第六章 特殊平行四边形 题型突破 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第六章特殊平行四边形题型突破2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级下册（30题型） 题型1：利用菱形的性质求线段的长度 1.如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（　　） A．13 B．12 C．26 D．52 2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（　　） A．4 B．6 C．3 D．8 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC＝12，则线段CE的长为 　　． 题型2：利用菱形的性质求角的度数 1.如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2.如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 题型3：利用菱形的性质求周长 1.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 2.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（　　） A．16 B．24 C．28 D．32 3.中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，则菱形ABCD的周长为 　　cm． 题型4：利用菱形的性质求面积 1.已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（　　） A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2 2.如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（　　） A．96 B．48 C．24 D．12 3．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______． 题型5：利用菱形的性质证明 1.如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 2．已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 3.如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 题型6：添加一个条件证明菱形 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC平分∠DAB D．AC＝BD 题型7：菱形判定条件判断 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 2.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 题型8：菱形判定的证明 1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 2．如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 3．如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 题型9：菱形的判定与性质多结论问题 1．如图，将等边沿射线BC向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，在中，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（　　） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 题型10：菱形的判定与性质综合证明 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长． 3.如图：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE＝DF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积． 题型11：利用矩形的性质求线段的长度 1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（　　） A．6 B．8 C． D． 2．如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（    ） A． B．2 C． D．3 3.如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 题型12：利用矩形的性质求角的度数 1.如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2.如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 题型13：利用矩形的性质求面积 1．如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．18 C．12 D．15 2．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 3.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 题型14：直角三角形斜边上中线的性质 1.如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 2.如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 题型15：矩形与折叠问题 1.如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 2.如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 3.如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 题型6：利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 2.如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 3.在矩形ABCD中，E在BC的延长线上，连接DE，过点B作BF∥DE交DA的延长线于点F． （1）求证：BF＝DE； （2）连接AE，若AF＝1，AB＝2，AD＝，求证：AE平分∠DEB． 题型17：添加一个条件证明矩形 1.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD 2.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 3.如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 题型18：矩形判定条件判断 1.下列命题中正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 2.满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 3.如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 题型19：矩形判定的证明 1.已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 2.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 3.已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形． （2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形． 题型20：矩形的判定与性质综合证明 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 3.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 题型21：利用正方形的性质求线段的长度 1.一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　） A．4 B．2 C． D．2 3.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 题型22：利用正方形的性质求角的度数 1.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 2.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    题型23：利用正方形的性质求面积 1.如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 2.如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 题型24：正方形与折叠问题 1.如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ． 题型25：利用矩正方形的性质证明 1.如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形． 2.如图，是正方形对角线上的一点，且，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 3.如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 题型26：添加一个条件证明正方形 1.如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 2.如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 3.如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 题型27：正方形判定条件判断 1.下列命题中，是真命题的为（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 2.下列命题为真命题的个数有（   ） ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 题型28：正方形多结论问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型29：正方形判定的证明 1.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． （1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． （2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 3.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 题型30：正方形的判定与性质综合证明 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 3.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 【答案】 第六章特殊平行四边形题型突破2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级下册（30题型） 题型1：利用菱形的性质求线段的长度 1.如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（　　） A．13 B．12 C．26 D．52 【答案】A 2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线BD＝6，则菱形的边AB的长为（　　） A．4 B．6 C．3 D．8 【答案】B 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC＝12，则线段CE的长为 　　． 【答案】3． 题型2：利用菱形的性质求角的度数 1.