第19章 四边形小结与复习 课件 2025-2026学年沪科版 八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 第19章 小结与复习 第19章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版数学八年级下册19.3.3 正方形 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 下列关于正方形的性质，说法错误的是（ ） A. 正方形的四条边都相等 B. 正方形的四个角都是直角 C. 正方形的对角线互相垂直且相等 D. 正方形的对角线平分一组对角但不相等 2. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是正方形的是（ ） A. 四边形ABCD是菱形，且有一个角是直角 B. 四边形ABCD是矩形，且一组邻边相等 C. 四边形ABCD的对角线互相垂直、平分且相等 D. 四边形ABCD是平行四边形，且对角线互相垂直 3. 正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则正方形的边长为（ ） A. 2 B. 2√2 C. 4 D. √2 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 正方形既是特殊的________，又是特殊的________，它具有两者的所有性质。 2. 已知正方形的边长为6cm，则它的对角线长为________cm，面积为________cm²。 3. 正方形ABCD中，∠ABD的度数为________°。 三、解答题（40分） 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD。求证：矩形ABCD是正方形，并求其面积（已知OA=√2）。 （要求：利用正方形的判定定理进行证明，步骤完整，逻辑清晰） 参考答案： 一、选择题：1.D 2.D 3.B 二、填空题：1. 矩形，菱形（顺序可互换） 2. 6√2，36 3. 45 三、证明：∵四边形ABCD是矩形，∴对角线AC=BD（矩形对角线相等），且OA=½AC，OB=½BD（矩形对角线互相平分）。 ∴OA=OB。又∵AC⊥BD，∴△AOB是等腰直角三角形。 ∵OA=√2，∴AB=√(OA²+OB²)=√( (√2)²+(√2)² )=√(2+2)=2。 ∵矩形ABCD的对角线互相垂直，∴矩形ABCD是正方形（对角线互相垂直的矩形是正方形）。 正方形ABCD的面积=AB²=2²=4（或面积=½×AC×BD，AC=2OA=2√2，BD=AC=2√2，面积=½×2√2×2√2=4）。 2026年4月6日星期一7时43分43秒 2026年4月6日星期一7时43分44秒 一、多边形的内角和与外角和 多边形的内角和等于 (n - 2)×180° 多边形的外角和等于 360° 正多边形每个内角的度数是 正多边形每个外角的度数是 几 何 语 言 文字叙述 对边平行 对边相等 对角相等 ∴ AD = BC，AB = DC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠BAD =∠BCD，∠ABC =∠ADC. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， 二、平行四边形的性质 对角线互 相平分 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC，OB = OD. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，AB∥DC. B C D A O 两条平行线之间的距离处处相等 几 何 语 言 文字叙述 两组对边相等 一组对边平行且相等 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD = BC，AB = DC， ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AB = DC，AB∥DC， 三、平行四边形的判定 对角线互相平分 ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ OA = OC，OB = OD， 两组对边分别平行（定义） ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∵ AD∥BC，AB∥DC， B C D A O 1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 2. 三角形中位线定理：三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 四、三角形的中位线 用符号语言表示： ∵ DE 是△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC， E A B C D 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且相等 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角 互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角 五、矩形、菱形、正方形的性质 条件 ①定义：有一个角是直角的平行四边形. ②定理1：对角线相等的平行四边形. ③定理2：三个角是直角的四边形. ①定义：一组邻边相等的平行四边形. ②定理1：四条边都相等的四边形. ③定理2：对角线互相垂直的平行四边形. ①定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形. ②有一组邻边相等的矩形. ③有一个角是直角的菱形. 