精品解析：黑龙江绥化市绥棱县克音河乡学校2025—2026学年度第二学期期初测试 九年级数学

2025—2026学年度第二学期期初测试 九年级数学 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将万写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：万． 故选C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项符合题意； 3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的意义判断即可． 【详解】根据题意，该几何体的左视图为： ， 故选B． 【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键． 4. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，完全平方公式，算术平方根，积的乘方，据此逐项分析计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 7. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键；平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数． 故选：C． 8. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，则根据反比例函数的性质，列出等式计算即可． 【详解】设， ∵点B，C的横坐标都是3，，平行于x轴，点D在上，且其横坐标为1， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握ｋ的意义，反比例函数的性质是解题的关键． 9. 在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 10. 用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握工作量与工作效率和工作时间的关系，是解题的关键． 设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨．根据A运输450吨的时间等于B运输300吨的时间，列方程． 【详解】解：设B货车每小时运输x吨，则A货车每小时运输吨． ∵A货车运输450吨的时间为，B货车运输300吨的时间为， ∴， 即． 故选：C． 11. 下列叙述正确的是（ ） A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意； B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意； C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意； D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 12. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（ ） ①；②；③当时， A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据题意可得，则，即，又,即可判断①；②设正方形的边长为，根据勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质求得，进而求得，即可判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，根据②的结论求得，勾股定理求得，即可判断③． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∴ 即，又, ∴，故①正确； 设正方形的边长为， ∵点为边的中点， ∴, ∴, 在中，， ∴ 在中， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故②正确； ∵， ∴, 如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵是的角平分线， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ 设，则 在中，， ∵ ∴ 解得： ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 计算：________． 【答案】0 【解析】 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【详解】解： 故答案为：0 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 15. 如图，，，．则______． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 17. 化简：_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 18. 已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______． 【答案】60πcm2 【解析】 【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【详解】解：圆锥的高为8cm，母线长为10cm，由勾股定理得，底面半径=6cm，底面周长=12πcm， 侧面展开图的面积=×12π×10=60πcm2． 故答案为：60πcm2． 【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 19. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根据题意得，然后利用三角函数求解即可． 【详解】解：依题意，． 在中，， 在中，， ∴． 故答案为：． 20. 如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：作关于，的对称点．连接．则当，是与，的交点时，的周长最短，连接， 关于对称， ∴， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， 故答案为：． 21. 观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可． 【详解】解：第一个图形中有个三角形； 第二个图形中有个三角形； 第三个图形中有个三角形； 第四个图形中有个三角形； ； 第n个图形中有个三角形． 故答案为： 22. 在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为，进而分别求得垂线段的长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴ ∴，， 如图所示，设交于点，点在线段上，在的延长线上，过点作，的垂线，垂足分别为 ∵ ∴ 当在线段上时， ∴ 在中， ∵ 在中，； 当E在射线上时， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴， 在中， 综上所述，点到对角线所在直线的距离为：或或 故答案为：或或． 三、解答题（共6题，满分54分） 23. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 【答案】（1）如图所示， （2）或 【解析】 【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线， （2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，点在上（点不与，两点重合），且， ∵是的切线， ∴， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， ∴或． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 【答案】（1） （2）， 补全统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率； （1）根据组的人数除以占比得出总人数； （2）根据总人数求得组的人数，进而求得占比，以及补全统计图； （3）根据列表法或画树状图法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：参加本次问卷调查的学生共有（人）； 【小问2详解】 解：A组人数为人 A组所占的百分比为：； 【小问3详解】 画树状图法如下图 列表法如下图 A B C D A B C D 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种． ∴P（选中的2个社团恰好是B和C）． 25. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】（1）购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①；②或或 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数最优化问题： （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【小问1详解】 设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 【小问2详解】 设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 【小问3详解】 ①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 26. 