如图，在菱形中，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 2.如图，在菱形中，与相交于点O，的垂直平分线交于点F，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 【答案】65 题型3：利用菱形的性质求周长 1.若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为（　　） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】D 2.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（　　） A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】D 3.中国结，象征着中华民族的历史文化与精致．小明家有一中国结挂饰，他想知道周长，利用所学知识抽象出如图所示的菱形ABCD，测得BD＝12cm，AC＝16cm，则菱形ABCD的周长为 　　cm． 【答案】40 题型4：利用菱形的性质求面积 1.已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（　　） A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2 【答案】B 2.如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（　　） A．96 B．48 C．24 D．12 【答案】C 3．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______． 【答案】 题型5：利用菱形的性质证明 1.如图，在菱形中，延长到点，连接并延长，交的延长线于点．．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在菱形中，， ， ， ， ． 2．已知：如图，在菱形中，，点E、F分别在上，是等边三角形，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，平分，． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3.如图，在菱形中，，垂足为，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：四边形是菱形， ， ，， ． ， ， ． 题型6：添加一个条件证明菱形 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB 【答案】C 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 【答案】D 3.如图，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，添加下列条件不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．AC平分∠DAB D．AC＝BD 【答案】D 题型7：菱形判定条件判断 1．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 2.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【答案】C． 3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．下列说法不能使平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC 【答案】C． 题型8：菱形判定的证明 1.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠AEB＝∠AFD，且BE＝DF．求证：四边形ABCD是菱形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（ASA）， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 2．如图，在中，点是对角线上的一点，，，垂足分别为点，且．求证：是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：，，垂足分别为点E、F，且， 点在的角平分线上， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． 3．如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 题型9：菱形的判定与性质多结论问题 1．如图，将等边沿射线BC向右平移到的位置，连接，则下列结论：①；②、互相平分；③四边形是菱形；④．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 2．如图，在菱形中，，为对角线的交点．将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，．对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等；④点到该八边形各边所在直线的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 3．如图，在中，，P是边上的动点（），将沿翻折得，射线与射线交于点E．下列说法正确的个数是（　　） （1）当时，； （2）当点落在上时，四边形是菱形； （3）在点P运动的过程中，线段的最小值为2； （4）连接，则四边形的面积始终等于． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 题型10：菱形的判定与性质综合证明 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）略 （2）36 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形； （2）解：如图，连接AF交BE于M，过A作AN⊥BC于N， 由（1）可知，四边形ABFE是菱形， ∴BF＝AB＝5，BM＝EM＝BE＝4，AM＝FM，AF⊥BE， ∴∠AMB＝90°， ∴AM＝＝＝3， ∴AF＝2AM＝6， ∵AN⊥BF， ∴S菱形ABFE＝BF•AN＝AF•BE， 即5AN＝×6×8， 解得：AN＝， ∵BC＝BF+CF＝5+＝， ∴S平行四边形ABCD＝BC•AN＝×＝36． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长． 【答案】（1） 略（2） 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵DE⊥BC， ∴OE＝BD， ∴BD＝2OE＝6， 在Rt△BED中，BE＝5，由勾股定理得：DE＝＝． ∴线段DE的长为． 3.如图：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE＝DF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△AEB≌△AFD（ASA）， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BD， AO＝OC＝AC＝×6＝3， ∵AB＝5，AO＝3， ∴BO＝＝＝4， ∴BD＝2BO＝8， ∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24． 题型11：利用矩形的性质求线段的长度 1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 2．如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 3.如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为 ． 【答案】10 题型12：利用矩形的性质求角的度数 1.如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 【答案】/度 题型13：利用矩形的性质求面积 1．如图，矩形的长为6，宽为3，O为其对称中心，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为（    ） A．9 B．18 C．12 D．15 【答案】A 2．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】5 3.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 题型14：直角三角形斜边上中线的性质 1.如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 【答案】A 2.如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 【答案】 题型15：矩形与折叠问题 1.如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 2.如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】6 3.如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 【答案】 题型6：利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 2.如图，已知四边形是矩形，连接对角线，过点B作于点E，过点D作于点F．求证：． 【答案】∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3.在矩形ABCD中，E在BC的延长线上，连接DE，过点B作BF∥DE交DA的延长线于点F． （1）求证：BF＝DE； （2）连接AE，若AF＝1，AB＝2，AD＝，求证：AE平分∠DEB． 【答案】1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∵BF∥DE， ∴四边形FBED是平行四边形， ∴BF＝DE； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∴∠FAB＝90°， ∵AF＝1，AB＝2， ∴由勾股定理得：BF＝， ∵四边形BEDF为平行四边形， ∴DF∥BE，DE＝BF＝， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AD＝， ∴DE＝AD， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴∠AEB＝∠DEA， 即AE平分∠DEB． 题型17：添加一个条件证明矩形 1.四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分，要使它成为矩形，可添加条件（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB∥CD D．AC⊥BD 【答案】B 2.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 【答案】C 3.如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 题型18：矩形判定条件判断 1.下列命题中正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 2.满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 【答案】B 3.如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 题型19：矩形判定的证明 1.已知，如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DF、DE分别是△BDC、△ADC的角平分线．求证：四边形DECF是矩形． 【答案】证明：如图， ∵∠ACB＝90°，D是AB的中点， ∴AD＝CD， ∵DE是∠ADC的角平分线， ∴DE⊥AC． ∴∠DEC＝90°， 同理得∠CFD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形DECF是矩形． 2.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．求证：四边形BFDE是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形． 3.已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形． （2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形． 【答案】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AF平分∠MAC， ∴∠MAF＝∠CAF． ∵AF∥BC， ∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形． 题型20：矩形的判定与性质综合证明 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】（1）略 （2）8 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）解：∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵FC＝AE， ∴CD﹣FC＝AB﹣AE， 即DF＝BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形DEBF是矩形； （2）解：∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵DC∥AB， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DFA＝∠DAF， ∴AD＝DF＝5， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝4， 由（1）得：四边形DEBF是矩形， ∴BF＝DE＝4． 3.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 【答案】（1） 略（2）10 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝6，BF＝8， ∴BC＝＝＝10， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝10． 题型21：利用正方形的性质求线段的长度 1.一个正方形的面积为8m²，则它的对角线长为（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm 【答案】C 2.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　） A．4 B．2 C． D．2 【答案】C 3.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的正方形学具，他先将活动学具成为图1所示的正方形，并测得对角线的长为，接着活动学具成为图2所示的菱形，且测得，则图2中对角线的长为 ． 【答案】15 题型22：利用正方形的性质求角的度数 1.如图，正方形ABCD中，在BA延长线上取一点，使BE＝BD，连接DE，则∠EDA的度数为（　　） A．10° B．15° C．30° D．22.5° 【答案】D 2.如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 题型23：利用正方形的性质求面积 1.如图，在正方形中，点E，F分别在上，已知，，的面积为11，则正方形的面积为（   ） A．25 B．28 C．33 D．36 【答案】B 2.如图，正方形的边长为，正方形边长为，将这两个正方形并排放在一起，连接，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 【答案】 题型24：正方形与折叠问题 1.如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 3.如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ． 【答案】 题型25：利用矩正方形的性质证明 1.如图，在正方形中，、为对角线上两点，已知，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：如解图，连结交于点， ∵四边形是正方形， ， ， ， 根据正方形的性质可知， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 根据正方形的性质可知， ∴四边形是菱形． 2． 如图，是正方形对角线上的一点，且，交于点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）证明：连接 在和中 ∴   ∴． 3.如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 题型26：添加一个条件证明正方形 1.如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 2.如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件： ，可使它成为正方形． 【答案】（答案不唯一） 题型27：正方形判定条件判断 1.下列命题中，是真命题的为（　　） A．一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．一组对边相等且对角线互相垂直的四边形是菱形 D．三个角是直角且对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 2.下列命题为真命题的个数有（   ） ①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②顺次连接对角线相等的四边形的四边中点，得到的四边形是矩形； ③对角线互相垂直的四边形是菱形； ④对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 3.下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 题型28：正方形多结论问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 【答案】A 3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 题型29：正方形判定的证明 1.如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D． （1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论． （2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明． 【答案】 解：（1）四边形ACBD是矩形， 证明：∵CD平行MN， ∴∠OCB＝∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC＝∠CBM， ∴∠OCB＝∠OBC， ∴OC＝OB， 同理可证：OB＝OD， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵CD＝OC+OD， AB＝OA+OB， ∴AB＝CD， ∴四边形ACBD是矩形； （2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形， 证明：由（1）得四边形ACBD是矩形， ∵CB＝BD， ∴四边形ACBD是正方形． 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE＝EF； （2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结论． 【答案】 证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB， ∴四边形DBCF为平行四边形， ∴DF＝BC， ∵D为边AB的中点，DE∥BC， ∴DE＝BC， ∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣CB＝CB， ∴DE＝EF； （2）解：当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形， 证明：∵四边形DBCF为平行四边形， ∴BD＝CF， ∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点， ∴AD＝BD＝CD， ∴AD＝CF， ∵AD∥CF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BAC＝∠DCA＝45°， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF是正方形． 3.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM＝CM． （2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°， ∵M为AD中点， ∴AM＝DM， 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM＝CM； （2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下： ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE＝CM， ∵MF＝CM， ∴NE＝FM， ∵NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， 由（1）知△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME＝MF， ∴平行四边形MENF是菱形； ∵M为AD中点， ∴AD＝2AM， ∵AB：AD＝1：2， ∴AD＝2AB， ∴AM＝AB， ∵∠A＝90°， ∴∠ABM＝∠AMB＝45°， 同理∠DMC＝45°， ∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形． 题型30：正方形的判定与性质综合证明 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH， 在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF， ∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形； （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4， ∴EH＝＝＝5， ∵四边形EFGH是正方形， ∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20． 2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD． ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠FAD． ∴∠EDA＝∠EAD． ∴AE＝DE． ∴四边形AFDE是菱形． ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是正方形． （2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2， ∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2． ∴四边形AFDE的面积为2×2＝4． 3.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 【答案】（1） 略（2）6 【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD． ∵EG⊥CD，EH⊥BC， ∴EG＝EH， ∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EGCH是矩形， ∴∠GEH＝90°． ∵四边形DEFM是矩形， ∴∠DEF＝90°． ∴∠DEG＝∠FEH． ∵∠EGD＝∠EHF＝90°， ∴△EGD≌△EHF（ASA）， ∴ED＝EF． ∴矩形DEFM是正方形； （2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°． ∴∠ADE＝∠CDM． ∴△ADE≌△CDM（SAS）， ∴AE＝CM． ∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $