20.3.1 离差平方和与方差（课件）-- 2025--2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 20.3.1 离差平方和与方差 第20章 数据的初步分析 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版数学八年级下册20.3.1 离差平方和与方差 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 下列关于离差平方和与方差的说法，正确的是（ ） A. 离差平方和是各数据与平均数差的平方的和，方差是离差平方和与数据个数的比值 B. 离差平方和越大，数据的波动越小 C. 方差越大，数据的波动越小 D. 离差平方和与方差没有关系 2. 已知一组数据：2，4，6，8，10，其平均数为6，则这组数据的离差平方和为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 3. 两组数据的平均数相同，下列说法正确的是（ ） A. 它们的离差平方和一定相同 B. 它们的方差一定相同 C. 离差平方和越大，方差越大 D. 离差平方和越小，方差越大 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 方差的计算公式为：方差=$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$，其中$$\bar{x}$$表示________，n表示________，$$(x_i-\bar{x})^2$$表示________。 2. 已知一组数据：3，5，7，9，其平均数为6，离差平方和为________，方差为________。 3. 若一组数据的方差为0，则这组数据的特点是________。 三、解答题（40分） 某小组5名同学的数学测试成绩（单位：分）分别为：80，85，90，95，100。 （1）计算这组数据的平均数； （2）计算这组数据的离差平方和； （3）计算这组数据的方差。 参考答案： 一、选择题：1.A 2.C 3.C 二、填空题：1. 平均数，数据个数，每个数据与平均数差的平方 2. 20，5 3. 所有数据都相等（都等于平均数） 三、解：（1）平均数$$\bar{x}$$=（80+85+90+95+100）÷5=450÷5=90（分） 答：这组数据的平均数为90分。 （2）离差平方和=$$(80-90)^2+(85-90)^2+(90-90)^2+(95-90)^2+(100-90)^2$$ =$$(-10)^2+(-5)^2+0^2+5^2+10^2$$=100+25+0+25+100=250 答：这组数据的离差平方和为250。 （3）方差=$$\frac{1}{5}×250$$=50 答：这组数据的方差为50。 2026年4月6日星期一8时12分54秒 2026年4月6日星期一8时12分57秒 学习目标 1. 掌握离差平方和、方差的概念与计算方法，能够进行常见与离差平方和、方差相关的计算. (重点) 2. 能够利用离差平方和、方差来简要的分析一组数据的离散程度. (难点) 3. 理解利用计算器和电子表格计算一组数据的方差的方法. 这是两名队员射击训练各 10 次的成绩，观察两幅图片，比较这两名队员成绩的稳定性. 离差平方和与方差 问题1 两台机床都生产直径为 (20 ± 0.2) mm 的零件 ，为了检验产品质量从产品中各抽出 10 个零件进行测量,结果如下 ( 单位: mm ): 如何评判哪台机床生产的零件的精度更稳定? 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 1 要比较零件的精度，首先要想到比较两组数据的平均值。 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 从平均数这个角度很难区分两台机床生产零件的精度的稳定性。 如图，将每台机床生产的10个零件的直径用散点图表示. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20.2 20.1 20.0 19.9 19.8 零件直径/mm 数据序号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20.2 20.1 20.0 19.9 19.8 零件直径/mm 数据序号 (2) 机床 B (1) 机床 A 机床 B 比机床 A 生产的零件的精度更稳定. 统计学中，常用方差或离差平方和来衡量数据的离散程度.设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是 ，我们将 称为这组数据的离差平方和.可以简记为 . 将 称为这组数据的方差. 知识要点 离差平方和与方差都具有如下性质： （1）最小值为 0 ； （2）数据的离散程度大，它们的值也大. 当数据个数较多时，离差平方和的值将变得很大，而且当几组数据个数不相等时，不能用离差平方和衡量数据的离散程度，在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中. 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 分别计算问题 1 中离差平方和与方差来分析机床 A 和机床 B 哪台生产的零件的精度更稳定。 A 和 B 两组数据的平均数均为 20 ，于是，它们的离差平方和分别为 则方差分别为： 无论是离差平方和还是方差，我们都可以知道机床 A 生产的 10 个零件直径比机床 B 生产的 10 个零件直径波动要大，据此，我们可以评判机床 B 生产的零件精度更稳定. 例1 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 小明 10 14 13 12 13 小兵 11 11 15 14 11 典例精析 1 2 3 4 5 求平方和 小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13 (每次成绩－ 平均成绩)2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2 小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11 (每次成绩－ 平均成绩)2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2 所以根据结果小明的成绩比较稳定. 用计算器和电子表格计算方差 机床A 20.0 19.8 20.1 20.2 19.9 20.0 20.2 19.8 20.2 19.8 机床B 20.0 20.0 19.9 20.0 19.9 20.2 20.0 20.1 20.1 19.8 以计算机床 A 生产的零件直径的方差为例， (1) 设定 SD 模式:打开计算器后,先按键 将其设定至开始状态； (2) 按键 (SCL) ,清除 计算器原先在 SD 模式下所储存的数据； MODE 2 SHIFT CLR 1 = 2 (3) 依次按键:20.0 19.8 20.2 19.9 20.0 20.2 20.2 19.8 20.1 19.8 输入数据； (4) 按键 显示方差的算术平方根为 0.161 245 155 ； (5) 按键 ，显示方差为 0. 026，因此，= 0.026. DT DT DT DT DT DT DT DT DT DT SHIFT = 1 S－VAR 你能用计算器计算机床 B 生产的零件直径的方差吗 ? x2 = 用电子表格软件计算 (1) 在电子表格软件中输入机床 A，B 的数据,如下图： (2) 如图 ，通过“公式”—“插入函数”—选择类别“统计”—“VAR.P” 函数计算，得到机床 A 数据的方差. 类似的操作你能得到机床 B 数据的方差吗? 返回 2.5 1．(1)在某校举办的学习强国演讲比赛中，六位评委给小华的评分(单位：分)分别为：8，7.5，9.5，8.5，8.5，9，则小华此次演讲比赛得分的离差平方和为________． (2)已知一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为________． 0.5 中考考法 18 21 返回 中考考法 19 返回 C 3．已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　　) A．平均数 B．离差平方和 C．众数 D．方差 中考考法 20 4．[2025泸州]某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数(单位：个)及方差(单位：个2)如下表所示：   甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 4.6 4.6 6.9 9.6 中考考法 21 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 B 返回 中考考法 22 5．[2025山西]下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况， 日气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高/℃ 12 6 10 9 8 最低/℃ 1 －2 －1 0 2 中考考法 23 下列说法正确的是(　　) A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较 中考考法 24 中考考法 返回 【答案】A 中考考法 ＞ 6．小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是s12.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是s22，则s12________s22(填“＞”“＝”或“＜”)． 中考考法 27 返回 中考考法 6 7．(1)一组数据1，x，5，7有唯一的众数，且中位数是6，则方差是________． 中考考法 29 4 (2)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是1，则另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为________，方差为________． 9 中考考法 30 离差平方和与方差 定义 方差计算公式 简单应用 衡量一组数据的离散程度（稳定性） 意义 2．一组数据x1，x2，…，x7的方差是s2＝[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x7－3)2]，则这组数据的和为________． 【点拨】最高气温数据为12，6，10，9，8，∴平均数为＝9.各数据与平均数的差的平方为(12－9)2＝9，(6－9)2＝9，(10－9)2＝1，(9－9)2＝0，(8－9)2＝1，∴方差为＝4. ∵最低气温数据为1，－2，－1，0，2，∴平均数为＝0. 各数据与平均数的差的平方为(1－0)2＝1，(－2－0)2＝4，(－1－0)2＝1，(0－0)2＝0，(2－0)2＝4，∴方差为＝2.∵4＞2，∴日最高气温的波动更大，选项A正确，故选A. 【点拨】由题意可得，前9次投掷标枪的成绩的平均数和10次投掷标枪的成绩的平均数相同，均为20 m，∵第10次投掷标枪的落点恰好在20 m线上，∴s22＝s12，∴s12＞s22. $