六、矩形、菱形、正方形的判定方法 返回 9 1．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 中考考法 8 2 返回 2．[2025淮北月考]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，BE平分∠ABC且BE⊥CE，连接DE，若AC＝20，BC＝12，则DE的长为________． 中考考法 9 返回 14 3．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点，若EF＝4，BC＝10，则△EFM的周长为________． 中考考法 10 4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，________． 请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝ CD”这两组条件中任选一组作为已知条件， 填在横线上(填序号)，再解决下列问题： ①(或②) 中考考法 11 (1)求证：四边形BCDE为平行四边形； 【证明】选择①：∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE. 又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形． 选择②：∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD. 又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形． 中考考法 12 (2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长． 返回 中考考法 13 5．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. 中考考法 14 (1)求证：四边形BFDE是矩形； 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵CF＝AE，∴BE＝DF. ∴四边形BFDE是平行四边形． ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°. ∴四边形BFDE是矩形． 中考考法 15 (2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，DC∥AB.∴∠DFA＝∠BAF. 由(1)知四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°，∴∠BFC＝90°. 中考考法 16 返回 中考考法 6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC边上，AE＝AD，过点D作DF∥AE，交BC的延长线于点F，连接AF，DE交于点G. 中考考法 18 【证明】∵AD∥BC，即AD∥EF，且DF∥AE， ∴四边形AEFD是平行四边形． 又∵AE＝AD，∴四边形AEFD是菱形． (1)求证：四边形AEFD是菱形； 中考考法 19 返回 中考考法 20 6 7．[2025西安月考]如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，BD＝3，CD＝2，AD⊥BC，将△ADB沿AB翻折得到△AMB，将△ADC沿AC翻折得到△ANC，则AD的长为________． 中考考法 21 【点拨】如图，延长MB，NC交于点E.∵AD⊥BC，将△ADB沿AB翻折得到△AMB，将△ADC沿AC翻折得到△ANC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠M＝∠N＝90°，AD＝AM＝AN，∠BAD＝∠BAM，∠CAD＝∠CAN，BD＝BM＝3，CD＝CN＝2.∵∠BAC＝ 45°，即∠BAD＋∠CAD＝45°， ∴(∠BAD＋∠CAD)＋(∠BAM＋ ∠CAN)＝45°＋45°＝90°. 中考考法 中考考法 返回 ∴x＝3，即BE＝3.∴ME＝AM＝AD＝BM＋BE＝3＋3＝6，即AD的长为6. 中考考法 返回 D 中考考法 25 中考考法 26 【点拨】如图，连接GE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2.∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1.∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE，∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2， ∴∠GFE＝∠GBE＝90°.∵GE＝GE，∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL)， ∴GF＝GB. 中考考法 返回 【答案】A 中考考法 10．[2025江西]如图，在矩形ABCD纸片中，沿着点A折叠纸片，AB的对应边为AB′，折痕与边BC交于点P.当AB′与AB，AD中任意一边的夹角为15°时，∠APB的度数可以是_________________． 82.5°或52.5°或37.5° 中考考法 29 【点拨】①当AB′与AB的夹角为15°时，即∠BAB′＝15°，如图①所示，∵∠BAB′＝15°，∠BAP＝∠B′AP，∴∠BAP＝∠B′AP＝15°÷2＝7.5°.