如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：与相切． （2）若正方形的边长为，求的半径． （3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 【答案】（1） 方法一：证明：连接，过点作于点， 与相切于点， ． 四边形是正方形，是正方形的对角线， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法二： 证明：连接，过点作于点， 与相切于点，， ， 四边形是正方形， ， 又， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 与相切． 方法三： 证明：过点作于点，连接． 与相切，为半径， ， ， ， ， 又四边形为正方形， ， 四边形为矩形， 又为正方形的对角线， ， ， 矩形为正方形， ． 又为的半径， 为的半径， 又， 与相切． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一：连接，过点作于点，四边形是正方形，是正方形的对角线，得出，进而可得为的半径，又，即可得证； 方法二：连接，过点作于点，根据正方形的性质证明得出，同方法一即可得证； 方法三：过点作于点，连接．得出四边形为正方形，则，同方法一即可得证； （2）根据与相切于点，得出，由（1）可知，设，在中，勾股定理得出，在中，勾股定理求得，进而根据建立方程，解方程，即可求解． （3）方法一：连接，设，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，结合题意得出，即可得出； 方法二：连接，证明得出，进而可得，同理可得 方法三：连接，证明得出，设，则，进而可得，进而同方法一，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为正方形的对角线， ， 与相切于点， ， 由（1）可知，设， 在中， ， ， ，， 又正方形的边长为． 在中， ， ， ， ． ∴的半径为． 【小问3详解】 方法一： 解：连接，设， ， ， ， ． 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ． ． 方法二： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 方法三： 解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ． 又， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 27. 已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点． （1）如图一，当点为的中点时，求证：． （2）如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式． （3）如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）（或） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得出，则，根据题意得出，即可证明； （2）在中，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）过点作于点，得出，为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中 ， ∴； 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴（或）； 【小问3详解】 过点作于点， ∵四边形为矩形，且， ∴， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，列函数关系式，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 28. 综合与探究 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； （3）若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，P点坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时，如图： ，， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去）， ∴点P不存在； 当时，如图： ， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图： ，点P不存在； 当时，如图： ，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，； 【小问3详解】 解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， 当时，， 当时，， ∴P坐标为或； 当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， 此时， ∴P坐标为； 故P坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期初测试 九年级数学 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共三道大题，总分120分 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 据统计，2025年端午期间，我国民航客运累计发送旅客万人次，把万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图是一个正方体，被切去一角，则其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是3，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数（）的图像经过点B，D，则k的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9. 在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 用A，两种货车运输化工原料，A货车比货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与货车运输300吨所用时间相等．若设货车每小时运输化工原料吨，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 下列叙述正确的是（ ） A. 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影 D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等 12. 如图，在正方形中，点为边的中点，连接，过点作于点，连接交于点，平分交于点．则下列结论中，正确的个数为（ ） ①；②；③当时， A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每题3分，共30分） 13. 计算：________． 14. 分解因式：______． 15. 如图，，，．则______． 16. 已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______． 17. 化简：_______． 18. 已知圆锥的高为8，母线长为10，则其侧面展开图的面积为_______． 19. 如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点测得该楼顶部点的仰角为，测得底部点的俯角为，点与楼的水平距离，则这栋楼的高度为______m（结果保留根号）． 20. 如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则______． 21. 观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则________（结果用含的代数式表示）． 22. 在矩形中，，，点在直线上，且，则点到矩形对角线所在直线的距离是______． 三、解答题（共6题，满分54分） 23. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 24. 为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）参加本次问卷调查的学生共有______人． （2）在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． （3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 25. 自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 26. 如图1，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． （1）求证：与相切． （2）若正方形的边长为，求的半径． （3）如图2，在（2）的条件下，若点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长． 27. 已知：四边形为矩形，，，点是延长线上的一个动点（点不与点重合）．连接交于点． （1）如图一，当点为的中点时，求证：． （2）如图二，过点作，垂足为．连接，设，．求关于的函数关系式． （3）如图三，在（2）的条件下，过点作，交的延长线于点．当时，求线段的长． 28. 综合与探究 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； （3）若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $