5.AD=5V2,CD=5,.AC2+ CD2=AD2,AC=CD..△ACD是 等腰直角三角形，∠ACD=90 .∴.∠ACB+∠DM=90..∴.∠ACB= ∠CDM.在△ABC和△CMD中， ∠ABC=∠M=90°， ∠ACB=∠CDM,∴.△ABC≌ AC=CD, △CMD...AB=CM=3,BC= MD=4..BM=BC+CM=7. ∠M=90°，∴.在Rt△BDM中， BD=√BMP+MD'=√7+4'= √65 .M (第9题) 10.验证：52+122=169,132= 169 .52+122=132. ∴.以12,13,5为边长的三角形是直 角三角形 探究：由题意，得m十m十1=n2,即 n2=2m+1. .m2+n2=m2+2m+1=(m+1)2. ∴.以n,m,m十1为边长的三角形是 直角三角形. .“发现”中的结论正确 应用：40十41=92， .92+402=1681,412=1681. .92+402=412 .以9,40,41为边长的三角形是直 角三角形. 11.(1)如图，连接BD. .E为AB的中点，DE⊥AB .'BD=AD,AE=BE. ∠DAB=30,DE=3 .∠DBE=∠DAB=30°，BD= AD=2DE-23. ∴.AE=BE=√(25)2-(W5)2=3. BC2+BD2=22+(2√5)2= 16=CD2, .△BCD是直角三角形，∠CBD= 90. ∴.∠ABC=∠ABD+∠CBD= 30°+90°=120° (2)如图，过点C作CF⊥AB,交AB 的延长线于点F,则∠BFC=90. 由(1)，可得∠CBF=180°-∠ABC= 60° ∠BFC=90°， .'.∠BCF=30° :.BF=2BC=1 .EF=BE+BF=4. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得 CF=√BC”-BF=√5 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CE=√EF2+CF=√4+(W3)2= √19 (第11题) 12.(1)SAI=2ab=2ch, ∴.ab=ch :在Rt△ABC中，∠ACB=90°， .a2+b2=c2. 又，c2<c2十h2, ∴.a2+b2<c2+h2. '.ab=ch, .a2+b2+2ab<c2+h2+2ch. ∴.(a+b)2<(c+h)2. a,b,c,h均大于0， .∴.a+b<c+h. (2)以a十b,h,c十h为边长的三角形 是直角三角形 理由：(c+h)2=c2+2ch+h2, h2+(a+b)2=h2+a2+2ab+b2, a2+62=c2,ab=ch, .∴.c2+2ch+h2=h2+a2+2ab+b2 ∴.(c+h)2=h2+(a+b)2 ∴.以a十b,h,c十h为边长的三角形 是直角三角形 第2课时勾股定理及其 逆定理的应用 1.B解析：如图，连接AC.由题意， 得AC=12cm,BC=9cm,在 Rt△ACB中，由勾股定理，得AB= √⑨+12=15(cm),此时木棒露在 水杯外部的长度最短，为18一15 11 3(cm).由题意，知当木棒竖直放置 时，木棒露在水杯外部的长度最长，为 18-9=9(cm)..3h9. A长---------C (第1题) 2.C解析：如图，过点A作AH⊥ BC于点H..AB=AC=10米， BC=16米，BH=号BC=8米.在 Rt△ABH中，AH= NAB2-BH2=6米..AH≤ AD<AC,∴.只有C选项符合题意. HD (第2题) 3.√13或5 4.该尾翼符合设计要求 理由：∠DBC=90,BC=16cm, CD=20 cm, ∴.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BD=√CD2-BC=√202-162= 12(cm). .·在△ABD中，AB=13cm,AD= 5 cm, ∴.AD2+BD2=AB. '.△ABD是直角三角形，且 ∠ADB=90. ∴.∠ADB=∠DBC. .AD//BC. ∴.该尾翼符合设计要求 5.C解析：由题意，得OA=16× 1.5=24(海里)，OB=12×1.5= 18(海里).·AB=30海里，.易得 OA2+OB2=AB2...AOB=90. ∴.90°一40°=50°..另一艘轮船航行 的方向是北偏西50°. 6.7.5 7.(1)△ABC是直角三角形 AC =160 m,BC =120 m,AB= 200m,1602+120=40000=2002, .AC2+BC2=AB2. .△ABC是直角三角形， ∠ACB=90°. (2)甲方案所修的水渠较短 :△ABC是直角三角形，CH⊥AB, ·△ABC的面积=2AB·CH= AC·C :.CH AC.BC 160X120 AB 200 96(m). .·AC+BC=160+120=280(m), CH+AH+BH=CH+AB=96+ 200=296(m),280296, .AC+BC<CH+AH+BH. .甲方案所修的水渠较短 8.(1)BC=m-n(m>n>0), AC=2√m,AB=m+n, ∴.BC2+AC2=(m-n)2+4m= m2+n2-21+42=m2+n2+ 2m=(m十n)2=AB2. ∴.△ABC是直角三角形，且∠C= 90° (2),△ABC是直角三角形，∠C= 90°，∠A=30°， …器 ∴.m=3n. 9.(1)锐角 (2)13或√119.解析：一个三角 形的三边长分别是5,12，x,且这个三 角形是直角三角形，∴.x2=52+12 或122=52+x2..x=13或x= √19（负值已舍去）..x的值为13 或√19. (3)这个三角形是直角三角形 理由：·(m2一n2)2十(2m)2=m4 2m2n2+n+4m2n2=m+2m2n2+ n4=(m2+n2)2, .这个三角形是直角三角形 专题特训三利用勾股 定理解决折叠问题 1.6 2.(1)A(0,9). (2)DA⊥y轴，DC⊥x轴， ∠AOC=90°，点D的坐标为(15,9)， .AD =OC =15,0A=CD=9, ∠OCD=90. :将△AED沿直线DE折叠，点A 落在OC上的点F处， ∴.AE=EF,DF=AD=15. ∴.CF=√DF2-CD= √15-9=12. .OF=OC-CF=15-12=3. 设AE=x,则EF=x,OE=9-x. 在Rt△OEF中，由勾股定理，得 OE2+OF2=EF2,即(9一x)2+32= x2,解得x=5. .AE=5. 3.C解析：·将此长方形折叠，使 点D与点B重合，∴BE=ED AD=AE DE AE+BE, .BE=AD-AE.在Rt△ABE中， 根据勾股定理，可知AB2十AE2= BE2.AE=x cm.AD=9 cm, .BE=(9-x)cm.又，AB=3cm, .3十x2=(9-x)2,解得x=4. .AE=4cm.∴.△ABE的面积为 X3X4=6(cm2). 1 4.10解析：由题意，得AD'=AD= BC=4.易证△AFD'≌△CFB, .DF=BF.设D'F=x,则BF= x.∴.AF=8-x.在Rt△AFD中，由 勾股定理，得AF2=D'F2+AD2, .(8-x)2=x2+4,解得x=3. ∴.AF=8-3=5..S△AC= 号AF:c-2×5X4=10 12 5.如图，连接GD 由题意可知，DF=DC=DA, ∠DFE=∠C=90°， ∴.∠DFG=∠A=90° 又DG=DG, ,∴.Rt△ADG≌Rt△FDG. ∴.AG=FG .·BC=12,BE=EC, ∴.BE=EC=EF=6. 设AG=FG=x,则EG=x+6,BG= 12-x. 在Rt△GBE中，由勾股定理，得 EG2=BE2+BG2, '.(x+6)2=6+(12一x)2,解得 x=4. '.AG=GF=4,BG=8,EG=10. ∴.△BEG的周长为BE+EG+ GB=6+10+8=24. D (第5题) 专题特训四利用勾股 定理求最短路径 1.C 2.C解析：如图，将圆柱的侧面沿点 A所在的竖直直线展开，连接AP,即 最短路程是AP的长.，'圆柱的底面 圆周长是16πcm,∴.易得AB= 8xcm.:BC=12xcm,P为BC的中 点BP-之BC=6rem由题意， 得∠ABP=90,∴.在Rt△ABP中， 由勾股定理，得AP=√AB+BP= √(8π)2+(6π)2=10x(cm). B (第2题)