19.3.2 第1课时 菱形的性质 课件2025-2026学年 沪科版 八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 19.3.2 第1课时 菱形的性质 第19章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版数学八年级下册19.3.2第1课时 菱形的性质 练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 下列关于菱形的性质，说法错误的是（ ） A. 菱形的对边平行且相等 B. 菱形的四条边都相等 C. 菱形的对角线互相平分且相等 D. 菱形的对角线互相垂直 2. 已知菱形ABCD的边长为5cm，一条对角线长为6cm，则另一条对角线长为（ ） A. 8cm B. 6cm C. 4cm D. 3cm 3. 菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC=60°，边长为4，则OA的长为（ ） A. 2 B. 4 C. √3 D. 2√3 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 菱形的一个内角为120°，则它的邻角为________°。 2. 菱形的对角线长分别为8cm和6cm，则该菱形的边长为________cm，面积为________cm²。 3. 菱形的对角线互相垂直平分，若一条对角线长为10，另一条对角线长为8，则菱形的周长为________。 三、解答题（40分） 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6。求证：AB=BC=CD=DA，并求菱形ABCD的面积。 （要求：利用菱形的性质进行证明，步骤完整，逻辑清晰） 参考答案： 一、选择题：1.C 2.A 3.A 二、填空题：1. 60 2. 5，24 3. 4√41 三、证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA（菱形的四条边都相等）。 ∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），AO=½AC，BO=½BD。 ∵AC=8，BD=6，∴AO=4，BO=3。 在Rt△AOB中，AB=√(AO²+BO²)=√(4²+3²)=5，即菱形的边长为5。 菱形ABCD的面积=½×AC×BD=½×8×6=24（菱形面积等于两条对角线乘积的一半）。 2026年4月6日星期一7时43分33秒 2026年4月6日星期一7时43分35秒 学习目标 1. 了解菱形的概念及其与平行四边形的关系，探索并证明菱形的性质定理. (重点) 2. 应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定定理. (难点) 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 平行 四边形 矩形 前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了矩形是由平行四边形角的变化得到，如果平行四边形有一个角是直角时，就变成矩形. 有一个角是直角 菱形的性质 1 思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形 邻边相等 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面的视频： 点击视频开始播放← 问题2 根据上面的折叠过程，猜想菱形的四边形数量 有什么关系？菱形的两条对角线有什么关系？ 活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕，折叠手 中的图形 (如图)，并回答以下问题： 问题1 菱形是轴对称图形吗? 如果是， 指出它的对称轴. 是，两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线 平分一组对角. 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD，∠DAC =∠BAC， ∠DCA =∠BCA，∠ADB =∠CDB， ∠ABD =∠CBD. 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AB = CD，AD = BC (平行四边形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD =AD. A B C O D 证明猜想 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中，OB = OD， ∴ AO⊥BD，AO 平分∠BAD， 即 AC⊥BD，∠DAC =∠BAC. 同理可证∠DCA =∠BCA， ∠ADB =∠CDB，∠ABD =∠CBD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 性质1 菱形的四条边相等. 性质2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 菱形是轴对称图形,两条对角线所在的直线都是它的对称轴. 知识要点 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，求菱形的周长． 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. ∵ AC＝6 cm，BD＝12 cm， ∴ AO＝3 cm，BO＝6 cm. 在 Rt△ABO 中，由勾股定理得 ∴ 菱形的周长为 4AB＝4× ＝ (cm)． 典例精析 例2 如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF. 证明：连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC. ∵ CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵ AC＝AC，∴△ACE≌△ACF. ∴ AE＝AF. 归纳：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 证明：∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴ AD∥BC，AD＝BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB. ∴∠DAE＝∠AEB. ∵ AB＝AE，∴∠ABC＝∠AEB. ∴∠ABC＝∠DAE.  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵ AD＝BA，∴△AOD≌△BEA. ∴ AO＝BE. 