∵∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°－7.5°＝82.5°.②当AB′与AD的夹角为15°时，若∠BAB′＝75°， 如图②，∵∠BAP＝∠B′AP， ∴∠BAP＝∠B′AP＝75°÷2＝37.5°. 中考考法 ∵∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°－37.5°＝52.5°. 若∠BAB′＝105°，如图③，∵∠BAP＝∠B′AP， ∴∠BAP＝∠B′AP＝105°÷2＝52.5°. ∵∠ABP＝90°，∴∠APB＝ 90°－52.5°＝37.5°. 综上，∠APB的度数可以是 82.5°或52.5°或37.5°. 返回 中考考法 11．在平行四边形ABCD中，点O为两对角线的交点，直线l过顶点D，且绕点D按顺时针方向旋转，过点A，C分别作直线l的垂线，垂足为E，F. (1)如图①，若直线l过点B，求证：AE＝CF； 中考考法 32 中考考法 33 【解】如图①，连接AF，设AC交EF于点I. 中考考法 中考考法 (3)如图③，若AO＝6，CF＝7，EO＝8，请直接写出AE的长． 【解】AE的长为4. 中考考法 36 返回 中考考法 返回 过点A作AL⊥CF于点L，则∠ALC＝∠ALF＝90°. ∵∠ALF＝∠EFL＝∠AEF＝90°，∴四边形AEFL是矩形．∴FL＝AE，AL＝EF.∴CL＝CF－FL＝7－AE. ∵AO＝6，∴AC＝2AO＝12. ∵在Rt△ACL中，AC2－CL2＝AL2；在Rt△EFG中，EG2－FG2＝EF2，且AL2＝EF2，∴122－(7－AE)2＝162－(7＋AE)2，解得AE＝4，即AE的长是4. 中考考法 12. 【问题提出】(1)如图①，在四边形ABCD中，对角线，AC⊥BD，AC＝BD，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 中考考法 39 中考考法 40 【解】由(1)可知四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC＝10.∵AD⊥AB，∴∠A＝90°. ∴AE＝＝＝6. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝＝5，∴AD＝BC＝5. 又∵DF＝5，∴AD＝DF.∴∠DAF＝∠DFA. ∴∠DAF＝∠BAF.∴AF平分∠DAB. 【解】∵四边形AEFD是菱形， ∴AF＝2AG，AF⊥DE，∴∠AGD＝90°. 在Rt△AGD中，根据勾股定理，得 AG＝＝＝2， ∴AF＝2AG＝4. (2)若AD＝5，DG＝，求AF的长． ∴∠M＝∠MAN＝∠N＝90°，AM＝AN，∴四边形AMEN是正方形，∴AM＝ME＝EN＝AN.设BE＝x，CE＝y，∴ME＝BM＋BE＝3＋x，EN＝CN＋CE＝2＋y，∴3＋x＝2＋y，即y＝x＋1.∴AD＝AM＝ME＝3＋x. ∵S正方形AMEN＝AM2＝2×BC·AD＋BE·CE，∴(3＋x)2＝5(3＋x)＋x(x＋1)，整理得x2＋x－12＝0，解得x1＝3，x2＝－4(不符合题意，舍去)． 8．[2025河南]如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为(　　) A．2 B．6－3 C．2 D．6－6 9．[2025重庆]如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为(　　) A. B. C. D. 设GB＝GF＝x，则AG＝2－x，GD＝2＋x，根据勾股定理可得AG2＋AD2＝GD2，即(2－x)2＋22＝(2＋x)2，解得x＝，∴GD＝，AG＝.∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，∴点H到AD，AG，GD的距离相等． ∴S△DGH＝·S△ADG＝×××2＝. 【证明】∵点O为平行四边形ABCD两对角线的交点，∴OA＝OC.∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°. 在△AEO和△CFO中， ∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴AE＝CF. (2)如图②，若∠EFO＝∠FCO，AE＝CF，求∠FCO的度数； ∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，∴∠AEI＝∠CFI＝90°. ∵∠EFO＝∠FCO，∴∠EFO＋∠FIO＝∠FCO＋∠FIO＝90°，∴∠IOF＝90°. ∵OA＝OC，∴OF垂直平分AC，∴AF＝CF.∴∠FAO＝∠FCO. ∵AE＝CF，∴AE＝AF，∴∠AFE＝30°. ∴∠AFC＝∠AFE＋∠CFI＝30°＋90°＝120°.∴∠FCO＝∠FAO＝(180°－∠AFC)＝×(180°－120°) ＝30°. 【点拨】如图②，延长EO，FC交于点G.∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，∴AE∥CF.∴∠AEO＝∠G. 在△AEO和△CGO中， ∴△AEO≌△CGO(AAS)．∴EO＝GO＝8，AE＝CG. ∴EG＝2EO＝16，FG＝CF＋CG＝7＋AE. 【证明】∵E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，∴EF∥AC∥GH，FG∥BD∥EH，EF＝GH＝AC，EH＝FG＝BD. ∵AC＝BD，∴EF＝GH＝EH＝FG. ∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，EF∥AC，FG∥BD，∴EF⊥FG，∴∠EFG＝90°.∴四边形EFGH是正方形． $