19.1 二次根式及其性质+专题特训一 二次根式的非负性-【拔尖特训】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

第十九章二次根式 19.1二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 “答案与解析”见P1 白基础进阶 幻素能攀升 1.(2025·长沙浏阳期中)下列式子中，是二次 7.(2024·淮北期末)已知√3x-6+√6-3x十 根式的为 ( y=2024,则√2024xy的值为 () A.√aB.√a C.√-1D.2 A.2024√3 B.2024√2 2.(2025·连云港)若x+1在实数范围内有意 C.2024 D.2025 义，则x的取值范围是 8.若y=√4一x的最大值为m,最小值为n,则 A.x≤1B.x≥1C.x≤-1D.x≥-1 m+n= 3(2025·定西渭源期中)若，层是二次根式， 9.(2025·凉山改编)若式子m m一2在实数范 则a,b满足的条件是 ( 围内有意义，则的取值范围是 A.a,b均为非负数 B.a≥0，且b>0 10.(2025·重庆江津期中)若数a使关 c8>0 D.ab≥0，且b≠0 3x-32(1+x) 于x的不等式组 4.当x=1时，二次根式√10一x的值为 x0+2 5 有且只有四个整数解，且关于a的代数式 5.已知x,y为等腰三角形的两条边长，且x,y 1 满足y=√2一元十√3x一6十3，则该等腰三 一十√2一a有意义，则符合条件的所有整 角形的周长为 数a的和为 6.已知实数m,n满足等式m=√9+18n. 11.*已知2x-4与3x-1是a的平方根， (1)当m=6时，求n的值. √b-3与|c+2|互为相反数，d=√e-2十 (2)若m,n都是正整数，求n的最小值. √2-e-3有意义.求a+b+c+d+e的平 方根. 注：标“★的题目设有方法归纳”，标“易错题”的设有”易错警示”，详见“答案与解析” 第十九章二次根式 第2课时二次根式的性质 》“答案与解析”见PI 山基础进阶 幻素能攀升 1.下列计算中，正确的是 8.若x,y为实数，且y<√2一x十√x一2十3， AW(-3)严=-3B.√81=±9 则化简|3-y|-√y-8y+16的结果是 C.-√J25=-5 D.√一7=-7 () 2.(2025·鸟鲁木齐期中)若√3m是一个整数， A-3B.1 C.-11D.-1 则正整数m的最小值是 9.(2025·宁波北仑期中)实数a,b,c在数轴上 A.1 B.2 C.3 D.4 对应点的位置如图所示，化简（√a)2+ 3.(2025·惠州期中)W(8+k)=(√8+)2成 √(a-b-c)严-b-a的结果是() 立的条件是 () b 0 a (第9题) A.k>-8 B.k≥-8 A.a-2b-c B.c-a C.k≤-8 D.k<-8 C.-a+26+c D.a-c 4.已知√a2=1,(-2)2=b,则√(a+b)的 10.化简：（√3-a)2+√(a-3)= 值为 A.1 B.3 11.若(a)2=5w=√(-2)严，则a+b的值 C.1或3 D.-1或-3 为 5.如果一个三角形的三边长分别为3，a,7,那 12.计算： 么√(a-4)7-√(a-11)化简后的结果为 (1)√-(-√6)2. 6.如果√x3十3x2=x√x十3，那么x的取值范 围是 7.有这样一道题：“化简：a十√a2一2a+1”.甲 (2)2x8--3》+3/-. 同学给出如下解答过程：a+√a一2a十1= a+√(a-1)=a+a-1=2a-1.甲同学的 解答过程是否正确？若不正确，请你写出正 确的解答过程， (3)(-1)+(x-3)°+()- √(1-2)2. 3 拔尖特训·数学（人教版）八年级下 13.*已知a,b,c是△ABC的三边长，化简： 思维拓展 √(a+b+c)2-√(b+c-a)+ 15.新考法·新定义题(2025·重庆江津期中)我 √(c-b-a)2】 们知道，整式、分式、二次根式等都是代数 式，代数式是用基本运算符号连接起来的式 子，而当被除数是一个二次根式，除数是一 个整式时，求得的商就会出现类似的形 式，我们将形如治的式子称为根分式，例 如号 都是根分式.已知两个根分 式M=号与N=2-x+7 x-2 x-2 ，有下列 说法：①根分式M=号中x的取值范 x-2 围是x≥1且x≠2；②存在实数x,使 14.阅读材料，解答问题. N2一M=1;③存在两个无理数x,使得 化简：(1-3x)2-|1-x. M+N是一个整数.其中，正确的个数是 解：由路合条件1一≥0，得， () A.0 B.1 C.2 D.3 ∴.1-x>0. 16.已知x为实数且x+3x十1= ∴.原式=(1-3x)-(1-x)=1-3x-1十 0.求： x=-2x. 按照材料中的解法，试化简：√(x一3) (1)x+上的值 (√2-x)2. 2)2+ (-1)-2x+3- ,7的值 第十九章二次根式 专题特训一二次根式的非负性 》“答案与解析”见P2 类型一利用被开方数的非负性求解 类型二根据二次根式的值的非负性求解 1.(2024·潍坊期末)若√一2m+4有意义，则m 5.(2024·宜春期末)如果a+b+11+ 的取值范围是 √a-2b+4=0,那么(a十b)224的值为 A.m≤2 B.m≠2 C.m≥2 D.m>2 6.若实数a,b,c满足(a一√5)+√b-5+c 2.(2024·聊城期末)若y=√x-5+√5-x+ √5|=0，则abc的值为 3,则xy的值为 7.如果实数a,b满足a十√2b+4 A.-15B.-9 C.9 D.15 2a+1=0,那么b-a的值为 3.(2024·南充期末)若a,b满足 12025-a|-(b-2026)W2026-b= 类型三在代数式求值中的应用 2+27,则。2 8.已知-1<a<4,则化简√1十2a十a 的值为 √a2-8a+16的结果是 () A.4 B.8 A.-3B.3 C.2a-3D.3-2a C.2024 D.4048 9.*已知√3.x+y-之-8+√x+y-之= 4若a,b为实数，且b=Va-1+-a+a √x+y-2026+√2026-x-y,求(x-y) a+1 的值. √c=a十3，求ab十c的值. 5第十九章二次根式 19.1二次根式 及其性质 第1课时二次根式的概念 1.B2.D3.D4.3 5.7或8解析：要使y=√2-x十 √3x-6+3有意义，则2-x≥0且 3x一6≥0，解得x=2..y=3.当等 腰三角形的三边长为2,2,3时，符合 三角形的三边关系，此时三角形的周 长为2十2十3=7.当等腰三角形的三 边长为2,3,3时，符合三角形的三边 关系，此时三角形的周长为2十3十 3=8.综上所述，该等腰三角形的周长 为7或8 6.(1):m=√9+18=6， ∴.9+18m=36,解得n=1.5. (2),正整数m,n满足等式m= √9+18n=√/9(1+2)， ∴.易得当1+2n=9时，m,n都是正 整数，此时n最小，即n的最小值 为4. 7.B解析：根据题意，易得x=2, y=2024,..√/2024.xy= √/2024×2X2024=2024√2」 8.2 9.m≥1且m≠2解析：根据二次根 式有意义的条件及分式有意义的条件 m-1≥0， 可得 解得m≥1且m≠ {m一2≠0， 2.∴.m的取值范围是m≥1且 m≠2. 10.1解析：解不等式3.x一3< 2(1十x),得x<5.:关于x的不等 3.x-32(1+x), 式组 x≥大2 有且只有四 个整数解，0<0十2≤1，解得一2< 5 u≤：关于a的代数式。十 2一a有意义，∴.a≠1且2一a≥0， 解得a≤2且a≠1.综上所述，-2< a≤2且a≠1.∴.符合条件的所有整 数a的和为-1+0+2=1. 11.由题意，得2x-4十3x-1=0或 2.x一4=3.x-1,Wb-3+c+2=0. ∴.x=1或x=-3,b=3,c=-2. .3x-1=2或3x-1=-10. ∴.a=4或a=100. :d=√e-2+√2-e-3有意义， .∴.e-2≥0,2-e≥0. .e=2. .d=-3. .a+b+c+d+e=4+3+(-2)+ (-3)+2=4或a+b+c+d+e= 100+3+(-2)+(-3)+2=100. .∴.a+b+c+d+e的平方根是士2或 ±10. 一方法归纳 二次根式有意义的条件 若二次根式有意义，则被开方 数为非负数：若二次根式无意义， 则被开方数为负数.当所给式子为 单个二次根式时，列出不等式求 解：当所给式子为复合形式的式子 时，列出不等式组求解.如√a十 √一a有意义，则a=0. 第2课时二次根式的性质 1.C2.C3.B4.C5.2a-15 6.x≥0解析：√x3+3.x2= x√x十3，'.x≥0，x十3≥0，解得 x≥0. 7.不正确. a+√a2-2a+1=a+√(a-1)z= a+|a-1. 当a≥1时，原式=a+a-1=2a-1: 当a<1时，原式=a十1-a=1. 1 8.D9.D 10.6-2a解析：√3-a有意义， ∴.3-a≥0，即a≤3.∴.原式=3 a+a-3=3-a+3-a=6-2a. 11.3或7解析：(a)2=5, .a=5.:√6=√-2)=√4= 2,6=bl,∴.1b=2.∴b=±2. 当a=5,b=-2时，a十b=3:当a= 5,b=2时，a十b=7.综上所述，a+b 的值为3或7 12.(1)原式=-1. (2)原式=2. (3)原式=3一2， 13.,a,b,c是△ABC的三边长， .a+b+c>0,6+c>a;b+a>c. ..原式=|a+b+c一b+c-a十 c-(b+a)=a+b+c一(b+c- a)+(b+a-c)=a+b+c-b-c+ a+b+a-c=3a+b-c. 一方法归纳 运用√a2=a的注意点 运用√a=|a进行化简时， 其关键步骤是去绝对值符号，而去 绝对值符号的关键是判断绝对值 符号内的代数式的符号，因此一定 要先结合具体问题确定其符号，再 进行化简」 14.由隐含条件2-x≥0，得x≤2， .x-3<0. .原式=|x一3一(2一x)=一(x 3)-2+x=一x+3-2+x=1. 15.B解析：根据题意，得x-1≥0 且x一2≠0，解得x≥1且x≠2. .①正确.由N2一M=1,得 x2-5.x+7x-1 (x-2)2 (x-2)=1,解得x 2.经检验，x=2不是原分式方程的 解.∴原方程无解..不存在实数x 使N2一M形=1.∴.②不正确.根据题 意，得N十M=-5+7+ (.x-2)2 x-1 x2-4x+6 (x-2)2 (x-2)2 =1十 2 (2)·M+N2是一个整数， .(x一2)2=1或(x-2)2=2,解得 x=3或x=1或x=2十2或x=2- 2.x为无理数，且x一1≥0， ∴x=2十√2.∴③不正确.∴.正确 的有1个. 16.(1)x2+3x+1=0, .x≠0. x+3+=0. +1=-3. 4 2)√x+xD-2x+3- √22-2x+1+2+ 1 4 由(1)，知x+元 =-3, .x<0 -10<@ :原式=1-+己 4=1 1-x 1-2x十x2+5_x2-2x+6 1-x 1-x x2+3.x+1=0, .x2=-3x-1. 原式=3x-1-2x+6 1-x 5-5x 1-x =5. 专题特训一二次根式的 非负性 1.A2.D 3.A解析：依题意，得c=2027,b≤ 2026.∴.12025-a+(2026-b)· √2026-b=0.12025-a|≥0， (2026-b)√2026-b≥0，∴.2025- a=0,且2026-b=0.∴.a=2025, b=2026.c2a2_c+a)c-a) b b (2027+2025)×(2027-20252=4. 2026 1a2-1≥0， 4.由题意，得1-a2≥0，解得a=1. a+1≠0， 1 六6=2F=4 .c=土4 9 当c=4时，ab+c=2: 7 当c=一4时，ab十c=一 2 综上所述，山+c的值为号或-号 7 5.1 6.25解析：：（a-5)2+ √b-5+|c-5|=0,∴易得a 5=0,b-5=0,c-√5=0.∴.a= 5,b=5,c=√5.∴.abc=(W5)2X5= 25. 7.-3解析：a2+√2b+4 2a+1=0,∴.(a-1)2+√2b+4=0. (a-1)2≥0,2b+4≥0，.a 1=0,2b十4=0，解得a=1,b=-2. ∴.b-a=-2-1=-3. 8.C解析：-1<a<4,.原 式=√(a+1)-√(a-4)=|a+ 1|-a-4|=a+1+a-4=2a-3. x+y-2026≥0， 9.由题意，得 2026-x-y≥0， ..x+y=2026. ∴.√3.x十y--8+√x十y-z=0. 又√3x十y-g-80, √x+y-0, 2 3x+y-x-8=0, x=4, x十y-=0, 解得y=2022, x+y=2026, 2=2026. .(x-y)2=(2026-2022)2=16. ·方法制归纳 运用二次根式具有双重非负性 化简求值的一般方法 由a与√一a在同一题中，从 而确定a=0.这利用了√a中的a≥ 0的性质；由√m+√n=0得到 √m=0,且√n=0,这利用了√a≥ 0的性质. 19.2 二次根式的乘法与除法 第1课时二次根式的乘法 1.D 易错警示 二次根式乘法运算中的易错点 √a·√b=√ab,切忌混淆为 a5=√b. 2.A3.104.√2 5.-2≤x≤3 6.(1)原式=20√6. (2)原式=号而， 7.A解析：，√90=3√10， √800=20√2,180=65，.k= 3,m=2,n=5.∴.m<k<n. 8.D解析：4√2×√7+1=4√14+ 1.:4√14+1=√224+1,14.52= 210.25,15=225,.√210.25< √224<√225.∴.15.5<√224+ 116,即4√2×√7+1的值在15.5 到16之间. 9.D解析：x3y≥0，y<0, .x≤0..原式=|x|·√= 一xWxy 10.>