例3 如图，E为菱形ABCD的边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 解：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD. ∴ S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC = BD·AO + BD·CO = BD·(AO + CO) = BD·AC = ab. 菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半 例4 已知某菱形的两条对角线长分别为 a ，b ， 求该菱形的面积， 菱形的面积 2 例5 如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h. 解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12， ∴ S△AOB＝ OA·OB＝ ×5×12＝30. ∴ S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 而菱形两组对边的距离相等， ∴ S菱形ABCD＝AB·h＝13h. ∴ 13h＝120，解得 h＝ . A B C D O 菱形的面积计算有如下方法： ① 一边长与两对边的距离 (即菱形的高) 的积； ② 四个小直角三角形的面积之和 (或一个小直角三角形面积的 4 倍)； ③ 两条对角线长度乘积的一半． 方法归纳 例6 如图，在菱形 ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的 度数比为 1∶2，周长是 8 cm．求： (1) 两条对角线的长度； (2) 菱形的面积． 解：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC，AC⊥BD，AD∥BC. ∴∠ABC +∠BAD = 180°. ∵∠ABC 与∠BAD 的度数比为 1∶2， ∴∠ABC = ×180° = 60°. ∴ △ABC 是等边三角形，∠ABO = ∠ABC = 30°. ∵ 菱形 ABCD 的周长是 8 cm，∴ AB = 2 cm. ∴ OA = AB = 1 cm，AC = AB = 2 cm. ∴ BD = 2OB = cm. = ×2× = （cm2）. (2) S菱形ABCD = AC•BD 返回 C 1. 如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是(　　) A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AF D．∠AEB＝∠AFD 中考考法 19 C 返回 2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为(　　) A．6 B．12 C．24 D．48 中考考法 20 返回 3．如图，在平面直角坐标系中，A(3，3)，以OA为边作菱形AOBC，则点C的坐标为______________． 中考考法 21 4．[2025泸州]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝CF. 求证：AF＝CE. 中考考法 22 返回 中考考法 返回 5．[2025泸州]矩形具有而菱形不具有的性质是(　　) A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角相等 A 中考考法 24 返回 A 6. 晓晓家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，其示意图如图所示，测得AB＝10 cm，BD＝ 16 cm，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，则OH的长为(　　) A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 中考考法 25 返回 7．如图，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是________． 中考考法 26 5 8．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为________． 中考考法 27 返回 中考考法 中考考法 29 【点拨】如图，取AD的中点M ′，连接M′N，M′P，则有MP＝M′P.易知MP＋PN的最小值为线段M′N的长，易得M′N＝1. 【点易错】解这类问题同学们往往不会利用菱形的轴对称性．利用对·称·找·点·是解题的关键，将线段和的最小值转化为一条线段的长是解题通法． 返回 【答案】B 中考考法 中考考法 31 【点拨】如图，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，OB＝OD，OC＝OA.∵E为AD边的中点，∴DE＝2.∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2.∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠BCF.又∵∠DFE＝ ∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC.∴BF＝ BC＝4.∴BD＝BF＋DF＝4＋2＝6. ∴OB＝OD＝3. 中考考法 返回 【答案】B 中考考法 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 1. 周长 = 边长的四倍 2. 面积 = 底×高 = 两条对角线乘积的一半 角 对角线 1. 两组对边平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 (3＋3，3)　 【证明】∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC. ∵AE＝CF，∴BA－AE＝BC－CF，即BE＝BF. 在△ABF和△CBE中， ∴△ABF≌△CBE(SAS)．∴AF＝CE. 【点拨】连接OE.∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∴AC⊥BD，OC＝AC＝6，OD＝BD＝8.在Rt△COD中，由勾股定理得CD＝＝10.∵E是边CD的中点，∴OE＝CD＝5.∵EF⊥BD，EG⊥AC，∴∠OGE＝∠OFE＝∠GOF＝90°.∴四边形OGEF是矩形．∴FG＝OE＝5. 9．如图，点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是(　　) A. B．1 C. D．2 10．如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为(　　) A．16 B．6 C．12 D．30 在Rt△BOC中，OC＝＝，∴AC＝2OC＝2.∴菱形ABCD的面积＝AC·BD＝×2×6＝6. $